资源简介

九 数 沪 科 作 业 设 计
目录
一、单元信息............................................................................................................................................................................... 2
二、单元分析............................................................................................................................................................................... 2
三、单元学习与作业目标........................................................................................................................................................... 5
四、单元作业设计思路............................................................................................................................................................... 5
五、课时作业............................................................................................................................................................................... 6
六．章末质量检测作业............................................................................................................................................................. 72
七．本章本章作业设计说明（附）......................................................................................................................................... 78
1
作业设计（九年级 上册 第 22 章相似形）
一、单元信息
教材
基本 学科 年级 学期 单元名称
版本
信息
数学 九年级 第一学期 沪科版 相似形
单元组
自然单元 □重组单元
织方式
序号 课时名称 对应教材内容
22.1 比例线段（共 4课时）
1 相似多边形的概念和性质 第 22.1（1）（P62-64）
2 成比例的线段 第 22.1（2）（P65-66）
3 比例的基本性质与黄金分割 第 22.1（3）（P66-69）
4 平行线分线段成比例定理及其推论 第 22.1（4）（P69-71）
22.2 相似三角形的判定（共 5课时）
相似三角形的概念与相似三角形判
5 第 22.2（1）（P76-77）
定的“预备定理”
6 两角对应相等，两个三角形相似 第 22.2（2）（P78-79）
两边对应成比例且夹角相等的两个
7 第 22.2（3）（P79-80）
三角形相似
课时信息
8 三边对应线比例的两个三角形相似 第 22.2（4）（P80-82）
斜边与直角边对应成比例的两个直
9 第 22.2（5）（P82-84）
角三角形相似
22.3 相似三角形的性质（共 2课时）
10 相似三角形性质 1 第 22.3（1）（P87）
相似三角形周长比等于相似比、面
11 第 22.3（2）（P88-90）
积比等于相似比的平方
22.4 图形的位似变换（共 1课时）
12 图形的位似变换 第 22.4（1）（P95-97）
22.5 综合实践（共 1课时）
13 综合实践（测量与误差） 第 22.5（1）（P102-103）
14 小结与评价 小结（P104-105）
15 章末质量检测 P73
二、单元分析
（一）课标要求
在《课程标准》中规定“为体现义务教育数学课程的整体性与拓展，根据学生数学学习
的心理特征和认知规律，将九年的学习时间划分为四个学段”.其 9年级为第四学段.
并要求：“综合运用数学和其他学科知识与方法解决问题，积累数学活动经验，发展核心素
养。探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同
的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型
观念和数据观念。在与他人合作交流解决问题的过程中，能够严谨、准确地表达自己的观点，并
2
能较好地理解他人的思考方法和结论。能够回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结
论，形成批判性思维和创新意识.
关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克
服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创
造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯”.
在《课程标准》中，对相似形的具体目标如下：
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；了解相似多边形和相似比.通过建筑、艺术
上的实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
了解相似相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明.
4.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比，周长比等于相似比；面积比等于
相似比的平方.
5.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
6.结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决
问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结
果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验.通过对有关问题的探讨，了解所
学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.
（二）教材分析 相似多边形的概念和性质
1.知识网络 成比例的线段
22.1 比例线段
比例的基本性质与黄金分割
平行线分线段成比例定理及其推论
相似三角形概念与相似三角形判定的“预备定理”
两角对应相等，两个三角形相似
22.2 判定 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边对应线比例两个三角形相似
相
似
斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似
形
相似三角形性质 1
22.3 性质
相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比
22.4 位似变换 图形的位似变换
22.5 综合实践 3
(测量与误差)
2.内容分析
“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的
内容.数学史上，相似三角形很早就被人们所认识.大约公元前 1600 年，古巴比伦人就已经知道“两
个相似直角三角形对应边成比例”这一性质，并利用该定理求解几何问题.在古巴比伦泥版文献中
已经出现相似三角形的应用问题；公元前 6 世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯
(Eupalinos)在设计隧道挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯(Thales)已经会运
用相似三角形来进行测量.(汪晓勤:《相似三角形的应用：从历史到课堂》,刊于《中学数学教学
参考》，2007(9).)
公元前 3世纪,我国汉代数学名著《九章算术》“勾股”章中含有一系列勾股测量问题以及欧
几里得(Euclid)、公元 1世纪的海伦(Heron)在有关著作中都曾利用相似三角形性质来解决有关测
量问题.
全等与相似的关系是：全等一定相似，相似不一定全等全等是相似比为 1的相似。相似注重
的是“形”同.全等关注的所有元素的“值”等.根据学生的认知规律，是遵循由具体到抽象，再
到具体的螺旋式上升.在学习全等这个相似的特例后，并类比全等再来研究相似，这种“特殊与一
般”间的相互比较与学习，更容易形成知识体系.
本章共有五节内容.22.1 节“比例线段”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，比例线段
的有关概念及性质；其中“平行线分线段成比例”是作为“基本事实”让学生了解的.22.2 节“相
似三角形的判定”主要研究相似三角形的判定方法；22.3 节“相似三角形的性质”主要研究相似
三角形的性质和相似三角形在测量中的应用；22.4 节“图形的位似变换”研究了一种特殊的相似
______
位似，研究了位似图形的画法以及在平面直角坐标系中的位似变换.22.5 节“综合与实践测量
与误差”培养学生动手操作能力，通过实际测量、计算培养学生应用数学知识解决实际问题的能
力.
在学习本章之前，我们已研究过图形的全等变换，了解“全等”是图形间的一种关系，“相
似”也是图形间的一种相互关系.与“全等”不同，“相似”指这两个图形形状相似、大小不一定
相等，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换.
当放缩比为 1时，这两个图形就是全等的.由此可见，全等是相似的一种特殊情况.
在物理学中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似的有关知识.学好本章内容
对于学生今后从事各种实际工作具有重要作用.
3.学情分析
本学期是初中学习的关键时期,整个年级两极分化严重.对优生来说能够透彻理解本章相似形
知识间的内在联系都较为困难,后进生更是举步维艰.本章作业中要通过大量推理题的训练提高分
析解题能力,同时克服学生对有关相似形知识点的畏难情绪.
在本章学生的逻辑推理、逻辑思维能力计算能力需要得到加强.课堂作业大部分学生能认真完
成，少数学生需要教师督促.作业需要分层布置，可以更好的提高作业的整体效果.学生课外主动
获取知识的时间不多，能力不够.他们的自主拓展知识面及向深处学习知识的能力，需要教师在精
选作业习题并能细腻讲解中得到培养.因此，作业设计中要关注以下三点：
1.突出图形判定和性质的训练，重视逻辑推理培养.在对相似三角形的判定与性质的研究中重
视推理，也同时渗透类比等重要的数学思想.
2.突出所学数学知识的应用.会联系实际生活发现数学问题，并运用所学知识解决问题，提高
应用知识解决实际问题的能力.
3.突出知识前后的联系，重视各种数学思想方法的有机结合.
本章主要涉及的数学思想方法有类比、转化等相似内容是全等内容的拓展与延伸.在利用相似
三角形的性质解决实际问题时，通过建模，把要解决的实际问题转化为我们已经熟悉的数学问题，
从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单.
4.重难点
重点：掌握相似三角形的判定与相似三角形的性质.
难点：掌握相似三角形的判定方法、定理的证明，尤其是涉及要构造一个全等的三角形作为
4
中介而进行的证明.
为了通过作业完成对知识重点的把握与难点的突破.设计如下：
（1）作业由易至难有层次有梯度选题：这样便于三维目标落实的同时,因学生的个体差异
而制订个性化目标.特别对于基础薄弱的学生只需完成基础性简单题.并且根据《课标》要求
对这部分学生采取“延迟评价”的方式,提供再次评价的机会,使他们看到自己的进步,树立更多学
好数学的信心.
（2）作业评价:对答案的正确的给予肯定与鼓励.围绕知识点把习题分析透彻,凡是涉及到的
知识点务必让学生掌握.解题过程就是一个巩固新知复习旧知的过程,作业评价中教师的分析讲解
就是知识点再学习的过程,目的是让学生掌握并会运用已知知识独立去解决新问题的过程.进而达
到由“量变”到“质变”的跃进.
对于拓展题师生共同探讨解决；对于需规范详细步骤的证明题,以作业展示的形式师生共同分
析探究完成.
（3）作业评价方式：依据《课标》要求体现评价主体的多元化和评价方式的多样化.既关注
学生的学习结果,更关注了学生在学习过程中的发展和变化.方式如下：
①全批全改:便于全面了解学生数学学习达到的水平和存在的问题.
②相互找错:促进同学间的互相合作与探究.也是自主完成知识的学习过程.
③自我批改:培养独立意识,学会主动积极去解决问题.
④当面批改:及时并有针对性地给学生查缺补漏.及时给学生以反馈和指导.
⑤抽样批改:教师有目的地对基础薄弱的学生的作业进行抽查批改,以更好地发现问题,使作
业讲评更具有针对性.
⑥师生共批:教师批难,学生批易.简单的问题学生批改时不自觉地完成知识点的理解与掌握.
⑦评语激励:有利于增强学习数学的自信心,提高学习数学的兴趣,便于养成良好的学习习惯,
促进学生的发展.
三、单元学习与作业目标
1.通过学习与练习，巩固比例的基本性质及相关性质；理解黄金分割概念，知道黄金数.
掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.通过学习与练习，熟练两个三角形相似的概念、两个三角形相似的判定条件.会区别对待直
角三角形相似的判定.能运用三角形相似解决生活中的简单实际问题.
3.通过学习与练习，加深两个三角形相似的性质运用.特别是“相似三角形面积的比等于相似
比的平方”.
4.通过学习与练习，巩固图形的位似，知道利用位似变换对图形进行放大或缩小.
5.通过学习与练习，熟练“综合与实践·测量与误差”中的方法与计算.培养学生运用数学知
识解决一些实际简单问题的能力和应用数学的意识,并结合相似图形的判定与性质的证明，进一步
发展学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力.
