资源简介

初中数学单元作业设计
版本学科： 沪科版·中学数学
单元名称： 《第 15章 轴对称图形与等腰三角形》
目 录
第一部分 立足教材 把握总体
一 教材单元信息....................................................................................................................................1
二 单元内容及教材分析....................................................................................................................... 1
1.内容体系........................................................................................................................................1
2.教材分析........................................................................................................................................2
3.学情分析........................................................................................................................................2
4.知识网络图....................................................................................................................................2
三 单元学习目标....................................................................................................................................2
1.学习目标........................................................................................................................................2
2.重难点............................................................................................................................................3
四 单元作业目标....................................................................................................................................3
1.课程内容........................................................................................................................................3
2.学........................................................................................................................................4
3.行为目的........................................................................................................................................4
五 单元作业整体设计思路................................................................................................................... 5
第二部分 关注学情 夯实提升
第一节 轴对称图形................................................................................................................................6
本节知识要点与重难点....................................................................................................................6
15.1.1 轴对称图形...........................................................................................................................6
动手操作 1：京剧脸谱........................................................................................................ 8
15.1.2 轴对称与线段的垂直平分线.............................................................................................10
动手操作 2：折纸数学...................................................................................................... 11
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称.............................................................................................14
第二节 线段的垂直平分线................................................................................................................. 18
本节知识要点与重难点..................................................................................................................18
15.2.1 线段垂直平分线的性质.....................................................................................................18
15.2.2 线段垂直平分线的判定.....................................................................................................23
第三节 等腰三角形..............................................................................................................................28
本节知识要点与重难点..................................................................................................................28
15.3.1 等腰三角形的定义及性质.................................................................................................28
15.3.2 等边三角形的性质.............................................................................................................32
15.3.3 等腰三角形的判定.............................................................................................................56
动手操作 3：图形分割...................................................................................................... 37
15.3.4 含 30°角的直角三角形的性质........................................................................................40
第四节 角的平分线..............................................................................................................................44
本节知识要点与重难点..................................................................................................................44
15.4.1 角平分线的作法.................................................................................................................44
15.4.2 角平分线的性质.................................................................................................................48
15.4.3 角平分线的判定.................................................................................................................56
单元质量检测..........................................................................................................................................56
动手操作 4：剪纸艺术...................................................................................................... 62
数学与历史：我国古建筑中的“中轴对称美”................................................................................. 66
第 15 章 轴对称图形与等腰三角形
第一部分：立足教材 把握总体
教材单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本信息 轴对称图形与
数学 八年级 上学期 沪科版
等腰三角形
单元组织方式 自然单元 □重组单元
章节 课时名称 对应教材内容
15．1．1 轴对称图形 15．1（P118-119）
第一节 15．1．2 轴对称与线段的垂直平分线 15．1（P119-122）
15．1．3 平面直角坐标系中的轴对称 15．1（P123-124）
15．2．1 线段垂直平分线的性质 15．2（P128-129）
第二节
15．2．2 线段垂直平分线的判定 15．2（P129-130）
15．3．1 等腰三角形的定义及性质 15．3（P132-133）
课时信息 15．3．2 等边三角形的性质 15．3（P133）
第三节 15．3．3 等腰三角形的判定 15．3（P136-137）
15．3．4 含 30°角的直角三角形的性
15．3（P137-138）
质
15．4．1 角平分线的作法 15．4（P141-142）
第四节 15．4．2 角平分线的性质 15．4（P143-144）
15．4．3 角平分线的判定 15．4（P144）
小结 单元质量检测
单元内容及教材分析
本章主要内容共有四个部分：
1．内 第一部分是轴对称图形，立足于学生的生活经验和数学活动经历，
容体系 观察现实生活中的对称现象，给出了轴对称图形和轴对称的概念，并结
合成轴对称的两个图形上对称点关系的研究，给出了线段的垂直平分线
概念．归纳出轴对称性质以及讨论在坐标平面内关于坐标轴对称的点的
坐标关系．
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本章第二部分是线段的垂直平分线．通过探索一条已知线段的垂直
平分线的作法，介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，以及三角
形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等．
本章第三部分是等腰三角形，首先利用叠合操作法研究等腰三角形
的轴对称性，给出等腰三角形的性质 1及其证明，进而证明了判定两个
直角三角形全等的“HL”定理，研究了等腰三角形的判定定理及其推论，
得到“直角三角形中 30°锐角所对边等于斜边的一半”这一性质．
本章第四部分是角的平分线．教科书通过探索一个已知角的平分线
的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理
及其逆定理证明三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三
边距离相等．
（1）突出轴对称性的工具作用，教材将线段的垂直平分线、等腰三角
