资源简介

初中数学单元作业设计
一、单元信息................................................................................................................1
二、单元分析................................................................................................................1
(一)课标要求........................................................................................................1
(二)教材分析........................................................................................................2
(三)学情分析........................................................................................................3
(四)教学重难点....................................................................................................3
三、单元学习与作业目标............................................................................................3
(一)单元学习目标................................................................................................3
(二)单元作业目标................................................................................................4
四、单元作业设计思路................................................................................................4
(一)任务分析........................................................................................................5
(二)作业结构........................................................................................................6
(三)作业评价标准及流程....................................................................................6
(四)作业评价量表................................................................................................8
(五)设计特色........................................................................................................8
五、作业设计................................................................................................................9
整体情况说明........................................................................................................9
第一部分 单元作业..................................................................................................10
单元作业1：养成预习好习惯............................................................................10
单元作业2：我和单元知识树一起成长............................................................11
单元作业3：收集整理总结本章(全等三角形)的经典模型............................11
单元作业4：发现生活中的数学(全等三角形)................................................12
单元作业5(专题作业)：尺规作图作三角形....................................................13
第二部分 当堂作业..................................................................................................15
第1课时(14.1全等三角形)................................................................................15
第2课时(14.2.1全等三角形的判定：SAS)......................................................17
第3课时(14.2.2三角形全等的判定：ASA)......................................................20
第4课时(14.2.3全等三角形的判定：SSS)......................................................22
第5课时(14.2.4全等三角形的判定：AAS)......................................................24
第6课时(14.2.5两个直角三角形的判定：HL)................................................25
第7课时(14.2.6全等三角形的判定的综合应用)............................................27
单元作业样例..............................................................................................................30
样例一：单元作业3 经典模型(全等三角形)................................................30
样例二：单元作业4 发现生活中的数学(全等三角形)................................32
样例三：单元作业5(专题作业) 尺规作图作三角形....................................33
第三部分 课后作业..................................................................................................35
第1课时(14.1全等三角形)................................................................................35
第2课时(14.2.1全等三角形的判定：SAS)......................................................40
第3课时(14.2.2三角形全等的判定：ASA)......................................................44
第4课时(14.2.3全等三角形的判定：SSS)......................................................49
第5课时(14.2.4全等三角形的判定：AAS)......................................................53
第6课时(14.2.5两个直角三角形的判定：HL)................................................58
第7课时(14.2.6全等三角形的判定的综合应用)............................................62
第四部分 单元检测..................................................................................................67
1
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第一学期 沪科版 全等三角形
单元
自然单元□重组单元
组织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 全等三角形 第14.1(P94-96)
2 全等三角形的判定(SAS) 第14.2(P97-100)
3 全等三角形的判定(ASA) 第14.2(P101-103)
课时 4 全等三角形的判定(SSS) 第14.2(P103-105)
信息
5 全等三角形的判定(AAS) 第14.2(P105-107)
6 全等三角形的判定(HL) 第14.2(P107-109)
7 全等三角形的判定(应用) 第14.2(P109-111)
8 单元测试
二、单元分析
(一)课标要求
初中数学课程标准中，在课程设计思路中点明：三个学段(1-3年级，4-6年
级，7-9年级)，四个维度(知识技能、数学思考、问题解决、情感态度)，四部分
课程内容(数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践).1
在学段目标中，与全等三角形有关的具体描述为：
第三学段(7-9年级)—>
知识技能 2：探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆形的基本性
质和判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、
旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用.
数学思考 1：通过代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体
会，模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程
中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.
数学思考 3：体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过
程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.
在课程内容中，对全等三角形有关的具体表述为：
第三学段(7-9年级)—>二、图形与几何—>
3.三角形
(3)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
(4)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(参见例 60).
(5)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(参见例 60).
(6)掌握基本事实：三遍分别相等的两个三角形全等.
1
(7)证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
6.尺规作图
(2)会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作
三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三
角形.
(4)在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.3
在 2022版的数学课程标准中，要求基本相同.
(二)教材分析
1.知识网络
2.内容分析
全等三角形是研究平面几何图形的基础.全章分两节.
3
《义务教育数学课程标准(2011版)》，第33，34，35,36页.
2
第一节是“全等三角形”.主要是全等三角形的概念和性质，这些是学习判
定两个三角形全等及全等三角形应用的基础.
第二节是“全等三角形的判定”.主要内容是判定两个三角形全等(包括判定
两个直角三角形全等)的方法及应用尺规作图作三角形的方法.
学生在小学已学过的一些三角形的知识.在七年级学习了线段、角、相交线、
平行线及上一章的三角形概念和边角关系等知识.学生初步了解了几何研究的对
象和方法.在此基础之上，本章介绍了全等三角形的概念、性质、判定，进一步
研究全等三角形的应用.这是对上一章推理论证的巩固与提高，又是为下一章“轴
对称与等腰三角形”及以后的几何学习作准备.
从认知体系的角度来说，这是“小学的感性认识-->初中的定性研究-->高中
定量研究”三部曲中承上启下之处.
(三)学情分析
从学生的认知规律看：在“相交线和平行线”一章，学生已经认识图形的性质和
判定的区别，以及综合运用图形的性质和判定进行推理；在“三角形的边角关系”等章中，
学生学习了三角形的定义、边角的关系以及三角形中的几条重要线段，初步了解
了几何研究的对象和方法，感受到了几何学研究的一般路径.这些都为三角形全等的学
习打下从感性到理性的认知基础.
从学生的思维规律看：读到八年级上学期的学生，已经具有一定的自主学习能
力和独立思考能力，积累了一定的图形学习活动经验，并在心灵深处渴望自己是一个
发现者、研究者和探究者.但是，学生的思维方式和思维习惯还不够完善，使用数学推理
的意识不明显，数学推理的能力不强.因此，在本单元的教学中，要花大力气培养学生的推
理意识，增强推理能力.
从学生的情感态度来说：八年级的学生正在从被动地机械性的学习向主动
地、探索性地、构建自己独有的学习方式转变.良好的学习习惯、勇于动手操作
的意识、语言表达规范等素质越发重要.为此，要将这三方面的培养融合到本章
的知识教学之中.
(四)教学重难点
本章的重点是全等三角形的判定方法.由于全等三角形是研究图形中线段相
等或角相等的基础，学生只有掌握了全等三角形的判定方法，并能灵活地运用它
们，才能学好后面的知识.
本章的难点是探索三角形全等的条件和运用它们进行说理，以及应用全等三
角形解决实际问题.
三、单元学习与作业目标
(一)单元学习目标
1.通过实例，理解图形全等的概念和特征；掌握全等三角形对应边相等、对
应角相等的性质.
2.经历探索三角形全等条件的过程，通过操作、探究，体验获得数学结论的
过程.掌握两个三角形全等的条件，并会用它们判定两个三角形全等、解决一些
3
实际问题.了解三角形的稳定性.
3.在分别给出两边及其夹角、两角及其夹边和三边的条件下，会利用尺规作
出三角形.
4.在探索三角形全等条件以及运用数学结论解决问题的过程中，学会有条理
地思考并能进行简单的说理.
(二)单元作业目标
1.能够准确识别全等三角形的对应顶点、对应角、对应边，通过练习加快识
别速度.
2.通过练习，能够熟练应用全等三角形的边角性质，并用数学语言规范表达.
3.通过练习，掌握判断全等三角形的四种基本方法和针对直角三角形的特定
方法，并能用数学语言规范表达.
4.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制三角形的方法：两边及其夹角；
两角及其夹边；三边；两角及其中一角的对边；直角三角形的斜边和直角边.
5.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
6.通过练习，掌握基本事实、定理、反例、三角形稳定性等常识知识.
四、单元作业设计思路
4
(一)任务分析
5
(二)作业结构
(三)作业评价标准及流程
在2022版的数学课程标准中，数学课程总目标被表述为“三会”(会用数学
的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实
世界)，细分为“四基”(基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和“四
能”(发现、提出、分析、解决问题的能力)4.
初中阶段，核心素养侧重对概念的理解，主要表现为：抽象能力、运算能力、
几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识5.
据此，结合本章的课程内容和特点，我们初步拟定的评价核心指标如下：
基本指标 核心要求 贯彻始终
知识点 定位准确
几何直观 拓扑等价 模 应 创
型 用 新
推理过程 逻辑严密
观 意 意
数学语言 表达规范 念 识 识
其中，知识点定位准确的意思是，某个问题要应用某个具体的知识点来解决，
在将具体问题抽象后与某个知识点建立联系，该知识点的选择要精准.几何直观
拓扑等价的意思是，在用具体的几何图形描述问题时，该几何图形要表达出该问
题核心的拓扑不变性，特别是在画草图解决问题时.贯彻始终的意思是，模型观
念、应用意识、创新意识等核心素养要贯彻到发现、提出、分析、解决问题的全
流程之中.
4
《义务教育数学课程标准(2022版)》，第2，5-7页.
5
同上，第7页.
6
四横向要求，作为分析学生答题的核心要求，具有基础性和通用性，要求必
须完成.三纵向要求，不同的题目有不同的特点，需要区别对待.
“评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学
6
生学习，改进教师教学.”“鼓励学生自我监控学习的过程和结果”
为此，在具体评价上，以核心要求为准绳，达成目标，基本评价活动结束.
