资源简介

第九单元《分式》单元作业设计
1
目录
一、单元信息................................................................................................................3
二、单元分析................................................................................................................3
（一）课标要求..............................................................................................3
（二）教材分析..............................................................................................4
（三）学情分析............................................................................................................5
三、单元学习目标........................................................................................................5
四、单元学习与作业目标............................................................................................5
五、单元作业整体设计思路........................................................................................6
六、课时作业内容........................................................................................................6
课时 1作业：..................................................................................................6
课时 2作业：................................................................................................10
课时 3作业：................................................................................................14
课时 4作业：................................................................................................18
课时 5作业：................................................................................................22
课时 6作业：................................................................................................26
课时 7作业:..................................................................................................28
课时 8作业：................................................................................................32
课时 9作业：................................................................................................36
课时 10 作业：..............................................................................................41
七、单元质量检测作业..............................................................................................45
（一）单元质量检测内容............................................................................45
（二）单元质量检测作业属性表................................................................48
（三）单元质量检测作业参考答案............................................................49
2
第九单元《分式》单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 教材版本 年级 学期 单元 单元名称
信息 数学 沪科版 七年级 第二学期 第九单元 分式
单元
组织 自然单元 重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 分式的概念 第 9．1（P89—P90）
2 分式的基本性质 第 9．1（P91—P92）
3 分式约分 第 9．1（P92—P93）
4 分式的乘除运算 第 9．2（P96—P97）
课时 5 分式的乘方 第 9．2（P97—P98）
信息 6 分式的通分 第 9．2（P99—P100）
7 分式的加减运算 第 9．2（P101—P102）
8 分式的混合运算 第 9．2（P103—P104）
9 分式方程 第 9．3（P105—P107）
10 分式方程的应用 第 9．3（P107—P109）
二、单元分析
（一）课标要求
本章课标要求如下：
1．了解分式的概念，分式有意义的条件；认识分式是一类应用广泛的重要
代数式；
2．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；
3．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进
行约分和通分，了解最简分式的概念．
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在核心素养的主要表现及其内涵
中指出：运算能力能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能
够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学
推理能力的发展，运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、
严谨求实的科学态度．《分式》这一章涉及到的运算较多，教学中作业布置时，
需要借助学生在小学阶段已掌握的分数运算方法，理解分式运算中的“算法与算
理之间的关系”．在异分母分式加减运算过程中，通过“选择合理简洁的运算策
略”，体会寻找最简公分母的必要性与意义，并在此过程中“形成规范化思考问
题的品质”．
3
（二）教材分析
1．知识网络
2．内容分析
《分式》是《课标（2022 年版）》“数与代数”中“数与式”内容的倒数
第二章，是初中阶段对有理式另一分支的研究，是整式的进一步发展，是进一步
学习函数和方程等知识的基础，也是学习物理、化学等学科不可缺少的工具．与
其它数学知识一样，在具体情境中有着广泛的应用．
本章主要研究分式的概念、性质和运算以及分式方程和分式方程的运用．它
是在学生已经学习了“整式运算”与“因式分解”等内容之后安排的．知识结构
上，遵循代数研究的一般路径（概念—性质—运算）；研究方法上，让学生经历
“具体情境抽象概念—研究特例归纳性质—运用性质解决问题”等活动过程渗透
类比．特殊到一般和一般到特殊等研究问题的思想方法，发展数学抽象、数学运
算、数学推理等能力．
教学重点：1．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；并能熟练地
求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件；2．能用分式的基本性质进行通
4
分和约分；能进行简单的分式加减乘除运算；3．掌握分式方程的解法，会解可
化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根．
教学难点：1．理解分式的基本性质，会用分式的基本性质将分式变形．2．了
解分式方程的概念，和产生增根的原因．3．会分析题意找出等量关系；会列出
可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．
（三）学情分析
本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质和基本运算，分式方程的基
本解法及简单应用等．
学生在小学阶段已经学习过分数、整式及一元一次方程的有关内容．分式的
有关内容可以对照分数的相应内容进行．学生在对原理的理解并不感到陌生，但
分式运算过程中，常会与涉及到整式的因式分解、去括号等相关内容，如此必然
会增加难度，也增加了学生出现计算错误的可能性，因此需要通过提高作业的针
对性加强练习，提高训练效果．
三、单元学习目标
1．经历用分式表示现实情景中的数量关系的过程，了解分式、有理式的概
念，进一步发展学生的符号感；
2．通过观察、类比、猜想、归纳等方法，经历获得分式的基本性质和分式
的加减乘（方）除法运算法则的过程，发展学生的合情推理能力；
3．熟练掌握分式的基本性质，能进行分式的约分和通分，了解最简分式的
概念，能进行简单的分式加、减、乘（方）、除混合运算；
4．经历用分式方程表示实际问题中等量关系的过程，了解分式方程的概念；
5．会解可化为一元一次方程的分式方程，掌握解分式方程验根的方法，体
会解分式方程中的转化思想．能解决一些与分式方程有关的实际问题．
四、单元学习与作业目标
1．知道分式和分式方程的概念，通过作业练习加深对分式有意义与分式值
为 0的认识，提升学生对于分式值的理解；
2．认识分式的性质和运算法则，会用它们进行分式的化简和简单的四则运
算以及解分式方程，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯，提升运算能力和
推理能力；
3．认识用分式方程解应用题的基本程序以及寻找相等关系的方法，经历“问
题情境——建立模型——解释应用拓展”的过程，发展学生分析问题，解决问题
的能力，培养学生的应用意识；
4．经历分式及分式方程“概念—性质—运算”的应用过程，加深对新知的
理解，构建代数运算的大系统观，巩固实际问题的抽象能力，强化发展学生的数
学思维能力．
5
五、单元作业整体设计思路
分层设计作业，每课时均设计“知识要点”（面向全体，体现课标，巩固基
本知识，要求学生必做）、“基础过关”（面向全体，体现课标，题量 2—4 大
题，要求学生必做，条件允许可要求学生预习时完成）以及“能力提升”（面向
全体，体现课标的同时进行适当拔高，要求学生必做）．大部分课时设计有“思
维拓展”（体现探究性、实践性，题量 1大题，让学有余力的学生有选择的完
成）．具体设计体系如下：
六、课时作业内容
课时 1作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①一般地，如果 a,b表示两个整式，并且 b中含有_______ a，那么式子 叫做分
b
式；
②_____和______统称为有理式；
③分式有意义的条件为__________；当__________时，分式会无意义；
④分式的值为零的条件是_____________________．
【基础过关】（3分钟）
知识点 1：分式的概念
1．下列式子是分式的是（ ）
x2 2A． B 4 x x y． C． D．
3 x 2 2
设计意图：分式的概念，不仅仅要掌握分式的形式，而且通过判断代数式是不是
分式，既是巩固分式的概念，也要借机引导学生，学习数学概念（定义），要学
会抓住其本质特征（关键词）．
6
知识点 2：分式有意义的条件
2 2x．若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是（ ）
x 4
A． x 0 B． x 4 C． x 0 D． x 4
设计意图：通过确定分式中字母取值范围，巩固分式有意义的条件．本题难度较
小，为每名学生参与数学学习提供机会．
知识点 3：分式值为 0的条件
2
3．当 x x 4为何值时，分式 的值为 0？
x 2
设计意图：通过求分式值为 0时，字母的取值，巩固分式值为 0的条件（即分子
等于 0，且分式有意义）．
【能力提升】（8分钟）
4．小明骑自行车用 m小时到达距离家 n千米的学校，放学后，若步行从学校返
回家里,则多用了 0.5小时．列代数式表示小明往返家里与学校之间的平均速度
是 千米/小时．
设计意图：通过实际问题列分式，能列简单的代数式．根据题意正确列出代数式，
是帮助学生形成方程思想、模型思想的前提．
5 6．若分式 的值是正整数,则 m可取的整数有( )
m 2
A．4个 B．5个 C．6个 D．10个
设计意图：通过分式值为正整数，巩固对分式的值的理解，同时渗透分类讨论思
想．
6．有一个分式：①当 x≠1时，分式有意义；②当 x＝﹣2时，分式的值为 0．请
写出同时满足以上两个条件的一个分式 ．
设计意图：通过开放式的习题，让学生进一步巩固分式有意义的条件和分式值为
0的条件．同时通过答案的多样性，培养学生思维的全面性和严谨性．
7．已知 x＝1 x 2b时，分式 无意义；x＝4时，分式的值为 0，求 a+b的值．
x a
设计意图：通过已知分式的值，求分式中字母的值，进一步巩固分式有意义的条
件和分式值为 0的条件．并渗透方程思想．
【思维拓展】（5分钟）
8．仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当 x取何值时，分式 1 x 的值为正？
2x 1
解：依题意得 1 x 1 x 0 1 x 0 0，则有① 或② ，
2x 1 2x