形和角平分线的性质的研究依次安排在轴对称之后，集中体现了轴对称
变换的工具性，以及这些内容的前后顺序和层次性．
2．教 （2）注重操作实验的作用．本章体现的轴对称性，与实际操作密切相
材分析 关，教材内容的呈现注重操作实验的作用，注意让学生从感性认识到理
性认识的深化．
（3）注重数学思想方法的训练．本章内容以轴对称为主线串联，图形的
对称均可以转化为点的对称来讨论．线段的垂直平分线、等腰三角形和
角的平分线都是通过研究其对称性展开的，充分展示转化化归思想的应
用．
3.学 学生已学习了三角形的基本概念，掌握了全等三角形的的相关性质，并
情分析 且对轴对称有具体的感知，在此基础上更加系统理论的研究轴对称图
形，并由此获得线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的特殊性质．
4．知识
网络图
单元学习目标
（1）通过具体实例了解轴对称概念，能够识别简单的轴对称图形，理解
学 轴对称的基本性质知道对应点所连线段被对称轴垂直平分．
习 （2）能够作出简单平面图形经过一次轴对称后的图形，了解基本图形（线
目 段、角、等腰三角形）的轴对称性．认识轴对称在现实生活中的应用，能
标 够利用轴对称进行简单的图案设计．
（3）了解线段垂直平分线概念，理解和掌握线段的垂直平分线的性质定
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理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角形（等边三角形）
的性质定理和逆定理，能够利用它们进行与之相关的证明和计算，发展学
生推理证明的能力．
（4）能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，并
能证明其正确性．
（5）了解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点
的距离相等；三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距
离相等等性质．掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理，以及“直角
三角形中 30°锐角所对边等于斜边的一半”．
（6）能够应用所学知识解释生活中的对称现象，解决实际问题，在观察、
操作、论证的过程中，发展空间观念，激发学习图形的兴趣．
本章所研究的轴对称变换是基本的几何变换，线段的垂直平分线、角
平分线和等腰三角形等几何图形的性质与判定不仅可以直接用来解决实
重 际问题，且对今后继续学习几何知识具有十分重要的意义．
难 本章的学习重点是：轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、
点 等腰三角形性质和判定．
本章的学习难点是：轴对称和轴对称图形的区别和联系；线段的垂直
平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平分线、角的
平分线、等腰三角形的性质和判定的综合运用．
单元作业目标
课标依据：《义务教育数学课程标准（2011 版）》规定了数学学科的课程
性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件．数学课程标准作为教
材、教学和评价的出发点和归宿，也是数学作业设计的出发点和归宿．因此，可
以依据数学课程标准凝聚出课程内容、学、行为目的三个方面的课标依据
来展开本章的作业设计．
具体
内容 依据课标的作业目标
维度
初中阶段安排了四个部分的 本章为轴对称图形与等腰三角
课程内容，分别为：“数与代数”、 形，主要属于图形与几何的部分，依
“图形与几何”、“统计与概率”、 据课标中课程内容要求设计本章作业
课 “综合与实践”．在《义务教育 目标为：
标 数学课程标准（2011 版）》课程 （1）让学生从现实生活中丰富的轴对
依 课程 标准要求课程内容反映社会的需 称图形中认识轴对称的相关概念；
据 内容 要、数学的特点，要符合学生的
认知规律．不仅包括数学的结果， （2）能够识别简单的轴对称图形；
也包括数学结果的形成过程和蕴
含数学思想方法．课程内容的选
择要贴近学生的实际，有利于学 （3）认识轴对称在现实生活中的应
生体验与理解、思考与探索．课 用，能利用轴对称进行简单的图案设
计；
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程内容的要求直接关系作业设计
的内容选择，作业内容的组织要
（4）认识垂直平分线、等腰三角形、
重视过程，处理好过程与结果的 角平分线等基本图形．
关系，要重视直观，处理好直观
与抽象的关系；要重视直接经验，
处理好直接经验与间接经验的关
系．
依据学容要求设计本章作业目
在《义务教育数学课程标准 标为：
（2011 版）》课程标准要求中， （1）理解轴对称概念并能识别轴对称
不同的课程内容设置了不同学习 图形，利用轴对称性质解决相关问题；
水平，旨在满足不同内容对学生 （2）能够应用所学知识解释生活中的
发展的需要．在课程标准要求中， 对称现象，解决简单的实际问题；
描述学的主要行为动词 （3）认识并理解线段垂直平分线概念
如：了解、认识、理解、掌握、 和性质，并能够解决相关几何问题；
学习
应用等，认识到不同内容要达到 （4）理解并掌握角的平分线的性质定
水平
的学比盲目教学更重要， 理和逆定理并能够解决相关问题；
准确把握不同教学内容的学习水 （5）理解并掌握等腰三角形（等边三
平进行作业设计，可以更高效让 角形）的性质定理和逆定理并能解决
学生完成发展要求，有效拓宽学 相关问题；
生视野、引导学生进行深度思考、 （6）能够利用尺规作图作已知线段的
更好地发展学生能力，学习对生 垂直平分线和已知角的平分线；
活有用的数学． （7）能够灵活应用相关定理解决综合
类几何问题．
在《义务教育数学课程标准 （1）思考并推理线段的垂直平分线、
（2011 版）》数学课程标准中， 等腰三角形、角的平分线性质的证明；
强调知识技能、数学思考、解决 （2）能够利用它们进行与之相关的证
问题、情感态度四个方面的目标 明和计算，解决相关的实际问题，发
实施，体验概念生成的过程，行 展学生推理证明的能力；
行为 为目的是作业设计的必要要求． （3）通过作业的练习，培养学生独立
目的 作业设计应着重考虑课程标 思考以及反思总结的能力；
准的要求，根据课标内容设计作 （4）体验克服困难的解决问题的过
业．探索相关的基本性质和判定， 程，有克服困难的勇气，形成实事求
独立思考，体会基本思想和思维 是的科学态度．
方法，分析问题和解决问题，初
步形成评价和反思意识．
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单元作业整体设计思路
本单元作业整体设计思路符合分层设计和多元融合原则．
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第二部分：关注学情 夯实提升
【本节知识要点与重难点】
1．认识轴对称图形，理解轴对称图形及对轴对称的含义；能找出轴对称图形的
对称轴，了解轴对称图形与关于直线呈轴对称的联系和区别．
2．了解垂直平分线概念，掌握轴对称性质，会利用轴对称的性质做对称点、对
称图形．
3．平面直角坐标系中学会画 x 轴、y 轴对称的点，利用坐标变换在平面直角坐
标系中作一个对称图形．
轴对称图形
作业 1（夯实巩固）
1．今年 2月份国际奥林匹克冬季奥运会在北京顺利举行，不考虑颜色差异，
下列流行的冬奥会元素图案是轴对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
【参考答案】B．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，
故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此
选项错误；故选：B．
【设计意图】本题背景选择春节期间刚刚举行的冬奥会期间盛行的图案，包括冬
奥会会徽、奥运五环，福娃冰墩墩，北京 2022 的字样，从学生的实际生活出发，
吸引学生的兴趣，引发学生关注体育生活，传播坚持不懈的体育精神。培养学生
热爱生活、热爱祖国的情操。让学生更加切实的了解轴对称的美感以及在生活中
普遍使用，提升学生应用知识的能力．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，后经发展，形成大篆、
小篆等多种文字，下列古文中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】D．解：A是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本
选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项正
确．故选 D．
【设计意图】本题结合我国古代文字考查轴对称的性质，提升学生对于我国古代
文化的认识，贴近生活，提升学生的学习热情，激发对我国古代文化的热爱．
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3．下图是由“ ”和“ ”组成的轴对称图形，该图形的对称轴
是直线（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】C．解：由观察可知，沿直线 折叠，直线 两旁的部分能够完全重
合，因此该轴对称图形的对称轴是直线 ．故选 C．
【设计意图】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．考查学生观察分析能力．
4．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l对称，请写出这个单词______．
【参考答案】 ．解：如图， 这个单词所是 ．
【设计意图】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作
出图形．考查学生的观察分析能力，培养学生的动手能力．根据轴对称图形的性
质，组成图形，即可解答．
5．晚上小明同学写完作业，看到镜子对面电子钟显示数的图像如图 ，
这时的时刻应是______．
【参考答案】21:05．解：方法一：将显示的像数字依次左右互换并将每一个数
字左右反转，得到时间为 21:05；方法二：将显示的像后面正常读数为 21:05，
就是此时的时间．
【设计意图】本题结合平面镜成像的特点，将轴对称与物理学知识联系起来，多
学科综合知识促进学生综合思维能力的培养，同时运用电子钟建立与生活的联
系，吸引学生的兴趣．
作业 2（发展提升）
6.如图，将一个矩形纸片沿 BC 折叠，若∠ABC=24°，则∠ACD
的度数为____．
【参考答案】132°．解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=24°，由折叠得：∠1=∠2=24°，
∴∠ACD=180°-24°-24°=132°，故答案为 132°．
【设计意图】此题主要考查了平行线的性质，在翻折的过程中形成对称角度，培
养学生动手实践的能力、观察和分析的能力．
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7．如图，有六个正六边形，在每个正六边形里有六个
顶点，要求用两个顶点连线（即正六边形的对角线）
将正六方形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分
开．最后形成轴对称图形，图中已画出三个，请你继
续画出三个不同的轴对称图形（至少用两条对角线）．
【参考答案】解：如图所示．
【设计意图】本题考查轴对称的定义和六边形的性质，
相对灵活，答案多样，培养学生多向思维，加深学生对
轴对称概念的理解和应用．
8．（动手操作 1）京剧脸谱：是一种具有中国文化特色的特殊化妆方式，历史
悠久，形态各异，多数为轴对称图形，是一种美与丑的艺术融合。每位同学动手
设计一款只有半边脸的简单面具，与同桌交换，完成另一半，比较下哪位同学的
设计的脸谱更加美观．
【参考答案】动手操作，自主发挥．
【设计意图】本题的设计旨在让学生认识我国历史悠久的京剧脸谱文化，认识轴
对称在生活与文化中的广泛使用以及产生的深远影响。培养学生的无限想象和动
手操作能力，培养学生美的情操．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
第 8 页
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 题 能力
具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 号 素养
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
1 观察 概念不清． 0．95 原创
做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对
称图形，关键是找出图形中的对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键
2 观察 是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴 概念不清． 0．95 原创
对称图形的概念求解．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
3 推理 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条 概念不清． 0．75 题库
直线叫做对称轴进行分析即可．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 作图不严
轴 4 观察 0．90 改编
够互相重合，图形叫做轴对称图形． 谨．
对
称 考查镜面对称，平面镜成像的特点之一就是左右上 不懂得平面
图 下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数5 分析 镜成像规 0．85 题库
形 即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每 律．
一个数字左右反转，即为像对应的时间．
不会利用平
关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据平行线
行线性质和
6 推理 的性质和折叠可得∠2=24°，然后再算∠ 0．75 改编
找出相等
ACD=24°的度数即可．
角．
根据轴对称的定义和六边形的性质求解可得．本题 想不出符合
7 作图 主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴 条件的多种 0．80 题库
对称变换的定义和性质及正六边形的性质． 情况．．
课本
8 作图 利用轴对称原来设计图形． 缺乏美感和 0．65
改编
设计感.