然后，研究该题目是否能总结出通用模型，达到学一题会一类的作用.探讨题目
结论有没有通用性，能不能应用到其它场景中.在整个发现、提出、分析、解决
问题中，有没有突破传统的做法，达到某种创新.
未达成目标的，修正自己的解答过程，与目标再次比对.如此循环往复，直
至基本评价活动结束.最后，进一步地检视解答和评价活动中是否可以提炼出模
型、结论是否可以推广应用、整个过程中是否有突破创新之处.
也即以学懂弄通为核心目标，弱化赋分、等级等方式进行的传统评价活动，
尝试建立以循环迭代为基本手段的进化式成长体系.
作业评价流程图
6
《义务教育数学课程标准(2022版)》，第3，4页.返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
7
本次设计的作业评价标准，仅针对图形与几何模块.但其设计思路具有通用
性，可推广应用到数与代数、统计与概率、综合与实践等内容.
(四)作业评价量表
根据前文拟定的评价标准，将专业术语改为学生语言后，本章设计的作业评
价量表如下.
四个基本指标，可通过简单的选择方式完成.提炼模型、应用推广两项可与
单元作业相结合，在单元作业处详细记录.创新之处和难易程度两项也以文字描
述为佳.因此，后四项均以留空的形式表示需要酌情处理.
题号1 题号2 题号3
基本指标 核心要求
自评 师评 自评 师评 自评 师评
几何图形 绘制准确
知识点 定位准确
推理过程 逻辑严密
数学语言 表达规范
提炼模型
应用推广
创新之处
难易程度(自评) ---- ---- ----
(五)设计特色
1．结构化设计，模块化填充.
2．尝试着将数学上的模型思想拓展到数学训练之中，一边从具体情境中抽
象出数学模型，一边努力构建几何知识的学习模型.
3．学习 2022版新课程标准，尝试建立新的评价核心指标—评价流程—评价
量表.
4．尝试着将信息技术理念拓展到数学训练之中，构建全新的程序化的作业
评价流程.
5．课前、课中、课后、单元检测相互独立又融为一体，共同推进单元总目
标的实现.
6．尝试建立以关键词、关键句为核心的知识体系，从课前预习、课堂练习、
课后复习等多维度循环往复地训练.
7．尝试建立以课堂为核心的新型学习模型，构建生活(实践)和课堂(理论)
相互促进的反馈式学习系统，构建关于学习的方法，养成会学习的习惯.
8．提供富有弹性的练习或者检测试题，给予不同发展程度的学生充分的选
择权、发展权.
9．文内采用了大量的超链接跳转方式.word格式文件，按住 Ctrl键后鼠标
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转.如果想返回，按住 ALT 键后，再按键盘上的左方向键(因软件不同可能会失
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8
五、作业设计
整体情况说明
本次作业设计分为单元作业、当堂作业、课后作业三大板块和单元检测.
单元作业，在章节学习之初就布置，贯穿于全单元的学习之中.单元作业细
分为四个通用模块：课前预习、课后绘制单元知识树、总结本章的经典模型、发
现生活中的数学7.
课前预习和课后绘制单元知识树属于学习习惯养成类任务.初中阶段的学
生，其学习行为正在由小学阶段的被动性机械式学习向主动探索形成自己学习风
格的关键转换期.所以课前预习和课后的知识总结习惯非常重要.为此，特别设置
了这两项基础性作业，必做项目，让其养成必要的学习习惯，形成基础性的知识
结构，构建各自独特的学习风格.
总结本章的经典模型和发现生活中的数学属于拓展性任务，不同的学生可以
根据自身的情况，尽自己最大的努力或意愿去尝试，“不同的人在数学上得到不
同的发展”.
因为本章的三个基本事实都是通过尺规作图法得出的，所有尺规作图是本章
的一大重要工具，需要贯穿全章.为此，设计了本章的专题作业：尺规作图作三
角形.
当堂作业，就是在课堂教学中完成的作业，分为预习检测和当堂练习两大模
块.
预习检测，是将单元作业中的课前预习这一总要求细化到各课时任务之举，
属于基础性作业，必做项目.考虑到不同学生既有的学习基础千差万别，本次作
业设计首创“预习关键词，熟读关键句”这一预习方法，满足“人人都能获得良
好的数学教育”这一总要求.
当堂练习的内容，主要由教科书上的例题和相关的练习题组成.例题多为经
典题目，以其为跳板，训练学生主动提炼出几何题的基本做题流程，并熟练掌握；
培养学生参照作业评价流程完成自我评价的能力；培养学生从例题中抽象出经典
模型的能力，顺便形成单元作业；最终形成能运用反馈、抽象等多种方式进行学
习的良好习惯.
课后作业，则由基础性作业和发展性作业组成.基础性作业，必做；发展性
作业，学生根据自己的情况选做.
单元检测部分，按照检测点进行分类，每个检测点配备了两题，第一题必做，
效果不理想的，重新学习知识点后，使用备份题做第二次检测.
7
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9
第一部分 单元作业
单元作业1：养成预习好习惯
要求：
①根据教学课表安排，至少半天前预习一次.在家可让家长提醒，在校可由
同学提醒，最终养成预习的好习惯.
②找出预习教材中的关键词，熟读(自己独立完成)，能准确说出来(可让家长
或者同学监听，修正).
③找出预习教材中的关键句，尝试不同的断句(自己独立完成)，能熟练的读
出来(可请家长监听，修正；如请同学监听，可互相讨论).
设计意图：
八年级的学生，“不同的人在数学上”已经“得到不同的发展”.学情差别
已经比较大，共性化的作业比较难找.因此，在本次作业设计中，笔者设计了“预
习——每课小总结——单元知识树”这一闭环学习习惯养成任务.
在预习作业的具体处理上，教给学生最基本的操作方法：找出、说出关键词；
找出关键结论，尝试断句，熟读.
这一详细的操作设计，主要针对的是数学基础不好的同学.通过对关键词句
的预习，学生在后面的课堂学习过程中，就能识别出师生活动中不时冒出的关键
词句，从而让数学语言不再是“天书”.对于数学基础好的同学，通过关键词、
关键句这两项内容，可以迅速把握本节课的重点，为后续更大的发展打下坚实的
基础.
这些关键词、句，也会成为学生今后学习的“锚点”.通过不断地积累，连
点成线，由线到面，积面成体，逐步构造出自己的知识大厦.
这一任务设计，充分体现了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数
学上得到不同的发展”8.
在预习作业中，设计了家长辅助、同学互助环节，体现了“教学活动是师生
积极参与、交往互动、共同发展的过程”9.
参考答案：参见各课时中的预习检测.
类型：基础性作业，必做项目.
评价建议：
关键词，以能准确回忆出来为基本要求；关键句，以能够正确断句，熟练读
出为基本要求；在数学上想得到更好发展的学生，建议熟读成诵.
在课前预习、课中检测、课后复习等不同环节，掌握的程度要逐步加深.
8
《义务教育数学课程标准(2011版)》，第2页，课程基本理念1.《义务教育数学课程标准(2022版)》，
第2页，课程基本理念.
9
《义务教育数学课程标准(2011版)》，第2页，课程基本理念3.
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10
单元作业2：我和单元知识树一起成长
要求：
①在课堂预习检测阶段，拓展自己寻找的关键词的范围，并当堂熟读.
②在老师将关键句示范性地断句之后，当堂和同桌互相练习，能独立地熟读.
③课中，听清关键词、关键句.
④课后，独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
⑤将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上，作业前复习至少一
遍.
设计意图：
这是“预习——每课小总结——单元知识树”闭环学习习惯养成任务中的后
两环.在课前预习和课中强化后，学生对于关键词、关键句已经非常熟悉，课后
将其挂载到单元知识树上，也是对本节课最好的复习.每节课“预习——小总结”，
如此循环往复，单元结束时，自然形成了“单元知识树”，其本人也伴随着知识
树一起成长.
本设计中的“预习——每课小总结——单元知识树”闭环学习习惯养成任务，
“体现结构化特征”10，可以推广到数理化及其它科目章节的学习活动之中.
参考答案：无标准答案
类型：基础性作业，必做项目.
评价建议：
在对单元知识树的评价上，本着“千人千面”原则，“学习评价的主要目的
是为了全面了解学生学习数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教
学.”11
具体地说，不同的学生在挂载关键词、关键句到知识树上时，允许有不同的
理解，允许有不同的组合，单元知识树的表现形式多种多样.
只要学生学习了新知后及时复习关键词句，及时为单元知识树添枝加叶，不
断地尝试不同的建构方式方法，都可以认定为优秀的.
形，千姿百态；核，逻辑+努力.
单元作业3：收集整理总结本章(全等三角形)的经典模型
要求：
①本章的主题是全等三角形.
②在本单元的学习过程中及之后，随时发现、收集、整理、归纳全等三角形
的经典模型.
10
《义务教育数学课程标准(2022版)》，第2页，课程基本理念2.
11
《义务教育数学课程标准(2011版)》，第3页，课程基本理念4.《义务教育数学课程标准(2022版)》，
第3页，课程基本理念4.
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11
③日积月累.“会用数学的眼光发现”“会用数学的思维思考”“会用数学
的语言表达”12.
设计意图：
“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟.知道数学模型可以用来
解决一类问题，是数学应用的基本途径”13.
