资源简介

沪科版 数学 九下
《圆》单元作业设计
目录
一、单元信息 ............................................................................................................... 1
二、单元分析 ............................................................................................................... 1
（一）课标要求 ..................................................2
（二）教材分析 ..................................................3
（三）学情分析 ..................................................7
三、单元学习与作业目标 ........................................................................................... 7
四、单元作业设计思路 ............................................................................................... 8
（一）单元作业设计基本原则 ..................................... 8
（二）单元作业设计基本流程 ..................................... 9
五、课时作业 ............................................................................................................. 10
第一课时（24.1（1）旋转的概念和性质） ......................... 10
第二课时（24.1（2）中心对称与中心对称图形） ................... 17
第三课时（24.2（1）与圆有关的概念及点与圆的位置关系） ......... 24
第四课时 （24.2（2）垂径定理） ................................ 31
第五课时 （24.2（3） 圆心角、弧、弦、弦心距间关系） ........... 37
第六课时 （24.2（4）圆的确定 ） ............................... 44
第七课时 （24.3（1）圆周角定理及推论） ........................ 51
第八课时 （24.3（2）圆内接四边形） ............................ 58
第九课时 （24.4（1）直线与圆的位置关系） ...................... 65
第十课时 （24.4（2）切线的性质与判定） ........................ 70
第十一课时 （24.4（3）切线长定理） ............................ 77
第十二课时 （24.5 三角形的内切圆） .............................82
第十三课时 （24.6（1）正多边形与圆的关系） .................... 87
第十四课时 （24.6（2）正多边形的性质） ........................ 92
第十五课时 （24.7（1）弧长与扇形面积） ........................ 99
第十六课时 （24.7（2）圆锥的侧面展开图） ..................... 106
第十七课时 （24.8 进球线路与最佳射门角） ..................... 106
六、单元质量检测作业 ........................................................................................... 113
（一）单元质量检测作业内容 ................................... 113
（二）单元质量检测作业属性表 ................................. 114
（三）评价标准.................................................114
七、参考答案及解析 ............................................................................................... 115
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九年级 第二学期 沪科版 圆
单元
组织 自然单元 重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 旋转的概念和性质 第 24.1(P2-3)
2 中心对称和中心对称图形 第 24.1(P4-6)
3 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 第 24.2(P12-13)
4 垂径分弦 第 24.2(P14-17)
5 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 第 24.2(P18-20)
6 圆的确定 第 24.2(P21-23)
7 圆周角定理及推论 第 24.3(P27-29)
8 圆内接四边形 第 24.3(P30-31)
课时
信息
9 直线与圆的位置关系 第 24.4(P33-34)
10 切线的性质和判定 第 24.4(P35-36)
11 切线长定理 第 24.4(P37-38)
12 三角形的内切圆 第 24.5(P42-43)
13 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 第 24.6(P47-49)
14 正多边形的性质 第 24.6(P49-51)
15 弧长与扇形面积 第 24.7(P53-55)
16 圆锥的侧面展开图 第 24.7(P55-56)
17 进球线路与最佳射门角 第 24.8(P62-64)
1
二、单元分析
（一）课标要求
内容要求 学业要求 教学提示
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的 掌握圆及圆 本章教
概念，了解等圆、等弧的概念；探索并 的相关元素的概 学应主要侧
了解点与圆的位置关系. 念，知道圆与其他 重学生对圆
2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直 学过图形之间的 的概念的理
径平分弦以及弦所对的两条弧. 特征、共性与区 解，以及圆的
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关 别，形成和发展抽 性质、关系、
系，了解并证明圆周角定理及其推论： 象能力；在直观理 变化规律的
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 解和掌握圆的相 理解，进一步
度数的一半；直径所对的圆周角是直角； 关性质与判定定 培养学生的
90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四 理的基础上，经历 抽象能力、更
边形的对角互补. 得到和验证数学 加理性的几
4.了解三角形的内心和外心. 结论的过程，感悟 何直观和空
5.了解直线和圆的位置关系，掌握切线 具有传递性的数 间想象力；学
的概念. 学逻辑，形成几何 生还将进一
6.能用尺规作图：过不在同一直线上的 直观和推理能力； 步经历几何
三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆； 经历尺规作图的 证明的过程，
作圆的内接正方形和内接正六边形. 过程，增强动手能 感悟数学论
7.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切 力，能想象出通过 证的逻辑，体
线. 尺规作图的操作 会数学的严
8.探索并证明切线长定理：过圆外一点 所形成的图形，理 谨性，形成初
所画的圆的两条切线长相等. 解尺规作图的基 步的推理能
9.会计算圆的弧长、扇形的面积. 本原理与方法，发 力和重事实、
10.了解正多边形的概念及正多边形与 展空间观念和空 讲道理的科
圆的关系. 间想象能力. 学精神.
认真研读课标，有以下几点理解：
一、教学设计时，应明确圆是初中几何最后一章，无论是内容安排还是习题
的搭配上，都大量出现对以往知识的和数学思想方法的综合运用，因此教学中注
意与前面知识的衔接，时时注意复习.
二、作业设计时，应注意圆与三角形、四边形、正多边形等知识点的结合，
通过习题促使学生有意识的归纳数学思想方法，培养学生有条理的思考，并能用
语言清晰地的表达，最终完整地答题.
三、作业评价时，应关注学生数学品质的提高，由于圆在初中几何已经是尾
声了，这就要求学生在证明过程的严谨性上、在数学语言表达的准确性上都要有
一个较高的层次.因此，在作业评价中要关注学生书面作业的规范，关注学生思
维的求异性和批判性，关注证明的完整性.
2
（二）教材分析
1.精准的教材内容分析
本章是沪科版数学九年级下册第 24 章，是在学习了直线型有关性质的基础
上，进一步学习最简单的曲线图形——圆.圆的有关性质不仅在生产、生活中有
着极其广泛的应用，圆还是进一步学习数学、物理和其他课程的基础.圆是初中
平面几何的最后一章，学习这章应联系以前学习的几何知识与方法，因此本章教
学在初中最后阶段占有重要的地位.
本章内容主要分为两大部分：
第一部分是旋转对称.这是继学习过的平移、轴对称等全等变化后的另一种
全等变换.
第二部分是圆的有关概念和性质.
在介绍了圆的对称性后，利用圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形，推出
垂径性质及同圆中弦、弧、圆心角、弦心距之间关系的性质.
在介绍确定圆的条件时，正式介绍了反证法及这一方法证题的一般步骤.
圆周角定理的证明是完全归纳法的一个最好的范例，在此定理基础上推证得
圆内接四边形的性质.
直线与圆的位置关系中，重点是切线的作图、判定与性质.
多边形与圆关系中，只介绍了三角形与圆、正多边形与圆的有关性质，这些
都是最基础的知识.
本章最后介绍了弧长、扇形的面积，圆锥的侧面展开，并利用它们解决一些
实际问题.
本章综合运用了直线型的相关知识，特别展示了一些重要的基本数学思想方
法，如利用运动的观点讨论圆的知识，分类讨论进行证明、反证法的运用等，以
提高学生的逻辑思维能力，树立辩证唯物主义观点.
本章的重点：圆的有关性质.
本章的难点：知识综合性的应用.
2.单元内容结构化分析
按照课标要求找出知识点，对知识点分类归纳形成知识线，找出知识蕴含的
方法，关联模块内容主题，形成内容结构（如图 1）.再根据课标内容、学业要
求找出素养点，将单元内容与学科素养进行关联，内容和素养结构图（如图 2）.
3
图 1
4
图 2
5
3.单元内容与素养关联分析：
学生经历学习的最终目的是发展素养，是要具备适应个人终身发展和社会发
展需要的关键能力和必备品格.最有价值的知识，是能化为智慧、化为能力、化
为品格的知识，或者说是能促进学生核心素养发展的知识.
我们将本单元内容与素养进行关联，制定了如下表格（表1），列表中的●
黑圈表示强相关，◎双圈表示中相关，○单圈是表示相关.
编号 学习内容 空间观念 推理能力 应用意识 创新意识
1 旋转的概念和性质 ● ● ◎ ○
中心对称和中心对称
2 ● ● ● ◎
图形
与圆有关的概念及点
3 ● ◎ ◎ ●
与圆的位置关系
4 垂径分弦 ● ◎ ◎ ●
圆心角、弧、弦、弦
5 ● ◎ ◎ ◎
心距间关系
6 圆的确定 ● ● ● ◎
7 圆周角定理及推论 ● ● ● ◎
8 圆内接四边形 ● ● ● ○
9 直线与圆的位置关系 ● ● ● ◎
10 切线的性质和判定 ● ● ● ○
11 切线长定理 ● ● ● ◎
12 三角形的内切圆 ● ● ● ○
正多边形的概念及正
13 ● ● ◎ ○
多边形与圆的关系
14 正多边形的性质 ● ● ◎ ○
15 弧长与扇形面积 ◎ ○ ● ●
16 圆锥的侧面展开图 ◎ ● ● ●
进球线路与最佳射门
17 ● ○ ● ◎
角
表1
6
（三）学情分析
知识储备 素养能力 解决方案
1.九年级学生已经了 具备一定的空间观 1.设计学生动手操作和主
解生活中的一些旋转 念；熟悉类比、从特 动参与的教学情境；提供
现象；了解轴对称、平 殊到一般、分类讨 动手操作、自主探究与合
移等图形全等变换知 论、数形结合、转化 作交流的机会，促进学生
识；掌握直线、射线、 等数学思想方法；拥 自主学习；提供充分的数
线段、角、三角形、四 有一定的逻辑推理 学活动和交流的机会，引
边形等相关知识；并能 能力，有一定的应用 导学生在“做数学”的活
用完整的符号语言完 意识；但是通过数学 动中，在自主探索的过程
成直线型图形的有关 的眼光，从现实世界 中获得知识和技能，掌握
证明；经历过探索直线 的客观现象中发现 基本的数学思想方法.