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轴对称与线段的垂直平分线
作业 1（夯实巩固）
1．下列说法错误的是（ ）
A． 关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B． 线段是轴对称图形
C． 全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D． 轴对称图形的对称轴至少有一条
【参考答案】C．解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；
B、线段是轴对称图形，正确；C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，
但关于某直线成轴对称的两个三角形一定全等，故本选项符合题意；D、轴对称
图形的对称轴至少有一条，正确．故选 C．
【设计意图】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的概念以及性质是解题的
关键．旨在加深学生对于轴对称概念的理解和判断．
2．如图，线段 AC,AD 关于直线 AB 成轴对称，点 E,F 分别在 AC,AD 上，
且 AE=AF，ED,CF 相交于点 B，则图中关于 AB 成轴对称的三角形共有
（ ）
A． 1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
【参考答案】D．解：关于 AB 成轴对称的三角形有：△ABE 和△ABF,
△BCE 和△BDF,△ABC 和△ABD,△ACF 和△ADE,共 4 对．故选 D．
【设计意图】本题考查轴对称的性质，培养学生对轴对称图形的观察和认知，对
垂直平分线定义的理解，促进学生的对概念的掌握．
3．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小
正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的个数为（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
【参考答案】B.解：∵在方格纸中，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④
⑤，故选：B．根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【设计意图】本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图形是要寻找对称轴，
沿对称轴对折后与两部分完全重合即为所求，旨在培养学生的思维能力．
4．图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为________．
【参考答案】2个.解：如图所示，三角形 1与三角形 2和三角形
4成轴对称，则图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个
数为 2个．故答案为：2个．
【设计意图】此题主要考查了利用轴对称的性质，正确掌握轴对
称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出答案，
深化学生对轴对称概念的理解，同时提升对轴对称图形的观察和分析能力．
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5．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后 位号码是 ，该车的后 5位号码
实际是_________．
【参考答案】 ．解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，故
关于某条直线对称的数字依次是 ．
【设计意图】此题主要考查了生活中的镜面对称的问题，加强学生建立数学与生
活实际的联系，培养学生的数学兴趣，将数学知识应用到生活问题中去．
作业 2（发展提升）
6．在下列各图中分．别．补一个小正方形，使其成为不．同．的．轴对称图形．
【参考答案】解：如图所示：
．
【设计意图】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称设计图案，加深学
生对轴对称的理解和认知，培养学生的动手操作能力和作图能力，增加学生的学
习兴趣．
7．（动手操作 2）
折纸数学：从数学的角度去研究折纸，从数学教学的视角去开发折纸．折纸
数学，从事这一领域研究的科学家几乎一开始都被折纸过程中所蕴含的简单而纯
粹的美所吸引，他们的工作开启了一个科学和工程学的宝库．
折纸飞机是同学们都喜爱的一项小手工，小明将一张正方形纸片按如图顺序
折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB 的度数是____．
【参考答案】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB=22．5°×2=45°；
故答案为 45°；根据折叠的轴对称性，180°的角对折 3次，求每次的角度即可；
【设计意图】本题结合生活中常见的折纸飞机案例，研究其中所蕴含的轴对称问
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题，加强数学与生活的联系，促进学生学习数学的兴趣．同时培养学生的综合分
析和解决问题能力．
8．如图 a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠
成图 c，则图 c中的∠CFE 的度数．
【参考答案】解： ， ，在图 中
，在图 中 ．由平行线的
性质知 ，进而得到图 中 ，依据图 中
进行计算．
【设计意图】本题结合了翻折和轴对称，让学生更加深入的理解翻折中的轴对称
知识，体会轴对称对于生活问题的解决效果，培养学生的综合分析问题和解决问
题的能力．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
综合 自评 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
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评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
教师评
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的概念以 概念掌握不
1 理解 0．90 题库
及性质是解题的关键． 牢固．
对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴
上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，
2 观察 遗漏情况． 0．85 题库
对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质结
合图形写出成轴对称的三角形即可．
本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图
概念掌握不
3 推理 形是要寻找对称轴，沿对称轴对折后与两部分 0．75 改编
清．
完全重合即为所求．
轴 考查了利用轴对称的性质，正确掌握轴对称图 对轴对称
4 观察
对 形的性质是解题关键． 的理解不够
0．90 改编
深入．
称
考查了镜面对称的知识，解决此类题应认真观
与 与生活现象
察，注意技巧，难度一般．在平面镜中的像与
线 5 分析 的联系不紧 0．85 题库
现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关
段 密．
于镜面对称．
的
垂 折叠中的轴
本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角
直 6 推理 对称的不熟 0．75 改编
之间的对称关系是解题的关键．
平 练使用．
分
考查了轴对称图形的性质，利用轴对称设计图 作图遗漏对
线 7 作图 0．80 题库
案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键． 应的情况．
翻折中的轴
考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠
对称的性质
8 推理 是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称 0．65 改编
不能熟练应
的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
用．
第 13 页
平面直角坐标系中的轴对称
作业 1（夯实巩固）
1．在平面直角坐标系中，点 P(4，－2)关于 y轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【参考答案】C．点 P(4，－2)为第四象限点,因此关于 y轴的对称点在第三象限．
【设计意图】本题以坐标的形式呈现，旨在考查平面直角坐标系内点关于坐标轴
对称的位置关系，巩固学生对这一知识点的认知，加深对对称点的理解．
2．线段 MN 在平面直角坐标系中的位置如图，若线段 M′N′与 MN 关于 y
轴对称，则点 M的对应点 M′的坐标为（ ）
A．(4，2) B．(－4，2)
C．(－4，－2) D．(4，－2)
【参考答案】D．由图可知，M 的坐标为（-4，-2），关于 y轴对称之后的坐标
为（4，-2），故选 D．
【设计意图】本题以坐标系中线段的形式呈现，旨在加深学生对于坐标系中图形
的对称的理解，即线段的对称实质也是点的对称，扩张学生的思维，培养学生知
识、能力和思维品质的发展．
3．已知点P(a＋1，2a－3)关于 x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )
3 3 3
A．a<－1 B．－1
2 2 2
【参考答案】B．点 P关于 X轴的对称点在第一象限，说明 P 在第四象限，第四
3 3
象限点横坐标满足 a+1＞0，即 a＞-1；纵坐标满足 2a-3＜0，即 a< ,∴－12 2
【设计意图】本题给出含字母的点的坐标，提升了难度，需要学生加强对字母代
替数字的认知，引导学生思维的发展，促进学生的理解层面，进一步加深对只是
的深化理解并合理运用．
4．已知 A，B 两点关于 x轴对称，且点 A的坐标是(3，－1)，则点 A，B 之间的
距离为_______．
【参考答案】2．∵A，B两点关于 x轴对称，且点 A的坐标是(3，－1)，∴点 B
的坐标（3,1），纵坐标差的绝对值即为它们之间的距离，距离为 2．
【设计意图】本题考查关于坐标轴对称的两点之间的距离，旨在让学生掌握对称
两点之间距离的求法，深化概念，拓宽学生的思路．
第 14 页
5．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使，得整个图形是以
虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数
字 的格子内．
【参考答案】解：如图所示，把阴影涂在图中标有数字 的格子内所
组成的图形是轴对称图形，故答案为：3
【设计意图】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依
据是轴对称的性质，通过基本作图法找到相应位置，提升学生的分析
能力、培养学生多角度思考问题的方法，促进知识解决问题的能力．
作业 2（发展提升）
6.如图，△ABC 中，∠A=75°，∠B=65°，将纸片的一角折叠，
使点 C落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数是______．
【参考答案】60°解： ， ，
，
．故为：60°．
【设计意图】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理，对学生的综合
素质要求较高．旨在培养学生的综合分析问题、解决问题能力；本题结合生活中
常见的折纸问题，应用对称的知识解答，促进学生对属于与生活问题的联系．
7．已知点 A(2m＋n，2)，B(1，n－m)，当 m，n 分别为何值时，则下列条件成
立？
(1)A，B关于 x轴对称； (2)A，B关于 y轴对称．
2m＋n＝1，
【参考答案】解：(1)∵点 A(2m＋n，2)，B(1，n－m)关于 x轴对称，∴
n－m＝－2.
m＝1， 2m＋n＝－1，
解得 (2)∵A(2m＋n，2)，B(1，n－m)关于 y轴对称，∴
n＝－1. n－m＝2.
m＝－1，
解得
n＝1.
