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初中数学单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九年级 第一学期 沪科版 解直角三角形
单元
组织方 自然单元 □重组单元
式
序号 课时名称 对应教材内容
1 正切 第 23.1(P112-114)
2 正弦、余弦 第 23.1(P115-116)
课 3 30°、45°、60°的三角函数值 第 23.1(P117-118)
4 同角的正、余弦关系 第 23.1(P118-119)
时
5 一般锐角的三角函数值 第 23.1(P120-122)
信 6 解直角三角形 第 23.2（P124-P125）
息 7 一次测量 第 23.2（P126）
8 方位角问题 第 23.2（P127-128）
9 堤坝问题 第 23.2（P128-129）
10 倾斜角问题 第 23.2（P130）
二、单元分析
（一）课标要求
1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）；
2、知道 30°、45°、60°角的三角函数值；
3、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的
对应锐角；
4、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问
题。
2022 版课标在“教学评价”方面指出：在关注“四基”“四能”达成的同
时，特别关注核心素养的相应表现。
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《三角函数》是《课标（2022 年版）》“图形的变化”的第（4）点“图形
的相似”中的最后几个知识点（第 8、9、10）。它是在学习了相似三角形知识
的基础上，推出的一类特殊的相似关系：即在直角三角形中，当一锐角确定后，
则其两边之比为一定值，反之亦然，从而引入了三角函数的概念。根据概念，由
两类特殊的三角形：等腰直角三角形和含 30°角的直角三角形其边与边之间特
定比例，计算出 3个特殊角 30°、45°、60°，所对应的 3组共 9个特殊的三
角函数值。并从中发现同一个锐角的正（余）弦值的关系。通过使用计算器求一
般锐角的三角函数值，加深对其“函数”属性的理解：即角的大小与其三角函数
值是一一对应的关系。知识结构上，遵循数学研究的一般路径（具体-抽象-概念
-性质-运用）；研究方法上，让学生经历“一般到特殊和特殊到一般，由具体到
抽象和抽象到具体”等活动过程，渗透了数形结合、类比等思想方法，发展数学
抽象、数学运算、数学推理等能力。通过本单元的学习，学生能够建立起数形之
间的对应关系。同时，也为今后在高中进一步学习三角学奠定基础。
解直角三角形的知识广泛应用于现实生活中，大到观测建筑物高度，小到计
算零件尺寸等。因此本单元的学习重点是：三角函数的概念和运用。
（三）学情分析
从学生的认知规律看：在“一次函数”“二次函数与反比例函数”等单元中，
学生已经了解了自变量与因变量存在的一一对应关系，并掌握了其研究方法和性
质；在“相似形”这一单元，学生又认识到相似三角形中边角之间存在的关系，
当“形”确定了（三角形相似），则其“数”也确定了（对应边成比例），反之
亦然。对数形结合思想有了一定的理解。
从学生的知识储备看：在九年级（上）阶段，初中主要、重要内容已经学完。
学生已经具有相当的知识储备，对函数、几何已经有了一定的认识，积累了一定
的数学学习活动经验。但是，学生的数形结合的综合能力尚且不足。因此，应加
强数形之间的联系，架通数形之间的“桥梁”，提升学生的数形结合能力。因此，
本单元的学习难点是：数形结合思考解决问题。
三、单元学习与作业目标
1.知道三角函数的概念；
2.认识特殊角的三角函数值，会用它们进行简单的三角函数运算，提升运算
能力；
3.经历实际问题的抽象-建模-推理-计算过程，提高其数形结合的综合运用
能力。
四、单元作业设计思路
分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量
3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，
题量 3大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
五、课时作业
第一课时（23.1 正切函数）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知在 RtΔABC 中， C 90 ，AC=4, BC=3, 则 tanA 的值为（ ）
3 4 3 4
A． 4 B． 3 C． 5 D． 5
（2）如图，在直角坐标平面内有一点 P（6，8），那么射线 OP 与 x轴正半
轴的夹角 的正切值是（）
3 3 4 4
A． 4 B． 5 C． 5 D． 3
（3）某山坡的坡长为 200 米，山坡的高度为 100 米，则该山坡的坡度
i ________．
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了正切函数的定义的应用，解题时注意：在 Rt△ACB 中，
a
∠C=90°，则 tanA= b．使学生加深对正切概念的理解。
第（2）题作 PM⊥x 轴于点 M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解，
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题．
第（3）题考查了勾股定理和坡度的定义以及解直角三角形的实际应用，解
题的关键是掌握勾股定理和坡度的定义．
5.参考答案
（1）解：在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
BC 3
∴tanA= AC = 4 ．
故选：A．
（2）解：作 PM⊥x 轴于点 M，
∵P(6，8)，
∴OM=6，PM=8，
PM 8 4

∴tanα=OM 6 3．
故选：D．
（3）解：由勾股定理得： 200
2 1002 100 3米，
i 100 1: 3
坡度 100 3 ．
故答案为：1: 3．
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方
形网格的格点上，线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中∠QMB 的正切值是 .