四、单元作业设计思路
作业设计类型与意图
【作业 1:课前预习作业】(预习为主，培养自主学习的习惯；自主发现问题，带着问题听课，
使课堂接受效果事半功倍.题量 1 题.）
【作业 2:课中提醒作业】(通过作业形式及时巩固所学知识，发现问题并解决问题，提高课
堂学习效果.题量 1 题.）
【作业 3:课后基础作业】(面向全体，体现课标.题量 2～4 题.为必做题.）
【作业 4:课后拓展作业】（体现个性化、探究性、实践性，是对新知的整合与延伸.题量 1～
2 题，要求学生有选择的完成.）
具体设计体系如下：
5
课前预习作业 复习预习
课中提醒作业 巩固提醒
相似形作业设计体系
常规练习
课后基础作业
个性化作业
实践性作业
思维拓展
课后拓展作业
整合运用
探究延伸
五、课时作业
22.1 比例线段（共 4 课时）
1.内容分析
这是相似形的第一节（22.1 比例线段）.在学习本章之前，我们已研究过图形的全等变换，
了解“全等”是图形间的一种关系，“相似”也是图形间的一种相互关系.与“全等”不同，“相
似”指这两个图涉及线段比，所以由此开始引出研究比例线段和比例性质.
本节主要学习相似图形、相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质.其中“平行线分线
段成比例”是作为“基本事实”让学生了解的.本节内容先是要学习相似多边形和相似比的概念，
然后研究相似图形，接着要学习比例线段的有关知识.具体有成比例线段概念、比例的基本性质、
合比性质和等比性质.
2.学情分析
由学生认知规律看：小学六年级已学习了数的比，这节将由数的比扩大到代数式的比及比例，
更系统地研究了比例的一系列性质，为后面相似三角形的对应边成比例打下基础.
学生刚刚接触相似知识，有些细节需要强调，如：关于相似多边形概念提及的“形状相同”
是相似的直观描述，不能作为相似的判定.又如：比例基本性质的“比例式”与“乘积式”可以互
相转化，它不仅为今后证明等积式提供了依据，也可用来检查比例变形的正确与否.
3.重点与难点
重点：（1）相似多边形的概念；（2）比例的基本性质.
难点：比例的性质及应用.
4.作业目标
通过学习与练习：
1.了解相似多边形及相似比等有关概念.
2.了解成比例线段的概念、比例的基本性质、合比性质与等比性质.
3.会运用比例的性质进行比例变形，并解决有关问题.通过实例了解黄金分割.
4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
6
第一课时（22.1 比例线段（1））
（相似多边形的概念和性质）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用全等三角形的性质之一：全等三角形的对应边相等、对应角相等．
2.作业内容
如图，∠B和∠D A B是对应角，AF和 CE是对应边．
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边；
(2)若∠B=30°，∠DCF=40°，求∠EFC的度数； E
F
(3)若 BD=10，EF=2，求 BF的长．
3.时间要求（6 分钟） D C
4.作业分析与设计意图
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质
进行推理是解此题的关健.注意：全等三角形的对应边相等、对应角相等．
(1)根据全等三角形的性质得出即可；
(2)根据全等三角形的性质求出∠D，再由三角形外角性质求出即可；
(3)根据全等三角形性质求出 BF=DE，求出 BE=DF，即可求出答案．
目的：类比全等，为学习相似作铺垫.
5.作业解答
【解】(1)其他对应角：∠BAF和∠DCE,∠AFB和∠CED；
其他对应边：AB和 CD，EF和 DE．
(2)∵△ABF≌△CDE，∠B=30°，
∴∠D=∠B=30°,
∵∠DCF=40°,
∴∠EFC=∠D+∠DCF=30°+40°=70°.
(3)∵△ABF≌△CDE,
∴BF=DE.
∴BF－EF=DE－EF,
即：DF=BE.
∵BD=10，EF=2，
∴BF=BE+EF=4+2=6.
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用相似多边形对应边成比例.
2.作业内容
秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶
红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则 x的值为______．
7
20cm
10cm
xcm 22cm
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于
相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
5.作业解答
【解】由两个枫叶图案相似，则：
x = 10
22 20
∴x=11.
答：x的值为 11cm.
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用相似多边形的性质．并让学生理解“对应边就是大小一致对应的边”.
2.作业内容
(1)如图，有两个形状相同的星星图案，则 x的值为( ).
(A)15 (B)12 (C)10 (D)8
(2)要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、
60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( ).
(A) 1 种 (B)2 种 (C)3 种 (D)4 种
(3)一个四边形的边长分别是 3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为 6，这个四边形的
周长是__________.
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：这两个图形形状相同,即两个图形相似,则对应线段的比相等.通过作业可
加深对概念的理解.
8
作业第（2）题：三角形相似，那么它们的边长的比相同，均为 5:6:8，乙那个 20cm 可以
当最短边，也可以是中间大小的边和最长的边.
作业第（3）题：由题意可知相似比为 3:4，所以各对应边的比都是 3:4,求出这个四边形的
其他三边长即可得出周长.这里题强调对应边成比例，同时培养学生的几何直观.
5.作业解答
(1)【解】∵相似，∴6:x=15:20,解得 x=8.
(2)【解】∵相似，∴5:6:8=20:x:y或 5:6:8=x:20:y或 5:6:8=x:y:20.故 3 种，选 C.
(3)【解】∵相似，∴3:4:5:6=6:x:y:z.∴x=8,y=10,z=12.∴周长=36.故填 36.
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用相似多边形的性质．并让学生理解“矩形对应边的比就是长与宽一致
对应的边”.
2.作业内容 (1)如图 3.把矩形 ABCD对折，折痕为 MN，矩形 DMNC与矩形 ABCD相似，
已知 AB＝4.
①求 AD的长；②求矩形 DMNC与矩形 ABCD的相似比．
(2)一块长 3m，宽 1.5m 的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽 7.5cm，边框的内外边缘所
围成的两个矩形相似吗？为什么？
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题： DM CD
第①问由题意可知矩形 DMNC与矩形 ABCD相似,则 ，因为是对折，所以 DM
1 CD AB
是 AD长的一半，设 AD是 x,可得 x2 =16,解得 x= 4 2 (负值舍去);
2
第②问知矩形 DMNC与矩形 ABCD相似.
作业第（2）题：不相似.既要考察相似多边形概念，也要让学生会利用相似多边形的对应
边成比例这一知识点来解决问题.
5.作业解答
(1)【解】
①∵矩形 DMNC∽矩形 ABCD相似
∴DM:AB=MN:BC.
∵MN=AB,BC=AD,
∴AD2=2AB2. 2=2×4
∴AD=4 2 (负值舍去)
CD = 4 = 2 2②∵ ∴相似比为 .
AB 2 2 2
(2)【解】
∵3m=300cm，1.5m=150cm,边框的外缘所围成的长方形
长为 300+2×7.5=315cm,宽为 150+2×7.5=165cm,
∴300:315≠150:165，
∴边框的内外边缘所围成的矩形不相似.
9
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 方法正确，过程合理规范，答案正确. √ √ √
预习 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范. √
作业 C 没有理解全等三角形的性质，答案错误.
课中 A 思路清晰，答案正确. √ √ √
巩固 1 B 思路正确，答案错误. √
作业 C 没有掌握相似多边形的概念，答案错误.
A 答案正确，过程规范. √ √ √
1 B 答案正确,过程不完整. √
C 答案不正确.
A 能分类讨论对应边关系，正确选出答案. √ √ √
课后
2 B 能正确选出答案. √
基础
C 不能分类讨论对应边关系，答案不正确.
作业
A 能根据相似多边形的性质，计算出各对应边的 √ √ √
长，计算出周长.
3 B 能计算出多边形出周长. √
C 不能准确计算出多边形出周长.
A 能准确计算出结果，答题过程规范. √ √ √
1 B 能准确计算出结果，但答题过程不规范. √
课后 C 不能准确计算出结果，答题过程不规范.
拓展 A 能条理清晰地说明两个矩形相似的理由. √ √ √
作业
2 B 能说明两个矩形不相似，但条理不清晰. √
C 不能得出两个矩形不相似.
10
第二课时（22.1 比例线段（2））
（成比例的线段）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固“相似多边形的对应边成比例”.
2.作业内容
如图，一张桌布，内外是两个矩形 ABCD和 EFGH，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两
个矩形相似？
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据题意列出比例式，难度不大．
5.作业解答
a n
【解】 .b m
理由:∵两个矩形 ABCD和 EFGH相似，
AD
∴ = CD
EH GH
m n
即
m 2b n 2a
a n
∴ =b m
a n
答： =b m 时两个矩形相似．
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“由等式性质完成比例的正确变形”.会运用“同份数的比”与“设 k
法”.
2.作业内容
1 1
已知x : y = 2 : 5, x : z = : ，求x : y : z
4 3
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
根据比例的性质将 x、y、z化为“同份数的比”，可得结论．
本题考查了比例的性质，也可以利用“设 k法”表示出，将 x、y、z求解更简便．
5.作业解答
【解】
x : y = 2 :5,x : z = 1 : 1 3: 4
4 3 11
∵
∴x:y=6:15,x:z=6:8,
∴x:y:z=6:15:8.
作业 3（课后基础性作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用比例线段的概念,比例中项.
2.作业内容
(1)一把矩形米尺，长 1米，宽 3 厘米，则这把米尺的长于宽的比为_________.
(2)已知线段 a,b,c,d可以构成比例线段，其中 a =3cm,b =2cm, c=6cm 则 d=____.
(3)如果 b是 a和 c的比例中项，且 a:b=12:8,则 b:c=______.
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题： 1m=100cm,则长与宽的比是 100:3.
作业第（2）题：因为线段 a,b,c,d a c 3 6成比例线段，所以 = ,即 = ,解得 d=4cm.
b d 2 d
作业第（3）题：因为 b是 a和 c的比例中项，则 a:b=b:c，则 b:c=12:8=3:2.
考察学生比例的基本性质与比例中项的概念，会对“比例式”与“乘积式”互化.
4.作业解答（见分析）
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深理解“比例的性质与比例中项的概念，并正确进行会类讨论及求解”.