【设计意图】本题给出两个含字母的点的坐标，分别求出关于 x轴、y轴的对称
的情况下求出坐标．考查学生的综合对比能力，需要学生加强对字母代替数字的
认知，引导学生思维的发展，促进学生的理解层面，进一步加深对只是的深化理
解并合理运用．同时需要列出方程组求解，巩固学生的解方程的计算能力．
8．如图，在平面直角坐标系中，A(2,4),B(3,1),C(-2,-1)．
第 15 页
（1）在图中作出△ABC 关于 x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1的坐
标；（2）求△ABC 的面积．
【参考答案】解：（1）如图所示： 即为所求， ， ，
． ．
【设计意图】本题要求作出给定三角形的轴对称图形，旨在巩固学生
作轴对称图形的能力，求面积需要学生掌握平面直角坐标系中三角形
面积的求法，培养学生的计算能力，提升学生的整体综合解题能力．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
第 16 页
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
对称轴的混淆
1 观察 考查点关于坐标轴对称的坐标． 0．95 题库
导致出错．
对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上
不理解线段对
的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应
2 观察 称和点对称的 0．95 题库
的角、线段都相等．根据轴对称的性质结合图形
关系．
写出成轴对称的三角形即可．
分析 P点所在的象限，依据所在象限点的坐标范 含字母的坐标
3 推理 0．75 题库
围求出结果． 的不理解．
考查关于坐标轴对称的两点之间的距离，利用两 距离计算错
4 观察 0．90 改编
点之间的坐标即可求出相应的距离． 误．
考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依
平 据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的
面 关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点； 不会找对称图5 分析 0．85 题库
直 ③按原图形中的方式顺次连接对称点．从阴影部 形．
角 分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离
坐 找对应点，然后顺次连接各点可得答案．
标 注意折叠前后图形全等；三角形内角和为 180°；
系 四边形内角和等于 360 度．根据题意，已知∠ 综合分析问题
6 推理 0．60 改编
中 A=75°，∠B=65°，可结合三角形内角和定理和 思路不清．
的 折叠变换的性质求解．
轴
无法根据题意
对 分析关于 x轴、y轴对称的两个点的坐标特征，列
7 计算 列出方程组， 0．75 题库
称 出方程组，求解得出答案．
求解出错．
（1）利用关于 x轴对称点的性质得出对应点位置，
进而得出答案； 对于轴对称和
8 推理 （2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角
轴对称图形理
0．55 改编
形面积，进而得出答案．本题考查轴对称变换、 解不透彻，画
三角形的面积等知识，解题的关键是正确得出对 图使不严谨．
应点的位置．
第 17 页
【本节知识要点与重难点】
1.通过探索一条已知线段的垂直平分线的作法；
2.介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等．
重点：线段的垂直平分线的性质定理及逆定理．
难点：线段的垂直平分线尺规作图的正确性的证明，以及线段的垂直平分线性质
定理及其逆定理的综合运用．
线段垂直平分线的性质
作业 1（夯实巩固）
1．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A B C D
【参考答案】C.
【设计意图】本题考查了作图-线段垂直平分线的作法．理解线段垂直平分线的
作法，利用尺规作图的找到相交点．培养学生的理解和解决问题的能力．
2．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和 C 为圆心，以
1
大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点 M和 N；②作直线 MN 交 AC 于点
2
D，连接 BD.若 AC=6，AD=2，则 BD 的长为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
【参考答案】C．解：由作图知，MN 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD，AC=6，AD=2，∴BD=CD=4，故选：C.
【设计意图】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图 (作已知线段的垂
直平分线 )是解题关键，线段垂直平分线的性质，提升运用所学知识解决相关问
题能力．
3．如图，已知 AC-BC=3，AB 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、E，△BCE
的周长是 15，则 AC 的长为（ ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
第 18 页
【参考答案】D．解： 直线 DE 是 AB 的垂直平分线，∴EA=EB， BCE 的周长
是 15，∴EC+EB+BC=EC+EA+BC=AC+BC=15，则 解得 AC=9,BC=6 故选
D.
【设计意图】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分
线的性质得到 EA=EB，根据三角形的周长公式、结合题意列出方程组，解方程组
即可．考查学生性质的应用和综合分析能力，并能够熟练利用方程的
方法解决问题．
4.如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC
于点 E，AB=6cm，AC=10cm，则△ABE的周长为______．
【参考答案】16cm．解： DE 是 BC 边上的垂直平分线，∴BE=CE,∵AB=6cm，
AC=10cm，∴△ABE 的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=16cm，故答案为：16cm.
【设计意图】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形
结合思想的应用，提升运用所学知识解决相关问题能力．
5．如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂
直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC
于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为____________．
【参考答案】2cm．解：连接 AN、AM，∵AB=AC,∠A=120°，∴∠
B=∠C=30°， EM 是 AB 的垂直平分线，∴MB=MA，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NMA=60°，同理 NA=NC，∠NMA=60°，
∴△MAN 是等边三角形，∴BM=MN=NC=2cm，故答案为 2cm.
【设计意图】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
作业 2（发展提升）
6．如图，△ABC的边 AB、AC 的垂直平分线相交于点 P.连接
PB、PC，∠A=70°，则∠BPC 的度数是______ ．
第 19 页
【参考答案】140°．解：连接 AP，如图所示： MP为线段 AB 的垂直平分线，
∴AP=BP，∠ABP=∠BAP,又 PN 为线段 AC 的垂直平分线，∴AP=CP，∠
PAC=∠PCA，∵BP=CP，∠PBC=∠PCB，又∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°，
∴∠ABP+∠ACP=70°，且∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°，∴∠PBC+
∠PCB=40°，则∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=140°．故答案为 140°
【设计意图】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角
形的内角和定理，利用了转化的数学思想，其中作出辅助线 AP 是解本题的突破
点．
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°．
(1)作 AC 的垂直平分线 ED，交 BC 于点 E，交 AC 于点 D(尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹)；
(2)当 AB=3，BC=5 时，求△ABE 的周长．
【参考答案】解： (1)如图，ED 为所作；
(2) DE 垂直平分 AC，∵EA=EC，
∴△ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+5=8.
【设计意图】本题考查了作图-基本作图：提升学生的动手操作和作
图能力，培养学生独立思考能力，观察和动手，让学生掌握理论的科
学方法．
8．如图，点 D、F 分别为△ABC的边 AB、AC 的中点，DE⊥
AB，FG⊥AC，△AGE的周长为 16，BC=10，求 EG 的长.
【参考答案】解： 点 D、F分别为 ABC的边 AB、AC 的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，
∴AE=BE，AG=CG，∴GC+EB+GE=16,即 BC+2GE=16，∵BC=10,∴2GE=6，∴GE=3，
故答案为3.
【设计意图】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形周长的求法，解题关
键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．考查学生性质的应用
和综合分析能力．
第 20 页
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
考查了线段垂直平分线的作法．作图的关键
是所画的半径一定要大于已知线段长的一
对线段垂直平分线 课本
1 应用 半，保证分别以线段两端点未圆心所画的弧 0．90
的作法不理解． 改编
有两个交点．可根据对作法的理解各选项分
析判断利用排除法求解．
线 考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段
不熟悉线段垂直平 课本
段 2 推理 的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距 0．85
分线性质导致错误． 改编
垂 离相等是解题的关键．
直 考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段
平 的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距 线段垂直平分线性
分
3 推理 离相等是解题的关键．
课本
质不熟悉，进而不会 0．65
线 改编
根据线段垂直平分线的性质得到 BN=AN，根 进行周长转化．
的
据三角形的周长公式计算即可
性
第 21 页
质 此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难 线段垂直平分线的 课本
4 应用 0．85
度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 性质的理解不透彻． 改编
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几 未做辅助线，进而不
课本
5 推理 何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的 会用线段的垂直平 0．70
改编
两个端点的距离相等． 分线的性质．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三
角形的性质，以及三角形的内角和定理，利
6 推理 未作出辅助线． 0．60 题库
用了转化的数学思想，其中作出辅助线 AP
是解本题的突破点
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作
图（作一条线段等于已知线段；作一个角等 不会作基本作图，不
课本
7 应用 于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已 理解线段垂直平分 0．75
改编
知角的角平分线；过一点作已知直线的垂 线的性质．
线），考查了线段垂直平分线的性质
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角 不熟悉线段垂直平
8 推理 形周长的求法，解题关键是掌握线段垂直平 分线的性质以及三 0．65 题库
分线上的点到线段两端点的距离线段． 角形周长的求法．
第 22 页
线段垂直平分线的判定
作业 1（夯实巩固）
1.已知点 C，D为线段 AB 外两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 AC = BC,则经过点 C的直线一定垂直平分线段 AB
B．若 AD = BD，则经过点 D的直线一定垂直平分线段 AB
C．若 AC = BC, AD= BD,则直线 CD 垂直平分线段 AB
D．若 CD⊥AB，则 AC = BC
【参考答案】C.A．过点 C的直线有无数条，不可能都垂直于 AB,故该说法错误；
B．过点 D 的直线有无数条，不可能都垂直于 AB，故该说法错误；C．符合中垂
线判断定理；D．不符合中垂线判断定理．
【设计意图】考察学生对线段垂直平分线的判定定理的理解．让学生掌握判定定
理进而提升解决问题的能力．
2.如图，图书馆、学校、公园分别在 A、B、C三点，小明在△ABC
中间到三个地方的距离都相等，则小明应在（ ）
A． 三个角的角平分线的交点 B． 三条边的垂直平分线的交点
C． 三角形三条高的交点 D． 三角形三条中线的交点
【参考答案】B．解：小明的家到△ABC 三个顶点的距离相等，则他家在△ABC
的三条边垂直平分线的交点．故选：B.