（2）等腰三角形的一个角是 30°，腰长为 2 3 ，则它的底角的正切值为
______．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题利用平移的方法将 AB 进行平移，然后结合平行线的性质，以
及勾股定理的逆定理和正切函数的定义求解，灵活运用平移的方法和性质构造适
当的直角三角形是解题关键。
第（2）题分 30°角是底角和顶角两种情况，分别求出正切值即可，考查了等
腰三角形的性质和解直角三角形，解题关键是恰当构造直角三角形解题；
5.参考答案
（1）解：如图，将 AB 平移至 CQ，连接 PC，
则 AB∥CQ，∠QMB=∠CQP，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
由题意， PQ 2 6 40， PC 4 4 32，CQ 2 2 8，
PQ2 PC 2 CQ2∵ ，
∴△PCQ 为直角三角形，∠PCQ=90°，
tan QMB PC 32 tan CQP 2
∴ CQ 8 ，
故答案为：2．
3
（2）解：当30°角是底角时，它的正切值为 3 ，
当30°角是顶角时，如图所示， AB AC 2 3，作CD AB于 D，
∵ A 30 ，
1
CD AC 3 2
∴ 2 ，AD= AC CD
2 3
∴ BD 2 3 3，
tanB CD 3 2 3
BD 2 3 3 ，
3
故答案为： 3 或 2 3．
6.教学反馈
错题 错因 订正
第二课时（23.1 正弦、余弦函数）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）在Rt ABC中， C 90 ， A的余弦是（ ）
AB BC AC AC
A． AC B． AB C． AB D． BC
（2）在Rt ABC中，∠C=90°，AC:BC=1:2，则∠A的正弦值为（ ）
5 2 5 5
A． 5 B． 5 C．2 D． 2
（3）如图，网格中所有小正方形的边长均为 1，有 A、B、C 三个格点，则
∠ABC 的余弦值为（ ）
1 2 5 5
A． 2 B． 5 C． 5 D．2
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键；
第（2）题考查了正弦，熟练掌握正弦的概念是解题关键；第（3）题过点 B 作
BD⊥AC 于点 D，过点 C作 CE⊥AB 于点 E，则 BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求
出 AB，BC 的长，利用面积法可求出 CE 的长，再利用余弦的定义可求出∠ABC 的
余弦值，本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及
勾股定理求出 CE，BC 的长度是解题的关键．
5.参考答案
cos A AC
（1）解：在Rt ABC中， C 90 ，则 AB；
故选 C．
（2）解：如图所示：
∵ C 90 , AC : BC 1: 2，
∴ AB AC
2 BC2 5AC，
sin A BC 2 5
∴ AB 5 ；
故选 B．
（3）解：过点 B作 BD⊥AC 于点 D，过点 C作 CE⊥AB 于点 E，则 BD=AD=3，
CD=1，如图所示．
AB= BD
2 AD2 3 2 2 2，BC= BD CD 10．
1 1 1 1
∵ 2 AC BD= 2 AB CE，即 2 ×2×3= 2 ×3 2 CE，
2 BC 2 CE 2∴CE= ，∴BE= 2 2，
BE 2 2 2 5

∴cos∠ABC= BC 10 5 ．
故选：B．
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D都在这些小正方
形的顶点上， AB与CD相交于点 P，则 APD的正弦值为（ ）
5 2 1 2 5
A． 5 B． 2 C． 2 D． 5
（2）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形．如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角
形中较小的锐角为α，则α的余弦值为________________．
（3）边长为 2的正方形 ABCD 在平面直角坐标系中如图放置，已知点 A的横
坐标为 1，作直线 OC 与边 AD 交于点 E.
①求∠OCB 的正弦值和余弦值;
②过 O、D两点作直线，记该直线与直线 OC 的夹角为 ，试求 tan 的值.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题取格点 E，连接 AE、BE，设网格中每个小正方形的边长为 1，
AE 2 2 2
sin ABE 5
先证得 Rt ABE，求得 AB 10 5 ，再根据题意证得 APD ABE即
可求解，本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
第（2）题由题意知小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 10，设直角三
角形中较小边长为 x，则有（x+2）2+x2=102，解方程求得 x=6，从而求出较长边
的长度，运用三角函数定义求解，本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，
解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义.
第（3）题①由正方形的边长和 A 点横坐标可得出 OB、BC 的长，然后在 Rt
△OBC 中利用勾股定理求出 OC，根据正弦与余弦的定义即可求解；②过 D 作 DH
AE = OA
⊥OC 于 H，根据相似三角形的性质得到 BC OB，求出 AE，DE，采用面积法可求
出 DH，然后利用勾股定理求出 OD，OH，最后根据正切的定义即可求值，本题考
查正方形的性质和求三角函数值，熟练掌握三角函数的定义，利用正方形的性质
和勾股定理求出边长是解题的关键.