全等三角形这一章，从三大基本事实出发，得出两个定理和若干判断.三大
基本事实就是最基本的模型应用.
在验证具体的图形对象是否符合基本事实的过程中，千奇百怪的图形对象又
可以细化为平移类、轴对称类、中心对称类、旋转类等，这些类型及其组合“一
线三等角”等，构成了全等三角形中的经典几何模型.通过这些几何模式，学生
可以具象化地理解“模型”一词，又可以充分地体验“数学模型的普适性”“可
以用来解决一类问题”.通过直观的经典几何模型熏陶，发展模型意识，形成模
型观念.从具象化地几何模型入手，逐步深化深化，为今后抽象化的模型及模型
应用打下坚实的基础.
类型：拓展性作业，尽最大努力去做.
参考答案：无标准答案
评价建议：
本次作业中的经典几何模型，仅局限于平移类、轴对称类、中心对称类、旋
转类及其简单组合“一线三等角”等.
学生只要能明白，同一个经典的几何模型，无论其条件和结论如何变幻，但
是其图形结构都不变，就是成功的.
如果学生能够进一步地了解“变中有不变”的道理，参透“会一题就是会一
类”的法则，那就更妙了.
模型的数量不加以限制，总结一个是一个的.
努力+说理，就是终极标准.
单元作业4：发现生活中的数学(全等三角形)
要求：
①本章的主题是全等三角形.
②在本单元学习过程之中及之后，随时发现、收集、整理、归纳生活中的全
等三角形的相关应用.
③“用数学的眼光观察”“用数学的思维思考”，生活中处处有数学.
设计意图：
2022版的《数学课程标准》中，描述数学核心素养，用了“三会”：会用数
学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现
12
《义务教育数学课程标准(2022版)》，第5，6页，核心素养的构成.
13
《义务教育数学课程标准(2022版)》，第10页，模型意识.
此页多处引用，返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
12
实世界.
当我们从现实世界中观察、总结出全等三角形知识，“会用数学的语言表达”
全等三角形；掌握了常见的经典几何模型工具之后，有必要反向“用数学的眼光
观察现实世界”，“用数学的思维思考现实世界”，让学生学有所用，学用相长.
类型：拓展性作业，尽最大努力去做.
参考答案：无标准答案.
评价建议：
学以致用，学用相长.学习了全等三角形的知识，我们就可以用这个知识为
工具，去衡量现实世界.当现实生活中有着某种需求，我们也要想到是否可以用
全等三角形这一工具来实现目的.
具体来说，此项活动中，无论学生是用全等三角形作为工具来解释生活中的
现象或者某种操作，还是用这个工具来创造性的解决问题，都是非常好的.
本单元作业设计的上述四个题目，因为能实现“学前——学中——学后”的
闭环管理，所以很适合在小学中高年级开始的学习习惯培养，有很大的推广价值.
由于采用了结构化、模块化的设计思想，只要修改每章节的主题，就可以直
接应用到数理化等科目的单元作业之中.
如果有人能结合文科类的特点进行进一步的改良，那就更好了.
单元作业5(专题作业)：尺规作图作三角形
要求：
在本单元学习过程之中，随时发现、收集、整理、归纳使用无刻度直尺和圆
规绘制三角形的条件、方法和具体步骤.
设计意图：
“边角边”“角边角”“边边边”，作为本章全等三角形中的三个基本事实，
教材中均是以尺规作图后实验验证的方式加以说明的.所以，使用无刻度的直尺
和圆规作出相应的图形就是首要的任务.
因为作图过程中使用的是无量度的工具，放弃了具体测量值这一特殊性，所
以其结果具有通用性.通过结果的比较，从而得出基本事实.
判定两个直角三角形全等的“斜边、直角边”法，其相关引理在“第15章 轴
对称图形与等腰三角形”才得以证明，所以其作为定理在本章也不方便直接证明.
也是采用了与三个基本事实相同的作图后验证的方法.
“角角边”作为一个重要的定理，在本章中可以直接证明.我们也可以在理
论证明的同时，通过尺规作图的方式进行事实验证，让理论与事实互相验证.
评价建议：
尺规作图，首要的是搞清楚作图的条件和最终需要作出的图形；通过观察条
件、分析结果，提出解决问题的可能路径；再从中选择一条具体的路径加以具体
实施.如果能力和时间允许，可以对比不同的可能路径的最终效果和操作的复杂
13
度等.
要重点关注学生理清问题的条件和结果、探讨达成目标的可能路径的过程.
一定要先搞清楚因果关系，胸有成竹了再动手操作.切记拿起直尺和圆规就开始
画画画.
重点关注第一个基本事实“边角边”的操作，争取提炼出动手操作的模型，
将处理问题流程化.这样，后面两个基本事实和两个定理处理起来就行云流水、
水到渠成了.
新旧两套课程标准对尺规作图的要求都是“了解作图的道理，保留作图的痕
迹，不要求写出作法.”所以，作为通用性的要求，学生能将原理内化于心，口
述基本作图步骤，按照流程作出图形(保留痕迹)就可以了.“写出作法”可作为拓
展性要求，供学有余力的学生自我要求.
此专题作业，是本章的具体内容决定的，具有特定性.其它章节仅可以作为
一种思路上的参考，神似形不似.
14
第二部分 当堂作业
第1课时(14.1全等三角形)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.如果想返回，按住ALT键后，再按键盘上的左方向键(两个格式文
件均有效)；使用顶部或左侧详细的目录导航也可以.下同.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
全等形、全等三角形、对应边、对应角、对应顶点、全等、≌、全等于.
2.重要结论：
全等三角形的对．应．边．相等.
全等三角形的对．应．角．相等.
当堂练习作业
当堂练习1
如图，把△ABC叠到△DEF上，两个三角形能够完全重合.
① △ABC≌ ，点A的对应顶点是点 ，点B的对应顶点是
点 ，点C的对应顶点是点 .
② ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
仿写：
1) ∵△ABC≌△DEF，( )
∴BC= .( )
2) ∵△ABC≌△DEF，( )
∴AC= .( )
3) ∵△ABC≌△DEF，( )
∴∠A= .( )
4) ∵△ABC≌△DEF，( )
∴∠B= .( )
15
5) ∵△ABC≌△DEF，( )
∴∠C= .( )
设计意图：
这是全等三角形最基本的模型——平移.设计本题的目的，一是加强对全等
三角形概念和基本性质的理解，二是通过这种显得机械化、模式化的训练，强化
推理过程书写的规范性.
评价建议：
题目内容极其简单，首要关注的是对应顶点的确定与对应，其次要侧重于格
式化条款的写法，通过格式化条款表现逻辑的严密性.
通过此题，可以抽象出“平移”这一经典模型，写入单元作业3.
参考答案：
① △ABC≌△DEF，点A的对应顶点是点D，点B的对应顶点是点E，点C的
对应顶点是点F.
② 仿写：
1) ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴BC=EF.(全等三角形的对应边相等)
2) ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴AC=DF.(全等三角形的对应边相等)
3) ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴∠A=∠D.(全等三角形的对应角相等)
4) ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴∠B=∠E.(全等三角形的对应角相等)
5) ∵△ABC≌△DEF，(已知)
∴∠C=∠F.(全等三角形的对应角相等)
当堂练习2
已知：如图，△ABC≌△CED，∠B与∠DEC是对应角，BC与ED是对应边.
仿照当堂练习1写出六组基本证明.
设计意图：
主要是训练学生能在全等三角形中正确地找出对应边、对应角，并能用规范
性的语言正确表达.
与当堂练习1相比，此图形是平移和旋转的组合，图形的复杂性进一步增加.
可以抽象为“旋转+共线”形式的经典图形，纳入单元作业3中.
评价建议：
首要关注对应顶点是否写对应了，其次是角在不同场景下的具体写法要灵活
(本场景下，∠A、∠B、∠D可以简写，其余皆不能简写)，最后是书写的规范性.
如果能抽象出经典模型，加分.
参考答案：
过于简单，略.
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当堂练习3
图中两个三角形全等，其中B和D是对应顶点，AB和CD是对应边.请按对应
顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子;在仿照当堂练习1写出六组
基本证明.
设计意图：
与当堂练习2类似，主要是训练学生能在全等三角形中正确地找出对应边、
对应角，并能用规范性的语言正确表达.
与当堂练习2相比，此图形是中心对称式旋转，对应顶点的复杂性进一步增
加.可以抽象为“旋转+公共边”形式的经典图形，纳入单元作业3中.
评价建议：
①对应顶点是否对应(特别关注：A->C，C->A)；②对应边是否对应(特别关
注：AC=CA)；③对应角是否对应(特别关注：∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD)；
④角的写法是否切合具体的场景(本场景下仅∠B和∠D可以简写).
参考答案：
过于简单，略.
第2课时(14.2.1全等三角形的判定：SAS)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
尺规作图、基本事实、两边及其夹角、分别相等、边角边、SAS(S表示边，A
表示角).
2.重要结论：
两边及其夹角分．别．相等的两个三角形全等.
当堂练习作业
当堂练习1
已知：△ABC[图(1)].
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求作：△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠B'＝∠B，B'C'＝BC.