【设计意图】此题考查了线段垂直平分线的判定的结论，以及三角形的角平分线、
中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．增强数学和生活的联系，同时让学生
运用所学知识解决实际生活的问题．
3．已知直线与线段 AB 交于点 O，点 P 在直线 l上，且 AP= PB，下列结论，①OA
= OB;②PO⊥AB;③∠APO =∠BPO;④点 P在线段 AB 的垂直平分线上，其中正确的
有________．
【参考答案】④．因为直线 I 与线段 AB 交于点 O,所有①OA= OB，错误;②PO⊥
AB,错误;③∠APO= ∠BPO,错误;因为 AP= PB,所以④点 P 在线段 AB 的垂直平分
线上，正确,故答案为:④．
【设计意图】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握点到线段的两个端点的
距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．引导学生思考，训练学生综
合分析问题和解决问题的能力．
第 23 页
4．若 P是△ABC所在平面内的点，且 PA=PB=PC，则 P是△ABC_________．
【参考答案】三边垂直平分线的交点．
【设计意图】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距
离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据到线段的两个端点的距离
相等的点在线段的垂直平分线上解答．引导学生理解判定定理的结论，训练解决
问题的能力.
．
5．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作 AB、AC
和 DB、DC，始终有 AB=AC,DB=DC，请大家考虑一下伞杆 AD 所在的
直线是 B、C两点的连线 BC 的______线．
【参考答案】垂直平分.解：连接 BC、AD，∵AB=AC,DB=DC，点
A 在线段 BC 的垂直平分线上，D 在线段 BC 的垂直平分线上，
根据两点确定一条直线得出 AD 是线段 BC 的垂直平分线，
即 AD⊥BC， 故答案为：垂直平分．
【设计意图】本题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识
点．增强数学和生活的联系，同时让学生运用所学知识解决实际生活的问题，培
养学生理论结合实际的素养，提升实际操作和动手能力．
作业 2（发展提升）
6．如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，点 E，
F分别是线段 BC，DC 上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF
的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D． 90°
【参考答案】C．解：作 A关于 BC 和 CD 的对称点 A’,A’’，连接 A’A’’，交 BC
于 E，交 CD 于 F，则 A’A’’即为△AEF的周长最小值．作 DA 延长
线 AH，
∠EAF=130°-50°=80°，故选C.
【设计意图】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内
最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的知识，根据已知得出
E，F的位置是解题关键．意在培养学生综合分析、整合分析等能力．
第 24 页
7.如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q、R 分别在 AB、AC 上，且 BP=CQ，
BQ=CR 求证：点 Q在 PR 的垂直平分线上．
【参考答案】证明： 在 ABC 中，AB=AC，∠B=∠C，在△PBQ 和
BP CQ

△CQR中， B C，△PBQ≌△CQR（SAS），∴PQ=RQ，

BQ CR
∴点 Q在 PR 的垂直平分线上．
【设计意图】此题考查了线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及全等三
角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．注重考查学
生的综合分析能力以及解决问题能力．
8．如图，在 ABC中，AB=BC，点 D，E分别在边 AB，BC 上，且
BD=BE，连接 CD，AE，交于点 F .
（1）判断∠BAE 与∠BCD 的数量关系，并说明理由；
（2）试说明：过点 B，F的直线垂直平分线段 AC.
【参考答案】（1）∠BAE=∠BCD，理由如下：在 BAE 和 BCD
AB BC
中， B B，

BE BD
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE=∠BCD；
（2）连接 BF 并延长，交 AC 于点M .∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，由 (1)可知∠BAE=∠BCD，∵∠FAC=∠BAC-∠BAE，
∠FCA=∠BCA-∠BCD,∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC，∴F 点在 AC 的垂直平分线上，
∵AB=AC，∴B 点也在 AC 垂直平分线上，由两点确定一条直线可知：直线 BF 垂直
平分线段 AC.
【设计意图】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的判定的知识，解题
的关键是能够从题目中整理出全等三角形，进而证明是垂直平分线．注重考查学
生的综合分析能力以及解决问题能力．
第 25 页
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
考察学生对线段垂直平分线的判定定理的理 对线段垂直平
课本改
1 应用 解． 分线的判定不 0．90
编
理解．
此题考查了线段垂直平分线的判定的结论， 分不清线段垂
以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌 直平分线判定、
课本改
线 2 应用 握性质是解本题的关键． 三角形的角平 0．8
编
段 分线、中线和高
垂 从而导致错误．
直 本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握
平 线段垂直平分3 应用 点到线段的两个端点的距离相等的点在线段 0．65 图库
分 线判定不熟悉．的垂直平分线上是解题的关键．
线
本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握 线段垂直平分 课本改的 4 应用 0．85
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的
判 线的性质的理
编
第 26 页
定 垂直平分线上是解题的关键．根据到线段的 解不透彻．
两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分
线上解答．
本题考查了线段的垂直平分线定理和两点确 未做辅助线，进
定一条直线等知识点，注意：①到线段两端 而不会用线段
5 应用 0．65 题库
点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 的垂直平分线
②两点确定一条直线． 的性质．
此本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及
到平面内最短路线问题求法以及三角形的外
6 推理 未作出辅助线． 0．60 题库
角的性质和垂直平分线的知识，根据已知得
出 E，F的位置是解题关键．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作 对线段垂直平
图（作一条线段等于已知线段；作一个角等 分线的判定、全 课本改
7 应用 于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已 等三角形的判 0．75 编
知角的角平分线；过一点作已知直线的垂 定与性质不会
线），也考查了线段垂直平分线的性质 运用．
本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线
对垂直平分线
段的判定的知识，解题的关键是能够从题目
8 推理 段的判定综合 0．65 题库
中整理出全等三角形，进而证明是垂直平分
运用能力不强．
线．
第 27 页
【本节内容与重难点】
本节内容：等腰三角形是三角形和轴对称知识的延续和发展，也是后续学习
四边形的基础，在教材中起到承上启下的作用．基于之前等腰三角形的学习经验，
明确研究几何图形的一般思路：定义——性质——判定——应用，主要从几何图
形的构成要素（边、角）和相关要素（三条重要线段）入手，经历观察、猜想、
验证等过程来探究等腰三角形的性质．学生掌握了等腰三角形的研究思路和研究
方法，才能运用类比的方法，进一步自主学习特殊的四边形如等腰三角形、菱形、
正方形相关知识，真正实现由学会到会学的目的．等腰三角形的性质还为证明线
段相等、角相等提供新的方法和依据．
等腰三角形这一内容安排了四个课时，第一课时研究等腰三角形的定义及性
质；第二课时研究等边三角形的性质；第三课时等腰三角形的判定；第四课时探
究含 30°角的直角三角形的性质．
重点：等腰三角形的性质和判定定理．
难点：等腰三角形的性质和判定定理及其推论的灵活应用．
等腰三角形的定义及性质
作业 1（夯实巩固）
1．一个等腰三角形两边长分别为 2、5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或 12 D．11或 12或 13
【参考答案】 B解：当以 2为腰时，该等腰三角形的三边长为 2，2，5，
∵2+2=4＜5 ，∴不合题意，舍去；当以 5为腰时，该等腰三角形的三边长为 2，
5，5，∴这个等腰三角形的周长为 2+5+5=12 ，∴这个等腰三角形的周长为 12．
【设计意图】 本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰
相等是解题的关键．另外结合组成三角形的边长限定条件两边之和大于第三边，
考查学生知识的连续性．
2．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形高、中线、角平分线互相重合
B．顶角相等的两个等腰三角形全等
C．底角相等的两个等腰三角形全等
D．等腰三角形的两个底角相等
【参考答案】D.解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分
线互相重合，该选项说法错误，不符合题意；B、顶角相等的两个等腰三角形不
一定全等，因为边不相等，该选项说法错误，不符合题意；C、底角相等的两个
等腰三角形不一定全等，因为没有边对应相等，该选项说法错误，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，该选项说法正确，符合题意；
【设计意图】 本题考查等腰三角形的性质与全等判定，引导学生及时巩固等腰
三角形的性质并与前一章三角形全等判定结合考察．
第 28 页
3．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，AB=AC，AD⊥BC于点 D，AB的垂直
平分线交 AB于点 E，交 BC于点 F，连接 AF，则∠FAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．70°
【参考答案】 A．解：∵∠BAC=110°，AB=AC，∴∠B=35°，
∵AB的垂直平分线交 AB于点 E，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=35°，∵AD⊥BC，
∴∠BAD=55°，∠FAD=∠BAD-∠BAF=55°-35°=20°110°.