2.作业内容
(1)已知三个数 1, 2 ,2，请你添加一个数，使它们构成比例式，这个数可以是几？
(2) ①已知 a = 4,c = 9,若 b是 a，c的比例中项，求 b的值;
②已知线段 MN是 AB和 CD的比例中项，AB=4cm,CD=5cm,求 MN的长度.
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：通过练习，考察学生对成比例线段概念的理解与运用.
作业第（2）题：此题既对比例中项定义的考察，也是提醒非线段时注意负值的遗漏，培养
学生考虑问题的全面性.
5.作业解答 1 x 1 2 x 2
(1)【解】设这个数是 x,根据比例式的概念可知 , ,
2 2 2 2 x 1 2
.
∴x 分别为 2,2 2, .
2
(2)【解】
①b是 a，c的比例中项，所以b2 =36,解得 b=6 或-6；
②∵MN是 AB和 CD的比例中项，
∴MN 2=4×5=20，
∴MN=2 5 cm 或 2 5 cm(负值舍去).
12
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 方法正确，过程合理规范，答案正确. √ √ √
预习 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范. √
作业 C 没有理解相似多边形的概念，答案错误.
课中 A 方法正确，过程合理规范，答案正确. √ √ √
巩固 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范. √
作业 C 没有理解线段的比的概念，答案错误.
A 能准确计算长与宽的比值. √ √ √
1 B 能准确计算长与宽的值，比值不正确. √
C 忽略单位一致，导致比值错误.
课后 A
能依据成比例线段定义，准确列出比例式，计
d √ √ √算 的值，并正确填写.
基础 2 B 能计算出 d值，书写时遗漏单位. √
作业
C 不能准确计算出 d值.
A 能直接根据定义，求出 b﹕c=a﹕b,且化简. √ √ √
3 B 能计算出 b﹕c值，但忘记化简了. √
C 不能准确计算出答案.
A 能用分类讨论的数学思想，根据比例式的概念，
求出 x √ √ √的值.
1 B 能根据比例式概念，求出 x的值.但答案不完整. √
课后 C 不能根据比例式的概念求出 x的值.
拓展
A 能根据比例中项的定义，求出 b与 MN的值， √ √ √
作业 且正确取值范围.
2 B 能根据比例中项的定义，列出方程，但忽略了 √
字母的取值范围.
C 不能根据比例中项列出方程并求解.
13
第三课时（22.1 比例线段（3））
（比例的基本性质与黄金分割）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固比例中项.
2.作业内容 如果线段 a =2cm,b =18cm,那么 a和 b的比例中项是( ).
(A)3cm (B)4cm (C) ±6cm (D)6cm
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
5.作业解答
【解】：由比例中项概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.
设它们的比例中项是 xcm，则:
x2=2×18，
∴x=±6.线段是正数，负值舍去．
∴x=6
故选：D．
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深等比性质的应用.
2.作业内容 x+ y = z+x y+ z已知 xyz≠0, = = k ，z y x 求 k的值．
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
分类：①当 x+y+z≠0 时，②当 x+y+z=0 时，利用等比性质解答，用一个字母表示出另两
个字母的和，然后求解即可．本题主要考查了等比性质的应用，比较简单，熟记性质是解题的关
键，根据合比性质的分母的情况要注意分情况讨论．
5.作业解答
【解】∵xyz≠0
∴x、y、z均不为 0，
①当 x+y+z≠0时，
x+ y = z+ x = y+ z∴ = kz y x
∴ k
2(x y z)
2,
x y z
②当 x+y+z=0 时，x+y=-2，z+x=-y，y+z=-x,
∴k=-1，
综上所述，k=2 或-1．
作业 3（课后基础性作业）
14
1.作业目标
利用练习，加深运用比例的基本性质与黄金分割.
2.作业内容
（1）已知线段 a、b、c、d满足 ad＝bc，则下列比例式不成立的是( ).
(A a c a b a c d c) (B) (C) (D)
b d c d d b b a
（2） ① a 1 a b若 ，则 _______；
b 2 b
②若 x∶y∶z 3x 2y z＝4∶5∶7，则 _____．
2x 3y 2z
（3）已知线段 AB＝6，C为 AB的黄金分割点，则 AC =_______.
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：考察比例的基本性质.
作业第（2）题：①考察合比性质；②利用设参数的方法，设出 x=4k,y=5k,,z=7k,然后代
入到代数式中计算即可得出.
作业第（3）题：学生容易忽略，只写出一个答案，AC可能是较长线段也可能是较短的线
段长.
5.作业解答
(1)【解】由比例的基本性质：内项积等于外项积.C 选项得到的是 ab=cd,所以不成立.
(2)【解】
a 1 a b 3
①∵ ，∴ .(合比性质）
b 2 b 2
②∵x∶y∶z＝4∶5∶7,
∴设 x=4k,y=5k,z=7k.
3x 2y z 12k 10k 7k 9k
∴ 1
2x 3y 2z 8k 15k 14k 9k
(3)【解】
∵C为 AB的黄金分割点，AB＝6，
5 1
∴ 6 3 5 3或6（- 3 5 3） 9 -3 5.
2
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用等比性质与“设参数法”.
2.作业内容
k a b b c a c(1)已知 ，则一次函数 y＝kx＋k一定经过哪几个象限？
c a a
(2)已知 a,b,c ABC a 4 b 3 c 8是△ 的三边，且满足 ，且 a+b+c=12.
3 2 4
请探索△ABC的形状.
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：由等比性质可得 k=2(a+b+c≠0)或 k=-1(a+b+c=0),分两种情况讨论.
作业第（2）题：可用两种方法解答.方法一：利用等比性质；方法二：利用设参数的方法.
15
通过练习，考察学生对等比性质的理解与运用，同时让学生认识到“设参数法”是我们处
理比例问题的常用方法之一.
5.作业解答
(1)【解】由等比性质可知：
当 a+b+c≠0时，k=2，∴y＝2x＋2，故一定经过第一、二、三象限.
当 a+b+c =0 时，k=-1,∴y＝-x-1 ，故一定经过第二、三、四象限.
(2)【解】
a+b+c+15 27
方法一：利用等比性质得出比值为,即 = = 3 , 所以 a =5，b =3，c =4,
9 9
且32 +42 = 52 ,即 Rt△ABC；
a 4 b 3 c 8
方法二：利用设参数的方法设出比值为 k ,则 a =3k-4，b =2k-3，
3 2 4
c =4k-8,代入到方程 a+b+c=12 中，解出 k=3，则 a=5，b=3，c=4,且32 +42 = 52 ,即 Rt△ABC.
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 方法正确，过程规范合理，答案正确. √ √ √
预习 1 B 方法正确，过程规范合理，答案错误. √
作业 C 没有理解比例中项的概念，答案错误.
A 方法正确，过程规范，答案正确. √ √ √
课中
过程规范，但没有注意比例的等比性质的条件，
巩固 1 B √
答案不完整.
作业
C 没有理解比例的等比性质，答案错误.
A 能根据比例线段的基本性质，选出答案. √ √ √
1 B 能选出答案. √
C 答案错误.
A 能运用特殊值法、设参数法灵活解题. √ √ √
课后
2 B 能计算出答案. √
基础
C 计算错误.
作业
A 能分类讨论 AC可能为较长线段，也可能为较短 √ √ √
线段，正确计算结果.
3 B 只写出一个答案，AC的长短没有分类讨论. √
C 计算错误.
A 能分类讨论，根据等比性质得 k=2(a+b+c=0)或k a b c √ √ √=-1( + + ≠0).
1 B 忽略等比性质，只写出一个答案. √
C 无法推出 k值.
课后
答案正确，过程完整.能够灵活运用等比性质求
拓展 A 出比值为 3，然后求出 a,b,c的值，并由勾股定 √ √ √
作业
理得出 Rt△ABC.
2
B 运用设参数法，求出 a,b,c的值，并由勾股定
理得出 Rt△ABC √.
C 无法推出 a,b,c值，不能判定出三角形形状.
16
第四课时（22.1 比例线段（4））
（平行线分线段成比例定理及其推论）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固黄金分割的概念.
2.作业内容
5 1
美是一种感觉，一当人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 0.6182 ,
称为黄金分割比 时认为美感效果最好，某女士上身长约 61.8cm，下身长约 94cm，为尽可能达到
黄金比的美感效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到 1cm) ______．
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图 设她应穿的高跟鞋的高度为 xcm，利用黄金分割的定义得
61.8
到 0.61894 x ，然后解关于 x的方程即可．
本题考查了黄金分割：把线段 AB分成两条线段 AC和 BC(AC>BC)，且使 AC是 AB和 BC
的比例中项(即 AB:AC=AC:BC)，叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点．
AC 5 1其中 AB，并且线段 AB的黄金分割点有两个．
2
5.作业解答
【解】
设她应穿的高跟鞋的高度为 xcm，则：
61.8
0.618
94 x
∴x=6，
答：她应穿的高跟鞋的高度大约 6cm，
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“平行线分线段成比例”.
2.作业内容
AB 2
如图，直线 a，b，c截直线 m和 n，a∥b∥c， BC 5 ，则下列结论中，正确的是( ).
DF 7 EF 5 m
n
(A) (B) (C) BE 2 (D) DF 7 A D
DE 2 DE 2

CF 5 aEF 5 B E b
C F c
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．
17
5.作业解答
【解】∵a∥b∥c, AB 2
BC 5
DE AB 2
∴ EF BC 5
DF 7
, EF 5 DF 7∴ , .
DE 2 DE 2 EF 5
故答案选有 A、B、D.
作业 3（课后基础性作业）
1.作业目标
利用练习，巩固运用“平行线分线段成比例定理”
2.作业内容 (1)已知，如图，AD∥EF∥BC，BE＝3，AE＝6，FC＝2.则 DF的长为________.
AE AF
(2)如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥BE，求证 ＝ .
EC FE
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
利用“平行线分线段成比例定理”，得：
作业第（1）题： 由平行，“上比上”，得比例.
作业第（2）题: 由平行，“上比下”或“上比全”，得比例.
5.作业解答
(1)【解】
∵AD∥EF∥BC
BE＝3，AE＝6，FC＝2.
AE DF
∴ ,EB FC
6 DF
∴ ,
3 2
∴DF=4.