设计意图
评价建议
这是本单元中第一次正式出现尺规作图，后面还将反复出现，贯穿始终.所
以它是本章节的一个重要内容，前面将其规划为一个专题作业(单元作业5)，在
这里可以顺势布置.在重要问题首次出现时布置单元作业，显得顺理成章，自然，
不突兀.后面出现类似场景时，适时强化一下即可.
参考答案：
作法：
(1)作∠MB'N＝∠B;
(2)在B'M上截取B'A'＝BA，在B'N上截取B'C'＝BC;
(3)连接A'C'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
当堂练习2
已知：如图，AD∥CB，AD＝CB.
求证：△ADC≌△CBA.
设计意图：
让学生熟悉“边角边”的判定方法，学会应用此判定方法来进行论证和计算.
评价建议：
首要的重点关注学生的思考过程.从条件出发，可以有哪些明显的结论？从
结果出发，已经知道了哪些条件？还需要哪些条件？两者在哪里会合？
思路通畅了，如何条分缕析地证明？
书写过程中有哪些细节的地方需要注意？
这是本章的第一个综合题，要仔细对照作业评价流程图，开展自我评价，争
取掌握最基本的做题流程.
从模型的角度，此题属于前面总结的“旋转+公共边”.和前面总结的模型相
对照，强化一下模型意识.
参考答案：
证明：∵AD∥CB，(已知)
∴∠DAC＝∠BCA.(两直线平行，内错角相等)
在△ADC和△CBA中，
∵ AD＝CB，(已知)
∠DAC＝∠BCA，(已证)
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AC＝CA，(公共边)
∴△ADC≌△CBA.(SAS)
当堂练习3
如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设
计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
设计意图：
利用全等测量距离是全等三角形在现实生活中的具体应用，充分体现了数学
的应用价值，可以激发学生的兴趣，培养学生的应用意识.
评价建议：
实际应用问题，首要关注学生将实际问题抽象为数学模型的能力.在将实际
问题转换为数学模型后，再按照数学问题的流程处理.最后，要将数学流程处理
的结果带回实际问题情境，验证结果的合理性.
具体到本问题情境，首要明确的是将“难以直接测量的A，B两点间的距离”
转换为“线段”，再将“线段”设想为三角形的“边”，由三角形的“边”联想
到“三角形全等”，从而解决问题.
“距离”->“线段”->“边”->“三角形全等”->“对应边相等”，这一思
维活动的链条，是本题的核心关键.
在找到了解决问题的可能路径之后，再进一步寻找其中的关键点“构建全等
三角形”.现在学习了“边角边”，能不能利用其进行构造？怎样构造？通过逐
步细化问题，得到更加具体的解决方案.最后按照逻辑链条，将整个的“可能路
径”细化为具体的解决方案，并形成文字.
最后，仔细对照作业评价流程图，开展自我评价.
从模型的角度，此题属于“旋转+对顶角”，可以加到单元作业3中.
这又是本章的第一道生活应用情境，可以加到单元作业4中.
参考答案：
解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C，连接AC，延长AC到点A'，使A'C
＝AC;连接BC，并延长BC到点B'，使B'C＝BC.连接A'B'，量出A'B'的长度，就是A，
B两点间距离.
理由：在△ABC与△A'B'C中，
∵ AC＝A'C，(已知)
∠ACB＝∠A'CB'，(对顶角相等)
BC＝B'C，(已知)
∴△ABC≌△A'B'C.(SAS)
∴A'B'＝AB.(全等三角形对应边相等)
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第3课时(14.2.2三角形全等的判定：ASA)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
尺规作图、基本事实、两角及其夹边、分别相等、角边角、ASA(A表示角，
S表示边).
2.重要结论：
两角及其夹边分．别．相等的两个三角形全等.
当堂练习作业
当堂练习1
已知：△ABC[图(1)]
求作：△A'B'C'，使∠B'＝∠B，B'C'＝BC，∠C'＝∠C.
设计意图
评价建议
这是本单元中第二次正式出现尺规作图，适时强化，归入单元作业5中.
参考答案：
作法：
(1)作线段B'C'＝BC;
(2)在B'C'的同旁，分别以B'，C'为顶点作∠MB'C'＝∠ABC，∠NC'B'＝
∠C，B'M与C'N交于点A'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
当堂练习2
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
求证：DB＝CB.
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设计意图：
这是学习了“角边角”这一基本事实之后的一道例题.主要目的就是对“角
边角”判定方法的基本应用.
评价建议：
首要的，图文对照，分清条件和结论.其次，探讨从条件出发可以得出哪些
结论？从结论出发需要哪些条件？两者在何处能够会合？最后，整理思路，探讨
如何逻辑严密地演绎.
具体到本题，解决问题的可能路径为：“角，角”+“公共边”->“全等三
角形”->“边”
形成完整的文字解答后，要对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好
的学习总结反馈机制.
从模型的角度，本题属于“对折”，可以添加到单元作业3中.
参考答案：
证明：∵ ∠ABD与∠3互为邻补角，
∠ABC与∠4互为邻补角，(已知)
又∵∠3＝∠4，(已知)
∴∠ABD＝∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB与△ACB中，
∵ ∠1＝∠2，(已知)
AB＝AB，(公共边)
∠ABD＝∠ABC，(已证)
∴△ADB≌△ACB.(ASA)
∴DB＝CB.(全等三角形的对应边相等)
当堂练习3
已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在AB的垂线
BF上取两点C，D(BF在河岸上)，使BC＝CD，再过点D作BF的垂线DE，使点A，
C，E在一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长，请说明道理.
设计意图：
这是本章出现的第二道实际问题，问题情境与第一道题类似.但是两者的根
本区别在于其中的A点是否可达.
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与前面的第一道实际应用题相比，本题降低了难度要求，直接给出了解决问
题的具体方案，只要论证其方案的合理性.
评价建议：
因为本题直接给出了问题的解决方案，所以首要的就是图文对照，弄清条件
和结论.因为本题文字内容较长，对学生的数学阅读能力是个不小的挑战，可采
用边读题边绘图的方式解决.
在将问题情境抽象为具体的数学问题后，分别从条件和结论出发寻找交汇
点，再按照数学问题的流程处理.
要主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈机制.
要与第一道应用题对比，搞清楚两者根本性的区别在于一个是两点均可达，
一个是只有其中一点可达.由此造成了解决方案的完全不同.学有余力的学生在学
习了本题的方法之后，如能深入探讨两题的解决方案是否能够通用就更好了.探
讨结果可以写成数学小论文.
从模型的角度，本题仍旧属于“旋转+对顶角”，但与前文的外在差别较大，
可以添加到单元作业3中.
从应用的角度，本题可以归结到单元作业4中.虽然本题中直接给出了解决方
案，但是学有余力的学生仍要能独立自主地给出完整的解决方案.
参考答案：
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，(已知)
∴∠ABC＝∠EDC＝90°.(垂直的定义)
在△ABC和△EDC中，
∵ ∠ABC＝∠EDC，(已证)
BC＝CD，(已知)
∠ACB＝∠ECD，(对顶角相等)
∴△ABC≌△EDC.(ASA)
∴AB＝DE.(全等三角形的对应边相等)
第4课时(14.2.3全等三角形的判定：SSS)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
尺规作图、基本事实、三边、分别相等、边边边、SSS(S表示边)、三角形的
稳定性.
2.重要结论：
三边分．别．相等的两个三角形全等.
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当堂练习作业
当堂练习1
已知：△ABC[图(1)]
求作：△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA.
设计意图
评价建议
这是本单元中第三次正式出现尺规作图，适时强化，归入单元作业5中.
参考答案：
作法：
(1)作线段B'C'＝BC;
(2)分别以点B'，C'为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧相交于点A';
(3)连接A'B'，A'C'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
当堂练习2
已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
设计意图：
与前几个例子相比，本题较为复杂一些.主要目的一是学习“边边边”基本
事实的应用，更主要的是锻炼、进一步提高学生的综合能力.
评价建议：
首要的图文结合，理清楚条件和结论.
其次，从条件出发，“公共线段”->“全等三角形”；从结论出发，“平行”
<-“三线八角”<-“全等三角形”.
再次，整合思路，有条理的表达出来.
最后，主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈
机制.
知识点上，“公共线段”的处理技巧.
模型上，属于“平移+共线”型，归入单元作业3.
参考答案：
证明：∵BE＝CF，(已知)
∴BE＋EC＝CF＋EC，(等式的性质)
23
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝DE，(已知)
AC＝DF，(已知)
BC＝EF，(已证)
∴△ABC≌△DEF.(SSS)
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DE，AC∥DF.(同位角相等，两直线平行)
第5课时(14.2.4全等三角形的判定：AAS)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
反例、转化、定理、两角分别相等、其中一组等角的对边相等、角角边、
AAS(A表示角，S表示边).
2.重要结论：
两角分．别．相．等．且其中一组等角的对边相．等．的两个三角形全等.
当堂练习作业
当堂练习1
我们知道，SAS，ASA，SSS都可以作为判定两个三角形全等的条件.其实，在
三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等，除了可以配成SAS，ASA，SSS
外，还可以配成：AAA，SSA，AAS.即
(1)三个角分别相等;
(2)两边和其中一边的对角分别相等;
(3)两角和其中一角的对边分别相等.
想一想，满足上面三组条件中任一组的两个三角形，能判定这两个三角形全
等吗？如能，请说明道理;如不能，请举反例.