1 0 2x 1 0
7
1 1
解不等式组①得 ＜x＜1，解不等式组②得不等式组无解，故 ＜x＜1．
2 2
1
所以当 ＜x＜1，分式 1 x 的值为正．
2 2x 1
依照上面方法解答问题：
x 3
当 x取何值时，分式 3 的值为负？x 2x2 x
设计意图：通过材料阅读题，培养学生的材料阅读理解能力．在进一步考查分式
值的运用的同时，即回顾了不等式组和因式分解，又培养了学生对多知识点综合
运用能力．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学
生知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2．能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让
完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与
兴趣；
3．思维提升题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体
学生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有
助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固分式及其基本性质的基础知识；
2． 通过基础过关帮助学生进一步理解分式及其基本性质，并让学生能够在
具体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固
知识的同时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生再进一步理解分式及其基本性质，同时培养学
生的逆向思维、分类讨论思想、方程思想等数学基本思想；
4． 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关于 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式的概念，能
基 理解分式的概念，正
理解分式的概念， 在老师(同伴)讲解 老师(同伴)讲解后，
础 确解答练习，并能用
分式的概念 正确解答练习，解后，自己独立正确解 自己仍不能解答练
过 自己的语言解释解答
答过程准确． 答练习．解答过程较习，或无解答过程．
关 思路．
准确．
8
理解分式的有意义的 理解分式的有意义 理解分式的有意义
条件，正确解答练习，的条件，正确解答 的条件，能在老师
老师(同伴)讲解后，
分式有意义的条并能用自己的语言解 练习，解答过程准 (同伴)讲解后，自己
自己仍不能解答练
件 释解答思路．同时能 确．能够理解复杂 独立正确解答练
习，或无解答过程．
求解复杂情况下的字 情况下的字母取值 习．解答过程较准
母取值范围． 范围． 确．
理解分式值为 0的条 理解分式值为 0的
理解分式值为0的条
件，正确解答练习， 条件，正确解答练
件，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
分式值为 0的条并能用自己的语言解 习，解答过程准
讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
件 释解答思路．能通过 确．能够理解分式
确解答练习．解答过习，或无解答过程．
分式的值的符号求解 的值的符号求解字
程较准确．
字母的范围． 母的范围．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解答 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 思路． 准确．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴 题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①字母；
②整式，分式；
③分母不等于 0，分母为 0；
④分子值为 0且分母不为 0；
【基础过关】
1．B 2．D
x23 4．∵分式 值为０，
x 2
x2 4 0
∴
x 2 0
解得 x 2
【能力提升】
4 2n． ；解析：往返总用时：(2m+0.5) h；
2m 0.5
往返总路程：2n km；
2n
所以小明往返总用时 ；
2m 0.5
6
5．A；解析：∵分式 的值是正整数，
m 2
9
∴m-2=1、2、3、6，
则m 3、4、5、8这四个数．
6 x 2． ；解析：根据分式的值为 0的条件，由①的叙述可知此分式的分子一定
x 1
不等于 0；由②的叙述可知此分式的分母当 x 2时的值为 0，根据求分式的
值的方法，把 x 2代入此分式，得分式的值为 0．
7．解：根据题意得：1﹣a＝0，
解得：a＝1；
∵x＝4时，分式的值为 0，
∴4+2b＝0
解得：b＝﹣2．
则 a+b＝﹣1．
【思维拓展】
8 3．解： x 2x2 x x(x2 2x 1) x(x 1)2 ，
x 3 x 3
x3 2x2 x x(x 1)2 ，
x 3 x 3
依题意得 0x3
0
2x2 x ， x(x 1)2 ，
x 3 0 x 3 0
x 0 则有① ，或② x 0 ，

x 1 0

x 1 0
解不等式组①得 0 x 3且 x 1，解不等式组②得不等式组无解，故 0 x 3且
x 1，
x 3
所以当 0 x 3且 x 1，分式
x3
的值为负．
2x2 x
课时 2作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①分式的基本性质：
一个分数的分子、分母同乘（或除以）________的整式，分式的值_______，
a a m
即: a,b,m都是整式，且 m 0 ；b b m
②分式的变号法则：
分式本身及其分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不改变，
A A A A
即： ．
B B B B
【基础过关】（3分钟）
10
知识点 1：分式的基本性质
1．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
2
A am a B a ac a a a a 1． ． C． D．
bm b b bc b b2 b b 1
设计意图：通过考查分式变形正确性的辨析，巩固分式的基本性质．
知识点 2：分式的变号法则
2．下列各式从左到右的变形不正确的是（ ）
A y y B y y C y y y y． ． ． D．
6x 6x 6x 6x 6x 6x 6x 6x
设计意图：通过分式的基本性质推导出的符号法则，进一步巩固分式的基本性
质．而且符号问题也是学生比较容易犯错的地方，需要通过练习，加以巩固．
【能力提升】（8分钟）
3 x y．如果把分式 中的 x和 y都扩大 2倍，那么分式的值（ ）
xy
A．扩大 2倍 B．不变 C．缩小 2倍 D．缩小 4倍
设计意图：通过回顾分式的化简求值方法，进一步理解分式的基本性质．
4 1 1 2x 3xy 2y．若 3，求 的值＝ ．
x y x 2xy y
设计意图：通过式子变形，引导学生进一步掌握代数式变形的方法，并渗透整体
思想．
5 m n．已知分式 的值是 a，如果用m,n的相反数代入这个分式所得的值是b，
1 mn
问 a与b的关系是否能确定？若能确定，求出它们的关系，若不能确定，请说
明理由．
设计意图：此题一方面培养学生的阅读理解能力，也继续帮助学生解决分式中的
符号问题，分式中的符号问题是学生易犯错误的地方．
【思维拓展】（5分钟）
6．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数
8 6 2 2 2
都可化为带分数，如： 2 2 ．我们定义：在分式中，对于只
3 3 3 3
含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
x 2 1 x 3 2x
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就
x 1 x 1 x 1 x2 1
11
是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形
式）．
x 1 x 1 2 2
如： 1 ；
x 1 x 1 x 1
x2 x2 1 1 x 1 x 1 1 1
再如： x 1 解决下列问题：
x 1 x 1 x 1 x 1
2
（1）分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
x
（2 2x 1）假分式 可化为带分式 的形式；
x 1
（3）如果分式的值为整数，那么 x的整数值为 ．
设计意图：通过材料阅读题，培养学生的材料阅读理解能力（材料阅读能力是方
程、函数、模型等数学思想形成的前提）．在此过程中进一步引导学生根据题意，
能将代数式进行变形．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关可让学生提前预习，独立完成．课堂上先检查学生
知识要点的完成情况，并让能力较强的学生讲解例题（也可在课堂教学时，让学
生当堂完成并检查）；
2．能力提升作为课后作业，在学生完成后收交、批改，并适当展示、讲解；
3．思维提升题，让学有余力的同学完成后再在班级讲解解答思路，以此满
足不同群体学生的学习需求．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固分式的基本性质的基础知识；
2． 通过基础过关，帮助学生进一步理解分式的基本性质，并让学生能够在
具体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固
知识的同时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生进一步理解分式的基本性质，同时培养学生的
逆向思维、分类讨论思想、方程思想等数学基本思想方法；
4． 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
于知识点的思考 言叙述要点．
点
12
理解分式的基本性
理解分式的基本性
理解分式的基本性 质，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
质，正确解答练习，
分式的基本性质 质，正确解答练习，讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
并能用自己的语言
解答过程准确． 确解答练习．解答过习，或无解答过程．
基 解释解答思路．
程较准确．
础
理解分式的变号法
过 理解分式的变号法理解分式的变号法，
则，正确解答练习，
关 则，正确解答练习，能在老师(同伴)讲解老师(同伴)讲解后，
并能用自己的语言
分式的变号法则 解答过程准确．能 后，自己独立正确解 自己仍不能解答练
解释解答思路．同时
够理解复杂情况下答练习．解答过程较习，或无解答过程．
能求解复杂情况下
的字母取值范围． 准确．
的符号变化．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 答思路． 准确．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①同一个不等于 0的整式；不变；
a a m a m
a,b,m都是整式，且m 0 b b m b m
【基础过关】
1．A； 2．B；
3．C；解析：∵x和 y都扩大 2倍，
2x 2y x y
∴ ，
2x 2y 2xy
∴分式的值缩小 2倍，
【能力提升】
1 1
4．3； 解析：∵ 3，
x y
∴ x y 3xy
2x 3xy 2y 2 x y 3xy 6xy 3xy 3xy
∴原式 3．
x 2xy y x y 2xy 3xy 2xy xy
5．解： a与b的关系能确定，它们互为相反数．
13
b m n m n
1 m n 1 mn
a b m n m n 0
1 mn 1 mn
∴a，b互为相反数．
6 3．（1）真；（2）1 ；（3） x 2或 x 4或 x 0或 x 2
x 2
2
解析：（1）分式 是真分式；
x
2 x 1 x 2 3 3（ ） 1
x 2 x 2 x 2
3 2x 1 2x 2 3 2 x 1 3 3（ ） 2
x 1 x 1 x 1 x 1
所以当 x 1 3或﹣3或 1或﹣1，
即 x 2或 x 4或 x 0或 x 2时，分式值为整数
课时 3作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的________约去，叫做
分式的约分；
②最简分式：经过约分后的分式，其分子与分母只有__________的分式，叫做最
简分式；
③约分的最后结果形式：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的__________，
使所得的结果成为__________．
【基础过关】（3分钟）
知识点 1：约分
1、下列约分正确的是（ ）
6
A x x3 B x
2 y2
． 2 ． x yx x y
C x m x 15b 5a 5． D．
y m y 2a 6b 2
设计意图：通过对约分结果的辨别，巩固约分的概念．
知识点 2：最简分式
2、下列分式是最简分式的是（ ）
A a b a． 2 2 B． 2 C
a 1 a b
． D．
a b 2a b a2 1 2a 2b
14
设计意图：通过对最简分式结果的辨别，巩固最简分式的概念．
【能力提升】（8分钟）
2
3 x x．若分式 2 化简为 ，则 x应满足的条件是（ ）x x x 1
A． x 1或x 0 B． x 1且x 0 C． x 1 D． x 0
设计意图：通过考查分式的化简，巩固约分运算，同时强化分式有意义的条件．（即
对于分式有意义的判断需对化简之前的式子进行判断）．
2
4 m m 2m 1．若 为整数，则能使 2 也为整数的m有（ ）m 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设计意图：通过约分以及代数式求值，回顾复习因式分解的有关内容（因式分解
是分式运算的重要方法）．同时考查分式有意义的条件、分式值为整数的条件．即
对学科内知识综合考查，又渗透了分类讨论思想．训练了学生思维的严谨性．
3
5 a 4ab
2
．先约分，再求值： 3 2 2 ，并且代入你喜欢的值再求值．a 4a b 4ab
设计意图：通过开放式的习题，在巩固分式约分运算的同时进一步巩固分式有意
义的条件．通过答案的多样性，训练学生思维的全面性和严谨性．
6 m
2 5m 6
．已知：分式 ．
m2 4
（1）当m满足什么条件时，分式有意义？
2
（2 m 5m 6）约分： 2 ；m 4
（3）当m满足什么条件时，分式值为负？
设计意图：通过考查约分，进一步巩固约分的概念，同时也考查了分式有意义的
条件．并在第（3）问中拓展考查了分式值为负（可拓展为正）时需满足条件（即
分子分母异号）．在知识点上是与不等式组的综合，在思想方法上渗透了分类讨
论思想．
【思维拓展】（5分钟）
7．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式了，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数
法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：
x 1 1
已知： 2 ，求代数式 x
2 的值．
x 1 4 x2
15
x 1
解： 2 x 1 4
x2 1 x2 1
4即 4
x x x
x2 1
4
x x
1 1 2
x2 2