5.参考答案
（1）解：取格点 E，连接 AE、 BE，设网格中每个小正方形的边
长为 1，
BE 12 12 2 AE 22 2则 ， 2 2 2 ， AB 3
2 12 10，
BE 2∵ AE
2 2 8 10， AB
2 10，
∴ BE 2 AE 2 AB2 ，
∴∠AEB 90 ，
AE 2 2 2
sin ABE 5
在 Rt ABE中， AB 10 5 ，
由题意知， EBD CDB 45 ，
∴CD∥BE，
∴ APD ABE，
2
sin APD sin ABE 5
∴ 5 ，
故选：D
（2）解：由题意知，小正方形的边长为 2，大正方形的边长为
10．
设直角三角形中较小直角边长为 x，较长的直角边（x+2），
则有（x+2）2+x2=102，
解得，x=6，
∴较长直角边的边长为 x+2=8，
的邻边 8 4
∴cosα= 斜边 =10= 5．
（3）解：（1）∵正方形 ABCD 的边长为 2，A 点横坐标为 1
∴OB=1+2=3，BC=2
2 2 2 2
∴OC= OB BC = 3 2 = 13
OB = 3 = 3 13
∴sin∠OCB=OC 13 13
BC = 2 = 2 13
cos∠OCB=OC 13 13
（2）如图，过 D作 DH⊥OC 于 H，
∵AD∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
AE = OA AE = 1
BC OB，即 2 3
2
∴AE= 3，
2 2 4 =
∴DE= 3 3，
4 2CD2 2 13 DE2 = 22 3
=
∴CE= 3 ，
DH= CD DE =2 4 3 = 4 13
∴ CE 3 2 13 13 ，
2
在 Rt△ADO 中, OD= OA AD
2 = 12 22 = 5，
OH= OD2 DH2 = 5 16 = 7 13
∴ 13 13 ，
tan = DH= 4 13 13 = 4
∴ OH 13 7 13 7 .
6.教学反馈
错题 错因 订正
第三课时（30°、45°、60°的三角函数值）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）计算：①2sin60°； ②cos 230°； ③cos45°－sin45°
④ 2 tan45 ； ⑤ 3tan30 2 tan45 ；
1
（2）①若 sinα＝ 2 ，则锐角α＝ ；
3 3
②△ABC 中，cosA= ，sinB= ，则△ABC 的形状是 .
2 2
1
（3）在△ABC 中，sinA＝ ，tanB＝ 3，则 cosA+sinB＝ .
2
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用特殊角三角函数值进行计算，加深对特殊角三
角函数值的掌握。其中，第①小题考查学生对“特殊角正弦值”的掌握，第②小
题考查学生对“特殊角余弦值”的掌握，第③小题考查学生对“特殊角正弦值及
余弦值”的掌握。④⑤小题考查学生对“特殊角正切值”的掌握。作业评价时要
注意学生对特殊角三角函数值记忆是否准确；第（2）题要求学生会通过三角函
数值反推特殊角，进一步加深对特殊角三角函数值的掌握。第（3）题要求学生
先通过三角函数值反推特殊角，再通过特殊角求三角函数值，并进行计算，使学
生对特殊角三角函数值正、反两个方向运用。
5.参考答案
3 3（1）① ； ② ； ③0； ④ 2； ⑤ 3-2；

（2）①30°； ②直角三角形；
（3） 3。
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）计算：
1 2 1 3 12 cos30 3 ①
② 1 cos
2 45o 1 sin 2 60o
2
（2）在△ABC 中，(sinA－ )2＋| 3－tanB|＝0，则∠C＝ .
2
（3）如图，在 ABC中， ACB 90 ， AC 2， AB 4，将 ABC绕点C按逆
时针方向旋转一定的角度得到 DEC，使得A点恰好落在DE上，求线段 BD的长
度。
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题综合考察学生对特殊角三角函数值、指数幂及二次根式化简
的掌握；第（2）题需要先注意到平方和绝对值的非负性，再观察到两者和为 0，
便可求出 sinA 和 tanB 的值，进而根据三角函数值得到特殊角，继而根据三角形
内角和 180 度求角 C；第（3）综合考察学生对特殊角三角函数值、旋转、等边
三角形的判定及勾股定理的掌握。培养学生的空间想象能力，渗透转化的思想。
5.参考答案
2
（1）① -7；②
2
（2）75°.
（3）解：如图，连接 BE，
∵ ACB 90 ， AC 2， AB 4，
∴ BC AB2 AC2 16 4 2 3，
sin ABC AC 1 ，
AB 2
∴ ABC 30 ，
∴ BAC 60 ，
∵将 ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到 DEC，
∴ AC CD，CE CB 2 3， CAB CDE 60 ， BCE ACD，
CED ABC 30 ， AB DE 4，
∴ ACD是等边三角形，
∴ ACD BCE 60 ，
∴ BCE是等边三角形，
∴ BE BC 2 3， CEB 60 ，
∴ DEB 90 ，
∴DB DE2 BE2 16 12 2 7 ，
6.教学反馈
错题 错因 订正
第四课时（互余两锐角的正、余弦关系）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
12
（1）若α为锐角，且 cosα＝ 13，则 sin(90°－α)的值是 .
（2）已知：cos A= ，且∠B=90 -∠A，则 sinB= .
3
（3）如果 是锐角，且 cos20
o sin ，那么 .
（4）若α<50 ,且 sin(50 -α)=0.75,则 cos(0 +α)= .

（5） 在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，求 cosA+cosB
3
的值.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）(2)题，通过两角互余关系得到三角函数值的相等关系，考查学
生互余两锐角的三角函数关系的正向运用；第（3）题通过三角函数值的相等得
到两角互余关系，考查学生互余两锐角的三角函数关系的逆向运用，第（4）题
需要先观察到50-与0+互余，于是 cos(0+)=sin(50-),第（5）题，需
要学生注意到因为 A、B互余，所以 cosA=sinB，cosB=sinA，从而可以整体代换
解决问题，培养学生的观察能力，渗透转化、整体代换思想。
5. 参考答案
12 （ ） ；（2） ； (3)70° ； （4)0.75； (5)
13 3 3
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知和都是锐角,且+=90,sin+cos=1,求锐角的度数.