设计意图
评价建议
参考答案：
(1)如边长不等的两个等边三角形三个角都是60°，但这两个等边三角形不
全等.(反例)
(2)如下图中的△ABC与△ABD满足条件AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
24
但它们也不全等.(反例)
(3)由三角形内角和等于180°，可以推得这两个三角形的第三个角也分别相
等，这样AAS就可以转化成ASA，从而可以判定这样的两个三角形全等.(说理)
我们也可以采用与前面思维一致的尺规作图法来验证这个定理.(验证)
当堂练习2
已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB＝ED，AB∥ED，AC∥EF.
求证：△ABC≌△EDF.
设计意图：
加深对“角角边”定理的理解，并能根据数学情境灵活运用.
评价建议：
首要的图文结合，理清楚条件和结论.
其次，从条件出发，“平行线”->“三线八角”；“两角一边”(ASA还是AAS？
图文结合)->“全等三角形”.
再次，整合思路，有条理的表达出来.
最后，主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈
机制.
处理问题的过程中，图文结合非常重要.
模型上，属于“旋转+共线”型，归入单元作业3.
参考答案：
证明：∵AB∥ED，AC∥EF，(已知)
∴∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD.(两直线平行，内错角相等)
在△ABC与△EDF中，
∵ ∠B＝∠D，(已证)
∠ACB＝∠EFD，(已证)
AB＝ED，(已知)
∴△ABC≌△EDF.(AAS)
第6课时(14.2.5两个直角三角形的判定：HL)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
25
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
一般的方法、特定的方法、尺规作图、定理、斜边和一条直角边、分别相等、
直角三角形、斜边、直角边、HL.
2.重要结论：
斜边和一条直角边分．别．相等的两个直．角．三角形全等.
当堂练习作业
当堂练习1
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角[图(1)].
求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，A'C'＝AC，A'B'＝AB.
设计意图
评价建议
因为本单元中暂时不好证明“斜边、直角边”定理，遂采用了与验证基本事
实相同的方法，用尺规作图来验证.适时强化，归入单元作业5中.
参考答案：
作法：
(1)作∠MC'N＝∠C＝90°;
(2)在C'M上截取C'A'＝CA;
(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧，交C'N于点B';
(4)连接A'B'.
则Rt△A'B'C'[图(2)]就是所求作的直角三角形.
当堂练习2
已知：如图，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC＝DB.
求证：AB＝DC.
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设计意图：
本题与前几个题目相比，较复杂一些.复杂在可选择的方案多了，准确运用
的难度就高了.
已知“一边一角”，可以补充“一边”或“一角”，形成“SAS/ASA/AAS”
等不同的方案.
针对本题，上述方案都不够好用.观察到∠A和∠D是一组直角，可以考虑
“HL”，已知了一组直角边，隐含着一组斜边，问题解决.
评价建议：
首要的是图文结合，理清楚条件和结论.
其次，从条件出发，“一边一角”->补充“一边”或“一角”->失败；再观
察：“一组直角”->“HL”->“直角三角形全等”
再次，整合思路，有条理的表达出来.
最后，主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈
机制.
处理问题的过程中，“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”，要及时变换视
角.
模型上，属于“翻折+公共边”型，归入单元作业3.
参考答案：
证明：∵∠BAC＝∠CDB＝90°，(已知)
∴△BAC，△CDB都是直角三角形.
又∵AC＝DB，(已知)
BC＝CB，(公共边)
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)
∴AB＝DC.(全等三角形的对应边相等)
第7课时(14.2.6全等三角形的判定的综合应用)
预习作业
这是单元作业1(养成预习好习惯)在本节课中的检测环节.基本要求因为具有
通用性，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出，仅以超链接跳
转的方式给出.
预习要求 设计意图 评价建议
参考答案如下：
1.重要概念：
对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线.
27
2.重要结论：
全等三角形对应边上的高相等.
全等三角形对应边上的中线相等.
全等三角形对应角的平分线相等.
当堂练习作业
当堂练习1
已知：如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF.
求证：BF＝DE.
设计意图：
本例题需要两次证明三角形全等，因而综合性较强，不同学生会有不同的感
受.
从条件出发，已知“两边”->加“角/边” ->图文结合->“边边边”->“角”；
从结论出发，“边”<-“全等三角形”<-已知“两边”<-补充“一角”.
评价建议：
首要的是图文结合，理清楚条件和结论.
其次，从条件和结论双向出发，找出交会点.
再次，整合思路，有条理的表达出来.本题要重点关注真个的解题思路，确
保书写过程中方向明确.
最后，主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈
机制.
模型上，属于复杂的“旋转+公共边”型，可归入单元作业3.
参考答案：
证明：在△ABC和△CDA中，
∵ AB＝CD，(已知)
BC＝DA，(已知)
CA＝AC，(公共边)
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1＝∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF与△DAE中，
∵ BC＝DA，(已知)
∠1＝∠2，(已证)
CF＝AE，(已知)
∴△BCF≌△DAE.(SAS)
∴BF＝DE.(全等三角形的对应边相等)
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当堂练习2
证明：全等三角形对应边上的高相等.
设计意图：
这是文字题，首要的是引导学生现根据题意画出图形，再图文结合，写出“已
知、求证”部分，最后给以证明.
评价建议：
文字题，首要关注的就是将文字叙述以图形为中介，转化为数学符号语言.
转化精准，后续的努力才有意义.这种转化能力是第一道重要关卡.在这个过程中，
要关注图形绘制是否符合文字叙述的意义？数学语言的表达是否符合文字的意
义？“已知、求证”部分书写完成后，要再一次复盘，检查图文是否符合文字的
含义.
后续只要按照数学问题处理即可.从条件和结论双向出发，寻找交汇点.整理
思路，书写过程.
最后，主动对照作业评价流程图，开展自我评价，形成良好的学习总结反馈
机制.
在本题的思考过程中，还要关注一下这里的“直角”是作为普通角处理，还
是作为特殊角处理.
参考答案：
已知：如图，△ABC≌△A'B'C'.AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.
求证：AD＝A'D'.
证明：∵△ABC△A'B'C'，(已知)
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'.(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高，
∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°.(垂直的定义)
在△ABD与△A'B'D'中，
∵ ∠B＝∠B'，(已证)
∠ADB＝∠A'D'B'，(已证)
AB＝A'B'，(已证)
∴△ABD≌△A'B'D'.(AAS)
∴AD＝A'D'.(全等三角形的对应边相等)
29
单元作业样例14
样例一：单元作业3 经典模型(全等三角形)
说明：
模型的命名，以第一个平移为标准模型，其余均以其为基准，加上必要的操
作或典型特征.
通过本章的积累，既可以解决本章的基本问题，又可为今后进一步抽象轴对
称、中心对称等知识积累基本的经验.
平移
旋转+共线
旋转+公共边
旋转+对顶角
14
此页多处引用，返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
30
对折
平移+共线
旋转+共线
翻折+公共边
此页多处引用，返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
31
15
样例二：单元作业4 发现生活中的数学(全等三角形)
样例1：
如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设
计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C，连接AC，延长AC到点A'，使A'C
＝AC;连接BC，并延长BC到点B'，使B'C＝BC.连接A'B'，量出A'B'的长度，就是A，
B两点间距离.
理由：在△ABC与△A'B'C中，
∵ AC＝A'C，(已知)
∠ACB＝∠A'CB'，(对顶角相等)
BC＝B'C，(已知)
∴△ABC≌△A'B'C.(SAS)
∴A'B'＝AB.(全等三角形对应边相等)
样例2：
已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在AB的垂线
BF上取两点C，D(BF在河岸上)，使BC＝CD，再过点D作BF的垂线DE，使点A，
C，E在一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长，请说明
道理.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，(已知)
∴∠ABC＝∠EDC＝90°.(垂直的定义)
在△ABC和△EDC中，
∵ ∠ABC＝∠EDC，(已证)
BC＝CD，(已知)
∠ACB＝∠ECD，(对顶角相等)
∴△ABC≌△EDC.(ASA)
∴AB＝DE.(全等三角形的对应边相等)
15
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32
16
样例三：单元作业5(专题作业) 尺规作图作三角形
1.边角边
已知：△ABC[图(1)].
求作：△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠B'＝∠B，B'C'＝BC.
作法：
(1)作∠MB'N＝∠B;
(2)在B'M上截取B'A'＝BA，在B'N上截取B'C'＝BC;
(3)连接A'C'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
2.角边角
已知：△ABC[图(1)]
求作：△A'B'C'，使∠B'＝∠B，B'C'＝BC，∠C'＝∠C.
作法：
(1)作线段B'C'＝BC;
(2)在B'C'的同旁，分别以B'，C'为顶点作∠MB'C'＝∠ABC，∠NC'B'＝
∠C，B'M与C'N交于点A'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
3.边边边
已知：△ABC[图(1)]
求作：△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA.
16
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33
作法：
(1)作线段B'C'＝BC;
(2)分别以点B'，C'为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧相交于点A';
(3)连接A'B'，A'C'.
则△A'B'C'[图(2)]就是所求作的三角形.
4.斜边、直角边
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角[图(1)].
求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，A'C'＝AC，A'B'＝AB.
作法：
(1)作∠MC'N＝∠C＝90°;
(2)在C'M上截取C'A'＝CA;
(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧，交C'N于点B';
(4)连接A'B'.