(2)【证明】
∵DE∥BC，
∴ AE AD
EC DB
∵DF∥BE，
AF AD
∴ ＝ ，
FE DB
AE AF
∴ ＝ .
EC FE
通过练习，加深对“平行线分线段成比例定理”的理解与运用.会根据图形分清“上对上”、
“下对下”、“全对全”等.
作业 4（课后拓展作业）
18
1.作业目标
利用练习，加深运用“上下全的对应关系”.
2.作业内容
BD CE 2
(1)如图，在△ABC中，若 ＝ ＝ ，AD BE F AF和 交于 ，求 的值.
DC AE 1 DE
A
E
F
H
C
B D
A
(2)已知:在△ABC中,AD为∠A平分线.
AB = BD求证:
AC DC C
B D
E
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
2
作业第（1）题思路：作 DH∥BE，依据平行线分线段成比例分别得出 EH＝ CE，AE 1＝ CE，
3 2
AF AE
最后由 ,FD EH 得解之.
作业第（2）题思路：过点作 CE∥AB交 AD AB BD延长线于点 E.得： = ,
CE DC
AB BD
证△ACE为等腰三角形，由 CE =AC得 .AC DC
通过练习，学会在原图中作平行线，构筑能利用“平行线分线段成比例定理”知识来建立比
例，从而得到解题目的.
5.作业解答
(1)【解】过点 D作 DH∥BE交 AC于 H,则：
EH BD
∴ 2 ，
HC DC
∴EH 2＝ CE
3
CE BD
∵ 2，
AE DC
∴AE 1＝ CE 3＝ EH，
2 4
19
AF AE 3
∴ .
FD EH 4
（2）【证明】 过点 C作 CE∥AB交 AD延长线于点 E，
AB BD
∴
CE DC
∵AD为∠A平分线
∴∠CAE=∠E
∴CE=CA
AB BD
∴ .
AC DC
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 思路清晰，答案正确. √ √ √
预习 1 B 思路正确，答案错误. √
作业 C 没有掌握黄金分割的有关概念，答案错误.
课中 A 思路清晰，答案正确. √ √ √
巩固 1 B 思路正确，答案错误. √
作业 C 没有掌握平行线分线段成比例定理，答案错误.
A 答案正确，过程规范. √ √ √
B 思路正确，比例正确,没能算出 DF=6. √
1
C 不会运用“平行线分线段成比例定理”答案错课后
误.
基础
A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
作业
B 思路正确，过程不规范或答案错误. √
2
C 不会运用“平行线分线段成比例定理”列出比
例.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，能用 CE表示出 EH与 AE，但结论1 √
有误.或过程不规范.
课后 C 不会由平行线得到正确的对应线段成比例.
拓展 A 思路清晰，过程规范，结论正确. √ √ √
作业
B 思路清晰，结论正确.但过程不规范.或不能证 √
2 出等腰三角形，不能发现 CE=AE.
C 不会正确运用“平行线分线段成比例定理”列
出比例.不会求证出 CE=AE.结论不正确.
20
22.2 相似三角形的判定（共 5 课时）
1.内容分析
突出知识前后的联系，重视各种数学思想方法的有机结合.作业训练中知识的掌握，更重要的
是领会数学思想.本章主要涉及的数学思想方法有类比、转化等,因此要注意数学思想的渗透.相似
内容是全等内容的拓展与延伸，注意同全等的知识作类比.例如类比研究全等图形的性质得到相似
多边形对应角相等、对应边成比例的性质，类比研究全等三角形的 SSS、SAS 方法，发现相似三角
形的判定方法.在利用相似三角形的性质解决实际问题时，通过建模，把要解决的实际问题转化为
我们已经熟悉的数学问题，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单.
2.学情分析
研究相似三角形的判定的问题时，可以类比全等三角形的判定方法，进行探究要求学生会运
用所学知识来解决新问题，在教学过程中，灌输数学思想，培养学生思考问题、解决问题的能力.
3.重点与难点
重点：1.相似多边形的概念；2.比例的基本性质.
难点：比例的性质及应用.
4.作业目标
通过学习与练习：
1.了解相似三角形的概念，了解相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应角
和对应边.
2.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题.
第五课时（22.2 相似三角形的判定 1）
（相似三角形的概念与相似三角形判定的“预备定理”）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用 “三边成比例，三组角对应相等的两个三角形相似”.
2.作业内容 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题考查平行线的性质及相似三角形的判定定理．根据平行线的性质可知∠AED=∠C,
∠A=∠FEC.根据两角对应相等的两个三角形相似问题即可得证．
5.作业解答
21
【证明】∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C,∠B=∠ADE.
又∵EF∥AB,
∴∠A=∠FEC.∠B=∠EFC.
∴∠ADE=∠EFC.
又∵DE∥BC,EF∥AB
∴ AD AE BF .
DB EC FC
又∵四边形 ABCD是平行四边形.
∴DB=EF,DE=BF.
AD AE DE
∴ .EF EC FC
∴△ADE∽△EFC.
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用相似三角形判定的“预备定理”.
2.作业内容
如图，AB∥CE,AF∥FD,AE、FD分别交 BC于点 G、H，则图中相似三角形共有( ).
(A)3 对 (B)4 对
(C)5 对 (D)6 对
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图 根据平行线的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定定理：两角对应相
等的两个三角形相似．
5.作业解答
【解】因为 AB∥CD,AE∥DF，得如下 6对三角形相似：
故选：D．
22
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用 “由平行得相似，记得 ‘A’字型”.
2.作业内容
(1)如图，测量试管口径的量具 Rt△ABC，AB的长为 3cm，AC被分为 60 等份．如果试管口 DE正好
对着量具上 20 等份处,DE∥AB，那么试管口径 DE是______cm．
(2)如图，四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 AC，BD交于点 O，若 AD=1，BC=3,AC=3.6，
则 AO的长是_________. A D
O
B C
(3)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以 BC为边向外作正方形 BEDC，连接 AE交 BC于
点 F，作 FG∥BE交 AB于点 G．求证：FG=FC.
E B
F
G
D C A
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题利用相似三角形判定的预备定理解决实际生活中的简单问题，由平行
线很快得出相似三角形，从而得到比例线段解题.图中相似三角形属于基本图形“A”字型.
作业第（2）题：本题根据相似三角形判定的预备定理由平行线得到相似三角形，进而得到
比例线段解题.图中相似三角形属于基本图形“X”型.
作业第（3）题：本题图中包含了相似三角形的两类基本图形：A字型与 X型，为等比传递
提供条件；而图中的正方形为等量代换提供条件.
5.作业解答
（1)【解】
∵DE∥AB，
∴△EDC∽△BCA.
CD ED
∴ ,
CA AB
40 ED
即： .
60 3
∴ED=2.
答：ED长为 2cm．
23
（2)【解】
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB.
AD AO
∴ = .
BC OC
又 AD=1，BC=3,AC=3.6，
1 = AO∴ ,
3 3.6 AO
∴AO=0.9.
答：AO的长为 0.9.
（3)【证明】
∵FG∥BE，
∴△AFG∽△AEB.
FG
∴ = AF .
EB AE
正方形 BEDC中，BC∥DE,
∴△AFC∽△AED.
FC = AF∴ .
DE AE
FG = FC∴ .
EB DE
正方形 BEDC中，EB=DE,
∴FG=FC.
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用 “预备定理的综合运用”.这也是对课中同类练习的进一步巩固.
2.作业内容
(1)如图，在平行四边形 ABCD中，F是 BC延长线上一点，AF交 BD于点 O，与 DC交于
点 E，则图中相似三角形（全等除外）共有__对.
A D
O E
B C F
(2)如图，在△ABC中，D为 AB中点，E为 AC上一点，DE延长线交 BC延长线于点 F.
BF AE
求证： = A
CF EC
D
E
B C F
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题根据相似三角形判定的预备定理，利用图中的平行线找到相似三角形
的基本图形：A字型与Ｘ型；然后再根据相似三角形的传递性找相似三角形.
24
作业第（2）题：本题以中点 D为背景构造全等三角形：过 B点作 BP∥AC交 FD的延长
线于 P点，则△BPD≌△AED.从而构造相似三角形的基本图形： “A”字型，同时也为等量代
换即 BP＝AE提供条件.
5.作业解答
（1）【解】平行四边形 ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,共有 5对相似三角形.如下图：
(2)【证明】过 B点作 BP∥AC交 FD的延长线于 P点，
∴∠A=∠PBA,∠AED=∠P.
∵D为 AB的中点,
∴AD=DB. A
在△BPD与△AED中 P D
∠A=∠PBA, E
∵ ∠AED=∠P，
AD=DB. B C F
∴△BPD≌△AED（AAS）.
∴PB=AE.
∵BP∥AC,
∴△FCE∽△FBP.
BF
∴ =
PB
CF EC
又∵PB=AE
BF
∴ =
AE
CF EC
25
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
A 方法正确，过程合理规范，答案正确. √ √ √
课前 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范. √
预习 1
C 没有理解相似三角形的概念，不能用它判定相作业
似三角形，答案错误.
A 思路清晰，答案正确. √ √ √
课中 B 思路正确，答案错误. √
巩固 1
C 没有掌握利用平行线判定相似三角形的定理，作业
答案错误.
A 答案正确，过程规范. √ √ √
B 思路正确，米（m）与毫米（mm）米没统一成厘1 √
米（cm）,答案错误.
C 不会由平行得出△ABD∽△ACE，答案错误.
课后 A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
基础 2 B 思路正确，答案错误. √
作业 C 不会运用相似“预备定理”，答案错误.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，答案错误. √
3
C 不会运用相似“预备定理”，不能判定△AFC
与△AED相似.答案错误.
A 思路清晰，正确找全 5对相似三角形. √ √ √
1 B 思路清晰，能正确找对 3~4 对相似三角形. √
C 不会运用“预备定理”找对相似的三角形.
课后 A 过程规范，答案正确. √ √ √
拓展
B 会运用相似“预备定理”，由全等得出 PB=AE,作业 √
2 能判定出△FCE与△FBP相似.但答案错误.
C 不会运用相似“预备定理”，不能判定出△FCE
与△FBP相似.答案错误.