x 2 16 2 14
x x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ k”，将连等式变成
几个值为 k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若 2x 3y 4z，
且 xyz 0 x，求 的值．
y z
2x 3y 4z k k 0 x k , y k解：令 ，则 , z
k
，
2 3 4
k 1
k k k x 6
∴ x , y , z 2 2 ．
2 3 4， y z k k 7 7
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 2 ，求 x 的值．x x 1 4 x
a b c
（2）已知 abc 0 3b 4c ，求 的值．
5 2 3 2a
设计意图：通过材料阅读题，继续培养学生的材料阅读理解能力、新知运用能
力．在此过程中巩固有关概念、性质，进一步提升运算能力．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学
生知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2．能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让
完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与
兴趣；
3．思维提升题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体
学生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有
助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固分式及其约分的基础知识；
16
2． 通过基础过关帮助学生进一步强化分式及其约分，并让学生能够在具体习题
中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固知识
的同时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生再进一步强化分式约分，强化学科内知识综合运用
能力；在训练学生思维的全面性和严谨性的同时培养了分类讨论思想、方程思
想等数学基本思想；
4． 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、学科内知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关于 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式约分的概
理解分式约分概念，
理解分式约分的概 念，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
正确解答练习，并能
分式约分 念，正确解答练习，讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
用自己的语言解释解
解答过程准确． 确解答练习．解答过习，或无解答过程．
基 答思路．
程较准确．
础
理解最简分式的概 理解最简分式的概
过 理解最简分式的概
念，正确解答练习， 念，，正确解答练
关 念，，能在老师(同 老师(同伴)讲解后，
并能用自己的语言解 习，解答过程准
最简分式 伴)讲解后，自己独 自己仍不能解答练
释解答思路．同时能 确．能够理解复杂
立正确解答练习．解习，或无解答过程．
求解复杂情况下的字 情况下的字母取值
答过程较准确．
母取值范围． 范围．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解答 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 思路． 准确．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴 题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①公因式；
②公因式 1；
③公因式，最简分式或者整式；
【基础过关】
1．Ｄ 2．A 3．Ｂ 4．C
17
【能力提升】
2
5 a a 4b
2 a 2b a 2b a 2b
．解：原式
a a2 4ab 4b2 a 2b 2 a 2b
把a 2,b 1 代入得：
2
2 2 1
a 2b 2 1
原式
a 2b 2 2 1 3
2
6. 解：(1)当m2 4 0，分式有意义，解得m 2；
2
2 .m 5m 6 m 2 m 3 m 32 m 4 m 2 m 2 m 2
3 . m 3由题意知 0
m 2
m 3 0 m 3 0
m 2 0
或 m 2 0
解得： 3 m 2
即 3 m 2，且m 2时，分式的值为负
【思维拓展】
7．解：（1 x 1）
x2