则Rt△A'B'C'[图(2)]就是所求作的直角三角形.
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34
第三部分 课后作业
第1课时(14.1全等三角形)
课时作业目标
1.能够准确识别全等三角形的对应顶点、对应角、对应边，通过练习加快识
别速度.
2.通过练习，能够熟练应用全等三角形的边角性质，并用数学语言规范表达.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对
应角．
2.如图，△ABF≌△CDE，已知∠B＝30°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度
数．
3.已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，∠A:∠BCA:∠ABC＝3:10:5，求∠A，
∠BB'C的度数.
35
作业2(发展性作业)
1.如图，△ABC与△BAD全等，可表示为 ，∠C与∠D是对应角，
AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
2.如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，
AB＝6，BC＝8，CE＝10.
(1)求△ABC的周长；
(2)求△ACE的面积.
3.若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB＝30，DF＝25，则BC
为 ．
个性化推荐17
题号 题目 推荐理由(可选) 完成情况
难易程度：
简单
中等
1 难
较难
完成时间：
( )分钟
选做，推荐你认为较好的题目.
17
本表具有通用性，后文仅以超链接方式给出.返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
36
作业评价18
作业评价流程
作业评价量表(自评)
基本指标 几何图形 知识点 推理过程 数学语言 提炼 应用 创新 难易 完成
核心要求 绘制准确 定位准确 逻辑严密 表达规范 模型 推广 之处 程度 时间
作业1-1
作业1-2
作业1-3
作业2-1
作业2-2
作业2-3
18
因具有通用性，后文仅以超链接方式给出.返回，请用ALT+左方向键或目录导航.
37
19参考答案
作业1(基础性作业)
1.【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．
【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点
是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．
【详解】
∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠E与∠D是对应角，
AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．
2.【答案】55°
【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B＝∠D＝30°，然后由三角形外
角定理来求∠EFC的度数．
【详解】解：
∵△ABF≌△CDE，∠B＝∠D，
又∵∠B＝30°，
∴∠D＝30°
∵∠DCF＝25°，
∴∠EFC＝∠D＋∠DCF＝55°.
3.【答案】30°，50°.
【分析】求出△ABC的各角的度数，再根据全等三角形对应角相等求出∠
BCB′的度数，利用三角形的外角知识求出∠A，∠B′BC的度数．
【详解】解：
∵∠A:∠BCA:∠ABC＝3:10:5，
∴设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，
∵∠A＋∠ABC＋∠BCA＝180°，x＝10°
∴∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠BCA＝100°.
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A'＝∠A＝30°，∠B'＝∠ABC＝50°，
∵∠B'CB＝180°－∠BCA＝80°，
∴∠B'BC＝180°－∠B－∠BCB＝180°－50°－80°＝50°．
作业2(发展性作业)
1.【答案】△ABC≌△BAD，∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，AB与BA，
BC与AD
【分析】由△ABC≌△BAD，结合图形可得其余的对应角与对应边．
【详解】解：
∵△ABC≌△BAD，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，
∴其余的对应角是∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
19
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
38
故答案为：△ABC≌△BAD，∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，AB与BA，
BC与AD
2.【答案】(1)24；(2)50
【分析】(1)根据三角形全等得到AC＝CE，即可得出答案；
(2)根据三角形全等得到∠ACB＝∠CED，∠BAC＝∠DCE，进而求出∠ACB
＋∠DCE＝90°，即可得出答案.
【详解】(1)解：
∵△ABC≌△CDE
∴AC＝CE
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝24
(2)解：
∵△ABC≌△CDE
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED，∠BAC＝∠DCE
又∵∠B＝90°
∴∠ACB＋∠BAC＝90°
∴∠ACB＋∠DCE＝90°
∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠DCE)＝90°
∴△ACE的面积＝ ×AC×CE＝50
3.【答案】45
【分析】先根据全等三角形得到AC＝DF，再根据三角形的周长公式计算即
可得解．
【详解】解：
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝25，
∵△ABC的周长为100，
∴BC＝100－30－25＝45．
故答案为：45．
设计意图
复习部分：这是单元作业2(我和单元知识树一起成长)在本节课中的具体实
施环节，已经在单元作业设计环节具体描述，本处不再重复列出.
作业1-1.本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，
能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应
位置上，以免出现错误．
作业1-2.本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全
等三角形的对应角相等是解题的关键．
作业1-3.本题考查全等三角形的性质，根据比值和三角形内角和定理求出△
ABC的各角的度数是解题的关键．
作业2-1.本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的
理解，掌握以上知识是解题的关键.
作业2-2.本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需
要熟记三角形的周长和面积公式.
作业2-3.本题考查了全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置
上准确确定出对应边是解题的关键．
39
第2课时(14.2.1全等三角形的判定：SAS)
课时作业目标
1.通过练习，掌握判断全等三角形的基本方法之一“边角边”(SAS)，能够
熟练应用全等三角形的边角性质，并能用数学语言规范表达.
2.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制三角形的方法：两边及其夹角.
3.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.如图，是由四个1×1的小正方形组成的大正方形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4
＝( )
A．180° B．150° C．135° D．120°
2.如图，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，由此可以得出的全等三角形是( )
A.△ABC≌△ADE B.△ABO≌△ADO
C.△AEO≌△ACO D.△ABC≌△ADO
3.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与
CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是( )
40
A.AD＝CE B.MF＝ CF C.∠BEC＝∠CDA D.AM＝CM
作业2(发展性作业)
1.如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，
AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，
点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s．
2.如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，则AE与CD的大小关系为( )
A.AE＝CD B.AE＞CD C.AE＜CD D.无法确定
个性化推荐
作业评价
20参考答案
作业1(基础性作业)
1.【答案】A.
【分析】如图可知，∠2＝∠3＝45°，△ABC≌△EDA得出，∠1＋∠4＝90°，
故可计算∠1＋∠2＋∠3＋∠4．
【详解】如图所示：∠2＝∠3＝45°，
∵AB＝ED，∠ABC＝∠EDA＝90°，CB＝AD
∴△ABC≌△EDA，
∴∠1＝∠BAC，
20
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
41
∵∠BAC＋∠4＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝45°＋45°＋90°＝180°.
故选A．
2.【答案】B.
【分析】观察图形，运用SAS可判定△ABO与△ADO全等．
【详解】解：
∵AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，AO是公共边，
∴△ABO≌△ADO(SAS)．
故选B．
3.【答案】D
【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A
正确；由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ACE，求出∠CFM＝∠AFE＝60°，
得出∠FCM＝30°，即可得出B正确；由等边三角形的性质和三角形的外角性质
得出C正确；D不正确．
【详解】
A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC
又∵AE＝BD
在△AEC与△BDA中，
∵AB＝AC，∠BAC＝∠B，AE＝BD，
∴△AEC≌△BDA(SAS)，
∴AD＝CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠ACE＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠CFM＝∠AFE＝60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM＝30°，
∴MF＝ CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC＝∠BAD＋∠AFE，∠AFE＝60°，
∴∠BEC＝∠BAD＋∠AFE＝∠BAD＋60°，
∵∠CDA＝∠BAD＋∠CBA＝∠BAD＋60°，
∴∠BEC＝∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM＝CM，则必须使∠DAC＝45°，
由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM＝CM不成立；
故选D．
42
作业2(发展性作业)
1.【答案】1或4.
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件
可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可
求出t的值．
【详解】解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝(16－2t)cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16－2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16－2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
2.【答案】A.
【分析】根据等边三角形的性质求出△ABE≌△CBD，再根据全等三角形的
性质解答即可．
【详解】解：AE＝CD，理由如下：
∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD．
故选A．
设计意图
作业1-1.本题考查全等三角形以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
作业1-2.本题考查全等三角形的判定，属基础题，比较简单．
作业1-3.本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°
角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算
是解决问题的关键.
作业2-1.本题是综合题，考查的是全等三角形的性质，由条件分两种情况得
到关于t的方程是解题的关键．
作业2-2.本题是综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的
性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对
全等三角形．
43
第3课时(14.2.2三角形全等的判定：ASA)
课时作业目标
1.通过练习，掌握判断全等三角形的基本方法之一“角边角”(ASA)，能够
熟练应用全等三角形的边角性质及已知判定方法，并能用数学语言规范表达.
2.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制三角形的方法：两角及其夹边.
3.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.如图，已知：∠AEC＝∠ADB，AD＝AE．BD与CE相等吗？为什么？
2.如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB.
求证：CE＝AB．若∠A＝125°，则∠BED的度数是 .
3.如图AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.
求证：(1)∠C＝∠E；(2)AM＝AN.
作业2(发展性作业)
1.如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，添加一个条件后使△ADF≌△CBE
44
成立，则添加的条件是 ．并证明.
2.如图，点A、F、C、D在同一条直线上，BC∥EF，AB∥DE且AB＝DE.
(1)求证：AF＝DC；
(2)取CF的中点，记为点O，连接BO、EO，求证：∠BOE＝180°.
个性化推荐
作业评价
21参考答案
作业1(基础性作业)
1.【答案】BD＝CE.
【分析】已知一角一边，隐含一公共角，用ASA可证得三角形全等，从而对
应边相等.