sin15 6 2 sin30 1 sin45 2
（2）已知部分锐角三角函数值： 4 ， 2， 2 ，
sin75 6 2
4 ，则 cos75
________．.
（3）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
2 2 2 2 2 2
① sin A1+cos A1= ；sin A2+cos A2= ；sin A3+cos A3= ．
2 2
②观察上述等式，猜想：sin A+cos A= ．利用图④证明你的猜想。
2 2 2 2
③计算： sin 1°+ sin 2°+ sin 3°+...+ sin 89°.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，由α、β互余可得,sinα = cosβ，结合 sinα+cosβ=1 可求得
sinα 1= ，于是α=30°。考查学生互余两锐角的三角函数关系的运用及方程思想；
2
第（2）题，根据互余两锐角的三角函数关系可将 cos75°转化为 sin15°，进而
解决问题，培养学生转化的思维方式；第（3）题，第①题通过计算观察规律，
2
第②题总结规律，并利用三角形进行证明。第③题可以将 sin 89°转化为
cos21°，从而可以使用第② 2题的公式和 sin 1°一起相加，以此类推，将 46°到
89°的正弦平方转化为其余角的余弦平方，从而解决问题。目的在培养学生观察、
总结能力，以及应用公式的能力和转化思想。
5.参考答案
（1）=30°；
2
（2） ；

2 2 2 2 2 2
（3）① sin A1+cos A1= 1 ；sin A2+cos A2= 1 ；sin A3+cos A3= 1 ．
2 2
②猜想：sin A+cos A= 1 ．
22 2
证明：sin2A+cos2A = 2+ 2 = 2 = 2 = 1
2 2 2 2
③ 解： sin 1°+ sin 2°+ sin 3°+...+ sin 89°
2 2 2 2 2 2 2
= sin 1°+ sin 2°+...+sin 44°+sin 45°+cos 44°+...+cos 2°+cos 1°
2 2 2 2 2 2 2
=(sin 1°+cos 1°)+(sin 2°+cos 2°)+...+(sin 44+cos 44°)+sin 45°
=44+0.5
=44.5
6.教学反馈
错题 错因 订正
第五课时（一般锐角的三角函数值）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）用计算器求三角函数值（精确到 0.0001）
①sin15°; ②cos26°; ③tan31°;
(2)已知三角函数值，用计算器求锐角 A.(精确到 0.01°）
①sinA=0.12； ②cosA=0.35; ③tanA=3.1
（3) 比较大小.
①sin34°________cos56°;
②tan18°________tan24°
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考察学生熟练使用计算器根据角度求三角函数值；其中第
①小题考察正弦，第②小题考察余弦，第③小题考察正切。第（2）题，考察学
生熟练使用计算器根据三角函数值求角度。其中第①小题考察正弦，第②小题考
察余弦，第③小题考察正切。第（3）题考察学生利用计算器求三角函数值进而
比较大小。培养学生的动手操作能力。
5.参考答案
（1）①0.2588； ②0.8988； ③0.6009.
（2）①6.89° ②69.51°; ③72.12°
（3） ①sin34°=cos56°; ②tan18°< tan24°
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）用计算器求三角函数值（精确到 0.01），并计算。
①sin11°+cos23°; ②cos27°- 2tan50°;
③2tan31°+3sin15°;
（2）计算：用计算器求下列三角函数值，并用小于号连接，你发现了什
么规律？
sin18°,sin29°,sin6°,sin68°,sin53°,sin81°
（3）①计算：用计算器计算：
sin8°cos8°, sin10°cos10°, sin16°, sin20°
②观察：由①，可得如下公式：
sin2α=___sinαcosα
③运用：计算（不用计算器）：
sin10°cos20°cos40°.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，检验学生使用计算器求三角函数值并进行运算的能力；第
（2）题让学生先使用计算器求出三角函数值，再通过比较大小，发现规律：在
锐角范围内，角越大，三角函数值越大，让学生感受到可以通过工具辅助计算来
发现规律。第（3）题，考察学生使用计算器辅助解三角形，培养学生实践能力。
5.参考答案
（1）①1.11； ②-1.49； ③1.98.
（2）sin6°< sin18°< sin29°< sin53°< sin68°< sin81°
规律：锐角范围内，角度越大，正弦值越大。
(3) ①0.14 , 0.17 , 0.28 , 0.34;
②sin2α=2sinαcosα;
③sin10°cos20°cos40°
= sin0°cos0°cos20°cos0°
cos0°

2sin20°cos20°cos0°=
cos0°

sin0°cos0°=
cos0°

8sin80°=
cos0°

8cos0°=
cos0°
=
8
第六课时（23.2（1）解直角三角形）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）在 RtΔABC 中，∠C=90°，
①已知： b= 2 ,c=2， 则∠A , ∠B , a= ;
②已知： c =4, ∠A=30°,则∠B= , a= , b= ;
③已知： a=2 3 , b=2, 则∠A= , ∠B= , c= ;
④已知：b= 2 ,∠A=45°,则∠B= , a= , b= ;
(2)在△ABC 中，∠A=60°,∠C=45°,AB=2,求三角形的面积 S△ABC.