x 1 4
x2 x 1
4
x
x2 x 1
4，即x 1 1 4
x x x x
x 1 5
x
a b c
（2） 令 k5 2 3
a 5k ,b 2k ,c 3k ,
3 2k 4 3k 18k 9
原式
2 5k 10k 5
课时 4作业：
（一）作业内容
18
【知识要点】（2分钟）
①两个分式相乘，用分子的____作积的分子，用分母的积作积的______．用分式
a d
表示为 ；
b c bc
②两个分式相除，将除式的分子、分母_______位置后，与被除式_______.用式
a d ac
子表示为
b c ．
【基础过关】（5分钟）
知识点 1：利用分式的乘法法则进行计算
2
1 x y 3ab．化简 ，正确结果是（ ）
ab2 xy
A 3y B 3x C 3y D 3x． ． ． ．
a ab ab b
设计意图：通过化简计算，巩固分式乘法法则，先乘法，再约分，培养学生的运
算能力．
2 x
2 x x2 1
．化简 2 的结果是（ ）x 1 x 2x 1
A 1． B． x C x 1． D x 1．
x x -1 x 1
设计意图：通过对分子分母含有多项式的乘法计算，掌握基本方法：先把分子、
分母能因式分解的先分解，再约分．
知识点 2： 利用分式的除法法则进行计算
3 x 2 x 2．化简： 2 ．x 1 2x 2
设计意图：巩固分式的除法运算方法，熟练掌握除法运算步骤：先化为乘法运算
（除以一个数等于乘上其倒数），再把分子、分母能因式分解的先分解，最后进
行约分化简．
4 x 3 x 2．使 有意义的 x的值是（ ）
x 3 x 4
A. x 3,且x 2 B. x 3,且x 4
C. x 3,且x 3 D. x 2,且x 3,且x 4
设计意图：通过分式有意义的问题，进一步巩固分式有意义的条件，及分式的除
法变成乘法的转化思想．
【能力提升】（6分钟）
19
5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规
则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递
给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确
的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
设计意图：通过开放式的习题，让学生进一步巩固分式的计算．同时，不仅通过
需满足条件反推分式，渗透逆向思维，培养学生思考的全面性和严谨性．
6 2 2 3 3 4 4 a．已知： 2 2， 3 3， 4 4，…， 10 a 10（若 a,b
1 1 2 2 3 3 b b
都是正整数），则 a b的值是 ．
设计意图：通过已知分式的值，规律的探寻，培养渗透特殊到一般的思想，培养
学生的观察、归纳能力．
2 2
7．化简： xy x2 x 2xy y x y
xy x2
设计意图：通过分式乘除综合运算进一步巩固分式乘除法，进一步培养学生的综
合运算能力．
【思维拓展】（5分钟）
8．在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：
a 1 a2 1 1 2 a
4 4 a
8 1 8 a2 1 ，同学们都感到无从下手，小明将 a2 1 a a a a
1
变形为 a a ，然后用平方差公式很轻松地得出结论．知道他是怎么做的吗？
a
设计意图：通过小明同学的转化，变成了分式的乘法，巩固了平方差公式，培养
转化思想．本题难度稍大，也为学有余力学生提供学习素材，有助于拓宽思维．
（二）使用方式
1.知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学生
知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
20
2.能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让完
成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与兴
趣；
3.思维拓展题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体学
生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有助
于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1. 通过知识要点，初步理解、巩固分式乘法和除法的基础知识；
2. 通过基础过关帮助学生进一步理解分式乘法和除法的知识，并让学生能
够在具体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在
巩固知识的同时，获得解决问题的成就感；
3. 通过能力提升，帮助学生再进一步理解分式乘法和除法的基础知识，同
时培养学生的逆向思维、分类讨论思想、方程思想等数学基本思想；
4. 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点，并 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
能向同伴讲解关于知 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式的乘法法则，
理解分式的乘法法 理解分式的乘法法
正确解答练习，并能用
则，正确解答练习，则，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
分式的乘法法 自己的语言解释解答
解答过程准确．能 讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
则 思路．同时能求解复杂
够理解复杂情况下确解答练习．解答过习，或无解答过程．
情况下的字母取值范
的字母取值范围． 程较准确．
围．
理解分式除法法
理解分式除法法则，正 理解分式除法法则，
则，正确解答练习，
确解答练习，并能用自 能在老师(同伴)讲解老师(同伴)讲解后，
分式的除法法 解答过程准确．能
己的语言解释解答思 后，自己独立正确解 自己仍不能解答练
则 够理解分式的值的
路．能通过分式的值的 答练习．解答过程较习，或无解答过程．
符号求解字母的范
符号求解字母的范围． 准确．
围．
能 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有详细 正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 后，自己独立正确解
完整的解答过程，并能详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 答练习．解答过程较
向同伴讲解解答思路． 程． 习，或无解答过程．
升 准确．
思 能独立完成拓展习题，能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解 老师(同伴)讲解后，
维 有详细完整的解答过 的点拨下完成习 后，能完成拓展习 自己仍不能解答练
21
拓 程，并能向同伴讲解解题，有较详细的解题，有较详细的解答习，或无解答过程．
展 答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①积，分母， ad
②颠倒，相乘，bd
【基础过关】
1．D 2 2．B 3． 4．D
x 1
【能力提升】
5．C 6．19
7. = x y x x y
2 x y xy x y
解：原式 2 x y x 2 2 yxy x x y x
【思维拓展】
8. a(a 1 1 1 1解：原式 )(a )(a2 2 )(a
4 4 )(a
8 1 )
a a a a a8
a(a2 1 )(a2 1 )(a4 1 2 2 4 )(a
8 1 8 )a a a a
a(a4 1 )(a4 14 4 )(a
8 1 8 )a a a
a(a8 1 8 )(a
8 1 )
a a8
a(a16 1 )
a16
a17 1 15 ．a
课时 5作业：
（一）作业内容
【知识要点】（1分钟）
n
a n
分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．即 ab 1 anb n ________．
b
【基础过关】（3分钟）
知识点 1：分式的乘方
2
1. b 计算：
2a
设计意图：巩固分式的乘方运算法则，题目较容易，适合每名学生参与．
22
2 3
2. 3y 2x 计算 的结果是（ ） 2x 3y
A. 2x B. x C. x D. 2x
3y 3y 3y 3y
设计意图：通过本题，巩固有关运算顺序：先乘方、再乘法，最后约分化简．
知识点 2：分式乘方运算
a3
2
2
3. a 如果 3，那么 a8b4 b2 b3
等于（ ）

A.6 B.9 C.12 D.81
设计意图：通过本题，继续巩固有关运算顺序：先乘方、再乘除，最后约分化简．
通过乘方运算，巩固乘方法则及分式除变乘的转化思想．
【能力提升】（10分钟）
4．下列运算结果不正确的是( )
2 2 2 2
3 6

A 8a bx
2
4ax 16a
2x2 x3 B x
3 x18
． 2 2 ．
6ab x 3b 9b 2y



2y 64y
6
3 3 n

C y x
1 1 xn x2n
． 2 D． x y y x y x 3 y2n y3n
设计意图：通过乘方题组的运算，巩固分式的乘方运算就是分子，分母分别乘方
，最后化为最简分式．
5 2mn
2
8m4n2 an 2m
2 nb 2 2mn2 a3
．下列各式：① 2 ；② 5 2 ；③ 2 ；④ ， a b a b bm ab a ab2 m
其中相等的两个式子是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
设计意图：通过分式乘方及乘除运算，巩固辨析运算法则，本组习题难度略微加
大，继续提升学生的综合运算能力．
2 3
4 1
6. 4x 1计算： 1 2 y z
3z

9y

2 2x
设计意图：通过积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分
式的乘除法法则计算，巩固分式的乘方及乘除法法则
23
2
7. “ x 2x 1 x 1
2
1
2
有这样一道题： 计算 2 2 的值，其中 x 2 ”，小明同x 2x 1 x x x
学把 x 2错抄为 x 2，但是他计算的结果也是正确的，你说这是怎么回事
设计意图：通过化简求值运算，在进一步考查分式值的运用的同时，体会到在代
数式求值时，先化简再求值的必要性．
（二）使用方式
1.知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学生
知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2.能力提升题，可以作为课堂练习，让学生上黑板板演，以便及时发现学生
存在的问题，及时纠正，课后再适当补充一些书面作业，以逐步增加熟练程度；
2.能力提升与思维拓展题，根据课堂教学时间，视情或作为课堂练习或作为
课后作业．可以让完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续
学好数学的信心与兴趣；
3.思维提升题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体学
生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有助
于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1.初步理解、巩固分式的乘方运算；
2. 通过基础过关帮助学生进一步巩固分式的乘方运算，并让学生能够在具
体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固知
识的同时，获得解决问题的成就感．
3. 通过能力提升，帮助学生再进一步巩固分式的乘方运算，同时通过复杂
运算和计算过程的分析培养学生的辨析能力；训练学生思维的严谨性；对学有余
力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关于 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式乘方运算，
理解分式乘方运 理解分式的乘方运
正确解答练习，并能
算，正确解答练习，算，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
分式的乘方运 用自己的语言解释解
解答过程准确．能 讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
算 答思路．同时能求解
够理解复杂情况下确解答练习．解答过习，或无解答过程．
复杂情况下的字母取
的字母取值范围． 程较准确．
值范围．
24
理解分式乘方运算及
理解分式乘方运算 理解分式乘方运算
其乘除混合，正确解
及其乘除混合正确及其乘除混合，能在
答练习，并能用自己 老师(同伴)讲解后，
分式乘方运算 解答练习，解答过老师(同伴)讲解后，
的语言解释解答思 自己仍不能解答练
及其乘除混合 程准确．能够理解 自己独立正确解答
路．能通过分式的值 习，或无解答过程．
分式的值的符号求练习．解答过程较准
的符号求解字母的范
解字母的范围． 确．
围．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解答 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 思路． 准确．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
an
bn
【基础过关】
2
1. b 2.A． 3.B
4a2
【能力提升】
4. D．
2
5.B 2mn 4m
2n2
．【解答】解：① ；
a2b a4b2
8m 4n 2 an 8m 2n3
② 5 ；a b bm 2 a 4b 2
4m2 n2b2 4m2n2
③ 2 a b4 a2 a4b2
2mn2 a3 2m2n2
④
ab2 m a4b2
相等的式子是①③．
6. 16x
2 y4 16y4 27
解：原式
81 z 4 8x3z3
16x2 y4 z 4 27
4



