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课 题 4.2.1双曲线的标准方程 课 型 新授课 课 时 1
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第四章；教材内容：包括椭圆、双曲线、抛物线；地位与作用：在我们生活中，可以发现很多圆锥曲线的形象，圆锥曲线在科学技术、生产实践、日常生活中有着广泛应用．本章我们学习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，并掌握它们的几何性质和应用，进一步理解曲线与方程的对应关系，提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养．
学情分析 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；2.通过椭圆的标准方程学习，本节课将通过类比方法，学习双曲线的标准方程；3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾椭圆的标准方程的基础上学习双曲线的标准方程.
学习目标 1.理解双曲线的定义，理解双曲线的标准方程；2.学生运用自主探讨、合作学习，通过椭圆的标准方程的推导方法类比推导双曲线的标准方程，类比焦点在x轴的标准方程推导焦点在y轴的标准方程，理解参数 ， ，的含义及关系并与椭圆作对比，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
学习重难点 理解双曲线的定义，理解双曲线的标准方程；掌握双曲线的标准方程的推导方法；掌握焦点在y轴的椭圆的标准方程
教学方法 讲授法、谈话法、讨论法、类比法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题情境我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容
活动二： 调动思维探究新知 试一试你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？如图所示，将拉链的一边截去一部分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的F1与F2处，将笔尖放置在拉锁处，随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线；调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将作出一条曲线．最终作出的图形是双曲线的一部分， 其中每一条曲线都称为双曲线的一支．这种作双曲线的方法实际上验证了双曲线定义中的点P一定存在而且有无数多个．那么，从数学上能不能证明这一点呢？同椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨上述问题，并求出双曲线的标准方程. 抽象概括平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|且不等于0）的点的轨迹称为双曲线． 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 取过焦点F1，F2的直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴 （如图）． 　　设 M(x,y) 是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是 2c(c＞0) ，那么F1，F2的坐标分别是( c,0),(c,0)．又设点M 与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2．则点M 满足条件|MF1|-|MF2|=±2,由题意知，，.得方程.化简得.由双曲线的定义可知 2c＞2a＞0，即 c＞a＞0，所以c2 a2＞0.　　设c2 a2=b2(b＞0) ，代入上式得b2x2 a2y2=a2b2 ，两边除以a2b2，得 ①反之，我们可以证明，如果点 M(x,y) 的坐标满足方程①，那么点 M 一定在双曲线上．因此，方程①是双曲线的方程．通常把这个方程称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程．它的焦点是F1( c,0)，F2(c,0) ，且 .探索研究（焦点在y轴上的双曲线的标准方程）：设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为 2c，而且双曲线上的动点 M满足||MF1| |MF2||=2a．其中c＞a＞0. 以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时：（1）双曲线的焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过①式来得到此时双曲线方程的形式？ 显然，此时双曲线的焦点在y轴，焦点是F1(0, c,)，F2(0,c).只要将方程①的x,y互换，就可以得到上述双曲线的方程，为，其中.这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程. 分组讨论，推导双曲线的标准方程分组绘制双曲线分组讨论“新知探究”的内容 通过讨论，理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
活动三：巩固练习素质提升 例 1 已知两点F1( 5，0)，F2(5,0)，求与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程.解 所求动点的轨迹是双曲线，因c=5，a=3. 所以因此，所求方程是即 ． 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
活动四：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P106 ——练习1./3./4.
活动五：板书设计 4.2.1双曲线的标准方程双曲线的定义 练习 小结二、双曲线的标准方程 练习 作业
活动六： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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