26
第六课时（22.2 相似三角形的判定 2）
（两组角对应相等的两个三角形相似）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固 “预备定理”，同时，为新知“两组角对应相等的两个三角形相似的
判定”作铺垫.
2.作业内容
如图，AD、BC相交于点 O，由下列条件能不能判定△AOB与△DOC相似？
①AB∥CD.
②∠A=∠D.
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
此题考查了相似三角形的判定：①“预备定理”中的 X型；②由∠A=∠D得 AB∥CE后再
运用“预备定理”
5.作业解答
【解】
①能.理由：
∵AB∥CD
∴△AOB∽△DOC.
②能.理由：
∵∠A=∠D,
∴AB∥CD
∴AOB∽△DOC.
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用 “两组角对应相等的两个三角形相似”.
2.作业内容
如图，△ABC的高 AD,BE交于点 F,写出图中所有与△ABC相似的三角形，并选择一个进
行证明． A
E
F
B D C
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
27
先由垂直定义得∠ADC与∠AEF相等，又由公共角∠CAD与∠FAE相等，依据“两角相等
的两个三角形相似”证之.
5.作业解答
【解】与△AFE相似的三角形有△BFD,△ACD,△BCE
选择求证：△ACD∽△AFE.
证明：∵△ABC的高 AD,BE交于点 F，
∴∠ADC=∠AEF=90°.
∵∠CAD=∠FAE,
∴△ACD∽△AFE.
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“两组角对应相等的两个三角形相似”,同时拓展知识点：“顶角为 36 的等腰三角形
为‘黄金三角形’”.
2.作业内容
(1)如图，在△ABC中，AB =AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且相
交于点 O.写出与△ABC相似的三角形.
(2)CD是 Rt△ABC斜边上的高,∠ACB=90°.
①已知 AD=9cm,CD =6cm,求 BD的长；
②若 AB=25cm,BC =15cm,求 BD的长．
(3)已知：如图，AD是直角三角形 ABC斜边上中线，AE⊥AD,AE交 CB的延长线于点 E.
求证：△BAE∽△ACE.
A
E B D C
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题在等腰三角形的背景下求出图中各个角，然后利用相似三角形的判定
定理１找到与△ABC相似的三角形.
作业第（2）题：本题是射影定理典型习题，图中利用余角的性质证明角相等，从而得到相
似三角形；或者利用公共角相等与直角相等得到相似三角形解题.
作业第（3）题：要证明相似的两个三角形有一组角是公共角，再证一组角相等即可利用相
似三角形判定定理１即可证明相似.首先利用等式性质证明∠EAB＝∠CAD，再利用直角三角形斜
边性质证明∠CAD＝∠C，从而证明∠C＝∠EAB，最终得出相似三角形.
5.作业解答
（1）【解】
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
28
∴∠ABD=∠CBD=36°,∠ACE=∠BCE=36°.
∴∠BCD=∠CEB=∠BOE=∠COD=72°,
∴△BCD∽△BCE∽△BOE∽△COD∽△ABC.
图示如下：
(2)【解】
①∵△ABC是直角三角形，
∴CD⊥AB,
∴△BCD∽△CAD
CD BD
∴ =
AD CD
CD2= = 36∴ BD = 4(cm) .
AD 9
BC 2 225
②同理，得 BD= = = 9(cm) .
AB 25
（3）【证明】
∵AD是直角三角形 ABC斜边上的中线，
1
∴ AD= BC=DC.
2
∴△ACD为等腰三角形.
∴∠CAD=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAD +∠CAD=90°,
∠DAE=∠BAD +∠BAE=90°,
∴∠BAE =∠CAD.
∴∠BAE =∠ACD.
又∵∠E =∠E,
∴△BAE ∽△ACE.
A
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标 E D
利用练习，加深运用“两组角对应相等的两个三角形相似”.
2.作业内容 O
(1)如图，BD,CE是△ABC的高， B C
①请你写出图中的相似三角形；
②选择其中一组相似三角形加以证明.
29
(2)如图，矩形 ABCD中，AE⊥BD于点 E，EP⊥EC.
求证：AE·AB=DE·AP. A P D
E
B C
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题利用余角的性质证明角相等，从而得到相似三角形；或者利用公共角
相等与直角相等得到相似三角形解题.解题时注意不要漏解.
作业第（2）题：本题等积式中四条线段不在两个三角形中，此时可以考虑等量代换，即
AB＝CD，从而转化为证明 AE·CD＝DE·AP.此式可以通过证明△AEP∽△DEC而解决.首先利
用等式性质证明∠AEP＝∠DEC，再利用余角性质结合矩形性质证明∠PAE=∠EDC，从而得到相
似三角形并解题.
5.作业解答
（1）【解】
①图中相似三角形有：△ADE∽△ABC ,△ABD∽△ACE,△DOC ∽△EOB.
②【证明】由三角形面积公式得，AD·AC=AE·AB
AD AE
即： .
AB AC
∴△ABC ∽△ADE.
如图所示：
（2）【证明】
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD =∠ACD =90°,AB=CD.
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED=∠PEC=90°
∴∠AEP =∠DEC.
∵∠EAD +∠ADE=90°,
∠ADE +∠CDE=90°,
∴∠EAP =∠EDC.
∴△AEP∽△DEC.
30
AE AP
∴ .
DE DC
∵AB=CD,
∴AE·AB=DE·AP.
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 思路清晰，答案正确. √ √ √
预习 1 B 思路正确，答案错误. √
作业 C 没有掌握相似三角形的判定方法，答案错误.
A 方法正确，过程合理规范，答案正确. √ √ √
课中
B 过程规范合理，但读图能力不够理想，答案不巩固 1 √
完整.
作业
C 没有理解相似三角形的判定方法，答案错误.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，正确计算出 36°与 72°的角，但相 √
1 似三角形有遗漏.
C 不能正确计算出 36°与 72°的角，不会判定两
个三角形相似.
A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
课后 B 思路正确，能判定△BCD 与△CAD 相似，但答案 √
基础 2 错误.
作业
C 不能正确通过两角相等证出△BCD与△CAD相
似,答案错误.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 能由“同角的余角相等”得出∠BAE =∠ACD，
3 并判定出△BAE与△ACE √相似，但过程不规范.
C 不能由“同角的余角相等”得出∠BAE =∠ACD，
不会判定出△BAE与△ACE相似.
A 思路清晰，能正确找全 3对相似三角形. √ √ √
1 B 思路正确，只能找出 1~2 对相似三角形. √
课后 C 不会判定，不能找到相似的三角形.
拓展 A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
作业 B 答案正确，但过程不规范。 √
2
C 不能由等量关系推出∠AEP =∠DEC或∠EAP =
∠EDC，不能证出△AEP与△DEC相似.
31
第七课时（22.2 相似三角形的判定 3）
（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固 “两组角对应相等的两个三角形相似”.
2.作业内容
在△ABC与△A B C 中,∠A=50 ゜,∠B=∠B =60°,∠C =70°.问：△ABC与△A B C
相似吗？为什么？
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题考察：通过三角形内角和 180°，计算出满足“两组角分别对应相等”的条件，来证
明两个三角形相似.
5.作业解答
【证明】△ABC与△A B C 相似.
在△ABC中，
∵∠A=50°,∠B=60°,
∴∠C=180°-(50°+60°)=70°，
在△ABC与△A B C 中，
∠A=∠B ,∠C=∠C ,
∴△ABC∽△A B C (两组角分别对应相等的两个三角形相似).
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，巩固“两组角对应相等的两个三角形相似”，并加深运用“两边对应成比例且
夹角相等的两个三角形相似”.
2.作业内容
如图，点 D在△ABC内，点 E在△ABC外，∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE与△ABC相似吗？
为什么？
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
32
BD DE
在△DBE与△ABC中,易知∠DBE=∠ABC,如果 ，那么这两个三角形就相似．AB BC
5.作业解答
【解】△DBE与△ABC相似．
理由：在△DBE与△ABC中，
∵∠1=∠2，∠3=∠4,
∵△ABD与△CBE(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴ BD DE (相似三角形的对应边成比例)．
AB BC
又∵∠1=∠2，
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE与△ABC中,
BD DE
∵ ，∠DBE=∠ABC，AB BC
∴△DBE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标：
利用练习，加深运用 “利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成“A字型”
结构的相似图形.
2.作业内容 A
（1）已知：如图，D是△ABC的边 AB上一点，且 AC2=AD·AB.
求证：∠ADC=∠ACB.
D
B C
(2)如图，在△ABC中，D,E分别是边 AB,AC上的点，且 AE=6,EC=1.5,DB=4,AB=9,
DE
求 的值. A
BC
D E
B C
(3)已知：如图，点 D在△ABC的 AB上，DE∥BC,DE交 AC于点 E,点 F在 AD上，且
AD2=AF·AB.
求证：△AEF∽△ACD.
A
F
D E
B C
33
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题根据等积式得比例线段，再由公共角证明△ADC∽△ACB，从而求证.
作业第（2）题：本题利用题中所给数据得到比例线段，再结合公共角证明△ADE∽△ABC，
从而解题.
作业第（3）题：本题利用平行线得出 AD:AB=AE:AC,，再根据 AD2 =AF·AB得出
AD:AB=AF:AD,从而得出 AE:AC=AF:AD，再结合公共角即可解题.
5.作业解答
（1）【证明】
∵AC2=AD·AB,
AD AC
∴ = .
AC AB
又∵∠CAD =∠BAC.
∴△ADC∽△ACB.
∴∠ADC =∠ACB.
（2）【解】
∵AE=6,EC=1.5,DB=4,AB=9,
AE = 6 = 2 AD 5 2∴ , = = ,
AB 9 3 AC 7.5 3
AE AD
∴ = .
AB AC
又∵∠CAB =∠DAE
∴△ADE∽△ACB.
DE
∴ = AD = 2 .
BC AC 3
（3）【证明】
∵DE∥BC
AE
∴ = AD .
AC AB
∵AD2=AF·AB,
AF
∴ = AD .
AD AB
AE
∵ = AF ,
AC AD
又∵∠A =∠A,
∴△AEF∽△ACD.