型图形特征的过程，建 数量关系与空间形 2.设计作业时，我们组设
立了基本的集合概念. 式，提出有意义的数 计了课前、课中、课后三
2.通过对两所学校学 学问题能力较差，通 类作业，具体是：课前预
生的考察，发现学生数 过数学的思维，揭示 习阶段的引导性作业； 课
学成绩两极分化严重， 客观事物的本质属 堂学习阶段的形成性作
优等生对知识的掌握 性，建立数学对象之 业；课后复习阶段的诊断
相对较好，学困生的知 间、数学与现实世界 性作业.为了照顾不同层
识脱节严重，但是几乎 的逻辑联系能力薄 次的学生，我们还设计了 A
所有学生知识融合的 弱，用数学的语言表 组、B组作业，提供给学生
能力较差，对于几何压 达现实世界中空间 选择，真正做到以生为本、
轴题几乎无从下手. 形式的能力很低. 分层教学.
三、单元学习与作业目标
学习目标 作业目标
1. 通过具体实例认识平面图形关于 1.通过作业练习，学生能够辨清一个
旋转中心的旋转.探索它的基本性 图形是否是旋转（中心）对称图形，
质. 并且会在网格图中绘制出旋转后的图
了解中心对称、中心对称图形的概 形.
念，探索它的基本性质. 2.通过作业练习，学生进一步体会圆
2.通过观察、实验了解圆的旋转不变 的旋转不变性及轴对称性，理解垂径
性，认识圆既是中心对称图形又是 分弦，把圆的知识转化成三角形知识，
轴对称图形.在此基础上理解垂径定 体会数形结合思想，提高学生的数学
理及其逆定理，探索并理解圆心角、 抽象和逻辑推理能力.
弧、弦、弦心距之间相等关系的定理. 3.通过作业练习复习圆的确定，反证
7
3.探索如何过一点、两点和不在同一 法的含义及其证明的一般步骤，培养
直线上的三点作圆，了解反证法的 学生逆向思维的能力.
含义及其证明的一般步骤. 4.通过作业练习，培养学生分类讨论
4.理解圆的概念及点和圆的三种位 和数形结合的能力.
置关系，并会利用点到圆心的距离和 5.通过作业练习，让学生从复杂的图
圆的半径之间的数量关系，判定点和 形中找到同弧或等弧所对的圆周角或
圆的位置关系. 圆心角，从而进行角度和边长的相关
5.探索圆周角与圆心角的关系，了解 计算，培养学生的思维能力.
并证明圆周角定理及其推论，圆内接 6.通过作业练习促进学生掌握数形结
四边形性质. 合思想与分类讨论思想的应用.
6.了解直线和圆的位置关系，掌握切 7.通过作业练习，让学生归纳出直角
线的概念，探索切线与过切点的半径 三角形内切圆半径和外接圆半径的求
之间的关系，能判定一条直线是否为 法，在做题过程中鼓励学生采用多种
圆的切线，会过一点画圆的切线，探 方法求解，培养学生的发散思维.
索并证明切线长定理. 8.通过作业，会计算正多边形的边长、
7.知道三角形的内心和外心及内切 边心距、中心角、面积等，并会用等
圆，外接圆，内接三角形、外切、三 分圆周的方法作圆内接与外切正多边
角形等概念. 形.
8.了解正多边形概念及正多边形语 9.通过作业练习，学生会正确选择公
言位置关系，掌握相关的性质. 式进行计算，能将实际问题转化成数
9.有会计算圆的弧长及扇形的面积 学模型并加以解决，培养学生的数学
会展开圆锥的侧面. 建模素养，发展学生的空间观念.
四、单元作业设计思路
（一）单元作业设计基本原则
1.培育核心素养
发挥作业育人功能，立足于培育学生的抽象能力、运算能力、几何直观、空
间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.
2.素质教育导向
紧紧围绕课程标准和教材，有机衔接课堂教学，巩固必备知识，培养关键能
力，提高学生综合素质，促进学生全面发展.
3.坚持以生为本
作业设计要遵循教育规律，尊重青少年成长规律，有益于学生的身心健康.
提倡布置探究性、实践性和开放性的作业及分层作业，以激发学生学习兴趣，增
强学生学习自信心.
8
4.落实减负提质
严格控制作业总量和时长，建议以课为单元进行作业设计.课时作业15分钟
左右，单元质量检测30分钟左右.题量适中的同时，要提高作业设计水平，确保
优质高效.
（二）单元作业设计基本流程
1.精准分析课标要求、教学内容和学情
对课程标准的分析，既要考虑“内容要求”，也要重视“学业要求”“教学
提示”.对教学内容的分析，要参考教师用书.对学情的分析，要建立在调研的基
础上，解决学生实际问题.
2.制订单元学习和作业目标
从学生实际出发，服务于学生发展，科学制订单元学习目标，在此基础上，
制订单元作业目标.单元学习目标与作业目标要统筹规划，有机结合.
3.作业设计基本流程：
明确作业 选取情境 设定问题 设计评价标
目标 素材 任务 准和方式
4.作业设计基本体系
每课时均设计“课前作业”、“课中作业”和“课后作业”，保证学生在课前
明确预习内容、课中练习巩固、课后夯实基础，每个阶段该做什么“一目了然”.
其中“课中作业”和“课后作业”均分层设计作业，每课时均设计“基础性作业”
（面向全体，体现课标，题量 3-5 题，要求学生必做）和“拓展性作业”（体现
个性化、探究性、实践性，题量 1—3题，要求学生有选择的完成）.具体设计体
系如下：
9
五、课时作业
第一课时（24.1（1）旋转的概念和性质）
1.课前作业
课题 24.1 旋转的概念和性质 节次 第 1 课时
1. 通过让学生操作，设计图案，进一步巩固对所学图形特征的认识.
作业目标
2. 让学生充分的展示自己的设计才能，能培养学生的想象力和创造力.
作业时长 5 分钟
1. 通过几何变换制作图案：
（1）先设计一个基本图案，然后通过轴对称，旋转，平移等变换，
题目
设计 1--2 个图案.
（2）请你利用图形变换的特点为班级设计一个班徽.
本题考查学生通过利用平移，对称，旋转等图形变换设计图案，提
设计意图 高学生的实践能力，鼓励学生大胆设计，让学生获得自我创造的成就感，
感受数学美，激发学生创造性地应用数学的意识和能力.
评价方式 自评 互评 师评
能掌握中心对称图形的概念和中心对称的性质，能应
A
用中心对称图形设计图案.
作业评价
能掌握中心对称图形的概念和中心对称的性质，会设
评价标准 B
计简单的基本图案.
掌握中心对称图形的概念和性质，设计简单的基本图
C
案不够标准.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
10
2.课中作业
课题 24.1 旋转的概念和性质 节次 第 1 课时
1. 掌握旋转和旋转对称图形的概念，能明确旋转的三要素，会应用旋
转的性质解决问题，增强数学的应用意识.
作业目标 2. 能利用旋转的性质得出旋转角，会根据图形的特点求出最小旋转角，
能运用分类讨论的思想思考问题，从而提高学生观察，分析，抽象，概
括的能力.
重点：旋转的概念及基本性质的运用..
作业重难点
难点：旋转性质及分类讨论的思想的应用.
作业时长 基础性作业 5 分钟，拓展性作业 10 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. (教材 P3，练习 T1 变式)下列图形中，绕某个点旋转 72°后能与自
身重合的是( ).
2. （教材 P3第 2题变式）风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，
我省近年来大力发展风电产业．如图所示的风力发电机转子叶片图案绕
中心旋转 n°后能与原来的图案重合，那么 n的最小值是_________．
题目
3. （淮北素质测评）如图，将Δ OAB绕顶点O逆时针旋转60°得到
Δ OCD .若∠ AOB= 25°，OA=3，则∠DOC=_________°，
∠AOD=_________°，OC =_________，_________≌__________.
AOC BOD _________.
第 1 题考查从图形的旋转过程中找出旋转角度，如何准确的找到旋
转角是本题的关键，从而进一步发展学生的空间观念，树立运动变化的
设计意图 几何观点.
第 2题从实际生活问题入手，运用旋转对称图形的旋转角，并得到
11
旋转角的最小值，进一步说明数学来源于实际生活，体现了解决问题的
过程也是一个“数学化”过程，培养了学生观察，抽象的能力.
第 3题主要考查对旋转三要素（旋转中心，旋转角，旋转方向),的
理解和掌握，进一步体会旋转中的数学内涵，培养学生的空间想象能力，
从而培养几何直观想象的数学素养.
评价方式 自评 互评 □师评
A 能区分旋转的三要素，会利用性质正确解答.
作业评价
能区分旋转的三要素，会利用性质解答，但答案不准
评价标准 B
确.
C 会运用旋转性质，但答案有错误.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）一副三角板按如图所示的方式放置，将三角板 ADE绕点 A
逆时针旋转α(0°＜α＜90° )，使得三角板 ADE的一边所在的直线与 BC
垂直，则α的度数为__________________．
2. （B类题）如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 E在 AD上，Δ ABE
题目
逆时针旋转一定角度后得到Δ ADF，延长 BE交DF于点G .若 AE=3，
21
FG=
5
(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)求证： BG⊥DF；（3）求线段GE的长.
第 1题是旋转知识与全等三角形及勾股定理的综合运用，并且考查
设计意图 了分类讨论的数学思想,（1）DE⊥ BC ;(2) AD⊥ BC .通过这题让学生体
会知识间的密切联系，从而提高学生的数学核心素养，培养学生的逻辑
推理能力.
12
第 2题从分析题目的旋转变换入手，找出旋转中心，以及角，边之
间的相等关系是第一问解决的关键，由全等变换前后角度之间的关系，
得到两线之间的垂直，RtΔFBG中勾股定理的应用也是考查的重点.通过
此题考查学生对旋转概念的理解及知识的巩固，综合应用学过的知识和
新知识融合的能力，让学生体会知识脉络，从而达到内化的效果.
评价方式 自评 互评 师评
能运用旋转知识解决综合性问题，答题规范，思路清
A
作业评价 晰，答案正确.
评价标准 能运用旋转知识解决综合性问题，过程不够规范、完
B
整，答案正确.
运用旋转知识解决综合性问题有些欠缺，过程不规范
C
或无过程，答案错误.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
13
3.课后作业
课题 24.1 旋转的概念和性质 节次 第 1 课时
1. 能运用旋转的概念和性质解决综合问题.
作业目标 2. 通过让学生解决含有所学知识的数学问题，培养学生运用知识，内
化知识的思维意识.
重点：运用旋转的概念和性质.