【设计意图】 本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等
角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数．
4．已知等腰三角形的一个外角是 40°，那么这个等腰三角形的底角等于_____
度．
【参考答案】 20．解：当等腰三角形的顶角的外角为 40°，则顶角等于 140°，
∴底角等于 0.5×（180-140）=20°；当等腰三角形的底角的外角为 40°，则底
角等于 140°，不满足三角形的内角和定理，不成立；综上，这个等腰三角形的
底角等于 20度．
【设计意图】 本题考查了等腰三角形的性质，学会运用分类讨论的思想解决问
题，需要学生熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
5．若 ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【参考答案】 17．解：∵ ∴a-3=0，b-7=0，
解得：a=3，b=7，①若 a=3是腰长，则底边为 7，三角形的三边分别为 3、3、7，
∵3+3＜7，∴3、3、7不能组成三角形；②若 b=7是腰长，则底边为 3，三角形
的三边分别为 7、7、3，能组成三角形，周长为：7+7+3=17，∴以a、b为边长
的等腰三角形的周长为 17，
【设计意图】 本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三
角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解．
作业 2（发展提升）
6.在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交 AB，AC边于
点 D，E，若 AE＝BC，则∠ABC＝______．
第 29 页
【参考答案】 60°解：∵DE垂直平分 AB，∴AE=BE，
∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，∴∠BEC=180°-2×50°=80°，∵AE=BC，∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=80°，∴∠ABC=180°-80°-40°=60°．
【设计意图】 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键
是灵活运用这些性质，得到相等的边和角．
7．如图，点 B、D、E、C在同一条直线上，且 AB=AC、AD=AE．求
证：BD=CE.．
【参考答案】 证明：AB=AC,AD=AE，∴∠B=∠C，∠AEB=∠ADC
B C

在△ABE和△ACD中， AEB ADC ，∴△ABE≌△ACD（AAS）

AB AC
∴BE=CD，即 BD+DE=CE+DE，∴BD=CE．
【设计意图】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等
知识点，引导学生回忆三角形全等的判定定理．
8．如图，DE∥AB，AE平分∠DAB，点 C在线段 AE上，
AC=BC=AD，求证：AE=AB．
【参考答案】证明：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠CAB，
∵DE∥AB，
∴∠E=∠BAE，∵AC=BC，∴∠B=∠BAE，∴∠E=∠B,
在△ADE和△ACB中，
∠E=∠B，∠DAE=∠CAB，AD=AC
∴△ADE≌△ACB
AE=AB．
【设计意图】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题
关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
第 30 页
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 能力 难
题号 具体作业分析 误区判断 来源
容 素养 度
考查了等腰三角形的定义，结合三角形的 不能掌握等腰三
1 掌握 0．90 题库
三边关系分类讨论解题． 角形的定义.
考查的是等腰三角形的性质，掌握等边对 不能熟练应用等
题库
2 推理 等角、三线合一、三角形全等来排除选项， 腰三角形性质导 0．85
改编
从而得出正确答案． 致错误.
考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性
不能掌握三角形 课本
3 推理 质．理解等边对等角和等腰三角形三线合 0．65
三边关系. 改编
一，并能依此求得相应角的度数．
等 不能熟练应用等
腰 分等腰三角形的顶角的外角和等腰三角 腰三角形性质导
4 应用
三 形的底角的外角两种情况，根据等腰三角
0．80 题库
致错误.
角 形的性质、三角形的内角和定理即可得．
形 先根据非负数的性质列式求出 a、b 的值， 解题时未考虑分 题库
的 5 推理 再结合等腰三角形定义、三角形三边关系 类讨论. 0．70 改编
定 分情况讨论求解即可．
义 根据垂直平分线的性质得到 AE=BE，得到 不能灵活运用垂 课本
及 6 推理 ∠BEC，再根据 AE=BC，得到 BE=BC，从而 直平分线的性质. 0．60 改编
性 根据等边对等角求出∠C．
质
先根据等腰三角形的性质得出，再根据三 不能熟练应用等 课本
7 推理 角形全等的判定定理与性质，然后根据线 腰三角形性质导 0．75 改编
段的和差即可得证． 致错误.
8 推理 根据平行性质（两直线平行，内错角相等）
无法厘清各个要
0．65 题库
和角平分线，再证△ADE≌△ACB 即可 素之间的关系．
第 31 页
等边三角形的性质性质
作业 1（夯实巩固）
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图
中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
【参考答案】 D．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°∵∠a
＋∠β=360°-（∠B+∠C）=360°-120°=240°．
【设计意图】 本题考查了多边形的内角和、等边三角形的性质，引导学生巩固
掌握多边形的内角和．
2．如图，△ABC是等边三角形，点D在 AC边上，∠DBC=40°，则
∠ADB的度数为（ ）
A．25° B．60° C．90° D．100°
【参考答案】 D．解：∵△ABC是等边三角形
∴∠C=60°∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
【设计意图】 本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个
性质是关键，让学生温故知新．
3．如图，在等边△ABC中，D、E分别是 BC、AC上的点，且 BD
⊥CE，AD与 B相交于点 P，则∠APE的度数为（ ）
A．45° B．50°C．60°D．80°
【参考答案】 C．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，∵BD⊥CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABP+∠CB=∠ABC=60°，∴∠ABP+∠BAD=60°，∠
APE=∠ABP+∠BAD=60°．
【设计意图】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角
形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学的性质，证明△ABD≌△BCE．
4．如图，直线 l1//l2，△ABC 是等边三角形，若∠1=40°，则∠2
的度数为__________．
【参考答案】 100°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，
∴∠3-∠1=∠C=100°，∵ l1//l2，∴∠2=∠3=100°．
【设计意图】 本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、等边三
角形的性质，掌握上述性质定理是解题的关键．
第 32 页
5．如图，已知点 B、C、D、E在同一直线上，△ABC 是等边
三角形，且 CG=CD，DF=DE，则∠E=__________．
【参考答案】15°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-60°=120°，CG=CD∴∠CDG=0.5×（180-120）=30°，
∴∠FDE=180-30=150°，∵DF=DE，∴∠E=0.5×（180-150）=15°．
【设计意图】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，加深学生理
解等腰三角形与等边三角形的区别和联系．
作业 2（发展提升）
6．如图，在等边△ABC中，E为 AC边的中点，AD垂直平分 BC，
P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
【参考答案】 6．解：作点 E关于 AD的对称点 F，连接 CF，（亦可直接连接
BP）∵△ABC是等边三角形，AD是 BC边上的中垂线，∴点 E关于 AD的对应
点为点 F，∴CF就是 EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是 AC边的
中点，
∴F是 AB的中点，∴CF=AD=6，即 EP+CP的最小值为 6.