3
(3)如图 1，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D．若 AB＝12，CD＝6，tanB＝ ，

则 sinA 的值为 ．
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生通过根据条件解直角三角形，可以让学生复习巩固
勾股定理和锐角三角函数定义第（2）题 需要添加辅助线，构造出直角三角形，
这样就可以求出△ABC 的底和高，最后求出面积，需要学生具有一定的观察能力
第（3）题，通过在具体图形计算内角的三角函数值，巩固锐角三角函数的概念．培
养学生的“化归思想”。
5.参考答案
⑴①∠A=45°∠B=45°a= 2
②∠B=60° a=2 b=2 3
③∠A=60°∠B=30°c=4
④∠B=45°a= 2 c=4
3 3
⑵sinA=
3
⑶解：过 B点作 BD⊥AC,交 CA 的延长线于 D点
∠BAC=135° ∠BAD=45°
在 Rt△BAD 中，AB=10
AD
cos45°= AD=ABcos45°=5 2 BD=5 2
AB
CD=AC+AD=20 2
在 Rt△BDC 中
BC2 = BD2+CD2=50+800=850 BC=5 3
BD = 5 2 = 0 7 = 5 7sinC=
BC 3 3 7
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
（1）在△ABC 中，AB=2, BC=2 2, AC=3 求 cosA 的值
3
（2）在直角三角形 ABC 中，∠C=90°,∠A=30°AC=3,若 tan∠DBA= ,求 AD
5
的值
(3).如图 3，在△ABC 中，AD 是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．
AB
①求 的值；
BD
②求∠ACB 的度数．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题意在考查学生解斜三角形，并且要求学生能够根据条件准确
画出图形，通过练习活动，渗透“分类讨论思想”。第（2）题考查了解直角三
角形和勾股定理，同时又复习了三角函数的定义，加深了对解直角三角形本质的
理解第（3）题主要考查了等腰直角三角的性质和判定，以及勾股定理的应用，
并利用三角函数的定义建立关系式求解，培养学生综合运用知识的能力。
5.参考答案
⑴解：过 B点作 BD⊥AC 交 AC 于 D 点
BD2 = BC2 CD2 = AB2 AD2
设 AD=x CD=3-x
2 22 3 x2 = 22 x2 5 5解得 x= AD=

AD 5 5
在 Rt△ABD 中 cosA= = × =
AB 2 2
⑵解：过 D作 DE⊥AB 交 AB 于 E 点
AC 3
∠C=90°∠A=30°AC=3 cosA= =
AB 2
AB=2 3
在 Rt△ADE 中∠A=30° 设 DE=x,则 AD=2x,AE= 3x
BE=AB-AE=2 3- 3x
DE 3
tan∠DBA= =
BE 5
X = 3 3 3解得 x= AD=
2 3 3x 5 2
（3）解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，
在 中，
，
，
，
在 中，
，
，
，
；
6.教学反馈
错题 错因 订正
第七课时（23.2（2）一次测量）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，某无人机正在执行任务，已知飞机的飞行速度为 3m/s，从 A处
沿水平方向飞行至 B 处需 10s，同时在地面控制点 C 处分别测得 A 处的仰角为
30°，B处的仰角为 60°．则这架无人机的飞行高度大约是( )
A.15m B.15 3 m C.20m D.20 3m
（2）甲、乙两楼相距 20 米,乙楼的高度为 40 米,自甲楼楼顶 A处看乙楼楼
顶 B处的仰角为 30°,则甲楼的高度为 .
（3）如图，小明想在自己家的窗口 A处测量对面建筑物 CD 的高度，他首先
量出窗口 A 到地面的距离 AB 为 1.5m，又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角为
30°，看建筑物顶部 D的仰角为 45°，且 AB，CD 都与地面垂直，点 A，B，C，D
在同一平面内．求建筑物 CD 的高度.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了构造直角三角形求不规则图形的边长，通过作辅助线，
构造直角三角形是关键，同时渗透“转化思想”。第（2）题考查了学生的观察、
分析能力，加深学生对解直角三角形知识的理解。第（3）题考查了解直角三角
形中仰角和俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的
关键。
5.参考答案
⑴B
20 3
⑵40－
3
⑶解：如图，作 AE⊥CD 于 E，则四边形 ABCE 为矩形，
∴CE＝AB＝1.5m，AE＝BC，
在 Rt△ACE 中，tan∠CAE＝ ，
∴AE＝ ＝ ＝ （m），在 Rt△ADE 中，∵∠DAE＝45°，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝ m，
又∵CE＝AB＝1.5m，
∴CD＝CE+DE＝1.5+ ＝ （m）．
答：建筑物 CD 的高度为 m．
6.教学反馈
错题 错因 订正
第七课时（23.2（2）一次测量）
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图,从热气球 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别是 30°,45°.