作业重难点
难点：运用旋转的概念和性质解决综合问题.
作业时长 基础性作业 7 分钟，拓展性作业 9 分钟，合计 16 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1. （教材改编）如图，将 RtΔ ABC绕点 A按顺时针方向旋转一定角度
得到 RtΔ ADE，点 B的对应点D恰好落在BC边上．若 AB=1，
∠ B= 60°，则CD的长为( )
A．0.5 B . 1.5 C . 2 D . 1
2. （教材改编）点 E是正方形 ABCD的边DC上一点，把Δ ADE绕点 A
顺时针旋转90°得到Δ ABF .若四边形 AECF的面积为 20，DE= 2，则
AE的长为_________．
题目
3. （教材改编）在Δ ABC中，AF⊥ BC于点 F .将Δ ABC绕点 A按顺时
针方向旋转一定角度后得到Δ ADE，点B的对应点D恰好落在 BC边
上．(1)若∠ B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD
14
第 1题考查的是利用旋转的性质，根据全等变换得到角度和边的不
变，考查学生的观察，分析问题的能力，渗透直观想象的数学核心素养.
第 2题考查旋转过程中得到的全等图形，学生是否能够看出全等图
形的边的相等关系，提升直观想象、数学运算等数学素养.
第 3题主要根据旋转的性质得到边，角之间的相等关系，综合题目
设计意图
中涉及的三角形的几何知识，提高学生灵活运用新旧知识的能力，培养
学生数学抽象思维能力.
评价方式 自评 互评 师评
A 能独立完成，答案正确、过程规范，解法有新意.
作业评价
评价标准
B 能独立完成，过程不够规范、完整，但答案正确.
C 能独立完成 1-2 道,答案不正确,有过程不完整.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图，在 RtΔ ACB中，∠ ACB=90°，AC= BC= 2 ，点
D是 AB边上的一个动点，连接CD .将Δ BCD绕点C顺时针旋转90°得
到Δ ACE，连接DE，则Δ ADE面积的最大值等于________．
题目
2. （B 类题）如图，将边长为 3cm的正方形 ABCD 绕点 A逆时针旋转
30°后得到正方形 AB′C′D′，求图中阴影部分的面积.
第 1题考查旋转的性质与二次函数的综合运用，首先能否得到
∠DAE= 90°，三角形 ADE的面积是关于 AE的二次函数，利用函数求
设计意图 最值，能更好的培养学生的思维能力.
第 2题考查旋转性质与正方形性质，全等三角形以及勾股定理的综
合运用，关键是求出∠ B 'AE和∠DAE的度数.再根据勾股定理得出 B 'E
的长.通过综合练习让学生学会举一反三，拓展思维，渗透数学思想，
15
抽象概括能力和逻辑能力得到一定程度的提升.
评价方式 自评 互评 师评
A 限时限量独立完成，思维严密，过程规范，结果正确.
作业评价 评价标准 B 能独立完成，过程不够完整，结果正确.
C 需要别人帮助才能完成，答题不规范，答案不正确.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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16
第二课时（24.1（2）中心对称与中心对称图形）
1.课前作业
课题 24.1 中心对称与中心对称图形 节次 第 2 课时
1. 通过动手操作活动，能区分轴对称图形与中心对称图形，激发学生
作业目标 学习数学的兴趣.
2. 通过拼图，设计图形，提高学生空间想象能力.
作业时长 5 分钟
1. 请你用 6个全等的正方形拼成中心对称图形.
题目 2. 请你用 6个全等的正方形再设计几个中心对称图形但不是轴对称图
形.
3. 请你用 6个全等的正方形设计既是中心对称图形，又是轴对称图形.
本题考查学生通过动手拼图，动脑设计图案，加深对中心对称图形
设计意图 的理解，通过观察，操作，设计使学生领会类比的数学思想，提高实践
能力，激发学生的学习积极性.提高了审美能力.
评价方式 自评 互评 师评
能掌握中心对称图形的概念和中心对称的性质，能应
A
用中心对称图形设计图案.
作业评价
评价标准 B 能掌握中心对称图形的概念，能设计简单的基本图案.
C 掌握中心对称图形的概念，不能独立设计图案.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
17
2.课中作业
课题 24.1 中心对称与中心对称图形 节次 第 2 课时
1. 掌握中心对称图形的概念和性质.体会数学美，提升学习数学的兴
趣.
作业目标
2. 掌握两个图形成中心对称的性质.根据图形能找到对称中心，能画出
与已知图形成中心对称的图形并写出坐标，提高学生的理解辨析能力.
重点：理解并应用中心对称图形的概念和性质.
作业重难点
难点：区分中心对称图形和中心对称.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 6 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1.（教材改编）下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称
D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
2. （教材改编）如图，Δ ABC和Δ DEF关于某点对称，则对称中心是
题目 ( )
A．点C B．点D C．线段 BC的中点 D . 线段 FC的中点
3.（教材 P 11第6 题）在平面直角坐标系中画出点 A ( 1，2)，B ( 3，1)，
C ( 2，1),并画出这三点关于原点成中心对称的对应点，写出它们的坐
标.然后画出点 A关于点 B成中心对称的对应点并写出其坐标.
第 1题考查中心对称的概念以及全等变换，正确把握相关性质是解
题的关键，区别与旋转对称图形及轴对称图形的异同，提升学生感悟事
物本质的能力，达到让学生学会运用数学的眼光分析身边事物的意识.
第 2题考查两个图形关于中心对称的知识点，利用中心对称的性质
（对应点的连线必经过对称中心）从而找到对称中心，以此提高学生在
设计意图
预习中对概念和性质的理解，提高学生的直观想象能力.
第 3题考查作图--旋转变换，根据中心对称的性质，画出 A , B ,C
关于原点成中心对称的对应点及其坐标，中心对称和中心对称图形渗透
着旋转变换思想，让学生学会用动的观点研究问题，使其思维更加活跃，
处理问题更加灵活.
18
评价方式 自评 互评 □师评
能理解概念并运用性质，会画出图形，作图准确，步
A
骤正确.
作业评价
评价标准 B 能理解概念并运用性质，会画出图形，步骤不够准确
C 能理解概念，运用性质有些困难.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1.（A 类题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1个单
位长度，在平面直角坐标系中，Δ ABC的三个顶点 A (5，2)，B (5，5)，
C (1，1)均在格点上．
(1)请画出Δ ABC关于 x轴对称的Δ A1B1C1 .
(2)将Δ ABC绕点O逆时针旋转90°后得到Δ A2B2C2 ；请画出Δ A2B2C2 ，
则点 A2 的坐标为_________．
题目
2.（B 类题）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都
将其分成全等的两个部分．
(1)如图 1，直线 m经过平行四边形 ABCD对角线的交点O，则
S四边形AEFB _________ S四边形DEFC (填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)两个正方形按如图 2所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，
求作过点O的直线，使整个图形被分成面积相等的两部分；
(3)八个大小相同的正方形按如图 3所示的方式摆放，求作直线，使整
个图形被分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
19
第 1题考查作图——旋转变换，根据图形变换的性质及网格的特点，
绘制轴对称图形和旋转对称图形，要求学生具有一定的观察能力和数学
思维能力，让学生经历动手操作，积累基本的活动经验，进一步加深对
轴对称变换和旋转对称的理解.
设计意图 第 2题考查中心对称及矩形的性质，要掌握中心与中心对称点的联
系.学生从已有的经验和知识出发，灵活运用新知识解决问题的能力.
（2），（3）两个小问更能充分体现学生的发散思维，不仅有利于理解
性质，使学生的抽象思维能力和逻辑思维能力得到一定程度的提升.
评价方式 自评 互评 □师评
能画出变换后的周对称图形和中心对称图形，会分割
A
出面积相等的直线，作法新颖有创意，答案准确
作业评价
评价标准 能画出变换后的周对称图形和中心对称图形，会分割
B
出面积相等的直线，答案准确
C 能画出变换后的周对称图形和中心对称图形
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
20
3.课后作业
课题 24.1 中心对称与中心对称图形 节次 第 2 课时
1. 能运用中心对称图形和性质画出变换后的图形及变换后的点的坐
标.
作业目标
2. 会解决有关旋转的综合性问题,培养学生从数学多个角度进行理性
推理的能力.
重点：运用旋转和中心对称性质绘图.
作业重难点
难点：旋转和中心对称图形性质的综合应用..
作业时长 基础性作业 7 分钟，拓展性作业 9分钟，合计 16 分钟
分层作业 个性化作业 □探究性作业
作业类型
基础性作业
1. （教材 P11 第 7题）如图，已知 ABCD的中心在原点O ,顶点 A(1，3) ,
D(2， 2) ,求顶点 B ,C的坐标.
2. （教材改编）如图，已知矩形的长为10cm，宽为 4cm，则图中阴影
部分的面积为( )
题目
3. (2021·安徽中考)如图，在每个小正方形的边长均为 1个单位长度
的网格中， ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
(1)将 ABC向右平移 5个单位长度得到 A1B1C1,画出 A1B1C1；
(2)将(1)中的 A1B1C1绕点C1逆时针旋转 90°得到 A2B2C1 ，画出
A2B2C1 .
第 1 题考查成中心对称的两个图形，线段的相等关系，以及与三角
设计意图
形中位线的融合，重点让学生从以前的知识出发，联系旧知识进行知识
的迁移.
21
第 2题学生要明确矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，成中心
对称图形的面积是相等的，培养学生从数学的多个角度进行理性的思
维.
第 3题考查网格中图形的变换作图，中考一般涉及平移，对称，旋
转等变换作图，本题考查平移和旋转变换作图.通过判断，辨析，能培
养学生的理性思维和科学精神，从而提高学生的逻辑推理的意识和能
力.
评价方式 自评 互评 □师评
A 作图规范，答题过程详细，答案准确
作业评价
评价标准
B 能作出图形，过程不够详细，答案准确
C 能作出图形，但缺少该有虚线，作图不够规范
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图，点 P为平行四边形 ABCD的对称中心，以点 P为圆
心作圆，过点 P的任意直线与圆相交于点M ，N ，则线段BM ，DN的
大小关系是_________ .
题目
2.（B 类题）如图，菱形 ABCD的面积为 32，其对角线 AC， BD交于
点O，BD=16 ，Δ B 'O 'C与Δ OBC关于点C成中心对称，求点 A与点 B '
之间的距离.