【设计意图】 本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，此题为将军饮马
模型，是常见的最值题型，让学生提前熟练．
7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 至 E，使
CE=CD．求证：∠E=∠DBA．
【参考答案】 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠1=60°，
AB=BC∵BD 是中线，∴∠2=0.5×∠ABC=30°．∠ECD=180-∠1=120°，
∵CE=CD，∴∠E=∠3=30°．
∴∠E=∠DBA．
【设计意图】 本题考查了等边三角形的性质，考查学生能否熟练运用等腰三角
形的性质进行推理证明．
8．已知：在△ABC中，AB=AC，D为 AC的中点，DE⊥AB ，DF⊥
BC ，垂足分别为点 E、F，且 DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【参考答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．∵DE⊥AB， DF⊥BC，
∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的 AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，
∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形．
【设计意图】 本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角
形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．鼓励学生发现更多的证明方
法．
第 33 页
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
不能熟练应用
先根据等边三角形的定义，再根据四边形的
等边三角形性
1 应用 0．90 题库
内角和即可得． 质导致错误.
等 由等边三角形的性质及三角形外角定理即
不能将前面所
学的全等三角 题库改
边 2 应用 可求得结果． 0．85形与本节知识 编
三
有效衔接.
角
形 不能充分理解由等边三角形的性质先证明△ABD≌△
等腰三角形与 课本原
的 3 推理 0．65
BCE，得到∠BAD=∠CBE，再由三角形的 等边三角形的 题
性
区别和联系.
第 34 页
质 外角性质，即可得到答案．
根据等边三角形的性质可得∠C=60°，利用 不会等量转换，
找相同的边角
4 推理 三角形的外角性质，再根据两直线平行，内 0．80 题库进行转换.
错角相等即可求解．
根据等边三角形的性质，求得∠ACB=60°， 不能熟练应用
课本改
5 推理 根据平角的性质求得∠ACD，由已知条件根 等边三角形性 0．70 编
质导致错误.
据等边对等角求得∠CDG，进而求得∠E．
根据轴对称的性质要求 EP+CP的最小值，
忽略轴对称的
需考虑通过作辅助线转化 EP，CP的值，从 题库改
6 推理 相关性质，最值 0．60
编
而找出其最小值求解．根据等边三角形性质 问题不会分析.
转换
利用等腰三角形三线合一，再结合等腰三角 不能熟练应用 题库改
7 推理 等腰三角形性 0．75
形的底角相等和外角的性质得出． 编质导致错误.
由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL 无法厘清各个
要素之间的关 课本改
8 推理 证明 Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C， 0．50系导致推导不 编
从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 出结论．
第 35 页
等腰三角形的判定
作业 1（夯实巩固）
1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2
【参考答案】 B．解：A、∵a=3，b=3，c=4，
∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=4：5：6∴a≠b≠c，∴△ABC不
是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，∴∠A=∠B，
∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，
∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．
【设计意图】 本题考查等腰三角形的判定．巩固学生掌握等腰三角形的定义与
等角对等边的判定定理．
2．若△ABC的三条边长分别是 a,b,c,且 ,这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【参考答案】 B．解：∵ ∴a=b,b=c,∴a=b=c,∴△ABC为等边
三角形．
【设计意图】 本题考查平方和绝对值的非负性,等边三角形的判定,关键在于利
用非负性解出三边关系，顺带考察非负数，温故而知新．
3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED//BC，已知 AB=5，AD=2，
则△AED的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【参考答案】D．解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∵ ED//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴△AED的周长为
AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=5+2=7．
【设计意图】 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，熟知在同
一个三角形中，等角对等边是解题关键，此题为常见的构造等腰的模型（角平分
线+平行线→等腰三角形）．
4．下列三角形中：
①有两个角等于 60°的三角形；②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三个角
都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有____(填序号)．
【参考答案】 ①②③④解：①有两个角等于 60°的三角形，则该三角形的三个
内角都相等，是等边三角形②有一个角等于 60°的等腰三角形，则其三个角都
为 60°，是等边三角形．③三个角都相等的三角形，是等边三角形④三边都相
等的三角形，是等边三角形．
第 36 页
综上，①②③④都是等边三角形
【设计意图】 本题考查了等边三角形的多种判定方法，加深学生对等边三角形
判定方法的掌握．
5．△ABC中，∠A=50°，当∠B=____________时，△ABC是等腰三角形．
【参考答案】 50°或 80°或 65°．
解：①∠A是顶角，∠B＝（180° ∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝
50°；③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180° 50°×2＝80°，∴当∠B的度
数为 50°或 65°或 80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或 65°或 80°．
【设计意图】 本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；培养学生
分情况讨论的意识．
作业 2（发展提升）
6.如图所示，在 4×4的方格中每个小正方形的边长是单位 1，小正方
形的顶点称为格点．现有格点 A、B，在方格中任意找一点 C（必须是
格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有______个．
【参考答案】 8.解：如图所示只有 C点在这 8个点的位置，A、B、
C三点为顶点才能构成等腰三角形，∴满足条件的格点有：8个．故
答案为 8．
【设计意图】利用表格等直观展示了构造等腰三角形的方法多样性，
强化学生对等腰三角形判定的理解以及分类讨论思想的渗透．
7．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE∥AC．求
证：△BDE是等腰三角形．
【参考答案】 证明：∵DE∥AC∴∠1=∠3，∵AD平分
∠BAC∴∠1=∠2，∴∠2=∠3
∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°∴∠B=∠BDE
∴△BDE是等腰三角形．
【设计意图】 培养学生的证明思路，结合平行线的性质和等量代换证明相等的
角，从而利用等角对等边的判定方法．
8．（动手操作 3）
图形分割：把一个图形分割成几个形状相同的图形是图形分割的重要类
型．解图形分割问题需要将动手操作、空间想象、计算推理融合在一起。因等腰
三角形的某些元素不确定，故解等腰三角形分割问题的关键是分类讨论。
现有如下四个已知内角度数的三角形，请用直尺和圆规做一条直线，把△
ABC分割成两个等腰三角形，和你的同桌一起讨论不同三角形分割获得的启示。
第 37 页
【参考答案】 尝试、调整，分割如下，
图④不可分割。可分割三角形应满足：（1）直角三角形；（2）有一个角是另一
个角的 2倍；（3）有一个角是另一个角的 2倍.