如果此时热气球C处的高度CD为 100 m,点 A,D,B在同一直线上,那么A,B
两点之间的距离为(结果保留根号)（ ）
A.100 m B.200 m
C.300 m D.(100+100)m
（2）某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造,如图 11 是风景秀美的
观景山,从山脚 B到山腰 D沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲
从 D 到 A 修建电动扶梯,经测量,山高 AC=154 m,步行道 BD=168 m,∠
DBC=30°,在 D处测得山顶A的仰角为45°,求电动扶梯DA的长.(结果保
留根号)
（3）学生在操场上利用三角函数测量旗杆 AB 的高，直线 l为水平地面，
两个同学把 30°的三角板和量角器按如图所示的方式垂直放在地面上，
量角器的零刻度线与地面重合，此时旗杆顶部 B 的影子恰好落在三角形
板的顶点D处和量角器37°的刻度C处，已知三角形板的边DE＝60厘米，
量角器的半径 r＝25 厘米，量角器的圆心 O到 A的距离为 5米．
（1）则∠AOC＝ °（直接写出答案）
（2）求旗杆AB的高度.（精确到0.1米，参考数据sin37°≈0.6，cos37°
≈0.8，tan37°≈0.75， 3 ≈1.73）
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，要求学生能将 30°,45°这两个角转化为直角三角形内角，
考查解直角三角形的运用。第（2）题需要通过作 2条垂线，构造 2个直角三角
形，培养学生作辅助线的能力。第（3）题综合考查了矩形的性质、解直角三角
形的应用，发展学生的逻辑推理等素养，提高应用意识。
5.参考答案
⑴ D
⑵解：作 DE⊥BC 于 E，
则四边形 DECF 为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在 Rt△DBE 中，∠DBC＝30°，
∴DE BD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在 Rt△ADF 中，∠ADF＝45°，
∴AD AF＝70 （米），
答：电动扶梯 DA 的长为 70 米．
（3）解：过 C作 CP⊥直线 l，过 C作 CM⊥AB 于 M，过 D作 N⊥AB 于 N，
在 Rt△OCP 中，CP＝OC sin37°≈0.25×0.6＝0.15 米，OP＝OC cos37°≈
0.25×0.8＝0.2 米；
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴CM DN，
∴△BND∽△BMC，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
答：旗杆 AB 的高度为 5.6 米．
6.教学反馈
错题 错因 订正
第八课时（23.2(3)方位角问题）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）在一次暑期活动中，小红从位于 P点的空地出发，沿北偏东 60°方向走
了 10km 到达 Q地，然后再沿北偏西 30°方向走了若干千米到达 R地，测得 P地
在 R地南偏西 30°方向，求 P，R两地的距离.
（2）如图所示,小文同学在东西走向的红一路 A处测得一处哈罗单车租用点 P
在北偏东 60°方向上,从 A处向东走若干米到达 B处,又测得该服务点 P在北偏东
30 方向上,已知租用点 P 到红一路的距离为 5米，问 AB 的长度为多少(结果保
留根号).
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题首先需要学生会根据题意准确画出图形，并且结合图形分析题意，
会解直角三角形；第（2）题是典型的侧山峰模型，需要学生建立模型，熟练运
用解直角三角形的相关知识来解题。
5.参考答案
PQ 0 3
(1) 解：由题意得，∠PQR=90°，∠RPQ=30°,cos∠RPQ=cos30°= = = ,
PR PR 2
20 20
PR= 3km，所以 P，R两地的距离为 3km。
3 3
PC
(2)解：∵在 Rt△PBC 中, =tan∠PBC,
BC
PC 3 5
∴BC= = PC= 3
tan0 3 3
PC
∵在 Rt△PAC 中, =tan∠PAC,
AC
PC
∴AC= = 3PC=5 3.
tan30
5 0
∵AB=AC-BC=5 3 3= 3米,
3 3
0
答:AB 的长度为 3米。
3
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图所示,一艘驱逐舰自西向东航行,在 A处测得北偏东 68.7 的方向
上有一座小岛 C,继续向东航行 80 海里到达 B处,测得小岛 C此时在轮船的北偏
东 26.5 的方向上,之后,该舰继续向东航行多少海里,距离小岛 C最近
(结果精确到 1海里.
参考数据:sin21.3 9≈ ,tan21.3 2≈ ,sin63.5 9≈ ,tan63.5 ≈2)
25 5 0

（2）如图，某供电公司的电缆线路从 A 市的东偏北 30°方向直线延伸，
测绘员在 A 处测得要安装电缆的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员沿电缆
线路步行 1000m 到达 C处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向，请你在电缆
线路上寻找支点连接点 Q，使到该小区安装的电缆线路最短，并求 AQ 的长.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题综合运用解直角三角形的相关知识，，加深学生对锐角三角
函数的理解，同时加深对方位角和解直角三角形的认识；第（2）题需要先过点
过 M作 MN⊥AC于 N点，然后再通过解直角三角形来解决问题，要求学生具有一
定的分析问题和独立思考能力；
5.参考答案
（1）解：如图所示,过点 C作 AB 的垂线,交直线 AB 于点 D,
得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD.设 BD=x 海里.
由题意,得∠CBD=90 -26.5 =63.5 ,∠CAD=90 -68.7 =21.3 .
CD
在 Rt△BCD 中,tan∠CBD= ,
BD
∴CD=x tan63.5 海里.
CD
在 Rt△ACD 中,AD=AB+BD=(80+x)海里,tanA= ,
AD
∴CD=(80+x) tan21.3 海里,
∴x tan63.5 =(80+x) tan21.3 ,
2
即 2x= (80+x),解得 x=20.
5
答:轮船继续向东航行约 20 海里,距离小岛 C最近.
（2）解：过 M作 MQ⊥AC 于 Q 点，即 MQ 最短，∵∠MAQ＝60°－30°＝30°.
1
∴∠AMQ＝60°.又∵C处看 M点为北偏西 60°，∴易得∠AMC＝90°，∴MC＝2AC
1
＝500m，∠CMQ＝30°，∴QC＝2MC＝250m，∴AQ＝750(m).