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标：
（1）让学生学会由“两组角对应相等的两个三角形相似”得对应边成比例，并会运用“两
边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”.
34
（2）运用分类思想，完全理解“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会灵
活运用之.
2.作业内容 AE D
(1)已知：如图，BD,CE是△ABC的两条高．
求证：△AED ∽△ABC. O
B C
(2)如图，点 E在正方形 ABCD的 CD上，CE 1= CD,点 P在 BC上.
4
试给出当△ABP与△PCE相似时，点 P应满足的条件.
A D
E
B P C
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：本题利用余角的性质证明角相等，从而得到相似三角形；或者利用公共角
相等与直角相等得到相似三角形：△ABD∽△ACE，从而得出 AB:AC＝AD:AE，进而得到 AB:AD
＝AC:AE，再结合公共角得证.
作业第（2）题：本题用文字描述相似三角形，有分类的可能性.再根据题意只能确定一组
对应点，即点 B与点 C对应，故要分类解题：△ABP∽△PCE或△ABP∽△ECP，从而得到比例
线段解题.
5.作业解答
（1）【证明】
∵BD,CE是△ABC的两条高，
∴∠ADB =∠AEC ,
∵∠A =∠A ,
∴△AEC∽△ADB ,
AE = AC AE AD∴ ,即 = .
AD AB AC AB
∵∠EAD =∠CAB ,
∴△AED∽△ABC .
（2）【解】
设正方形的边长为 4a,则 CE=a,
∵∠B=∠C,
AB = BP ABP ECP 4a = BP∴当 时，△ ∽△ ,即： ,得 4a-PC = 4PC 4,∴CP= a .
CE CP a CP 5
AB BP 4a 4a PC 2
或当 = 时，△ABP∽△PCE,即： = ,得 PC2-4aPC + 4a = 0,∴CP=2a.
PC CE PC a
35
1 1
∴当点 P满足CP= CB或CP= CB时，△ABP与△PCE相似.
5 2
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
预习 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
作业 C 没有理解相似三角形的判定定理 1，答案错误
A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
课中 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
巩固 1
作业 C 没有理解相似三角形的判定定理 1与判定定理
2，答案错误
A 方法正确，过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，能判定出△ADC∽△ACB相似，但 √
答案错误.
1
不会把 AC2=AD·AB,转化为 AD:AC=AC:AB，
C 不会运用“两边对应成比例且夹角相等”来判
定两个三角形相似.
课后 A 思路清晰，过程合理，答案正确. √ √ √
基础 B 思路正确，能判定出△ADE∽△ACB相似，但 √
作业 2 答案错误.
C 不会把数值转化成比例，不能判定出两个三角
形相似.
A 方法正确，过程合理，答案正确. √ √ √
B 思路正确，但转化为 AE:AC=AF:AD后，没得3
出△AEF∽△ACD √.或者证题过程不规范.
C 不会证题，不会由 DE∥BC，得出比例线段.
A 方法正确，过程合理，答案正确 √ √ √
1 B 思路清晰，答案正确，但过程不规范。 √
C 不能由两角相等证出△AEC∽△ADB .
课后 A 思路清晰，过程规范，答案正确 √ √ √
拓展
B 不会分类讨论相似时出现的比例线段，答案只作业 √
2 做出 0.8a或 2a中的一种.
C 不会运用“两边对应成比例且夹角相等”来判
定两个三角形相似.
36
第八课时（22.2 相似三角形的判定 4）
（三边对应成比例的两个三角形相似）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标：
预习“三边对应成比例的两个三角形相似”.养成自主学习习惯.
2.作业内容
如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ).
B
A C
B.
(A) (B) (C) (D)
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似是解题的关键．根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
5.作业解答
【解】由正方形的性质可知∠ACB=180°-45°=135°，
A、C、D 图形中的钝角都不等于 135°，
由勾股定理得,AC=2,BC 2 .
对应的图形 B 中的边长分别为 1和 2 ，
1 2
∴ .
2 2
∴图 B 中的三角形(阴影部分)与△ABC相似，
故选 B．
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“三边对应成比例的两个三角形相似”.
2.作业内容 根据下列条件，判断△ABC与△A B C 是否相似，并说明理由
(1)AB=12,BC=15,AC=24,A B =25,B C =40,C A =20.
(2)AB=3, BC=4, AC=5, A B =12,B C =16,C A =20.
3.时间要求（10 分钟）
37
4.作业分析与设计意图
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例
是解决问题的关键．
通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．
5.作业解答
AB 12 3 BC 15 3
(1【解】相似.理由： ∵ ' ' , ' ' ,
AC 24 3
' ' ,C A 20 5 A B 25 5 BC 40 5
∴△ABC∽△A B C .
AB 3 1 BC 4 1 AC 5 1
(2【解】相似.理由： ∵ ' ' , ' ' , ' ' ,C A 12 4 A B 16 4 BC 20 4
∴△ABC∽△A B C .
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“三边对应成比例的两个三角形相似”.
2.作业内容
（1）若△ABC与△DEF满足下列条件，其中使两个三角形相似的是（ ）
(A)AB=2.5，BC=2，AC=3，DE=3，EF=4，DF=6;
(B)AB=2，BC=3，AC=4，DE=3，EF=6，DF=4.5;
(C)AB=10，BC=AC=8，DE=5，EF=DF=3;
(D)AB=1，BC= 5 ，AC=3，DE= 15 ，EF= 2 3，DF= 6
(2)在△ABC与△DEF中，AB=8，AC=6，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则
需要添加的一个条件是___（写出一种情况即可）
(3)如图，已知 AB:AD = BC:DE = AC:AE， A
求证：△ABD∽△ACE Ｅ
Ｄ
Ｂ Ｃ
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第(1)题：本题利用相似三角形判定定理 3解题，注意对应边的确定方式，即最大边与
最大边作比，最小边与最小边作比.
作业第(2)题：本题根据题中数据得到比例线段，再利用相似三角形判定定理 2与 3解题.
作业第(3)题：本题根据相似三角形判定定理 3证明△ABC∽△ADE，得出∠BAC=∠DAE ,
从而得出∠BAD=∠CAE,由 AB﹕AD=AC﹕AE，得出 AB﹕AC=AD﹕AE，从而得证.
5.作业解答
(1)【解】
2 3 4 AB BC AC只有 = = ，即 = = ，
3 4.5 6 DE DF EF
∴正确答案选 C.(理由：三边对应线比例的两个三角形相似.)
(2)【解】
在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中 DE=4，DF=3，
38
AB = AC∴ = 2
DE DF 1
要使△ABC与△DEF相似，则需要添加的一个条件是:
①∠A =∠D;(理由：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
BC 2
② = .(理由：三边对应线比例的两个三角形相似.)
EF 1
(3)【证明】
∵AB﹕AD = BC﹕DE = AC﹕AE，
∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
又∵AB﹕AD = AC﹕AE，
∴△ABD∽△ACE.
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“三边对应成比例的两个三角形相似”.会运用分类思想，灵活正确写
出对应边成比例.
2.作业内容
(1)已知一个三角形框架的三边长分别为 3m,4m,5m,现要做一个与其相似的三角形框架，已
有一根长为 2m 的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种选法？
(2)△ABC三边长分别为 2 、 10 、2，△A B C 两边长分别为 1、 5 ,若△ABC∽△A B
C ,则△A B C 的第三边长应是多少？
(3)在如图所示的象棋盘 各个小正方形的边长均相等 中，根据“马走日”的规则，“马”
应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、
“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( ).
○马 ○兵
○1 ○4
○2 ○3 ○相
○车 ○炮 ○帅
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）与第（2）题：根据相似三角形判定定理 3解题，注意分 3种情况讨论.
其中，第（2）题分析：设第三边为 x,根据 x的大小进行分类：①x<1；②15.
39
作业第（3）题：本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的
各边的长确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似
三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
5.作业解答
（1）【解】
共由 3种选法.
①若 2米的木条为最短边，设其它两根木条的长分别为 x米和 y米.则：
3 = 4 = 5 8 10，解得 x = , y= .
2 x y 3 3
②若 2米的木条为第二边长，设其它两根木条的长分别为 x米和 y米.则：
3 = 4 = 5 3 5，解得 x = , y= .
x 2 y 2 2
③若 2米的木条为最长边，设其它两根木条的长分别为 x米和 y米.则：
3 = 4 = 5 6 8，解得 x = , y= .
x y 2 5 5
（2）【解】
设△A B C 的另外一边长为 x,
∵△ABC∽△A B C ,
由相似三角形对应边成比例，
2 10
又∵ =
1 5
∴△ABC中的 2与△A B C 的另一条边是对应边，
2 = 10 = 2∴
1 5 x
∴ x = 2 .
答：△A B C 的第三边长应是 2 .
（3）【解】
“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2 5、4 2
“车”、“炮”之间的距离为 1，
“炮”与②之间的距离为 5 ，“车”与②之间的距离为 2 2 ，
∴ 5 2 2 1
2 5 4 2 2
∴马应该落在②的位置，
故选：B．
40
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
课前 A 思路清晰，答案正确 √ √ √
预习 1 B 思路正确，答案错误 √
作业 C 没有掌握相似三角形判定定理 2，答案错误.
课中 A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
巩固 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
作业 C 没有理解相似三角形的判定定理 3，答案错误
A 方法正确，过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，会通过用已知数值来构建三边成比1
例来证明△ABC∽△A B C √ 相似，但过程混乱.
C 不会用已知数值来构建三边成比例.
课后 A 思路清晰，过程合理，答案正确. √ √ √
基础 2 B 结论不完整，两种判定只写出一种. √
作业 C 不会添加条件，得到三角形相似.
A 思路清晰，过程合理，答案正确.
B 思路正确，但过程不规范，或不会再利用两边3
成比例夹角相等再证出相似.
C 不会证明,或只会证三边成比例得相似.
A 方法正确，过程合理，答案正确 √ √ √
1 B 分类计算出其中 2种答案.答案有遗漏. √
课后 C 不能列比例求出另两根木条的长.
拓展 A 思路清晰，过程规范，答案正确 √ √ √
作业
B 不会通过线段的比，找出 2所对的是所求的边，2 √
答案正确，思路不清晰.