【设计意图】 本题主要考查三角形分割问题，培养学生动手操作、空间想象、
计算推理、合作探究能力．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
1 应用 根据等腰三角形的定义与等角对等边的判定 不能熟练应用等 0．90 题库
第 38 页
定理，即可求得答案． 边三角形和等腰
三角形的判定导
致错误．
等
不能快速的选择
腰 根据非负性质以及等边三角形的判定定理求
2 应用 合适的判定方 0．85 原创
三 出 a,b,c的关系,即可判断．
法．
角
形 根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠
的 非负数的概念不 题库
3 推理
判 EBD=∠EDB，进而得到 EB=ED，根据等腰三
清晰． 0．65
改编
定 角形的判定以及三角形周长公式即可求解．
等腰三角形判定
4 推理 根据等边三角形的判定方法逐个判断即可． 0．85 题库
运用不熟练．
分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底 分不清何时用
角，何时用边去
5 推理 角，∠B＝∠A时，③∠A是底角，∠B＝∠A 0．70 原创证明等腰三角
时，利用三角形的内角和进行求解． 形．
根据分类讨论和等腰三角形的判定区找与 AB 等腰三角形的性
质和判定使用情
6 推理 相等的格点线段． 0．65 题库景不当，不会分
类讨论．
直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利 不能熟练应用等
题库
7 推理 用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B= 腰三角形的判定 0．80 改编
方法导致错误．
∠BDE，即可得出答案．
（1）通过分析、动手、猜测、尝试、验证等
无法分类讨论和
一系列过程将三角形分割成等腰三角形；； 归纳总结所有的 题库
8 推理 0．65
情况. 改编
（2）讨论能够分割成等腰三角形的相关条件，
分类讨论．
第 39 页
含 30°角的直角三角形的性质
作业 1（夯实巩固）
1．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 3
米处折断，树尖 B恰好碰到地面，经测量∠ABC＝30°，则树高
为（ ）
A．6米 B．9米 C．10 米 D．12 米
【参考答案】B． 折断的大树与树干、地面构成了直角△ABC，∵∠ABC=30°，
AC=3m，在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，则它所对的直角边等于斜
边的一半，∴BC=2AC=6m，则树高为 AC+BC=9m．故选 B．
【设计意图】本题运用生活中树倒的例子，将直角三角形与生活建立密切联系起
来，让同学们将所学知识运用到实际生活中去，培养学生善于观察、善于联想的
思维．利用含 30°角的特殊三角形推论解决本题，巩固应用．
2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分 BC，ED＝
3，则 CE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【参考答案】C．∵ED垂直平分 BC，∠B=30°，∴EB=CE，∠ECD=30°，在
Rt△ECD中，CE=2ED=6,故选 C．
【设计意图】本题将含 30°角的特殊三角形推论与垂直平分线定理结合起来，
帮助学生回顾旧知，培养学生分析推理能力和综合解题能力．
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，
AD＝4 cm，则 BC的长为（ ）
A．8 cm B．12 cm C．15 cm D．16 cm
【参考答案】B．在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B=30°，∴
BD=2AD=8cm，∠ADB=60°，∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠DAC=30°，∴
CD=AD=4cm,BC=BD+CD=12cm．故选 B．
【设计意图】本题含 30°角的特殊三角形推论与等腰三角形、三角形外角知识
结合起来，考查学生的综合分析和推理能力，培养学生的推导能力，同时提升学
生的综合素养．
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是
△ABC的角平分线，CD＝2，则 BC＝__________．
【参考答案】6．在 Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴CAB=60°，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，在 Rt△
ABD中，AD=2CD=4，AD=BD=4，∴BC=BD+CD=6．
【设计意图】本题含 30°角的特殊三角形推论与角平分线结合起来，考查学生
第 40 页
的综合分析和推理能力，培养学生的推导能力，锻炼学生的思维．
5．在△ABC 中，BD 是△ABC 的高，且 AB＝AC＝2BD，则∠DBC 的度数为
___________________．
【参考答案】15°或 75°．①若△ABC是锐角三角形，则根据 AD=2BD可知，
∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°，又∵∠ABD=60°，则∠DBC=15°；②若△
ABC为钝角三角形，BD在△ABC外部，则则根据 AD=2BD可知，∠ADB=30°，
则∠BAD=150°，∠ABC=∠ACB=15°．综上，∠DBC的度数为 15°或 75°．
【设计意图】在运用含 30°角的直角三角形的性质时，容易忽略分类讨论致错，
本题的易错点在于学生往往忽略了不同类型等腰三角形的不同情况．本道题旨在
暴露学生的易错点，增加学生的关注度，培养学生分类讨论思想和严谨认真的学
习态度．同时需要学生画出相应情况的图形，考查学生动手操作、数形结合能力．
作业 2（发展提升）
6．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距
离 h＝6．5 米，自动扶梯的倾角为 30°，若自动扶梯运行速
度为 v＝0．5 米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为
___________秒．
【参考答案】26．扶梯与垂直高度、水平高度组成了一个直角三角形，∵h＝6．5
米，自动扶梯的倾角为 30°，所以扶梯长度为 13米，自动扶梯运行速度为 v＝0．5
米/秒，可知顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 26秒．
【设计意图】本题结合现实生活中常见的扶梯例子，同时结合速度运行的动态情
形，让学生更加深刻的感知在运用含 30°角的直角三角形的性质的广泛使用，
培养学生学习数学的兴趣，同时培养学生的应用能力．
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点
D，∠A＝30°．求证：AB＝4BD．
【参考答案】证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC 1＝ AB，∠B＝60°．又∵△BCD中，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°．∴BD
2
1
＝ BC 1．∴BD＝ AB，即 AB＝4BD．
2 4
【设计意图】本题重点考查在三个不同三角形中均含 30°角的特殊直角三角形，
运用性质进行线段之间关系的转化．考查学生在多个三角形中的观察、分析能力，
培养学生的综合推理和解决问题能力．
8．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，
BC的垂直平分线交 BC于点 D，交 AC于点 E．
(1)求证：AE＝DE；
(2)若 AE＝6，求 CE的长．
第 41 页
【参考答案】解：(1)证明：连接 BE，∵∠A＝90°，∠
ABC＝60°，∴∠C＝30°．∵BC 的垂直平分线交 BC
于点 D，交 AC 于点 E，∴BE＝CE．∴∠C＝∠EBC＝
30 1°∴∠ABE＝30°∴AE＝ BE，DE 1＝ BE．∴AE＝
2 2
DE．
解：(2)∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，∴BE＝2AE＝12．∴CE＝BE＝
12．
【设计意图】本题难点在于需要连接 BE 构造直角三角形，将含 30°角的特殊三
角形推论与垂直平分线定理结合起来，帮助学生回顾旧知，培养学生分析推理能
力和综合解题能力．
【评价设计】——作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B 等，答案正确、过程有问题；
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错
误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确；
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确；
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确；
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误；
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
A 等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；
反馈的有效性 B 等，简单订正，未整理总结；
C 等，错误不及时订正．
自评
综合 参考：AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
评价 家长评 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等；
等级
教师评 评价者也可根据其他实际情况给予等级．
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【作业分析】——多维细目表
内 能力
题号 具体作业分析 误区判断 难度 来源
容 素养
考查了含 30°直角三角形性质在现实生活
粗心导致只计算折
1 应用 中的应用，注意求出斜边之后需要与树干长 0．9 改编
断的树长．
度相加求和．
利用垂直平分线性质求出线段 EB=CE，再
不会进行关系的转
2 推理 在直角三角形中应用含 30°直角三角形性 0．85 改编
化．
质求出 CE．
本题需要利用等腰三角形求出角的度数，再 推导不出 AD 与 CD
3 推理 根据外角性质求出∠DAC 度数，继而再次 关系导致无法解 0．75 题库
利用等腰三角形解题． 题．
含
30° 本题需要运用角平分线平分角求出角度，之4 推理 计算出错． 0．85 改编
角 后利用含 30°角的特殊三角形解题．
的 分类讨论△ABC 为锐角三角形或钝角三角
5 分析 忽略分类讨论． 0．70 题库
直 形的情况，画出图形有助于解题．
角
将扶梯与垂直高度、水平长度看成特殊直角 不会应用速度、时
三
6 应用 三角形，结合速度、路程、时间关系解题． 间、路程关系解决 0．70 题库
角
实际问题．
形
性 证明△ACD与△BCD均为含 30°角的特殊 多个直角三角形关
7 推理 0．75 改编
质 直角三角形，进一步得到线段之间关系． 系不易找出．
（1）本题需要连接 BE 构造直角三角形，
再利用垂直平分线定理推导出 BE=CE，继 无法想到连接辅助
8 推理 而根据角的关系推导出△ABE 是特殊三角 线构造直角三角形 0．65 改编
形，得出 AE与 DE 相等关系；（2）利用第 导致无法解题．
一问的 BE＝2AE 关系即可求出．
第 43 页
【本节内容与重难点】
1. 能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性．探索、证明
角的平分线的性质定理及逆定理的过程.
2. 进一步发展学生的推理证明意识和能力．能够利用角的平分线的性质定理及
其逆定理证明相关结论.
3. 理解三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边距离相等．
重点：角的平分线的性质定理及其逆定理
难点：角的平分线尺规作法的正确性的证明，以及角的平分线性质定理及其逆定
理的综合运用．
角平分线的作法
作业 1（夯实巩固）
1．如图所示，已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠AOB，作法的合理顺序是
（ ）
①作射线 OC； ②在 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD＝OE；
1
③分别

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