6.教学反馈
错题 错因 订正
第九课时（23.2(4)堤坝问题）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知某铁路路基的某个斜坡的坡度为 1: 3,则这个斜坡的坡角为（ ）
A. 30 B. 5 C. 0 D. 90
（2）如图,水库的拦水坝为一个四边形,其中
AD//BC.若两斜坡的坡度均为 i=2:3,上底宽是 3.5 m,
坝高是 4.5 m,则水坝的下底宽是多少米。
（3）如图，燕尾槽的横断面是四边形 ABCD，
AD//BC，其中∠B=∠C=5 ，外口宽 AD=160mm，燕
尾槽的深度 AE=60mm，则它的里口宽
BC= (tan56°≈1.483，精确到 1mm).
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，学生要了解坡度和坡角的定义以及它们与正切的关系，然
画出图形，运用正切来求解。第（2）题是坡度和正切关系的实际应用，其中学
生要会构造直角三角形并会解直角三角形，培养学生分析问题、解决问题的能力，
也能够渗透数形结合思想，让学生认识到数学源于生活并用于生活，培养学生的
应用意识；第（3）题同第（2）题，通过作垂线段构造直角三角形并利用正切的
定义来解决问题。其中，与第二问不同的是这里的正切是近似数，最后的结果需
要精确到 1mm,这里需要学生具备一定的运算能力，可以提升学生的运算素养。
5.参考答案
（1）答案：A
（2）解析：水坝的下底宽=3+3.5+3=9.5km。
AE 0
（3）解析：BE= = 0.mm,所以 BC = 2mm。
tan5° .83
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家
提供的方案是水坝加高 3m(即 CD＝3 m)，背水坡 DE的坡度 i＝5∶6(即 DB∶EB
＝5∶6)，如图所示，已知 AE＝6 m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度 BC.(结
果精确到 1 m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
（2）如图，AD是土坡 AB左侧的一个斜坡，坡度为 55°，居委会在坡底
D处建另一个平台（图中 CD），并将斜坡 AD改为 AC，坡度 i＝1：1，土坡
AB的高度为 10米，求平台的高度．（精确到 0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，根据∠BAC的正切值，用含 BC的代数式表示出 AB的长，
再由 DE的坡度可知 BD＝BE，再列方程求出 BC的长，渗透方程思想，需要
学生具备一定的的思维和运算能力，能有效反映学生的思维水平。第（2）题
学生先要过点 C作 CE⊥AB于 E，根据坡度的概念得到 CE＝AE，再根据正切
的定义列方程，解方程得到答案，这里需要学生根据正切定义建立方程模型，
渗透方程思想，提升学生的应用意识。
5.参考答案
（1）解： 设 BC＝x m.
在 Rt△ABC 中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
BC BC 5BC 5
∴AB＝ ≈ ＝ ＝ x(m)．
tan50° 1.2 6 6
在 Rt△BDE 中，∵i＝DB∶EB＝6∶5，
∴DB＝EB，
5
∴6（CD＋BC）＝5（AE＋AB），即 6（3＋x）≈5（6＋ x），
6
解得 x≈7，故 BC≈7 m.
答：水坝原来的高度 BC 约为 7 m.
AB
（2）解：过点 C作 CE⊥AB 于点 E，则 CE=AE=BD= ≈7m,
tan55o
所以，CD=BE=AB-AE=3m，平台高度 CD=3m。
6.教学反馈
错题 错因 订正
第十课时（23.2（5）倾斜角问题）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(3,4),OP 与 x 轴正半轴的夹角α
的正弦值为 。
（2）直线 y=kx-5 与 y 轴相交所成的锐角为 30°,则 k的值为 .
（3）如图，△ABC 的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC＝6，边
AB 所在直线的表达式为 y＝x+2，求 sin∠ACB．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查学生对正切三角函数知识的灵活运用，同时，体会三
角函数和平面直角坐标系的关系；第（2）题，学生要了解正切与倾斜角之间的
关系，检验学生对新知识学习的理解。同时通过师生评价，纠错反思，能培养学
生的理性思维；第（3）题学生先通过斜率得到倾斜角正切，再在直角三角形中
运用三角函数知识来解决问题。渗透“转化”思想，培养学生的数学思维和理性
精神。
5.参考答案

（1）sinα=
5
3
（2）sinα=
3
AO 2 5
（3）解：AO=2=BO，OC=4，所以，AC= =2 5，所以，sin∠ACB= = =
AC 2 5 5
6.教学反馈
错题 错因 订正
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B两点，P是线段 AB
上任意一点（不包括端点），过 P分别作 PM⊥x轴于 M，PN⊥y轴于 N
若 PM=PN，求 cos∠AOP的值.