第 1题考查圆和平行四边形是中心对称图形，通过对称中心 P的直
线分得图形全等，从而有线段之间的关系，培养学生分析问题的能力，
以最基本的概念入手，达到举一反三的效果，培养学生的几何直观想象
设计意图 的数学核心素养.
第 2题综合考查中心对称与菱形知识，使学习知识得到迁移，有效
的化解题目中的难点，让学生在分析问题的过程中，感受数学的严密性，
提高学生抽象思维.
22
评价方式 自评 互评 师评
能解决综合性问题，答题过程严谨，思路清晰，做法
A
独特，答案标准
作业评价 评价标准 B 能解决综合性问题，答题过程规范，答案正确
C 独立完成有困难，过程有问题，答案不准确
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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23
第三课时（24.2（1）与圆有关的概念及点与圆的位置关系）
1.课前作业
课题 24.2 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 节次 第 1 课时
1. 通过画图掌握点与圆的位置关系及圆中相关概念，体会数形结合，
分类讨论的数学思想..
作业目标
2. 通过动手操作，可以激发学生的学习兴趣，提高学习效率，还可以
拓展学生的思维空间.
作业时长 5 分钟
1. 请你在纸上画一个圆，在圆上标出优弧，劣弧，弦，弓形,然后任意
作一些点，观察这些点与圆的位置关系.
题目 2. 请你再画一个圆，标出圆内，圆上，圆外三点，然后测量三点与圆
心的距离 d，比较半径 r与 d的大小关系，发现点与圆有怎样的位置关
系.
本题通过学生动手操作，从图形上直观的认识圆中相关概念及点与
圆的位置关系.在由数量上判断图形位置，更好的让学生体验数形结合
设计意图
的思想.树立学生学数学，善归纳，用数学的思想意识，培养学生善于
操作，勇于动脑的良好习惯.
评价方式 自评 互评 □师评
能独立画图找出图形关系，准确总结出 d与 r的数量
A
关系.
作业评价
评价标准 B 能独立画图找出图形并找到数量关系.
C 能独立画图找出图形，但总结数量关系由困难.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
24
2.课中作业
课题 24.2 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 节次 第 1 课时
1. 会灵活运用点与圆的位置关系以及求字母的取值范围,从而渗透数
形结合思想.
作业目标 2. 通过证明两线之间的位置关系，以及运用数学符号语言，图形语言，
文字语言三者关系解决问题的能力，提高学生逻辑推理和数学抽象的能
力.
重点：点与圆的三种位置关系.
作业重难点
难点：点与圆的关系及分类讨论的应用.
作业时长 基础性作业 7 分钟，拓展性作业 8 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1. （教材 P14 第 2 题）以点O为圆心，分别以 2 cm ,3 cm为半径画两个
圆（这两个圆叫做同心圆），说出满足下列条件的点 P的位置.
（1)OP >3 cm； （2）OP 2cm
（3） 2cm 2. （教材改编）在Δ ABC中，∠C=90°， AC = 4， AB=5，以点C为
题目 圆心， r为半径作圆，请回答下列问题：
(1)当 r取何值时，点 A在⊙C上？
(2)当点 A在⊙C的外部且点 B在⊙C的内部时，求 r的取值范围.
3. （教材 P13 例 1）如图，已知 AB,CD为⊙O的直径.求证：AD∥CB
第 1 题考查点与圆的位置关系，其中第一题让学生说出位置，，有
利于培养学生的语言表达能力，体现数形结合的数学思想，提高学生的
空间想象能力.
第 2题考查点与圆的位置，点在圆外与半径的关系，让学生通过画
设计意图 图找到线段与半径的关系，更好的体现数性结合的思想，把常用的数学
思想强化为数学素养.
第 3题让学生从圆的几何图形抽象出三角形，与三角形的全等联系
在一起，从而得到 AD∥CB，培养学生分析问题，灵活运用知识间的
紧密性解决问题的能力.
作业评价 评价方式 自评 互评 □师评
25
能说出点的位置，解题过程清晰明了，数学符号语言
A
使用准确.
评价标准
B 能说出点的位置，数学符号语言使用准确.
C 能说出点的位置,解题过程不够规范.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）若一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该
圆的半径是___________________．
2. 如图，⊙ A的半径为 3，圆心 A的坐标为(1，0)，点 B (m，0 )在
⊙ A内，则m的取值范围是( )
题目
A . m<4 B . m> -2 C． - 23. （B 类题） 如图，矩形 PAOB 在扇形MON上，顶点 P在弧MN上，
且不与点M ，N 重合，当点 P在 上移动时，矩形PAOB 的形状、大小
随之变化，则 AB的长度( )
A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定
第 1题考查点与圆的最值及分类讨论的思想，主要是让学生自己动
手画出点与圆的位置关系，更深刻的感受数学思想，数学方法，获取解
题的基本方法.
第 2题在平面直角坐标系中，圆的半径与范围的关系，提高学生的
设计意图 思维方式，培养分析，解决问题的能力，渗透一般的数学思想，发展学
生的直观想象等素养.
第 3题考查扇形内接矩形，需要运用矩形对角线的性质，根据 AB与
OP相等，得到 AB的长度不变，体会在数学中由“变”中找“不变”
的数学思想.
评价方式 自评 互评 师评
A 能独立思考，限时限量完成，答案准确.
26
作业评价 评价标准
B 能独立思考，答案准确.
C 不能独立完成，答案有误.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
27
3.课后作业
课题 24.2 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 节次 第 1 课时
1. 能掌握点与圆的位置关系和数量关系，提高学生运用“数”与“形”
思想的意识.
作业目标
2. 会根据新旧知识间的关系解决几何问题，培养学生学会综合运用所
学知识和技能解决问题的能力.
重点：圆中线段与角的综合运用，点与圆位置关系的判断.
作业重难点
难点：用数量关系判断点与圆的位置关系以及辅助线的添法.
作业时长 基础性作业 7 分钟，拓展性作业 9 分钟，合计 16 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. （教材改编） 如图，点 A，O，C在同一条直线上，且点O为圆心，
则线段_____________是⊙O的半径，线段_____________是⊙O的弦，
其中最长的弦是_______，__________是劣弧，_____________是半圆，
__________________是优弧．
题目 2. （教材改编）如图， AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知
∠ AOD=50°， AD //OC，则 BOC _________．
3. （教材改编）已知点 P是线段OA的中点，点 P在半径为 r的⊙O外，
点 A与点O的距离为 8，则 r的取值范围是( )
A． r>4 B． r>8 C． r<4 D． r<8
第 1题考查对圆中有关概念的理解，结合图形能够准确的识别弦，
弧（优弧，劣弧）等基本概念，从知识的角度看，检验学生对新知识学
习的理解.
设计意图 第 2题考查圆中得线段之间的平行关系，从而得到角之间的关系，
把新知识与已学知识综合，提高学生的数形结合的思想和化归的思想.
第 3题考查点与圆的关系与点到圆心的距离的数量关系互相对应，
由位置关系确定数量关系，反过来由数量关系确定位置关系，进一步体
会“数”与“形”之间的转化.
28
评价方式 自评 互评 □师评
能准确判断点与圆位置关系，证明过程调理清晰，步
A
骤完整.
作业评价
能准确判断点与圆位置关系，证明过程调理清晰，步
评价标准 B
骤不够完整.
C 能准确判断点与圆位置关系，几何语言调理不清晰.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1.（A 类题） 如图，在Δ ABC中，BD，CE分别是 AC，AB边上的高，
求证： B,C,D,E四点在同一个圆上．
题目
2.（B 类题）如图，⊙O的半径OA,OB分别交弦CD于点 E,F，且
CE=DF .请探究线段 AE与 BF的数量关系，并给予证明．
第 1题考查证明四点共圆，其本质是让学生知道还是根据四点到定
点的距离等于定长，结合三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论，
其中添加辅助线的想法是数学核心素养的体现.
设计意图 第 2题连接半径是解决圆有关问题的辅助线的重要方法，利用同圆
中的半径相等，构造等腰三角形，为证明全等三角形提供相关的条件.
与三角形的全等有关知识综合是考查的关键，进一步培养和发展学生的
几何思维能力，有利于学生认识数学思想，掌握数学方法.
评价方式 自评 互评 师评
作业评价 添加辅助线正确，解题过程规范，调理清晰，答案准
A
评价标准 确.
B 添加辅助线正确,答案正确.
29
C 添加辅助线有困难，证明过程不够严谨.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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30
第四课时 （24.2（2）垂径定理）
1.课前作业
课题 24.2 垂径定理 节次 第 2 课时
1. 通过趣味活动，激发学生学习数学的兴趣，使学生更易于理解圆的
对称性.
作业目标
2. 搜索赵州桥的相关知识，从实例中提出数学问题，从现实世界寻找
数学模型，对学生进行数学美的教育.
作业时长 5 分钟
每个学生准备若干张圆形纸片
题目 1. 学生动手做“找圆心”的游戏.
2. 沿圆形纸片的一条直径将圆折叠，你有什么发现？
3. 搜索中国石拱桥的代表赵州桥的有关图片和历史背景.
第 1题通过观察实验，使学生理解圆的对称性.
第 2题通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思
维品质，同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺垫作用.
设计意图 第 3题以学生所熟知的赵州桥入手，从实例中建立与本节课密切相
关的数学问题，这样既能激发学生的兴趣，又能引发学生更深层次的思
考，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的，让学生从一些简单
实例中不断体会从现实世界寻找数学模型，建立数学关系的方法.
评价方式 自评 互评 □师评
动手能力强，语言表达能力强，能准确找出圆心，通
A
过折叠发现圆的对称性
作业评价
评价标准 B 动手能力较强，经提示能由折叠过程发现结论
C 动手能力弱，发现结论能力弱，不能发现结论
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
31
2.课中作业
课题 24.2 垂径定理 节次 第 2 课时
1. 掌握垂径定理，并会用它解决有关的计算和证明问题.
作业目标 2. 掌握辅助线的做法——过圆心做一条与弦垂直的线段.
3. 培养学生逻辑思维能力和化归的数学思想，让学生感受数学的魅力.
重点：垂径定理及其变式图形的应用.