C 不会由相似得到比例，不会列方程求解.
41
第九课时（22.2 相似三角形的判定 5）
（斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用相似形的判定，同时对于条件 C，能不能判定出两个三角形相似,为新
知学习埋下了伏笔.
2. 作业内容
根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是( )
(A)∠B=∠B1=60°,∠C=50°，∠A1=70°.
(B)∠C=∠C1=90°,AB=10,AC=6,A1B1=5,A1C1=3.
(C)∠A=40°,AB=2,AC=3,∠A1=40°,A1B1=4,A1C1=5.
(D)AB=12,BC=15,AC=24,A1B1=8,A1C1=16,B1C1=10.
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图 可根据相似三角形的判定方法逐一进行判断．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5.作业解答
【解】
∵∠A=40°,AB=2,AC=3,∠A1=40°,A1B1=4,A1C1=5.
AB AC
∴
A1B1 A1C1
∴不能判定△ABC∽△A1B1C1.
故 C选项符合题意.
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，复习已学的相似判定，同时巩固“斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形
相似”.
2.作业内容 如图，在△ABC和△CAD中，AD⊥CD于点 D，AC⊥BC,于点 C,请再添加一个
条件，使△ABC∽△CAD.并加以证明．
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
根据相似三角形的判定的条件，选择添加的条件再证明即可．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定条件的掌握与应用．
5.作业解答
42
【解】添加：AB∥CD(答案不唯一).
理由：∵AD⊥CD,AC⊥BC,
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠DCA,
∴△ABC∽△CAD.
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似”.
2.作业内容
(1)在 Rt△ABC和 Rt△A B C AB 中,有∠C=∠C =90°, = BC 则△ABC和△A B C
A'B' B'C '
________(填“相似”或“不相似”).
(2)如图 AB⊥BC,AC⊥CD,若 AC2=AB·AD,则△ABC与△ACD之间的关系是________(填
“相似”或“不相似”).
A
D
3.时间要求（10 分钟） B C
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题： 直接运用“相似的 HL”定理,依据题意正确画出图形即可判定出相似了.
AC AD
作业第（2）题：考察知识点： ①转化 AC2=AB·AD为 = .AB AC
②运用“相似的 HL”定理.
5.作业解答
(1)【证明】
在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中,
∵∠C=∠C'=90°,
AB BC
又 =
A'B' B'C '
∴△ABC∽△A B C （斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
（2）【证明】
∵AB⊥BC,AC⊥CD,
∴∠B=∠ACB=90°
∵AC2=AB·AD,
AB AC
∴ =
AC AD
∴△ABC与△ACD.（斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
∴应填“相似”.
43
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，完成对所学的相似三角形判定的综合运用.
2.作业内容
下列两个直角三角形相似的有________(填序号).
①两个等腰直角三角形;
②有两组边对应成比例的直角三角形;
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
这是一道简单的开放题，每个小题的相似判定都非一种.
本题考察的是相似形的判定.结合图形，掌握一般三角形相似的判定定理完全可以用来判定
两个直角三角形的相似.
5.作业解答
【证明】如图，
①方法一：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形， D
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°， A
又∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF；
方法二：∵AC:BC=DF:EF=1，又∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF；
C B F E
方法三：在 Rt△ABC与 Rt△DEF中，
∵AC:AB=DF:DE,
∴Rt△ABC∽Rt△DEF.
②如图，∵AC:BC=DF:EF≠1，又∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF；
（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵AC:AB=DF:DE(或 BC:AB=EF:DE)，又∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF；
（斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
44
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
A 思路清晰，答案正确 √ √ √
课前 B 思路正确，答案错误 √
预习 1
C 没有系统的掌握相似三角形的判定方法，答案作业
错误.
A 方法正确，过程规范，答案正确. √ √ √
课中
B 思路正确，能判定出△ABC∽△CAD相似，但巩固 1 √
依据不是很清晰.
作业
C 不会添加条件来判定两个三角形相似.
A 思路清晰，过程合理，答案正确. √ √ √
B 思路正确，但说理不清晰. √
1
C 不会由“斜边与直角边对应成比例”来判定出课后
两个直角三角形相似.
基础
A 思路清晰，过程合理，答案正确. √ √ √
作业
B 思路正确，过程不规范. √
2
C 不知道 AC
2
=AB·AD 是两个直角三角形一条直
角边与斜边的比.
A 答案正确,三种证明方法思路都清晰. √ √ √
① B 答案正确，只能说出 1~2 种证明方法. √
课后 C 不能判定出两个三角形相似.
拓展
A 二种证明方法思路都清晰，答案正确. √ √ √
作业
② B 只能说出一种证明方法. √
C 不能判定出两个三角形相似.
45
22.3 相似三角形的性质（共 2 课时）
1.内容分析
本节突出三角形判定和性质的探索过程，重视操作确认与逻辑推理的有机结合相似是生活中
常见的一种现象，也是数学中一种基本的变换.本章重点要检测相似图形的性质以及相似三角形的
判定方法.通过对特殊多边形的观察、比较，发现相似多边形的对应角相等.对应边长度比相等的
性质，从而给出相似多边形定义.在对相似三角形的判定与性质的研究中重视推理，也同时渗透类
比等重要的数学思想.
2.学情分析
学生处于推理论证方法的进一步巩固和提高的阶段，要求学生能熟练地用综合法证明命题，
熟悉探索法的推理过程教学中重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力.
对于相似三角形的相关判定定理，要求学生自己进行探索求证；为了巩固并提高学生的推理
论证能力.定理证明中，除了采用探索式的证明方法，还要采用规范的证明方法.这样既对激发学
生的学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生的思维能力有好处，又启发和引导学生在熟悉“规范
证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展.
这部分内容题目相对以前比较复杂，要学生综合应用以前学过的知识，教学时应注意多帮助
学生复习已有的知识，加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一
般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一
般问题化为特殊问题的思考方法.
3.重点与难点
重点：相似三角形的有关性质及应用.
难点：灵活运用相似三角形的性质定理的有关问题.
4.作业目标
通过学习与练习：
1.了解相似三角形的有关性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平
分线的比都等于相似比；周长比也等于相似比，面积比等于相似比的平方.
2.会灵活运用相似三角形性质，解决有关问题.
第十课时（22.3 相似三角形的性质 1）
（相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标：
利用练习，复习巩固三角形相似的判定.
2.作业内容 下列判断中，不正确的是（ ）
（A） 三边对应成比例的两个三角形相似
（B） 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
46
（C） 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（D） 有一个角是 100°的两个等腰三角形相似
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
根据相似三角形的判定即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5.作业解答
【解】B 选项应是两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似，只说“有一个角相
等”并不能说明相似，故 B 选项错误，
A 选项是课本中定理，正确；
C 选项满足两边对应成比例且夹角相等，可以证明相似，正确；
D 选项在等腰三角形中，100°的角必为顶角，则其两底角为 40°，可证明相似，正确．
故选：B．
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“相似三角形对应高、对应中线的比等于相似比”.
2.作业内容
如图，正方形 DEFG的边 EF在△ABC的边 BC上，顶点 D、
G分别在边 AB、AC上，已知△ABC的边 BC=15，高 AH=10，求正方
形 DEFG的边长和面积．
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过
作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．
5.作业解答
【解】如图，高 AH交 DG于 M，
设正方形 DEFG的边长为 x，则 DE=MH=x，
∴AM=AH-MH=10-x，
∵DG∥BC,
∴△ADG ∽△ABC.
x 10 x
∴ DG AM ，即 ，
BC AH 15 10
∴x=6，
2
∴x =36.
答：正方形 DEFG的边长和面积分别为 6与 36．
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标：
47
利用练习，加深运用 “相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比”.
2.作业内容
(1)在△ABC和△A B C 中，∠A=∠A ,∠B=∠B ,AB=5cm,BC=7cm,
边 A B =10cm,A C =8cm,求这两个三角形其他各边的长.
(2)已知△ABC∽△A B C ,BC=3.6cm,B C =6cm,AE是△ABC的一条中线，AE=
2.4cm,求△A B C 中对应中线 A'E'的长.
4
(3)如图，在 Rt△ABC中，∠C =90°,MN⊥AB于点 M,AM=8cm,AC = AB,求 AN的长.
5 C
N
A M B
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：先由“相似的 AA”型判定两个三角形相似后，再由相似三角形对应边成比例
来解题.
作业第（2）题：先由△ABC与△A B C 相似，得到对应边成比例，然后代入数值，求出 A'E'
的长.依据是相似三角形对应中线的比等于相似比.
作业第（3）题：本题先考察相似三角形的性质，再考察判定.关键是证明 Rt△ABC∽Rt△ANM.
通过对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力.
5.作业解答
(1)【解】
∵∠A=∠A ,∠B=∠B ,
∴△ABC∽△A B C .
AB = AC = BC∴ .
A'B' A'C ' B'C '
5
∴ = AC = 7 .
10 8 B'C '
∴AC=4,B C =14.
答：其它两边 AC=4,B C =14.
(2)【解】
∵△ABC∽△A B C ,
∴ A'E'=B'C' .
AE BC
A'E' 6
∴ .2.4 3.6
∴A E =4.
答：中线 A E =4.
(3)【解】 4
∵AC AB
∴ AC
54

AB 5
∵MN⊥AB，∠C=90°
48
∴∠AMN =∠C=90°,
又∠A =∠A,
∴△ABC∽△ANM.
4 8
∴ =5 AN
AC = AM∴
AB AN
∴AN=10.
答：AN长为 10.
作业 4（课后拓展作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“相似三角形对应高的比等于相似比”.
2.作业内容
（1）如图，数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，把长 1m 的标杆 DE直立在地面上，量出旗
杆的影长 BC为 4.2m，标杆的影长 EF为 0.4m，则旗杆 AB的高为( ).
（A）10.5m
A
（B）12m
(C）13m
(D）16.8m
D
E
B C F
(2)已知：在△ABC中，BC=120mm,边 BC上的高为 80mm.在这个三角形内有一个内接矩形
MNPQ，矩形的一边 MQ在 BC上，另两个顶点 P,N分别在边 AB,AC上
问（1）：设 PN =x,则 PQ =____.(用含 x的代数式来表示) A
问（2）：当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？
P E N
B C
Q D M
49
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
(1)根据题意得到相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．考查了相似三角形的
应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形．
本题可直接运用“同一时刻，物高与影长成正比”来解题.