【详解】BD＝CE.理由如下：
在△AEC和△ADB中，
∵∠A＝∠A(公共角)，AE＝AD(已知)，∠AEC＝∠ADB(已知)
∴△AEC≌△ADB(ASA)
∴BD＝CE
2.【答案】55°．
【分析】已知一边一角，由平行线可证得第二组角，三者组成ASA，证得三
角形全等，从而对应边相等；从三角形全等，证得第三组角相等，再利用邻补角
知识求解.
【详解】(1)证明：
∵CD∥AB(已知)
∴∠B＝∠DCE(两直线平行内错角相等)
在△DEC与△CAB中，
∵∠ACB＝∠D(已知)，CB＝DC(已知)，∠B＝∠DCE(已知)
∴△DEC≌△CAB(ASA)
∴CE＝AB；
(2)解：
∵△DEC≌△CAB，
∴∠CED＝∠A＝125°，
21
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
45
∴∠BED＝180°－125°＝55°，
故答案为：55°．
3.【分析】(1)已知两边一角，但三者不能直接证明三角形全等.由观察得知，
需要对已知的等角加上一个公共角之后，才符合SAS，从而另外一组对应角相等.
(2)对照已知条件，要证明结论，需要重新证明一组小三角形全等；条件上
只有一边一角，第三组角相等可以由(1)中的全等三角形得出，三者构成ASA，
从而对应边相等.
【详解】(1)证明：
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠C＝∠E；
(2)证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，
在△ABM和△ADN中，
∵∠BAE＝∠DAC，AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABM≌△ADN(ASA)
∴AM＝AN．
作业2(发展性作业)
1.【答案】∠A＝∠C或DF＝BE．
【分析】已知一边一角，目前有两种思路：ASA或者SAS；需要注意的是已
知的这组边只是全等三角形对应边的一部分，需要同时加上公共边.
【详解】添加的条件是∠A＝∠C，证明：
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∵∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CED，
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
添加的条件是DF＝BE，证明：
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∵DF＝BE，∠AFD＝∠CED，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)．
2.【分析】(1)已知两组平行线，可得两组对应角，加上一组对应边，在本
题中可用ASA证明三角形全等；然后对应边相等，再减去公共部分，问题得证.
(2)按照题目要求作图；要证明三点成一直线，需要将其转换到已知的直线
中去，本题中即为直线A(O)D；因为O为CF的中点，证得△BOC与△EOF全等；
46
最后通过等角代换即可.
【详解】(1)证明：
∵BC∥EF，AB∥DE
∴∠ACB＝∠DFE，∠BAC＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
∵∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AC＝DF，
∴AF＝DC.
(2)证明：如图，连接OB，OE.
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵O为CF的中点
∴OF＝OC.
在△BOC与△EOF中，
∵BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，OC＝OF，
∴△BOC≌△EOF(SAS)，
∴∠BOC＝∠EOF，
∵∠BOC＋∠AOB＝180°，
∴∠EOF＋∠AOB＝180°，
∴∠BOE＝180°.
设计意图
作业1-1.巩固学生所学的ASA判定方法，找出对应关系，体会这里的公共角
也是对应角，再根据三角形全等即可得到结果，并通过规范书写格式，培养学生
推理能力.通过观察三角形"重合"的部分，让学生体会合情推理与演绎推理之间
相辅相成的关系.提升学生找准对应关系和灵活应用ASA的能力.
作业1-2.巩固学生所学的ASA判定方法，找出对应关系，锻炼学生将证明线
段和角相等的问题，转化为证明三角形全等的问题.在作业过程中，体会正向到
逆向的思维方法，掌握证明三角形全等，是证明线段和角相等的常用的方法.
作业1-3.通过在一道题中两种判定方法的应用，让学生进一步掌握前一节课
SAS判定方法和本节课ASA判定方法的区别和联系，了解两边与其夹角的图形特
征和两角与其夹边图形特征区别.继续加深学生对SAS，ASA的理解，检验学生灵
活选用判定方法证明三角形全等的能力，从而做到节节清、堂堂清，使师生双方
能够始终保持信息畅通，达到教与学同步.体会判定两个三角形全等时，必须有
边的参与.
作业2-1.通过对开放性问题的思考，培养学生学会从不同角度思考问题的能
力，继而培养学生思维的灵活性和发散性，提高分析问题和解决问题的能力，体
会解决问题策略的多样性.
47
作业2-2.通过本题作业的练习，让学生回顾平行线的性质，邻补角的性质，
三角形全等的判定与性质，以及简单的辅助线的添加，加深学生对SAS、ASA两
种判定方法的理解，明确三角形全等条件的探索过程.提升学生分析和解决问题
的能力.
48
第4课时(14.2.3全等三角形的判定：SSS)
课时作业目标
1.通过练习，掌握判断全等三角形的基本方法之一“边边边”(SSS)，能够
熟练应用全等三角形的边角性质及已知判定方法，并能用数学语言规范表达.
2.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制三角形的方法：三边.
3.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.如图：已知AC＝AD，BC＝BD，CE＝DE，则全等三角形共有 对，并
说明全等的理由．
2.如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，
∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为( )
A．110° B．125° C．130° D．155°
作业2(发展性作业)
1.如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD
于点F，若CE＝BF，AE＝EF＋BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理
由．
49
2.如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，且
DF＝EF，则∠AFD等于( )
A．60° B．50° C．45° D．40°
个性化推荐
作业评价
22参考答案
作业1(基础性作业)
1.【答案】3.
【分析】根据SSS证明△ECB≌△EDB，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB
即可得到结论.
【详解】全等三角形共有3对：△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB
≌△EDB.理由：
在△ECB和△EDB中
∵EB＝EB，EC＝ED,BC＝BD,
∴△ECB≌△EDB(SSS)，
在△ACE和△ADE中
∵AC＝AD,AE＝AE,EC＝ED,
∴△ACE≌△ADE(SSS)，
在△ACB和△ADB中
∵AB＝AB,AC＝AD,BC＝BD,
∴△ACB≌△ADB(SSS)．
故答案为：3．
2.【答案】C
【分析】根据SSS证明△ACD≌△BCE即可得到结论.
【详解】在△ACD和△BCE中，
∵AC＝BC,AD＝BE,CD＝CE,
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
22
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
50
∴∠BCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD＝∠BCD－∠ACE＝155°－55°＝50°，
∵∠B＋∠ACB＝∠A＋∠APB，
∴∠APB＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°－50°＝130°，
故选：C
作业2(发展性作业)
1.【答案】AC⊥BC.
【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到∠AEC＝∠BFC＝90°，由于CF＝
CE＋EF，CE＝BF，得到CF＝EF＋BF，于是得到AE＝CF，证得△ACE≌△CBF，
得出∠BCF＝∠CAE，然后根据∠ACB＝∠BCF＋∠ACE＝∠CAE＋∠AEC＝
90°，即可得到结论．
【详解】解：AC⊥BC，理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，
∵CF＝CE＋EF，CE＝BF，
∴CF＝EF＋BF，
∵AE＝EF＋BF，
∴AE＝CF，
在△ACE≌△CBF中，
∵AE＝CF,AC＝BC,CE＝BF
∴△ACE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠BCF＋∠ACE＝∠CAE＋∠AEC＝90°，
∴AC⊥BC．
2.【答案】A.
【分析】分别求证△DCF≌△DAF≌△EAF可得∠DFC＝∠AFD＝∠AFE，
根据∠DFC＋∠AFD＋∠AFE＝180°，可得∠DFC＝∠AFD＝∠AFE＝60°．
【详解】解：连接AC，
∵BD为AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝AB，
在△DCF和△DAF中，
∵DA＝DC，DF＝DF，CF＝AF，
∴△DCF≌△DAF，
51
∵三角形ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝AD，
在△DAF和△EAF中，
∵AD＝AE，AF＝AF，DF＝EF，
∴△DAF≌△EAF，
∴△DCF≌△DAF≌△EAF，
∴∠DFC＝∠AFD＝∠AFE，
又∵∠DFC＋∠AFD＋∠AFE＝180°，
∴∠DFC＝∠AFD＝∠AFE＝60°，
故选：A．
设计意图
作业1-1.本题是SSS的直接应用.此题主要考查了全等三角形的判定，正确把
握全等三角形的判定方法是解题关键．
作业1-2.本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方
法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边
相等、对应角相等)是解题的关键．锻炼学生熟练运用全等三角形的判定与性质
进行证明的能力，体会数学的应用价值.
作业2-1.本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定
与性质定理是解题的关键.
作业2-2.本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了正三角形各边长相等
的性质，本题中求证△DCF≌△DAF≌△EAF是解题的关键．在审题时要由已知
推出新的条件，培养学生的观察，思维及综合推理能力.
52
第5课时(14.2.4全等三角形的判定：AAS)
课时作业目标
1.通过练习，掌握判断全等三角形的基本方法之一“角角边”(AAS)，能够
熟练应用全等三角形的边角性质及已知的判定方法，并能用数学语言规范表达.
2.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制三角形的方法：两角及其中一角
的对边.
3.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.下列所给条件中可以确定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝DE B.∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DF
C.∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝ED D.∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE
2.如图，已知AB，CD交于O，且CO＝DO，要证明△AOC≌△BOD，需添
一个条件，可以是 ，依据是 .