作业重难点
难点：圆中有关分类讨论的问题.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 6 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1.（教材 P17 第 1 题）在半径为 4 cm的⊙O中，有长为 4 cm的弦 AB .
计算：（1）点O与 AB的距离；
（2）∠AOB的度数.
2. (教材改编)如图，OE⊥ AB于 E，若⊙O的半径为 10cm，OE=6cm，
则 AB的长为多少？
题目
3.（教材 P16 例 3）赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)
为 37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，求赵州桥主桥拱的半
径.
第 1题考查垂径定理的应用，通过此例使学生明确：在解决圆中有
关弦长a ,半径 r , 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，
通常是将垂径定理和勾股定理结合起来，达到一通百通的目的.
在巩固第 1题成果的基础之上，出示例 2，是为了将解直角三角形
设计意图 和垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融会贯通——你中有我，我中
有你.
第 3题是垂径定理在生活中的应用，让学生感受到数学来源于生活，
又应用于生活.
通过这三道题巩固学生对定理的掌握和拓展，培养学生数学建模的
核心素养和数形结合的思想.
评价方式 自评 互评 师评
能熟练运用垂径定理的内容解决问题，添加辅助线合
作业评价 A
理，思路清晰，答案准确，解题格式规范.
32
评价标准 在添加辅助线上还是会走点弯路，但最终也能得出正
B
确答案，解题格式有待加强.
不能自主解决问题，需要在同伴的帮助下才能做出正
C
确答案.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图，CD所在的直线垂直平分线段 AB .怎样使用这样的
工具找到圆形工件的圆心？
题目
2.（B 类题）已知⊙O的半径为 10 cm，弦MN∥ EF ,且MN =12 cm，
EF =16cm ,则弦MN和 EF 之间的距离是多少？
第 1题考查了垂直平分线的性质和垂径定理的灵活应用，这是一道
开放性的问题，通过生活中的实例，合理的使用现有的工具找到圆心，
教师鼓励学生使用多种方法解决问题，培养学生的探索精神和发散思
维.
设计意图
第 2题是圆中常出现的分类讨论问题，由于圆的对称性，会经常考
查在弦相等、角相等、弧相等等前提下出现的多种情形，学生要能准确
的画出各种情形下的图形，对学生的综合素质要求较高，可以培养学生
直观想象和数形结合的核心素养.
评价方式 自评 互评 师评
A类题能迅速找到方法，解法创新，引用新知识点合
A 理准确.B 类题会准确进行分类讨论，答案正确，解题
作业评价 过程规范.
评价标准 A类题在和同伴交流下能找到解决的办法.
B B 类题知道需要进行分类讨论，通过合作交流得出正
确答案，解题过程不够规范，需要加强.
A 类题不能自主解决问题.
C
B 类题需要同伴的帮助才能解决.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
33
3.课后作业
课题 24.2 垂径定理 节次 第 2 课时
1. 强化对基本图形的理解，有特殊到一般，培养学生对几何图形的化
归思维能力.
作业目标
2. 通过古代数学名著《九章算术》中的问题，让学生了解中国数学的
发展简史，培养学生的民族自豪感.
重点：“知二推三”的应用.
作业重难点
难点：圆中的最值问题.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 14 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1．（教材改编）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥ AB于点 E，CD=12，
BE=2，则⊙O的半径为________．
2．(2021·芜湖月考)一个排水管的截面如图所示，已知截面圆的半径
OB=10，圆心O到水面的距离OC=6，则 AB的长度为( )
A．16 B．10 C．8 D．6
题目
3．(2020·淮南期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个“圆
材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一
寸，锯道长一尺．问径几何？”用几何语言可表述为如图，CD为⊙O的
直径，弦 AB⊥CD于点 E，CE=1 寸， AB=10 寸，则直径CD的长为
_______寸．
34
第 1题考查垂径定理的应用，通过构造直角三角形运用勾股定理解
决问题，向学生渗透转化和化归的数学思想.
第 2题主要是垂径定理在生活中的应用，让学生感受到数学来源于
生活并运用到生活中去的魅力.
第 3题摘自我国古代数学名著《九章算术》，是一道数学文化史问
设计意图
题，也是近几年中考的热点，通过这道题目，同学们能够领略到古代数
学的精华，从小立志传承中国古代文化.
评价方式 自评 互评 师评
能熟练运用垂径定理的内容解决问题，添加辅助线合
A
作业评价 理，思路清晰，答案准确，解题格式规范.
评价标准 在添加辅助线上还是会走点弯路，但最终也能得出正
B
确答案，解题格式有待加强.
不能自主解决问题，需要在同伴的帮助下才能做出正
C
确答案.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）CD是⊙O的一条弦，作直径 AB，使 AB⊥CD，垂足为 E .
若 AB=10，CD=8，则 BE的长是( )
A．8 B．2 C．2或 8 D．3或 7
2. （B 类题）如图，在⊙O中，弦 AB=1，点C在 AB上移动，连接OC，
过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长的最大值为______．
题目
第 1题是一道分类讨论的问题，学生在做的时候很容易忽略掉其中
的一种情况，通过此题提醒学生：圆的相关问题如果题目没有图，要多
想一想，是不是需要分类讨论的问题.几何中文字语言、符号语言、图
设计意图 形语言的相互联系和转换也是学生应具备的能力.
第 2题是圆中的最值问题，是中考选择题压轴题的热点题型，通过
学生们充分思考、讨论、生生补充、师生补充，相信能把这类难题攻克，
让学生建立模型、理解模型、运用模型，培养学生数学建模的能力和素
养.
35
评价方式 自评 互评 师评
A类题能准确画出图形，会进行分类讨论，答案正确.
A
B 类题思路清晰，答案正确，解法简捷.
A 类题知道需要进行分类讨论，但绘图能力有待加强，
作业评价 评价标准 B 在和同伴交流下计算出了正确答案.
B 类题由别人的提示找到了适当的方法，答案正确.
A 类题不能自主解决问题.
C
B 类题通过合作交流得出正确答案.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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36
第五课时 （24.2（3） 圆心角、弧、弦、弦心距间关系）
1.课前作业
课题 24.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 节次 第 3 课时
1. 通过观察生活中的实例，同学们能辨别圆周角的特征，准确说出什
作业目标 么样的角是圆周角，以及圆心角和圆周角的区别.
2. 能准确归纳出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.
作业时长 5 分钟
1. 飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些
角有什么共同的特征呢？
题目
2. 在课前推送的微课中，应用电脑动画实验观察：在同圆或等圆中，
圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系.
第 1题让学生生活中常见的例子，培养学生通过观察发现新问题、
解决新问题的能力.
第 2题由电脑动画实验观察得出定理内容，培养学生从感性到理性
设计意图
的认识，这样既可以培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又
可以充分调动学生学习的积极性,还可以向学生渗透事物之间可以互相
转化的辩证唯物主义教育.
评价方式 自评 互评 □师评
A 准确辨认圆周角，能归纳出定理的内容.
作业评价
评价标准 B 能辨认圆周角，对定理的内容有基本的认识.
C 不能辨清圆周角，对定理内容认识不清.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
37
2.课中作业
课题 24.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 节次 第 3 课时
1. 掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理、推论及应用.
2. 培养学生发现新问题、探究和解决问题的能力.
作业目标
3. 向学生渗透事物之间可以相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的
内在美，激发学生求知欲.
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及推论的应用.
作业重难点 难点：由“四个等价于”不能盲目推出“2 倍的圆心角 2 倍的弧 2
倍的弦 2 倍的弦心距”.
作业时长 基础性作业 8 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 13 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. （教材 P19 例 1）已知：如图，等边三角形 ABC的三个顶点都在⊙O
上.求证：∠ AOB=∠ BOC =∠ COA=120°.
2. (教材改编)如图所示，在⊙O中, 中, = ，∠ACB= 60° ,求证：
∠ AOB=∠ BOC =∠ COA .
题目
3. （教材改编）如图，已知 AB、CD为⊙O的两条弦, = ,求证：
AB=CD .
这三道题都是对圆中相等量的灵活运用.
设计意图
第 1题考查了“弦相等 圆心角相等”，学生往往重视计算结果，
而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导，强化对定理
38
的理解和应用.
第 2题是第 1题的基础上的变式，改变题目的条件，学生能否敏锐
的观察出三角形仍然是个等边三角形，该题教师强调解题要规范.
第 3题让学生感受到在圆中证明线段相等可以有不同的方法，学生
可以感受到运用“四个等价于”定理证明“边相等”问题的简捷性，培
养学生的发散思维.
评价方式 自评 互评 师评
A 思路清晰，证明格式规范，逻辑严谨.
作业评价
评价标准 B 思路清晰，证明格式不够规范，逻辑不够严谨.
C 不能自主解决问题，需要在别人的帮助下解题.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图 AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上两点．若
BC=CD=DA=4 ，则⊙O的周长为( )
A．5 B．6 C．9 D．8
题目 2. （B 类题）如图，在⊙O中， 2∠AOB=∠COD，那么 ＝ 成立
吗？CD= 2AB吗？如果成立，请说明理由；如不成立，那它们之间的
关系又是什么？
第 1题通过“连半径”可以得出三个等边三角形，“连半径”这种
辅助线的作法贯穿整个圆的学习，引导学生概括归纳方法，形成一条纵
向知识线.
第 2题是学生常见的误区：由“四个等价于”错误的推出“2倍的
圆心角 2 倍的弧 2 倍的弦 2 倍的弦心距”，老师一定要给学生强
设计意图 调这种认识是绝对错误的，不能简单的把定理拓展到倍数关系上，但是
“2倍的圆心角 2 倍的弧”是正确的，通过这道题学生亲自来推一推
证一证，让学生感受到数学不能简单的由此推彼，一个结论的成立必然
39
要伴随严格的证明.培养学生逻辑的缜密性，提高学生的推理能力.
评价方式 自评 互评 师评
A类题答案准确，推理严谨，解法创新.
A
作业评价 B类题能准确推导，说理准确.
评价标准 A类题有解题思路，但是在小组合作中解决的问题.
B
B 类题能推出一部分,说理不够准确.
A 类题不能自己解决问题.
C
B 类题答案不够准确，无法正确说出理由.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
40
3.课后作业
课题 24.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 节次 第 3 课时
1. 掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理、推论及应用.