（2）如图所示,在平面直角坐标系内,O为原点,点 A的坐标为(18,0),点 B在第
一象限内,BO=10,sin∠BOA=3.求点 B的坐标;
5
4
（3）一次函数 y= x+4的图象与 x轴、y轴分别交
3
于 A、B两点，点 C（-1，0），若一抛物线经过点 A、
B、C三点，当抛物线开口向上时过 A、B、C三点作△ABC，求 tan∠ABC的值．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题需要学生先将矩形拆分成直角三角形，再通过锐角三角函数定
义求出正弦值 ，培养学生思维的灵活性；第（2）题，学生先要过点作坐标轴的
垂线段，再联系前面学习的解直角三角形相关知识来求解，能够培养学生良好的
思考能力和分析问题的能力，提升数学运算、逻辑推理等素养。加深对性质本质
的理解；第（3）题考查解直角三角形和前面学习的二次函数知识的综合问题，
首先学生能够求出二次函数表达式，再画出图形，运用锐角三角函数知识解决问
题，培养培养学生的运算能力以及分析和解决问题的能力，渗透数形结合的数学
思想，发展学生的逻辑推理等素养。
5.参考答案
2
（1）解析：cos∠AOP= 。
2
（2）解析：B点坐标为（8,6）。
（3）解析：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB= 32 2=5，
DC
过 C作 CD⊥AB 于 D，则 tan∠ABC= ，
BD
OB CD AO AD
∵sin∠BAO= = ，cos∠BAO= = ，
AB AC AB AC
CD AD 3
∴ = ， = ，
AC 5 AC 5
8
∴DC= ，AD= ，
5 5
9
∴BD= ，
5
8
∴tan∠ABC= ．
9
6.教学反馈
错题 错因 订正
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.tan45°的值等于（ ）
1
A. B.1 C. 2 D. 3
2 12
2.如果α是锐角，且 tanα = 5 ，那么 sinα的值为（ ）
5 5 12 13
A. B. C. D.
13 12 13 12
3
3.在ΔABC 中，∠ABC=90°，若 AC=10，cosA= ,则 AB 的长为 （ ）
25 50 5
A．6 B．8 C. D.
2 3 3
4.如图，一个小球沿倾斜角为 a的斜坡向下滚动， tan a=4 ．当小球向
下滚动了 2.5米时，则小球下降的竖直高度是（ ）
A.1.5 B.2 C.2.5 D.4
5.如果△ ABC中，∠C = ∠A ∠B，sinA－sinB = 0，则下列最确切的结
论是（ ）
A.△ ABC是直角三角形 B.△ ABC是等腰三角形
C.△ ABC是等腰直角三角形 D.△ ABC是锐角三角形
二、填空题
6.在平面直角坐标系的第一象限有一点 P，点 P到原点 O的距离为 r，直线
PO 与 x 正半轴的夹角为α，则点 P的坐标为 .
7.在△ ABC中，AB = 2 2，AC = 3，cos 2∠B= ，则 BC边长为 .
2
8.一条传送带和地面所成斜面的坡度为 3∶4，如果它把一物体从地面送到
离地面 6米高处，那么该物体所经过的路程是 .
三、解答题
9.两角α、β和、差的正弦有如下的公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
利用以上公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来
求值.如:
sin75°
=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45°
= 1 × 2 + 3 × 2 = 2 + 6 .
2 2 2 2 4
求 sin15°的值.
10.在三角形中，顶角为 36°的等腰三角形叫做黄金三角形。如图，在ΔABC
中，AB＝AC，∠A＝36°，则ΔABC 叫做黄金三角形。作∠ABC 的角平分线，交 AC
于点 D.
（1）求证：△ABC∽△BDC.
（2）求证：点 D是线段 AC 的黄金分割点.
（3）求 cos36°.
11.如图，在地图上，两条平行公路 l1和 l2间有一条“Z”型小路连通，
其中 AB 段与公路 l1成 30°角，长为 20m；BC 段与 AB，CD 段都垂直，长为 10m，
CD 段长为 30m，求两平行公路间的距离(结果保留根号)
参考答案
（1）B；
（2）C；
（3）A；
（4）A；
（5）C；
（6）（rcosα,rsinα）；
（7）17 或 7；
（8）10 米
（9）解：sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
= 2 × 3 - 2 × 1 = 6 - 2 .
2 2 2 2 4
（10）
（1）证明：
∵AB=AC,∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°
∴BD=AD ∠BDC=∠ABD+∠A=72°
∴BD=BC
∵∠C=∠C ∠DBC=∠A
∴△BDC∽△ABC
（2）由（1）得△BDC∽△ABC
∴CD:BC=BC:AC
∵AD=BD=BC
∴CD:AD=AD:AC
即点 D是线段 AC 的黄金分割点.
（3）由（2）得点 D是线段 AC 的黄金分割点.
5 -1
∴CD:AD= ，设 CD=2，则 AD= 5 +1，作 BE 垂直于点 E，如图
2
则 DE=1，AE= 5 + 2 ,AB= 5 + 3 ,在 RtΔABE 中，
AE 5 + 2 5 +1 ° 5 +1cosA= = = 即 cos36 =
AB 5 + 3 4 4
（11）解：过 B点作 BE⊥l1，交 l1于 E，CD 于 F，l2于 G．
在 Rt△ABE 中，BE=ABsin30°=20× =10，
在 Rt△BCF 中，BF=BC÷cos30°=10÷ = ，
CF=BFsin30°= × = ，
DF=CD﹣CF=（30﹣ ），
在 Rt△DFG 中，FG=DFsin30°=（30﹣ ）× =（15﹣ ），
∴EG=BE+BF+FG=（25+5 ）．
故两高速公路间的距离为（25+5 ）m．
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 改编
2 选择题 2 √ 易 改编
3 选择题 2 √ 易 改编
4 选择题 3 √ 易 选编
5 选择题 2 √ 中 改编
6 填空题 1 √ 易 原创 30 分钟
7 填空题 2、3 √ 较难 原创
8 填空题 3 √ 中 原创
9 解答题 1、2 √ 中 原创
10 解答题 1、2、3 √ 难 原创
11 解答题 2、3 √ 较难 选编

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