3 3 81 16y 8x z
z

24x
25
7. x 1
2 x 2 x 1 2 1
【解答】解：原式 2 1 x 1 x -1 2 x 2
结果与 x取值无关，故把 x 2错抄成 x 2，但他的计算结果也是正确的.
课时 6作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①根据分式的基本性质，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，
这样的分式变形叫分式的通分．
②异分母分式通分时，关键是确定公分母．确定最简公分母的方法：
【基础过关】（5分钟）
知识点 1：最简公分母
1 x 1．分式 与 的最简公分母是 ．
6y2 4xy
设计意图：通过对分母都是单项式的分式寻找最简公分母的考查，巩固分母是单
项式的分式确定最简公分母的方法．
2 1 1．分式
x2
, 的最简公分母是 ．
4 x 2
设计意图：通过对分母都是多项式的分式寻找最简公分母的考查，掌握确定最简
公分母的方法：即先因式分解，再确定最简公分母．
知识点 2：分式的通分
3 b , ab．将 通分可得 ．
3a 2c
设计意图：通过对分母都是单项式的分式的通分的考查，巩固其通分方法．
4 1 1．分式 2 与 2 通分后的结果是 ．x 3x x 9
设计意图：通过对分母都是多项式的分式的通分的考查，巩固其通分的方法：即
先对分母进行因式分解，确定最简公分母，再通分．
【能力提升】（6分钟）
t
5. 分式 ， ， 的最简公分母是 ． t t
设计意图：通过对三个分式的通分，进一步巩固通分的方法．难度不大．
26

6. 分式 ， ， 的最简公分母是 ．
设计意图：通过对三个分母是多项式的分式的通分，进一步巩固通分的方法．难
度一般，大部分学生能顺利完成．
7 x 4 , x 5 x 3．通分： 2 , ．x 8x 15 x2 x 12 x2 x 20
设计意图：通过对分母都是多项式的分式的通分的考查，掌握较复杂的通分的方
法，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．难度一般，但对学生严谨程
度要求较高．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学
生知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2．能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让
完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与
兴趣．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固分式通分和最简公分母的基本概念；
2． 通过基础过关帮助学生进一步理解通分和找最简公分母，并让学生能够
在具体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩
固知识的同时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生再进一步理解通分和找最简公分母，同时培养
学生的整体思想等数学基本思想．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关 点．能用自己的语能正确填写知识点．
要 写不正确
于知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式通分的概
基 理解分式通分的概
理解分式通分的 念，能在老师(同伴) 老师(同伴)讲解后，
础 念，正确解答练习，
分式通分 概念，解答过程准讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
过 并能用自己的语言
确． 确解答练习．解答过习，或无解答过程．
关 解释解答思路．
程较准确．
27
理解分式值为 0的条
理解找最简公分母， 理解找最简公分
找最简公分母，能在老师(同伴)讲解后，
正确解答练习，并能 母，正确解答练
找最简公分母 老师(同伴)讲解后，自 自己仍不能解答练
用自己的语言解释 习，解答过程准
己独立正确解答练 习，或无解答过程．
解答思路． 确．
习．解答过程较准确．
能 正确完成练习，有详
正确完成练习，有在老师(同伴)讲解后，老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程，
详细完整的解答 自己独立正确解答练 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解
过程． 习．解答过程较准确．习，或无解答过程．
升 答思路．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【基础过关】
1．12xy2；
2．（x+2）（x﹣2）；
t

3． 和 ；
t t
x 3 x
4． ， ；
x(x 3)(x 3) x(x 3)(x 3)
5． 12a2b2c；
6． 2x（x+1）（x﹣1）；
7．最简公分母为（x﹣3）（x+4）（x﹣5）；
t


；
t t t t t


；
t t t t t
t

．
t t t t t
课时 7作业:
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
同分母的分式相加减，
异分母的分式相加减，
【基础过关】（3分钟）
知识点 1：同分母的分式相加减
1 a 1 1．计算 的结果为（ ）
a a
28
A．1 B． 1 C a 2 D a 2． ．
a a
设计意图：巩固同分母分式加减法运算法则（同分母加减，分母不变，分子相加
减）．同时强化运算结果需进行化简（即化为最简分式或整式）．
知识点 2：异分母的分式相加减
2 1 1．化简 的结果是（ ）
m n
A 1 B 2 C mn m n． ． ． D．
mn m n m n mn
设计意图：通过异分母分式的加减运算，巩固其运算法则，即：先进行通分，再
利用同分母分式的加减法运算法则．
【能力提升】（8分钟）
3．化简
1 a b（ ） ；
a b b a
y 1
（2） 2 3x 6xy ；
x 1 x 1
（3） 2 ；x 2x 1 x2 1
y2
（4） x y x ． y
设计意图：本题通过考察考查异分母分式的加减法，进一步强化异分母分式加
减．从（1）分母互为相反数，到（2）分母是单项式，再到（3）分母是多项式，
且需因式分解，最后到（4）含整式的分式运算，层层递进，全面训练各类型分
式加减运算，难度整体不大，旨在巩固各类型的异分母分式加减运算．
4 1 1 1 ab．已知 ，则 的值是 ．
a b 2 b a
设计意图：本题在考查异分母分式的加减法的同时，渗透倒数法来求分式值．难
度不大，主要训练学生对于式子的灵活变形能力．
5 3x 3 A B．已知： ，则 A+B＝ ．
(x 1)(x 2) x 1 x 2
设计意图：本题在形式上从左到右是分式化为两个分式的和，但本质是从右到左
的分式求和问题．渗透了待定系数法的数学基本方法，既为了考查学生运算能力，
也为了培养学生处理问题的能力．
【思维拓展】（5分钟）
29
6 5 1．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如： 1 ．在
4 4
分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数
时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例
x 5 x2
如：像 , , 3 x…，这样的分式是假分式；像 , …，这样的分式
x 2 x 1 x 4 x2 1
是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
x 5 (x 2) 3 3
例如： 1 ；
x 2 x 2 x 2
x2 (x 1)(x 1) 1
x 1 1 ．
x 1 x 1 x 1
解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
x 1
（2）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结
x 3
果即可）
x2 x
（3）如果分式 的值为整数，求 x的整数值．
x 2
设计意图：通过材料阅读题，培养学生的材料阅读理解能力．在进一步考查分式
加减运算的同时，向渗透学生逆向思维，培养新知运用能力．具有一定的难度，
旨在供学有余力的学生拓展眼界宽度，提升思维高度．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学
生知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2．能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让
完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与
兴趣．
3．思维提升题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体
学生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有
助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固同分母、异分母分式加减知识；
2． 通过基础过关帮助学生进一步理解分式加减，并让学生能够在具体习题
中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固知识的同
时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生再进一步理解分式加减方法，同时培养学生的
整体思想等数学基本思想；
4． 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
30
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
于知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式加减方法，
基 理解分式加减方法，
理解分式加减方 能在老师(同伴)讲解老师(同伴)讲解后，
础 正确解答练习，并能
分式加减 法，解答过程准 后，自己独立正确解 自己仍不能解答练
过 用自己的语言解释
确．． 答练习．解答过程较习，或无解答过程．
关 解答思路．
准确．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 答思路． 准确．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
分母不变，分子相加减；
先通分，变为同分母的分数后，再加减．
【基础过关】
1．A 2．D
2
3 a b 2y x 2 x
2
．（1） （2） 2 （3） （4）a b 6x y x 1 2 x y
t t t4．2【解析】解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
t t t t t
t t5．3 【解析】解：
t t t t
t t t t t t t ，

由题意可知： ，

解得： ，∴A+B＝2+1＝3，
【思维拓展】
【思维拓展】
31
6．【解答】解：（1）由题意得：

写出一个假分式为： ，


故答案为： （答案不唯一）；


（2）

＝1 ，
故答案为：1 ；

（3）

t t

＝x+1

∵分式 的值为整数，

∴x﹣2＝±1或 x﹣2＝±2．
∴x＝0，1，3，4，
答：x的整数值为：0，1，3，4．
课时 8作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①分式的混合运算顺序和分数一样：先算_________，再算___________，最后算
_________，有括号的先算___________，同级运算按先后的顺序进行；
②在分式运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律，注意最后结果必须
是__________．
【基础过关】（4分钟）
知识点 1：分式的混合运算
1 a 3 a
2 3a 3
．
a 3 a2 6a 9 a 3
设计意图：通过分式较为简单的混合运算，巩固分式混合运算顺序（即先乘除，
再加减）．
2 y x．
x2 2
(1 )
y x y
设计意图：通过含括号的分式的混合运算，巩固先计算括号的运算顺序．
32
【能力提升】（8分钟）
3 [ 2 2 x y x y x y． ( )]
3x x y 3x y x
设计意图：通过较复杂的分式混合运算，进一步强化学生对于分式混合运算．
2
4 ( a 2a 4 ) a 4．先化简，再求值： 2 ，其中 a为整数，且 a满足 2a 4a 4 2 a a2 4
≤a＜5
设计意图：通过分式混合运算与分式求值的综合，既强化了分式的混合运算，又
考查分式值有意义的条件和代数式代入求值，同时培养学生思维的严谨性和全面
性．
【思维拓展】（5分钟）
5．阅读下列材料，并解答问题：
x2 x 3
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形
x 1
式．
解：由分母 x+1，可设 x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
则 x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵对于任意 x上述等式成立
a 1 1 a 2
∴ 解得：
a b 3