作业目标
2. 规范书写圆的相关证明问题,培养学生的逻辑推理能力.
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及推论的应用.
作业重难点
难点：圆中的最值问题.
作业时长 基础性作业 7 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 12 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1. （引用）下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．等弦所对的圆心角相等
2.（教材 P20 第 3 题）圆的一条弦把圆周分成度数比为 1:2 的两条弧，
题目 如果该圆的半径为 5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角.
3.（教材改编）如图，已知⊙O的半径为 6，弦 AB的长为 6，则弦 AB
所对的圆心角∠AOB=_____．
第 1题是一道判断题，考查对定理及推论的应用，B答案带有迷惑
性，弧相等包含两层含义：①弧的长度相等；②弧的度数相等.两条弧
相等的前提就是这两条弧必须出现在同圆或等圆中，这一点要让学生深
刻领会.
第 2题取自教材中的习题，考查了圆中弧度数的求法和垂径定理的
设计意图 内容，题目没有给出图形，需要学生根据题意准确画图，考查了学生由
题画图的能力，向学生渗透数形结合这种重要的数学思想，图形带有直
观性，数则有准确性，两者有机结合才能很好的完成这道题目.
第 3题让学生意识到在圆中只要由两条半径+弦构成的三角形一定
是等腰三角形了，再有“半径=弦”或者“某个角等于60°”那么这个三
角形就是等边三角形了，这个题目就是对学生这种意识的强化.
评价方式 自评 互评 师评
41
A 计算速度快，答案全部正确，逻辑严谨.
作业评价
评价标准
B 计算速度稍慢，大部分题目可以很好的解决.
C 需要在小组合作交流中才能把问题解决.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）(教材 P26 习题 T10 变式)如图，在⊙O中， ＝ ，
CD⊥OA于点D, CE⊥OB于点 E，求证： AD= BE .
题目 2. （B 类题）如图，MN是⊙O的直径，点 A是半圆上的三等分点(靠
近点 N )，点 B是 的中点，点 P是直径MN上一动点．若MN = 2 2 ，
求 PA+PB的最小值.
第 1题考查了圆中如何证明线段相等，本题有多种作法，既可以用
前面学习的全等解题，也可以使用刚学过的定理解题，鼓励学生采用多
种解法，大力表扬学生解法的创新性.强调书写的准确和解题的规范，
培养学生逻辑推理的核心素养.
设计意图 第 2题考查“圆中的将军饮马模型”，只要能理解将军饮马模型的
本质，解决这道题应该问题不大，通过学生自主思考，让图形动起来，
让学生在运动中学习和研究几何问题.该题对学生解题中如何抽丝剥
茧、化繁为简有着比较高的要求，有利于培养学生的思维能力和数学建
模的核心素养.
评价方式 自评 互评 师评
A类题说理严谨，证明格式规范.
A
作业评价 B类题思路清晰，答案正确，解法有创新性.
评价标准
A类题说理严谨，但答题不够规范，有待提高.
B
B 类题能推出一部分，关键问题在小组合作中快速得
42
到解决.
A 类题思路不清晰，不能自主解决问题.
C
B 类题思路不清晰，不能正确说出理由.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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43
第六课时 （24.2（4）圆的确定 ）
1.课前作业
课题 24.2 圆的确定 节次 第 4 课时
1. 通过动手演示解决老师的问题，激发学生的求知欲.
作业目标
2. 为新知识的应用埋下伏笔，引出课题.
作业时长 5 分钟
同学们动手演示：破镜能重圆吗？
爱美之心人皆有之，老师也爱美，每次出门前都想照一照镜子，可
是我的镜子碎成了四块，我想带一块到玻璃店修复它，应该带哪一块去
题目 呢？
利用生活中常见的问题引发学生思考，激发学生的学习热情，为新
知识的应用埋下伏笔，能很自然的引出课题.如果学生不会，可在课堂
直接出示课题；如果学生有其他方法（垂径定理）解决，告诉学生还有
设计意图 新的方法可以解决这个问题，进而引出课题;如果学生提前预习，利用
新知识模糊的说出解决办法，教师要对学生加以肯定，强调为了更好解
决这个问题需要继续深入研究学习.同学们通过探究、讨论，献计献策，
提高学生的发散思维，为本节课的学习打下良好的基础.
评价方式 自评 □互评 师评
能条理清晰的解决问题,或能用新知识模糊说出解决
A
办法.
作业评价
评价标准 B 了解一点相关知识，但是不能完全解决问题.
C 不能自主解决问题.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
44
2.课中作业
课题 24.2 圆的确定 节次 第 4 课时
1. 掌握三点确定圆的条件并会应用.
2. 能准确找出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心，会求直
作业目标
角三角形外接圆的半径，培养学生观察、分析及动手操作的能力.
3. 会反证法的一般证明步骤，发展学生的逻辑推理能力.
重点：掌握三点确定圆的条件并会应用.
作业重难点
难点：用新学知识解决实际问题.
作业时长 基础性作业 10 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 探究性作业
基础性作业
1.（教材 P24 第 3 题）分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
的外接圆，并比较它们的外心位置有怎样的特点？直角三角形的外接圆
半径你能求出来吗？
2. (教材改编) 如图，Δ ABC的外接圆的圆心坐标是
题目
3. (教材变式)已知：在 RtΔ ABC中，∠C=90°， AC= 6，BC=8，则
它的外接圆半径是多少？
4.（改编）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能相互平分．已
知：如图，AB,CD是⊙O中不是直径的两条弦，交点为 P, .求证：AB,CD
不能相互平分．
第 1题是一道探究题，通过学生自主探究发现不同形状的三角形的
外心有什么特征，尤其是直角三角形的外心和外接圆半径的特点，学生
设计意图
自己探索发现的结论是印象最深刻的，也是最不容易遗忘的.通过对三
角形外接圆的操作探索，培养学生观察、分析及动手操作的能力.
第 2题在直角坐标系中考查三角形外心的坐标，促进了知识的融会
45
贯通，该题利用三角形外心位置规律解答，对学生的概括和综合能力有
很好的提升.
第 3题考查直角三角形外接圆的特点，建立在第 1题的基础上学生
可以很快算出正确答案,进一步让学生明确直角三角形外接圆的求法，
也是对学生刚探索出来的知识的运用，让学生体会到学以致用的成就
感.
第 4题考查反证法的运用，用分析法寻求思路，由综合法书写过程，
由因导果，执果索因，正难则反.培养学生的辩证思维.
评价方式 自评 互评 □师评
对知识点掌握清晰，答案准确，答题规范，解法较有
A
创新性.
作业评价
评价标准 B 答案正确，答题不够规范，对知识掌握较好.
C 答案有错误，答题不够规范,对知识点掌握不清楚.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
（实践性作业）濉溪县第一实验学校自 2017 年建校以来一直在建设，
到 2022 年在校园内建成三栋教学楼，它们分别为 A,B,C，且三栋教学楼
不在同一直线上.现在想在教学楼前的空地上建一座夜光喷泉，学校面
向全体师生征集创意作品：要求这座喷泉到三栋教学楼的距离相等.你
知道这座喷泉建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？请你动手来设
题目 计一个符合要求的作品.
通过此题让学生知道到数学可以运用到生活中，从而感受到数学的
设计意图 魅力，学生通过动手、动脑解决问题，在解决问题的过程中，学生要把
实际问题抽象出数学问题，培养学生的作图能力和数学抽象能力.
评价方式 自评 互评 师评
A 能准确找到喷泉的位置，具有可操作性.
作业评价
评价标准
B 能找到喷泉的位置，但作法不易操作.
C 不能找到喷泉的位置，或者有方法但无法实际操作.
46
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
47
3.课后作业
课题 24.2 圆的确定 节次 第 4 课时
1. 能用三角形的外心和外接圆半径的相关知识进行计算和证明.
作业目标 2. 进一步巩固课堂上所学的新知识，通过练习培养学生的思维品质，
发展学生的逻辑缜密性和推理的严密性.
重点：三角形的外心和外接圆半径的相关计算.
作业重难点
难点：探究经过四个（或四个以上的）点能否作圆.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 14 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. （教材改编）如图所示，点 A,B,C在同一直线上，点M 在 AC外，
经过图中的三个点作圆，可以作_____个．
2. (教材 P24，练习 T1 变式)如图，Δ ABC的三个顶点都在⊙O上，则
下列说法错误的是( )
A．⊙O是 ABC的外接圆 B．O是 ABC的角平分线的交点
C．OA=OB=OC D．⊙O的内接三角形有无数个
题目
3. (2020·芜湖期末)已知在 ABC中，∠C=90°， AC =3， BC = 4，
则 ABC的外心与顶点C的距离为( )
A．1 B．2.5 C．3 D．5
4. （教材改编）用反证法证明“若⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离
d < r，则点 P在⊙O的内部”，首先应假设( )
A． d≤ r B． d≥ r
C．点 P在⊙O的外部 D．点 P在⊙O上或⊙O的外部
第 1题考查过四个点（三个点在同一直线上）能作几个圆，是对课
本上“过不在同一直线上的三个点确定一个圆”知识的深化，满足学生
设计意图 继续探究的热情.
第 2题通过一道选择题让学生辨析三角形的外接圆、圆的内接三角
形的特点，夯实基础，加深学生对知识的理解和运用.
第 3题是让学生掌握在不同情形下和外心有关的距离、角度的相关
48
计算，能准确找到外心是解决该题的关键，利用前面总结的直角三角形
外心的特点，迅速准确的找到外心，进而解决问题，培养了学生的运算
能力.
第 4题让学生明确反证法的第一步是反设，反设是就从命题的反面
出发，反证法思想的核心就是由因导果、执果索因，进一步提高学生的
辩证思维能力.
评价方式 自评 互评 师评
对知识点掌握清晰，答案准确，答题规范，解法较有
A
作业评价 创新性.
评价标准
B 答案正确，答题不够规范，对知识掌握较好.
C 答案有错误，答题不够规范,对知识点掌握不清楚.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1.（A 类题）(2020·合肥蜀山区期末)一块破残的圆形轮片如图所示，
弦 AB 的垂直平分线交于点 C，交弦 AB 于点 D.