(2)由矩形的对边平行入手，得到两个三角形相似，再依据相似三角形对应边上的高等于相
似比这一性质，列出比例.进而求出所求的线段的长.
通过练习让学生巩固（1）相似三角形对应高的比等于对应边的比.(2)二次函数的最值问题.
强调根据列式表示出矩形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键.
5.作业解答
(1)【解】由题意得：
∵△ABC∽△DEF，
AB DE
∴
BC EF
AB 1
即：
4.2 0.4
∴AB=13
故选：C．
(2)【解】设 PN=x.
在矩形 MNPQ中，由题意得△APN ∽△ABC.
PN = AE∴ ，BC AD
x 80 - PQ
即: ，
120 80
∴ PQ 80 - 2 x.
3
S PN 2∴ PQ (x 60)2 2400.
3
∴当 PN=60cm 时，
S 2最大=2400mm ,此时 PQ=40mm.
50
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 题 等
作业评价 确 范 新
类别 号 次
性 性 性
A 思路清晰，答案正确 √ √ √
课前 B 思路正确，答案错误 √
预习 1
C 没有系统的掌握相似三角形的判定方法，答案作业
错误.
课中 A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
巩固 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
作业 C 没有理解相似三角形的性质，答案错误
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，正确由相似列出比例，但答案有误. √
1
C 不能判定两个三角形相似，或不能由相似列出
比例.
A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
课后 B 会由相似列出比例，方程求解有误. √
2
基础
C 不会运用“相似三角形对应中线的比等于相似
作业 比”.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 能由“两组角对应相等”判定两个三角形相似， √
3 但过程不规范.或过程正确，答案有误.
C 不能由“两组角对应相等”判定两个三角形相
似.
A 思路明了，过程规范，答案正确. √ √ √
1 B 答案正确，过程不规范.或比例正确，答案有误. √
课后 C 不会运用“相似三角形对应边成比例”.
拓展 A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
作业
2 B 思路正确，过程不规范.或比例正确，答案有误. √
C 不会运用“相似三角形对应高比等于相似比”.
51
第十一课时（22.3 相似三角形的性质 2）
（相似三角形周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方）
作业 1（课前预习作业）
1.作业目标
利用练习，复习巩固“两角相等的两个三角形对应相等”与“相似三角形的对应边成比例”.
2.作业内容
如图，在等边△ABC中，D为 BC边上一点，E为 AC边上一点，且∠ADE=60°．
A
(1)求证：△ABD∽△DCE;
(2)若 BD=3,CE=2,求△ABC的边长．
E
B D C
3.时间要求（6 分钟）
4.作业分析与设计意图
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质．
(1)由∠ADE=60,可证得△ABD∽△DCE.
(2)可用等边三角形的边长表示 DC长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC
的边长．
5.作业解答
（1）【证明】：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∴∠BAD+∠ADB=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°.
∴∠DAB=∠EDC.
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE.
（2）【解】
∵△ABD∽△DCE，
∴AB BD ，
CD CE
∵BD=3,CE=2,AB=BC,
52
AB 3
∴
AB 3 2
∴ AB=9．
答：△ABC的边长为 9.
作业 2（课中巩固作业）
1.作业目标：
利用练习，巩固 “面积比等于相似比的平方”.
2.作业内容
锐角△ABC中，BC=6，AD为 BC边上的高线，S△ABC=12，两动点 M,N分别在边 AB,AC
上滑动，且 MN∥BC，以 MN为边向下作正方形 MPQN如图(1)，设其边长为 x，
(1)当 PQ恰好落在边 BC上(如图 2)时，求 x；
16
(2)当 PQ在△ABC的内部时，正方形 MPQN与△ABC公共部分的面积为 时，求 x的值．
3
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
(1)根据 S△ABC=12 求出 AD=4,，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出 x的值即可；
16
(2)当正方形 MPQN与△ABC 公共部分的面积为 时，由相似三角形的性质得出比例线段，
3
表达出重叠部分面积，再列出方程，解出 x的值即可．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积．
5.作业解答
【解】
(1)BC=6，AD为 BC边上的高线，S△ABC=12,
1
∴ 6AD 12,
2
∴AD=4.
设 AD交 MN于点 H，
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC，
∴ AH MN , 4 - x x 即：
AD BC 4 6 53
x 12∴ .5
∴当 PQ 12恰好落在边 BC上时x， .
5
（2）正方形 MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形 MPQN 的面积，
2 16
∵ x ,5
∴ x 4 3 .
3
MPQN ABC 16 4 3答：正方形 与△ 公共部分的面积为 时，x为 ．
3 3
作业 3（课后基础作业）
1.作业目标
利用练习，加深运用“两个三角形相似，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”.
2.作业内容
(1)若两个相似三角形的面积比是 3:4，则它们的周长比是多少？
(2)两个相似三角形的一对对应边分别为 32cm 和 12cm. A
①已知它们的周长相差 45cm,求这两个三角形的周长；
2
②已知它们的面积相差 550cm ,求这两个三角形的面积
(3)如图，DE∥BC, AD=2BD ,求△ADE与△ABC的周长比．
D E
B C
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：直接考察：相似三角形的面积比是周长比的平方.
作业第（2）题：考察（1）相似三角形的周长比等于相似比;（2）相似三角形的面积比等
于相似比的平方.
作业第（3）题：关键是由 DE∥BC得△ADE与△ABC AD 2相似后， = 才是相似比.
AB 3
5.作业解答
(1)【解】∵相似三角形的面积比是周长比的平方. A
3 3
∴周长比是
4 2
(2)【解】 D E
①设较小周长为 x cm,则较大周长为（x+45）cm.得： B C
（x+45）:x=32:12
∴x=27.
∴较大周长为 72cm,较小周长为 27cm.
2 2
②设较小面积为 ycm ,则较大面积为（y+45）cm .得：
y 550 2

32

y 12
∴y=90.
2 2
∴较小面积为 90cm ,则较大面积为 640cm .
作业 4（课后拓展作业）
54
1.作业目标：
利用练习，加深运用 “两个三角形相似，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”.
并理解“不相似，但有一条高线相等的两个三角形的面积比就等于对应底的比”.学会区分混淆，
正确解题.
2.作业内容
(1)已知：在四边形 ABCD中，AB∥DC,AC交 BD于点 O, A B
S 2 2 AO△ABO=5cm ,S△CDO=20cm ,求 和 S△ACD的值.CO O
D C
（2）在△ABC中，∠B的平分线为 BD,DE∥AB交 BC于点 E,若 AB=9,BC=6,
求 S△DCE:S 四边形 ABED的值. A
D
B C
E
3.时间要求（10 分钟）
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题：①由 AB∥DC，依据“平行线判定的预备定理”得△ABO与△CDO相似，
再由“相似三角形面积比等于相似比的平方”直接得出比值为 1:2.
②由 AO:CO=1:2,依据“等底同高面积相等”得 S△ADO :S△ABO =2:1，则求出△CDO面积为
2
10cm ,
最后得△ACD面积为△ADO与△CDO之和，即为 30cm2 .
作业第（2）题：首先考察由 BD平分∠B,又 DE∥AB，得：①BE=DE=x②△DEC∽△ABC;再
由相似得比例（6-x):6=x:9,并求出 x.最后依据“相似三角形面积比等于相似比的平方”得：S△DCE:S
△ABC=4:25，则 S△DCE:S 四边形 ABED=4:21.
本题考察了，角平分线性质、等腰三角形判定、相似形的预备定理及相似三角形面积比等于
相似比的平方”.既是对新知“平行线判定的预备定理”的巩固，也是融有新知的综合运用.
5.作业解答
(1)【解】
①∵AB∥DC,
∴△ABO∽△CDO.
∵S AB0=5cm2△ ,S△CDO=20cm2,
AO = 5 1∴ =
CO 20 2 .
A B
②过点 A作 AE⊥BD于 E,
1 O
S DO AE
∴ ΔADO 2
DO CO E
1 2S ΔABO BO AE BO AO D C
2
∴S△ADO=2S△ABO=10cm2.
55
∴S△ACD=S△ADO+S△CDO=20+10=30cm2.
答：①AO:CO=1:2;②△ACD面积为 30cm2.
(2)【解】
∵BD是∠B的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠CBD.
∴∠CBD=∠BDE.
∴不妨设 BE=DE=x,
∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB.
DE
∴ = CE
AB CB
6 - x x
∴ =
6 9
x 18∴
5
18 12
∴EC = 6- = ,
5 5
S
∴ ΔDCE = 4 ,
S ΔACB 25
∴ S ΔDCE = 4 ,
S四边形 ABED 21
56
作业评价设计
作业评价表
准 规 创
作业 等
题号 作业评价 确 范 新
类别 次
性 性 性
课前 A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
预习 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
作业 C 没有掌握一线三等角的有关知识，答案错误
课中 A 方法正确，过程合理规范，答案正确 √ √ √
巩固 1 B 方法正确，答案正确，但过程不够规范 √
作业 C 没有理解相似三角形的性质，答案错误
A 答案正确，过程规范. √ √ √
B 思路正确，过程不规范.或计算有误. √
1
C 不会运用“相似三角形的面积比等于周长比的
平方”.
A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路正确，过程不规范.或计算有误. √
2(1)
C 不会运用“相似三角形的面积比等于周长比的
课后 平方”.
基础 A 过程规范，答案正确. √ √ √
作业 B 思路正确，过程不规范.或求出的面积有误. √
2(2)
C 不会运用“相似三角形的面积比等于相似比的
平方”.
A 思路清晰，过程规范，答案正确. √ √ √
B 思路明了，但过程不规范.或比例正确，答案 √
3 有误.
C 不会运用.“相似三角形对应高线的比等于相
似比”.
A 过程规范，答案正确. √ √ √
B 由平行得出相似，再由面积比计算出相似比， √
1 但过程不规范.
C 不会运用“相似三角形的面积比等于相似比的课后
平

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