3.如图，点C在ED上，∠BEC＝∠CDA＝90°，AC⊥BC，且BC＝CA，求证：
△BEC≌△CDA
作业2(发展性作业)
1.如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；
(1)若以“SAS”为依据，还缺条件 ；
53
(2)若以“ASA”为依据，还缺条件 ；
(3)若以“AAS”为依据，还缺条件 ；
2.如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注
的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝ .
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作业评价
23参考答案
作业1(基础性作业)
1.【答案】D.
【分析】两种解决问题思路：一是画图法，按照条件画出图形后判断；二是
对应顶点法，四个选项中前两个均相同，由这两组对应角可以判断出点B对点E、
点E对点F，剩下的点A对点D，再判断第三项是不是对应线段.
【详解】因为∠B＝∠E，∠C＝∠F，所以需要条件BC＝EF；BC＝DE不能
判定全等，A选项错误.
因为∠B＝∠E，∠C＝∠F，所以需要条件AB＝DE；AB＝DF不能判定全等，
B选项错误.
因为∠B＝∠E，∠C＝∠F，所以需要条件AC＝DF；AC＝ED不能判定全等，
C选项错误.
因为∠B＝∠E，∠C＝∠F，所以需要条件AB＝DE；D选项正确.
2.【答案】答案不唯一，下列任意一组选项均可.
补充条件 AO＝BO ∠C＝∠D ∠A＝∠B AC∥BD
全等依据 SAS ASA AAS ASA或AAS
【分析】已知一组边相等，暗含一组对顶角相等；可以补充一边(SAS)，或
者补充一角(ASA或AAS)；角又可以引申到平行线.
【详解】
(1)补充条件：AO＝BO.
在△AOC和△BOD中，
23
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
54
∵CO＝DO(已知),∠AOC＝∠BOD(对顶角)，AO＝BO，
∴△AOC≌△BOD(SAS).
(2)补充条件：∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∵∠C＝∠D，CO＝DO(已知),∠AOC＝∠BOD(对顶角)，
∴△AOC≌△BOD(ASA).
(3)补充条件：∠A＝∠B
在△AOC和△BOD中，
∵∠A＝∠B,∠AOC＝∠BOD(对顶角)，，CO＝DO(已知)
∴△AOC≌△BOD(AAS).
(4)补充条件：AC∥BD.
∵AC∥BD
∴∠C＝∠D，转向(2)；
∠A＝∠B，转向(3).
3.【分析】已知一角一边，只要在找一边或一角借口；从条件上看，多给
了一个角，因此突破口在角；这里应用了“一线三直角，即同角的余角”小技巧.
【详解】证明：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＋∠ACD＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD
在△BEC和△CDA中，
∵∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA(AAS).
作业2(发展性作业)
1.【答案】①BC＝DE;②∠A＝∠CDE；③∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE.
【分析】根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添
加哪一个条件：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS，AAS，ASA
两角对应相等 ASA，AAS
两边对应相等 SAS，SSS
现有的条件是，∠B＝∠DEC，AB＝DE，如以“SAS”为依据，还缺边相等，
找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，
也是缺角相等，找角即可.
【详解】①补充条件BC＝DE.
∵BC＝DE，∠B＝∠DEC(已知)，AB＝DE(已知)，
∴△ABC≌△DEC(SAS).
②补充条件∠A＝∠CDE.
∵∠B＝∠DEC(已知)，AB＝DE(已知)，∠A＝∠CDE
∴△ABC≌△DEC(ASA).
55
③补充条件∠ACB＝∠DCE.
∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠DEC(已知)，AB＝DE(已知)，
∴△ABC≌△DEC(AAS).
或补充条件∠ACD＝∠BCE.
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DOB＝∠BCE＋∠DOB，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠DEC(已知)，AB＝DE(已知)，
∴△ABC≌△DEC(AAS).
2.【答案】50
【分析】根据∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，证明∠FEA＝∠BAG，再根据
AAS证△FEA≌△GAB，推出AG＝EF＝6，AF＝BG＝2，同理CG＝DH＝4，BG
＝CH＝2，求出FH＝14，根据阴影部分的面积＝S梯形EFHD－S△EFA－S△ABC－S△DHC
和面积公式代入求出即可．
【详解】
∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，
∴∠FEA＋∠EAF＝90°，∠EAF＋∠BAG＝90°，
∴∠FEA＝∠BAG，
在△FEA和△GAB中，
∵∠F＝∠AGB，∠FEA＝∠BAG，AE＝AB，
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2，
同理可证：△CBG≌△DCH(AAS)，
∴CG＝DH＝4，BG＝CH＝2，
∴FH＝2＋6＋4＋2＝14，
∴梯形EFHD的面积＝ ×(EF＋DH)×FH＝ ×(6＋4)×14＝70，
∴阴影部分的面积
＝S梯形EFHD－S△EFA－S△ABC－S△DHC
＝70 ×6×2 ×(6＋4)×2 ×4×2
＝50.
故答案为50.
设计意图
作业1-1.AAS判定三角形全等首先要能确定是两角和其中一角对边的关系，
其次要强调对应关系，B，C选项虽然具备两角和其中一角的对边关系，但不对
应，所以是错误选项.通过本题使学生进一步加深对AAS的理解，锻炼学生作图
能力，感受三种语言的转化.
作业1-2.任意三角形全等的四种判定方法这节课结束后学生就全部学完.通
过这个条件开放题目的设置可以了解学生们对前面知识的掌握程度，复习旧知，
巩固新知.通过统计学生选取的条件，可以看出学生解题时对各类全等方法的“偏
好”，基于这个数据，今后可以做到有的放矢.
作业1-3.利用同角的余角相等或三角形外角的性质进行导角是今后三角形
全等证明时推导角相等的常用方法，通过本题的设置让学生体会导角方法的多样
56
性，体会一线三直角的图形魅力，强化知识间的内在联系.规范学生符号语言的
表达.
作业2-1.本题是基础性作业第二题的延伸，在限定条件下如何有条理的寻找
所缺条件，进一步锻炼学生分析问题的逻辑性和准确性.
作业2-2.本题考查全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的
判定方法及性质是解题关键.
57
第6课时(14.2.5两个直角三角形的判定：HL)
课时作业目标
1.通过练习，掌握判断直角全等三角形的特有方法“斜边、直角边”(HL)，
能够熟练应用全等三角形的边角性质及已知的判定方法，并能用数学语言规范表
达.
2.通过练习，掌握给定条件下尺规作图绘制直角三角形的方法：直角三角形
的斜边和直角边..
3.通过练习，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明数学结论.
在数学活动过程中发展合情推理和演绎推理的能力.
复习：我和单元知识树一起成长
①独立回顾关键词，并将关键句熟读成诵.
②将本节的关键词和关键句挂载到本章的单元知识树上.
③作业前复习至少一遍.
作业内容
作业1(基础性作业)
1.如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：
(1)△ABF≌△CDE；
(2)AB∥CD.
2.如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、
N，且BM＝AN．
(1)求证：△AMB≌△CNA；(2)求证：∠BAC＝90°．
作业2(发展性作业)
1.如图，已知BC＝ED，∠B＝∠E＝90°，∠ACD＝∠ADC．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)当∠BAE＝140°时，求∠BCD的度数．
58
2.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
点F在边AC上，BD＝FD．求证：
(1)DC＝DE；
(2)CF＝EB；
(2)AB－AF＝2EB．
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24参考答案
作业1(基础性作业)
1.【分析】本练习的是用HL证明两个直角三角形全等，以及全等三角形的
性质，(1)根据AE＝CF可得AF＝CE，由HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可；(2)
由全等三角形的性质得出∠C＝∠A，即可得出结论．
【详解】(1)证明：
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE，
又∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在Rt△ABF与Rt△CDE中，
∵AB＝CD，AF＝CE，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)；
(2)证明：
∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD．
2.【分析】由HL可证△AMB≌△CNA即可；
24
以上为学生使用部分，以下供教师参考.
59
先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN＋∠ACN＝
90°，得∠CAN＋∠BAM＝90°，即可得出结论．
【详解】(1)证明：
∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
∵AB＝CA，BM＝AN，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)；
(2)证明：
由(1)得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN＋∠ACN＝90°，
∴∠CAN＋∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°－90°＝90°．
作业2(发展性作业)
1.【答案】110°．
【分析】由(1)∠ACD＝∠ADC知AC＝AD，再利用“HL”即可证明△ABC
≌△AED；
(2)由Rt△ABC≌Rt△AED可设∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y，根据∠BAE
＝140°知2x＋y＝140°，由∠B＝90°得∠ACB＝90°－x、AC＝AD知∠ACD＝
∠ADC＝90°－ y，再根据∠BCD＝∠ACB＋∠ACD求解可得．
【详解】
(1)证明：
∵∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
在Rt△ABC和Rt△AED中，
∵BC＝DE，AC＝AD
∴Rt△ABC≌Rt△AED(HL)；
(2)解：
∵Rt△ABC≌Rt△AED，
∴可设∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y，
∵∠BAE＝140°，
∴2x＋y＝140°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°－x，
又∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝90°－ y，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD
＝90°－x＋90°－ y
＝180°－ (2x＋y)
＝180°－70°
＝110°．
2.【分析】(1)根据三角形内角和求得∠CDA＝∠EDA，根据全等三角形的
60
判定证得△ACD≌△AED(

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