(1)用尺规作图的方法找出此残片所在圆的圆心(不写作法，保留作图痕
迹)；
(2)若 AB＝24，CD＝8，求此残片所在圆的半径．
题目
2. (B 类题)经过四个（或四个以上的）点是不是一定能作圆？ D．2 B. 2
第 1 题考查了三角形外接圆的知识和垂径定理的内容,温故知新，
促进知识考查的综合性.刚出台的新课标在本章增加了两条，都是关于
圆中尺规作图的，所以在这里设置了这道题.学生通过动手、动脑找出
圆心，强调用所学的知识来解决生活中的实际问题，体验成功的喜悦.
第 2题设计的目的主要是为了保证知识的延展性和完整性，学生在
设计意图
探究完三个点作圆以后，肯定有一个思维延续，不在同一直线上的三个
点确定一个圆，四个点又会怎样？四个点又分共线和不共线两种情况，
不共线的四点作圆问题又能用三点确定一个圆去解释.本题既应用了新
学知识，又给学生提供了更广泛的思考空间，也为后面学习圆的内接四
边形埋下伏笔.
49
评价方式 自评 互评 师评
A类题能正确归纳出结论；B类题能准确找到圆心、
A
半径、算出面积.
A 类题会画图，但只能归纳出一部分结论；B类题有
作业评价 评价标准 B
思路但是无法完整解决出这道题.
A 类题不能独立归纳出结论；B类题不能自主解决问
C
题.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
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50
第七课时 （24.3（1）圆周角定理及推论）
1.课前作业
课题 24.3 圆周角定理及推论 节次 第 1 课时
1. 认识圆周角，说出圆周角的两个特征，培养学生概括与归纳的能力.
作业目标
2. 通过观察、比较图形，提高学生的识图辨图能力.
作业时长 5 分钟
1. 一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊
的位置关系，观察图中的∠A，它有什么特点？
题目 2. 下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
第 1题引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，培养
学生观察和归纳的能力，让学生深化理解定义.
设计意图
第 2题让学生辨别圆周角，为探究圆周角定理做好铺垫，培养学生
识图辨图能力，让学生们都能练成一双“火眼金睛”.
评价方式 自评 互评 □师评
能准确说出圆周角的特征，能辨清一个角是否是圆周
A
角.
作业评价
评价标准 B 会辨析圆周角，能模糊说出圆周角的特征.
C 不能准确说出圆周角的特征，但能辨清圆周角.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
51
2.课中作业
课题 24.3 圆周角定理及推论 节次 第 1 课时
1. 能在复杂图形线条中准确找出相等的圆周角，提高学生的观察和抽
象能力.
2. 会运用圆周角定理及推论进行相关计算，运用数学知识解决问题，
作业目标
体验成功的快乐，建立学习的自信心.
3. 向学生渗透分类讨论的思想，培养学生想象力，发展思维空间，渗
透数形结合的思想.
重点：运用圆周角定理进行相关计算.
作业重难点
难点：圆周角定理在分类讨论题型中的应用.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 14 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. (教材 P29 第 1 题)如图，点 A,B,C,D在同一个圆上，AC、BD为四
边形 ABCD的对角线，完成下列填空：∠1= ∠2= ∠3=
∠5= .
2. （教材改编）如图， AB是⊙O的直径，C,D为圆上两点，
∠AOC=130°，则∠D=（ ） A．25° B．30° C．35° D．50°
题目
3. （引用）已知 Δ ABC的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC =50°，
∠ABC = 47°，则∠AOB= .
4. （淮北素质测评）如图，Δ ABC的顶点 A,B,C都在⊙O上，∠C=30°，
AB= 2，则⊙O的半径是多少？
52
第 1题在圆内各种复杂的线条中寻找到同弧所对的圆周角有哪些，
要求学生要仔细观察，不细心的同学很容易出错，该题目的设计有利于
突破难点，也让学生分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，这
对后面的练习极有帮助.
第 2题考查半圆所对的圆周角是90°，结合同弧或等弧所对的圆周
角是圆心角的一半的知识点，让学生尝试运用多种解法，有利于学生发
设计意图 散思维的培养.
第 3题考查同弧所对的圆周角是圆心角的一半，和三角形内角和定
理相结合，学生能够形成解决问题的一些根本策略，发展学生的实践能
力与创新精神.
第 4题运用转化的思想形成特殊的三角形，从而使问题得到解答，
让学生体会到成功的喜悦.加强学生反思，归纳提升，帮助学生养成整
理知识的习惯.
评价方式 自评 互评 师评
熟练运用圆周角定理解决问题，计算能力强，答案准
A
确，解法简捷.
作业评价
熟知圆周角定理，但在解决具体问题时还有困难，答
B
评价标准 案不完全准确，计算能力有待提高.
对圆周角定理的运用不熟练，不能自主做出正确答案，
C
需要同伴的帮助.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图，OA,OB,OC都是 ⊙O 的半径，∠AOB= 2∠BOC . 求
证：∠ACB= 2∠BAC .
题目
53
2. （B 类题）已知 ⊙O的弦 AB长等于⊙O的半径，求此弦 AB所对的
圆周角的度数．
第 1题考查“由一段弧所对的圆心角是另一段弧所对圆心角的 2倍”
能否得出“它们所对的圆周角也是 2倍关系”？通过此题学生可以扩展：
不仅是 2倍关系，3倍关系、n倍关系仍然成立.通过本题学生可以拓宽
自己的知识面，增长自己的见识，增强探索的信心，体验成功的喜悦.
设计意图 第 2题考查圆周角定理及推论在分类讨论问题中的应用，由于圆的
对称性，所以在这一章中分类讨论的问题非常多，在这里进一步强调在
圆中易出现此类问题，学生们做题时一定要多加小心，让学生动手、动
脑，大胆猜想，小心求证，学生能深层次的参与到定理的运用中去，体
会数形结合的思想，发展学生的思维空间.
评价方式 自评 互评 师评
A类题答案准确，解题格式规范；B类题能准确进行分
A
作业评价 类讨论，解题快速准确.
评价标准 A类题答案准确，证明格式不够规范，需要改进；B
B
类题能明确讨论的方向，但不能完全算出答案.
A 类题不能自主解决该题；B类题需要在小组合作中才
C
能解出该题.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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54
3.课后作业
课题 24.3 圆周角定理及推论 节次 第 1 课时
1. 能在复杂图形线条中准确找出相等的圆周角，提高学生识图能力.
2. 会运用圆周角定理及推论进行相关计算，运用数学知识解决问题，
作业目标 体验成功的快乐，建立学习的自信心.
3. 规范学生答题，向学生渗透分类讨论的思想，增强学生逻辑推理的
能力.
重点：运用圆周角定理及推论进行相关计算.
作业重难点
难点：复杂图形中寻找同弧或等弧所对的圆周角和圆心角.
作业时长 基础性作业 9 分钟，拓展性作业 5 分钟，合计 14 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1. （教材 P31 第 2 题）
(1)如图 1， A,C,B是⊙O上的三点，若∠AOC =36°，则∠ABC
的度数是______；
(2) 如图 2， A,B,C是⊙O上的三点，且∠ABC = 70°，则∠AOC的
度数是_____．
2. (教材P29，练习T2变式)如图，点 A,B,C都在⊙O上，∠C+∠O= 63°，
题目 则∠O的度数是( )
A． 21° B． 27° C．30° D． 42°
3. (2021·安徽中考)如图，⊙O的半径为 1，ΔABC内接于⊙O .若
∠A=60°，∠B= 75°，则 AB=________．
55
4. （2021·合肥包河区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O
上，且OC∥DB，连接 AD，CD .若∠ C= 28°，则∠ A的度数为( )
A．30° B． 28° C． 24° D .34°
第 1题考查了同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，题目较为
简单，体现了圆周角定理的具体运用，增强了学生做题的自信心.
第 2题是教材的一道变式题，锻炼学生熟练运用圆周角定理及其推
论的能力，要求学生能熟练的在圆周角和圆心角之间的进行无缝切换，
向学生渗透转化的数学思想，这里可以设未知数，也可以不设未知数，
鼓励学生解法的多样性和创新性.
设计意图
第 3题是 2021 年安徽中考题，圆周角定理及推论是中考的热点，
几乎每年均有涉及，让学生提前感知中考，学生会觉得中考并不遥远，
就是我们每天都在练习的题目，让中考走近学生.
第 4题图线条较多，如何化繁为简、化难为易，是考验学生功力的
一道题，鼓励学生使用多种方法解决，培养学生的发散思维和数形结合
的能力.
评价方式 自评 互评 师评
熟练运用圆周角定理解决问题，计算能力强，答案准
A
作业评价 确，解法简捷.
评价标准 熟知圆周角定理，但在解决具体问题时还有困难，答
B
案不完全准确，计算能力有待提高.
对圆周角定理的运用不熟练，不能自主做出正确答
C
案，需要同伴的帮助.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
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1. （A 类题）（引用）如图，在边长为 1的小正方形网格中，⊙O的圆
心在格点上，则∠AED的余弦值是_____．
题目 2. （B 类题）(2021·安徽中考)如图，⊙O中两条互相垂直的弦 AB,CD
相交于点 E .
(1)若M 是CD的中点，OM =3，CD=12 ，求⊙O的半径；
(2)若点 F在CD上，且CE = EF，求证： AF⊥ BD .
第 1题考查网格图中进行圆周角的相关计算，与上学期学习的解直
角三角形融合到一起，本题直接求∠AED的余弦值不好求，可以转化成
求∠ABC的余弦值，这样出现了直角三角形，就可以很顺利的求出答案，
通过该题向学生渗透解决数学问题时常用的转化思想，培养学生解决综
设计意图 合性问题的能力.
第 2题考查垂径定理和圆周角定理的相关知识，也是近几年中考常
考的大题，该题的分值在 10 分左右，班级里学习程度较好的同学要争
取突破，总结方法和题型，内化成自己的解题思路，该题可以锻炼学生
的高阶思维，提高学生的思维品质.
评价方式 自评 互评 师评
A类题答案正确，解法简捷；B类题解题思路清晰，
A
答案正确，解法创新.
作业评价 A类题答案准确，但是在小组合作中解决的；B类题
评价标准 B
有解题方向，思路不够清晰，需要同伴的帮助.