b 5
x2 x 3 x 1 x 2 5 5
∴ x 2
x 1 x 1 x 1
x2 x 3 5
这样，分式 就拆分成一个整式 x 2与一个分式 的和的形式．
x 1 x 1
1 x
2 6x 3
（ ）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形
x 1
式为 ；
2x2 5x 20
（2）已知整数 x 使分式 的值为整数，则满足条件的整数 x
x 3
＝ ；
4 2
（3）当﹣1＜x＜1 x 3x 2时，求分式 2 的最小值．x 1
33
设计意图：通过材料阅读题，培养学生的材料阅读理解能力、新知运用能力．在
进一步考查分式化简的同时，既考查了化简的逆向思维，又渗透了整体思想．
（二）使用方式
1．知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学
生知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2．能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让
完成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与
兴趣；
3．思维拓展题，为学有余力的学生提供继续学习的素材，以满足不同群体
学生的学习需求；还可以让他们尝试作分析讲解，帮助他们进一步理清思路，有
助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1． 通过知识要点，初步理解、巩固分式分式的混合运算的步骤；
2． 通过基础过关帮助学生进一步熟练分式的混合运算，并让学生能够在具
体习题中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固知
识的同时，获得解决问题的成就感；
3． 通过能力提升，帮助学生再进一步强化了分式的混合运算；同时强化了
分式有意义的条件与代数式代入求值；
4． 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力、多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
于知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式分式混合
能正确进行混合运 能正确进行混合运
基 运算顺序，能在老师
算．知道混合运算的 算．知道混合运算 老师(同伴)讲解后，
础 (同伴)讲解后，自己
分式混合运算 顺序，正确解答练 的顺序，正确解答 自己仍不能解答练
过 独立正确解答练
习，并能帮助学生查 练习，解答过程准 习，或无解答过程．
关 习．解答过程较准
找错误原因． 确．
确．
正确完成练习，有详
能 在老师(同伴)讲解
细完整的解答过程，正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 后，自己独立正确解
并能向同伴讲解解 详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 答练习．解答过程较
答思路（尤其是分式 程． 习，或无解答过程．
升 准确．
值的选取）．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解 老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习 自己仍不能解答练
34
拓 答过程，并能向同伴题，有较详细的解题，有较详细的解答习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①乘方，乘除，加减，括号；
②最简分式或整式．
【基础过关】
1 1． 1 2．
x y
【能力提升】
3 2x 2y [ 2 2 ( x y x y． 2 【解答】解： )]
x y

3xy 3y 3x x y 3x y x
[ 2 2 (x y) y 3x(x y)] x
3x x y 3xy x y
( 2 2 y x y x )
3x 3xy x y
2y 2x x

3xy x y
2x 2y

3y(x y)
2x 2y
2 ．3xy 3y
a24 ( 2a 4． 【解答】解： 2 )
a 4

a 4a 4 2 a a2 4
[a(a 2) 4 ] (a 2)(a 2) 2 (a 2) a 2 a 4
( a 4 ) (a 2)(a 2)
a 2 a 2 a 4
a 4 (a 2)(a 2)