A 类题不能自主解决该题；B类题要在小组合作交流
C
中才能解决.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
57
第八课时（24.3（2）圆内接四边形）
1.课前作业
课题 24.3 圆内接四边形 节次 第 2 课时
1. 通过动手操作活动，激发学生学习数学的兴趣，使学生更有利于掌
握圆内接四边形相关知识.
作业目标
2. 让学生动手画一画，量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察
归纳和猜想，自己去发现结论 ，并用规范的数学语言表述结论.
作业时长 5 分钟
1. 打开几何画板，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形 ABCD.
2. 量出可试的所有值(圆的半径和四边形的边、内角、对角线、周长、
题目 面积),并观察这些量之间的关系.
3. 改变圆的半径大小或移动四边形的一个顶点，这些量有无变化 由 2
观察得出的某些关系有无变化
第 1题通过动手画一画，使学生直接感官圆内接四边形.
第 2题通过动手量一量，培养学生对直观图形的观察归纳和猜想，
以及在动手动脑中强化学生的思维品质.
设计意图
第 3题通过图形的变动，引导学生去发现、讨论、猜想、证明结论，
这样既能激发学生的兴趣，又能引发学生更深层次的思考，让学生以研
究的方式学习几何，进一步突出学生在学习中的主体地位.
评价方式 自评 互评 师评
A 操作熟练，画图规范，观察细致，测量、结论准确.
作业评价
评价标准 B 观察不够细致，测量、结论有一定失误.
C 小组合作效果后，能够答题.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
58
2.课中作业
课题 24.3 圆内接四边形 节次 第 2 课时
1. 掌握圆内接四边形的概念以及圆内接四边形的性质定理.
2. 熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.
作业目标
3. 激发学生探究的热情，充分发挥学生的主体作用，进一步提高学生
的应用能力和思维能力.
重点：圆内接四边形性质定理的应用.
作业重难点
难点：感悟圆内接四边形性质证明过程中的分类、转化的数学思想.
作业时长 基础性作业 6 分钟，拓展性作业 9 分钟，合计 15 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1. (教材改编)如图，在⊙O的内接四边形 ABCD 中，∠BOD=120 ，
那么∠BCD是( ) A．120 B . 100 C . 80 D . 60
题目
2.（教材 P30 例 2）在圆内接四边形 ABCD中， A, B, C的度数之
比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数.
3. (教材改编)如图， AB为⊙O的直径，CF ⊥ AB于 E，交⊙O于D，
AF 交⊙O于G . 求证：∠FGD=∠ADC .
第 1 题考查“圆周角与圆心角之间的关系”，圆内接四边形的知识
以及应用，结合图形解答问题，是基础题，让学生通过自主探索、自主
学习，培养自主解决问题的自信心.
第 2题是课本中的例 2，考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四
设计意图 边形的对角互补是解题的关键，本题让学生先独立完成，然后让他们交
流解决，激发学生探究的热情.
第 3题考查了圆内接四边形的性质和垂径定理.圆内接四边形的性
质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定
理衔接起来，使知识之间融会贯通，渗透教学内容中普遍存在的相互联
系、相互转化的数学观点.
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评价方式 自评 互评 师评
A 独立完成解答，格式规范内容合理.
作业评价
评价标准 B 解题规范欠缺，准确率一般.
C 通过小组合作交流，组员基本掌握解题方法.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）已知：如图，⊙O的内接四边形 ABCD两组对边的延长线
分别交于点 E,F．
(1) 若∠E+∠F =α ，求∠A的度数 (用含α的式子表示) ；
(2) 若∠ E+∠ F = 60 ，求∠A的度数．
题目
2. （B 类题）如图，⊙O的内接四边形 ABCD的两组对边的延长线分别
相交于 E,F点.(1)若∠ E=∠ F，求证：∠ ADC =∠ ABC ；
(1)若∠ E=∠ F = 42 ，求∠A的度数；
(2)若∠ E=α ，∠ F =β ，且α ≠ β ，请你用含α,β的代数式表示∠A的大
小．
第 1题考查圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补；圆内
接四边形的任意一个外角等于它的内对角，此题还衔接了三角形外角性
质以及三角形内角和定理，渗透数学内容的相互联系、相互转化的观点，
设计意图 培养学生综合运用知识的能力.
第 2题是圆内接四边形性质与圆周角定理结合起来，应用时需要注
意对角，而不是邻角互补，此题可以加深对圆内接四边形性质的理解和
应用，发展学生逻辑推理的数学核心素养.
评价方式 自评 互评 师评
60
A 能够独立完成题目所考查的知识点，解答准确.
作业评价 评价标准 B 基本能独立完成两类题目，解答合理.
C 通过小组合作交流，能够掌握解题思路.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
61
3.课后作业
课题 24.3 圆内接四边形 节次 第 2 课时
1. 强化对图形的理解，灵活运用圆内接四边形的性质，进一步提升学
生的应用能力，促进学生的发散思维.
作业目标
2. 培养学生逻辑思维能力、综合运用能力，向学生渗透数形结合的思
想.
重点：圆内接四边形性质的应用.
作业重难点
难点：综合运用知识进行有关的证明与计算.
作业时长 基础性作业 5 分钟，拓展性作业 8 分钟，合计 13 分钟
作业类型 分层作业 个性化作业 □探究性作业
基础性作业
1.（教材改编）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，DA=DC,∠CBE =50 ，
则∠DAC的度数为___．
2．(教材改编)如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径．若
∠BAC= 20 ，则∠ADC的度数是___°．
题目
3. (教材改编)如图，圆经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A与
点 B，点 A的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO=120 .求该圆的
半径．
第 1题考查学生运用“圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对
设计意图 角”以及与等腰三角形的性质特点结合的灵活运用，培养学生发散思维.
第2题主要考查圆周角定理、推论与圆内接四边形性质结合的应用，
培养学生数学抽象推理能力考查学生圆周角定理、推论与圆内接四边形
62
性质结合的应用，培养学生数学抽象推理能力.
第 3题考查结合坐标轴与圆内接四边形性质定理的综合运用能力，
向学生渗透数形结合的思想，注重培养学生的逻辑思维能力、分析、解
决问题的能力.
评价方式 自评 □互评 师评
A 能够顺畅的独立完成，答题规范、完整、准确.
作业评价
评价标准
B 能够灵活运用知识点，答题基本规范合理.
C 通过组内交流，基本能够书写，但不够规范.
难度 较易 中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
拓展性作业
1. （A 类题）如图，如图，Δ ABC内接于⊙O，∠BAC=120 ，AB= AC，
BD为⊙O的直径， AD=6,则DC＝________.
题目
2. （B 类题）如图，在Δ ABC中， AB= BC，以 AB为直径的⊙O分别
交 AC,BC于点D,E，连接ED .
(1)求证： ED=DC；
(2)若CD= 6,EC= 4 ，求 AB的长．
第 1题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形
的性质等与圆内接四边形相关联的问题，注重培养学生数形结合思想的
应用以及数学建模的能力和素养.
设计意图
第 2题是综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形
的性质和判定，等腰三角形的判定和性质等知识点，综合运用定理进行
推理，解决此类问题，培养学生逻辑思维综合应用的能力.
评价方式 自评 □互评 师评
63
A 思路清晰、书写规范、答题准确无误.
作业评价 评价标准 B 有一定思路，书写不太规范、答题有些失误.
C 没有解题思路或比较片面，书写不够完整.
难度 较易 中等 较难
作业
设计
来源 引用 改编 □原创
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第九课时 （24.4（1）直线与圆的位置关系）
1.课前作业
课题 24.4 直线与圆的位置关系 节次 第 1 课时
1. 通过观察生活中的数学，激发学生学习数学的兴趣，使学生更易于
掌握直线与圆的三种位置关系.
作业目标 2. 让学生动手画一画，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自
己去发现结论，让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界寻找数学
模型，建立数学关系的方法 .
作业时长 4 分钟
1. 动态地模拟日出的情形，把太阳看做圆，把海平线看做直线，你有
什么发现？
题目 2. 让学生在本子上画出直线与圆三种不同的位置图，你发现了什么？
3. 在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，直线
和圆的公共点的个数是否发生变化？公共点个数最少时有几个？最多
时有几个？
第 1题通过观察使学生从具体的生活实例中认知和理解直线与圆的
三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，
通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关
系的数量关系及其运用.
设计意图 第 2题通过动手画一画，激发学生学习数学的兴趣，使学生更易于
掌握直线与圆的三种位置关系.
第 3题通过动手操作，交流、讨论、合作研究等数学活动，激发学
生好奇心，体验数学活动中感受数学的严谨性和得出结论的正确性，在
学习活动中获得成功的体验.
评价方式 自评 互评 □师评
A 观察细致，画图精美、准确，回答完整性、准确性高.
作业评价
评价标准 B 能够流畅表达出发现的结果，答题比较规范.
C 画图一般，答题准确率一般.
难度 较易 □中等 □较难
作业
设计
来源 引用 改编 原创
65
2.课中作业
课题 24.4 直线与圆的位置关系 节次 第 1 课时
1. 掌握直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2. 根据圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r之间的数量关系，能够判断
作业目标 出直线与圆的位置关系.
3. 综合运用所学知识解决问题，培养学生逻辑思维能力和转化的数学
思想，让学生感受数学的魅力.
重点：直线与圆位置关系的实际应用.
作业重难点
难点：直线与圆位置关系中有关变式、分类讨论等问题.
作业时长 基础性作业 6 分钟，拓展性作业 8 分钟，合计 14 分钟
作业类型 分层作业 □个性化作业 探究性作业
基础性作业
1.（教材 P36 练习 1）⊙O的圆心到直线 l的距离为 5 cm，直线 l与⊙O
有唯一公共点，问⊙O的半径是_____．
2. (教材改编)在平面直角坐标系中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆
与 x轴、 y轴的位置关系是_____．
题目 3.（教材原创）已知⊙O的半径为 3，圆心O到直线 l的距离为 d .若直
线 l与⊙O没有公共点，则_________．
4.（教材变式）已知⊙O的直径为13cm，如果圆心O到直线 l的距离为
5.5cm，那么直线 l与⊙O有______个公共点.
5.（引用）⊙ O的半径为 R ，点O到直线 l的距离为 d ,R,d 是方程
x2 4x m 0的两根，当直线 l与⊙O相切时，m的值为____．
第 1题是直接

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