a 2 a 4
a 2，
要使分式有意义，必须 a 2 0， a 2 0， a 4 0，
即 a不能为 2， 2，4，
a为整数，且 a满足 2 a 5，
a只能为 3，
当 a 3时，原式 3 2 5．
【思维拓展】
5．【解答】解：（1）由分母 x 1，可设 x2 6x 3 (x 1)(x a) b，
则 x2 6x 3 (x 1)(x a) b x2 ax x a b x2 (a 1)x a b．
35
对于任意 x上述等式成立，
a 1 6
，
a b 3
a 7
解得： ．
b 4
x2 6x 3 (x 1)(x 7) 4 4
x 7 ．
x 1 x 1 x 1
4
故答案为： x 7 ．
x 1
（2）由分母 x 3，可设 2x2 5x 20 (x 3)(2x a) b，
则 2x2 5x 20 (x 3)(2x a) b
2x2 ax 6x 3a b
2x2 (a 6)x 3a b，
对于任意 x上述等式成立，
a 6 5
，
3a b 20
a 11
解得： ．
b 13
2x2 5x 20 (x 3)(2x 11) 13 13
2x 11 ．
x 3 x 3 x 3
2x2 5x 20
x为整数，分式 的值为整数，
x 3
13
为整数，
x 3
x 4或 16或 2或 10．
课时 9作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①像这样， 叫做分式方程；
②如果 ，那么这个根就是原方程的增根；
③解分式方程的一般步骤： ．
【基础过关】（6分钟）
知识点 1：分式方程的概念
1．下列关于 x的方程，是分式方程的是（ ）
A x 3 x B 1 1 x x x 1 2． ． x y 5 C． D． 1
2 5 2 3 3 2 2 x x
36
设计意图：通过考查分式方程的定义，让学生判断哪个是分式方程，从而巩固分
式方程的概念，培养学生符号意识．
知识点 2：分式方程的解
2 x m．若关于 x的分式方程 2 无解，则m的值为 ．
x 1 1 x
设计意图：通过求分式中字母取值范围，巩固分式的解的概念以及分式无解的相
关情况，培养学生分类讨论思想．
知识点 3：分式方程的增根
3 2 k 6．已知方程 有增根 x＝1，求 k的值．
1 x 1 x x2 1
设计意图：通过在有增根情况下求 k的值，巩固分式方程有增根的条件．
知识点 4：解分式方程
4 1 x．解方程：1 2 ．1 x x 1
设计意图：通过考查怎样解分式方程，巩固了解分式方程必须检验这个知识点．
【能力提升】（8分钟）
5 mx 2 3．关于 x的分式方程： ．
x2 4 2 x x 2
（1）当m 3时，求此时方程的根；
（2）若这个关于 x的分式方程会产生增根，试求m的值．
设计意图：通过此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①
化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．通过考
查分式方程及应用，提高学生运算能力．
6 1．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1个月完成总工程的 ，
3
这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工
1 1个月完成总工程的 ，则可以表示“两队共同工作了半个月完成的工程量”
x
的代数式是（ ）
A 1 1 B 1 1 1 1 1 1． ． C． D．
3 x 6 x 3 2x 6 2x
设计意图：通过考查列代数式，熟知甲队和乙队的工作效率是解题的关键．提高
学生运算和推理能力．
37
【思维拓展】（6分钟）
7.阅读下面材料，解答后面的问题
x 1 4x
解方程： 0．
x x 1
x 1 4
解：设 y ，则原方程化为： y 0，方程两边同时乘 y得：y2﹣4＝0，
x y
解得：y＝±2，
4 x 1
经检验：y＝±2 都是方程 y 0的解，∴当 y＝2 时， 2，解得：x
y x
＝﹣1，
x 1
当 y＝﹣2时， 2 1 1，解得：x＝ ，经检验：x＝﹣1或 x＝ 都是原分式
x 3 3
方程的解，
x 1 x 1∴原分式方程的解为 ＝﹣ 或 ＝ ．上述这种解分式方程的方法称为换元
3
法．
问题：
1 x 1 x（ ）若在方程 0 x 1中，设 y ，则原方程可化为： ；
4x x 1 x
2 x 1 4x 4 x 1（ ）若在方程 0中，设 y ，则原方程可化为： ；
x 1 x 1 x 1
（3 x 1 3）模仿上述换元法解方程： 1 0．
x 2 x 1
设计意图：通过材料阅读题，培养学生的材料阅读理解能力和自主学习能力．进
一步考查分式方程的解法，关键是如何换元，即回顾了数学中的换元思想，又培
养了学生对多知识点综合运用能力．
（二）使用方式
1.知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学生
知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2.能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让完
成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与兴
趣；
3.思维提升题，为学生提供继续学习的素材，还可以让他们尝试作分析讲解，
帮助他们进一步理清思路，有助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1. 通过知识要点，初步理解巩固分式方程及其解法的基础知识；
2. 通过基础过关帮助学生进一步理解分式方程，并让学生能够在具体习题
中理解知识点在具体的问题中的运用；同时习题较易，能让学生在巩固知识的同
时，获得解决问题的成就感；
38
3. 通过能力提升，帮助学生再进一步理解分式方程，同时培养学生换元思
想、方程思想等数学基本思想；
4. 通过思维拓展，培养学生阅读理解能力和多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关于 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
知识点的思考 言叙述要点．
点
理解分式方程的概
理解分式方程的概
理解分式方程的概 念，能在老师(同伴)老师(同伴)讲解后，
念，正确解答练习，
分式方程的概念 念，正确解答练习，讲解后，自己独立正 自己仍不能解答练
并能用自己的语言解
解答过程准确． 确解答练习．解答过习，或无解答过程．
释解答思路．
程较准确．
理解分式方程的解和
理解分式方程的解 理解分式方程的解
增根的意义，正确解
和增根的意义，正和增根的意义，能在
基 答练习，并能用自己 老师(同伴)讲解后，
分式方程的解及 确解答练习，解答 老师(同伴)讲解后，
础 的语言解释解答思 自己仍不能解答练
增根 过程准确．能够理 自己独立正确解答
过 路．同时能求解复杂 习，或无解答过程．
解复杂情况下的字练习．解答过程较准
关 情况下的字母取值范
母取值范围． 确．
围．
会解分式方程，正确
会解分式方程，正会解分式方程，能在
解答练习，并能用自
确解答练习，解答老师(同伴)讲解后，老师(同伴)讲解后，
己的语言解释解答思
分式方程的解法 过程准确．能够理 自己独立正确解答 自己仍不能解答练
路．能通过分式的值
解分式的值的符号练习．解答过程较准习，或无解答过程．
的符号求解字母的范
求解字母的范围． 确．
围．
能 正确完成练习，有详 在老师(同伴)讲解
正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 细完整的解答过程， 后，自己独立正确解
详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 并能向同伴讲解解答 答练习．解答过程较
程． 习，或无解答过程．
升 思路． 准确．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴 题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①分母中含有未知数的方程；
②一个分式方程的根能使此方程的公分母为零；
③去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，检验．
39
【基础过关】
1.D．
2. 1 x x 2 m﹣ ．【解答】解：∵关于 的分式方程 无解，
x 1 1 x
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
x m
∵ 2 ，
x 1 1 x
∴x+2（x﹣1）＝﹣m，
把 x＝1代入 x+2（x﹣1）＝﹣m中可得：
1＝﹣m，
∴m＝﹣1，
3.【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得 2（x﹣1）+k（x+1）＝6
∵原方程有增根 x＝1，
∴当 x＝1时，k＝3，
故 k的值是 3．
4. 1 1 x【解答】解：
1 x2
，
x 1
1﹣x2+1＝x（1﹣x），
解得：x＝2，
检验：当 x＝2时，1﹣x2≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【能力提升】
5.【解答】解：（1）把 m＝3 3x 2 3代入方程得： ，
x2 4 2 x x 2
去分母得：3x+2x+4＝3x﹣6，
解得：x＝﹣5，
检验：当 x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为 x＝﹣5；
（2）去分母得：mx+2x+4＝3x﹣6，
∵这个关于 x的分式方程会产生增根，
∴x＝2或 x＝﹣2，
把 x＝2代入整式方程得：2m+4+4＝0，
解得：m＝﹣4；
把 x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6．
6.【解答】解：∵甲队单独施工 1 1个月完成总工程的 ，乙队单独施工 1个月完
3
1
成总工程的 ，
x
1 1 1 1 1
∴两队共同工作了半个月完成的工程量＝ ( ） ，
2 3 x 6 2x
故选：D．
40
【思维拓展】
7. 1 y x 1 y 1【解答】解：（ ）将 代入原方程，则原方程化为 0；
x 4 y
（2 x 1 4）将 y 代入方程，则原方程可化为 y 0；
x 1 y
x 1 x 2
（3）原方程化为： 0，
x 2 x 1
y x 1 1设 ，则原方程化为： y 0，
x 2 y
方程两边同时乘 y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
1
经检验：y＝±1都是方程 y 0的解．
y
x 1
当 y＝1时， 1，该方程无解；
x 2
当 y x 1＝﹣1时， 1 1，解得： x ；
x 2 2
1
经检验： x 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为 x ．
2
课时 10作业：
（一）作业内容
【知识要点】（2分钟）
①分式方程解应用题的一般步骤：审题，设___________，列_________，解方程，
检验，答．
②在分式方程解应用题中，可灵活运用交换律、结合律、分配律，注意最后结果
必须检验且必须符合题意．
【基础过关】（4分钟）
知识点 1：分式方程的应用
1、自带保温杯已成为人们良好的健康生活习惯，某学校为教师员工购买甲.乙两
种型号的保温杯，购买 A型号保温杯共花费 6000元，购买 B型号保温杯共花费
3200元，且购买 A型号保温杯数量是购买 B型号保温杯数量的 3倍，已知购买
一个 B型号保温杯比购买一个 A型号保温杯多花 30元，求购买一个 A 型号保
温杯，一个 B型号保温杯各需多少钱？
设计意图：通过分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键即：设购买一
个 A型号保温杯需要 x元，则购买一个 B型号保温杯需要（x+30）元，根据“购
41
买 A型号保温杯数量是购买 B型号保温杯数量的 3倍”列出方程并解答．本题
考查分式方程及应用，巩固分式方程的解法，提高学生运用数学知识解决问题的
能力．
【能力提升】（8分钟）
2.生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公
共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区准备购进 A型和 B型两种垃圾
桶，已知购买一个 B型垃圾桶比购买一个 A型垃圾桶多花 20元，用 250元购进
A型垃圾桶的数量与用 350元购进 B型垃圾桶的数量相等．
（1）求购买一个 A型垃圾桶.一个 B型垃圾桶各需多少元？
（2）小区决定用不超过 600元购进 A.B两种型号的垃圾桶共 10台，且 A型垃
圾桶的个数不多于 B型垃圾桶的个数的 2倍，问小区有几种购买方案？
设计意图：通过考查分式方程及应用即：设购买一个 A 型垃圾桶需要 x元，则
购买一个 B型垃圾桶需要（x+20）元，由题意：用 250元购进 A型垃圾桶的数
量与用 350元购进 B型垃圾桶的数量相等．列出分式方程．考查一元一次不等
式（组）及应用即：设 B型垃圾桶购进 y个，则 A型垃圾桶（10﹣y）个．由题
意：小区决定用不超过 600元购进 A、B两种型号的垃圾桶共 10台，且 A型垃
圾桶的个数不多于 B型垃圾桶的个数的 2倍，列出一元一次不等式组．从而提
高学生的运算能力和推理能力以及数学知识的应用意识．
【思维拓展】（8分钟）
3.某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 1所示的长方形和正方形纸板（长方
形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸
箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱 200个，后来由于对方急需要货，实际加
工时每天加工速度是原计划的 1.5倍，这样提前 2天超额完成了任务，且总共比
原计划多加工 40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
（2）若该厂购进正方形纸板 1000张，长方形纸板 2000张．问竖式纸盒，横式
纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 50张，长
方形纸板 a张，全部加工成上述两种纸盒，且 120＜ a＜136，试求在这一天加工
两种纸盒时， a的所有可能值．
设计意图：通过考查分式方程二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数
学思想联系起来，让学生体会数学与实际生活的联系．
（二）使用方式
42
1.知识要点和基础过关题可让学生提前预习，独立完成；课堂上先检查学生
知识要点的完成情况，以此进一步明确教学重难点；
2.能力提升题，作为课后作业，在学生完成后收交、批改；可以第二天让完
成较好学生尝试进行讲解，并给予适当的肯定，增强其继续学好数学的信心与兴
趣；
3.思维提升题，为学生提供继续学习的素材，还可以让他们尝试作分析讲解，
帮助他们进一步理清思路，有助于培养其思维的严谨性．
（三）作业分析及设计意图
1. 通过知识要点，初步理解、巩固分式方程的解法；
2. 通过基础过关帮助学生进一步熟练分式的应用；并让学生能够在具体习
题中理解知识点在具体的问题中的运用；
3. 通过能力提升，培养学生阅读理解能力和多知识的综合运用能力；对学
有余力的学生在掌握基础知识的同时拓展思维，提升高度．
（四）评价设计
评价级别
学生 同伴 老师
评价 A B C D
自评 评价 评价
标准
知
能正确填写知识点， 能正确填写知识
识 知识要点不熟，填
并能向同伴讲解关 点．能用自己的语 能正确填写知识点．
要 写不正确
于知识点的思考 言叙述要点．
点
能用分式方程的步 能用分式方程的步
基 能用分式方程的步
骤解分式方程的应 骤解分式方程的应 老师(同伴)讲解后，
础 骤解分式方程的应
分式方程的应用用，正确解答练习， 用，自己独立正确解 自己仍不能解答练
过 用，正确解答练习，
并能帮助学生查找 答练习．解答过程较习，或无解答过程．
关 解答过程准确．
错误原因． 准确．
正确完成练习，有详
能 在老师(同伴)讲解
细完整的解答过程，正确完成练习，有 老师(同伴)讲解后，
力 后，自己独立正确解
并能向同伴讲解解 详细完整的解答过 自己仍不能解答练
提 答练习．解答过程较
答思路（尤其是分式 程． 习，或无解答过程．
升 准确．
值的选取）．
思 能独立完成拓展习 能在老师（同伴） 在老师(同伴)讲解
老师(同伴)讲解后，
维 题，有详细完整的解 的点拨下完成习 后，能完成拓展习
自己仍不能解答练
拓 答过程，并能向同伴题，有较详细的解题，有较详细的解答
习，或无解答过程．
展 讲解解答思路． 答过程． 过程．
（五）参考答案及部分详解
【知识要点】
①未知数，方程；
【基础过关】
1.【解答】解：设购买一个 A型号保温杯需要 x元，则购买一个 B型号保温杯需
43
要（x+30）元，
6000 3200
根据题意，得 ＝3× ．
x x 30
解得 x＝50．
经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意．
所以 x+30＝80．
答：购买一个 A型号保温杯需要 50元，则购买一个 B型号保温杯需要 80元．
【能力提升】
2.【解答】解：（1）设购买一个 A型垃圾桶需要 x元，则购买一个 B型垃圾桶
需要（x+20）元，
250 350
根据题意得： ，
x x 20
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的根，且符合题意，
∴x+20＝70．
答：购买一个 A型垃圾桶需要 50元，购买一个 B型垃圾桶需要 70元．
（2）设 B型垃圾桶购进 y个，则 A型垃圾桶（10﹣y）个．
70y 50(10 y) 600
由题意得 ，
10 y 2y
10
解得： y 5，
3
∵y是正整数，
∴y可取 4，5，
即小区共有两种购买方案．
【思维拓展】
2.【解答】解：（1）设原计划每天加工纸箱 x个，则现在每天加工 1.5x个，由
题意得
200 2 200 40﹣ ＝
x 1.5x
解得 x＝20
经检验 x＝20是原分式方程的解，
答：原计划每天加工纸箱 20个．
（2）设加工竖式纸盒 x个，加工横式纸盒 y个，
x 2y 1000
依题意，得
4x 3y 2000
x 200
解得：
y 400
答：加工竖式纸盒 200个，加工横式纸盒 400个；
44
（3）设加工竖式纸盒 x个，加工横式纸盒 y个，
x 2y 50
依题意得：
4x 3y a
∴y＝40 a﹣ ，
5
∵y、a为正整数，
∴a为 5的倍数，
∵120＜a＜136
∴满足条件的 a为：125，130，135．
当 a＝125时，x＝20，y＝15；
当 a＝130时，x＝22，y＝14；
当 a＝135时，x＝24，y＝13据符合题意，
∴a所有可能的值是 125，130，135
七、单元质量检测作业
（一）单元质量检测内容
一、选择题（共 8小题）
x
1 1 2 x 3y 2
1 2022
．在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数有 ( )
3 x y 3 2x 1 2 x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
设计意图：本题主要考查了分式定义关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分
子可以含字母，也可以不含字母，整体较易．
2．下列约分正确的是 ( )
6
A x 2 1． B x 2 a b a x． 1 C． D． x4
3x 6 3x x 2 b c b x2
设计意图：此题主要考查了约分，即同时消去分子分母中的公因式，同时也通过
考察较为简单的因式分解，达到了基础巩固的效果．
a 2
3．若分式 的值为 0，则 a满足 ( )
(a 2)(a 3)
A． a 2 B． a 2 C． a 2 D． a 3或 a 2
设计意图：本题考查分式的值为零的条件：即分子等于 0并且分母不等于 0．
4 x 1 6x x 1．用换元法解分式方程 5时，如果设 y，将原方程化为关于 y
x x 1 x
的整式方程，那么这个整式方程是 ( )
A 6． y 5 B． y2 5y 6 0 C． y2 5y 6 0 D． y2 6y 5 0
y
45
设计意图：本题考查换元法解分式方程，强化换元法解分式方程的格式及要求，
同时换元法也能体现出整体思想的应用，让同学们能够加强对这种思想的认知．
5．一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了 n天写完下集，这部小说
（上．下集）共 120万字，这位作家平均每天的写作量是 ( )
A 120． 万字 /天 B 120． 万字 /天
m n
C 120 m n． 万字 /天 D． 万字 /天
m n 120
设计意图：通过实际背景考查列代数式（分式），体现了分式的实际应用的意义．
6 kx 2k 1．若关于 x的分式方程 2无解，则 k的值为 ( )
x 1 1 x
A k 1 2 B k 1 1． 或 ． C． k 或2 D． k 2
3 3 3
设计意图：本题考查分式方程无解的情况，通过己知方程无解分析参数的值．强
化分式何时无解．即化为整式方程无解和产生增根时无解．
7．某市需要铺设一条长 660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影
响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前 6天完成．求
实际每天铺设管道的长度与实际施工天数．小宇同学根据题意列出方程
660 660
6．则方程中未知数 x所表示的量是 ( )
x x(1 10%)
A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数
C．原计划施工的天数 D．原计划每天铺设管道的长度
设计意图：本题主要考查由实际问题抽象出分式方程的反向运用，即给方程还原
等量关系．
8 A．规定一种新的运算“ JQx ，其中 A和 B是关于 x的多项式．当 A的次数
B
B JQx A 0 A B JQx A小于 的次数时， ；当 的次数等于 的次数时， 的值
B B
为 A．B A的最高次项的系数的商．当 A的次数大于 B的次数时， JQx 不存
B
在．
2
JQx 2 x 2 1例： 0， JQx ．
x 1 2x2 3x 1 2
A 2
若 (2 3 ) 6x 15x 2 ，则 JQx
A
的值为 ( )
B x 1 x 1 B
A 1 1．0 B． C． D．不存在
2 3
设计意图：本题考查了分式的乘除法，有理数的混合运算，多项式，分式的值为
0的条件，以及理解已知规定的新运算．旨在培养学生阅读理解和新知应用能力．
46
二、填空题（共 4小题）
2a3b 6ab2
9．计算： 3 2 ．c b c2
设计意图：本题通过除法法则变形，考查分式的约分．
10 ax 3．关于 x的分式方程 1 3x 1 的解是正数，则 a的取值范围是 ．
x 2 2 x
设计意图：本题通过分析分式方程的解的符号，即考查了分式方程的运算，还考
查了分式方程的增根分析以及解一元一次不等式．
11 1 1 1 1．数学家们在研究 15．12．10这三个数的倒数时发现： ．因
12 15 10 12
此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如 6．3．2也是一组调和数．现有
一组调和数： x．5．3(x 5)，则 x的值是 ．
设计意图：通过新定义的考察，不仅渗透了分式方程的应用，还注重考察了学生
对于新知识的理解与运用，培养学生的自学能力．
12．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差 )的形式，
1 1 1 5 1 1
例如 ， ．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分
2 3 2 3 2 3 2 3
成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如
1 1 1 3x A B
，仿照上述方法，若分式 可以拆分成 的形
x(x 1) x x 1 x2 x 2 x 1 x 2
式，那么 (B 1) (A 1) ．
设计意图：本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算
法则，根据题意列出关于 A、 B的方程组．
三、解答题（共 4小题）
13．解方程：1
1 x

1 x2 x 1．
设计意图：本题考查了解分式方程，强化分式方程必须检验．
(3x 4 214．化简再求值：已知 2 )
x 2
x 2
x 1 x 1 x2 2x 1，其中 x是不等式组 2x 1 2
的整数解．
设计意图：本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则、一元一次不
等式组的解法及分式有意义的条件．
15．某商场用 6万元购进某种商品，由于畅销，很快销售一空，于是该商场又用
12.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的 2倍，但单价贵
了 2元，该商品定价都是 35元，但最后剩下的 100件商品按定价的八折销售，
47
很快售完．
（1）若设第一次购进这种商品 x件，则该商场共购进这种商品多少件？
（2）在这两笔生意中，商场共盈利多少元？
设计意图：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题，体现了分式方程在实际生活中的运用，使所学内容能够运用于生活实际．
16．阅读材料：对于非零实数 a b (x a)(x b)， ，若关于 x的分式 的值为零，则
x
x a x b (x a)(x b) x
2 (a b)x ab
解得 1 ， 2 ．又因为 x
ab
(a b)，所以
x x x
ab
关于 x的方程 x a b的解为 x1 a， x2 b．x
x2 2 2
（1）理解应用：方程 3 的解为： x1 ， x2 ；x 3
（2 3）知识迁移：若关于 x的方程 x 5的解为 x1 a， x2 b，求 a2 b2的值；x
4
（3）拓展提升：若关于 x的方程 k x的解为 x1 t 1， x2 t2 2，求x 1
k 2 4k 2t3 的值．
设计意图：本题考查分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完

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