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课 题 4.2.2双曲线的几何性质 课 型 新授课 课 时 1
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第四章；教材内容：包括椭圆、双曲线、抛物线；地位与作用：在我们生活中，可以发现很多圆锥曲线的形象，圆锥曲线在科学技术、生产实践、日常生活中有着广泛应用．本章我们学习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，并掌握它们的几何性质和应用，进一步理解曲线与方程的对应关系，提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养．
学情分析 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；2.在双曲线标准方程的学习基础上，本节课将进一步研究双曲线的几何性质；3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾双曲线标准方程的知识的基础上学习双曲线的几何性质.
学习目标 1.理解双曲线的取值范围、对称性、渐近线、顶点坐标和离心率的概念；2.学生运用自主探讨、合作学习，体会通过双曲线的标准方程研究椭圆的几何性质的方法，掌握双曲线的对称性、对称性、顶点坐标和离心率的讨论方法，理解参数 ， ，，的几何含义及它们之间的相互关系，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
学习重难点 理解双曲线的取值范围、对称性、顶点坐标、渐近线和离心率的概念；掌握研究双曲线的几何性质的方法；掌握双曲线的对称性、对称性、顶点坐标和离心率的讨论方法
教学方法 讲授法、谈话法、讨论法、类比法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题情境若椭圆的标准方程为. ①你能根据方程①来研究双曲线的一些几何性质吗？ 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容
活动二： 调动思维探究新知 1.范围由方程①可知，椭圆上点的坐标都满足不等式 ，即，所以说明双曲线位于直线 所夹平面区域的外侧. 2.对称性如果是方程①的一组解，则不难看出，，，都是方程的解，这说明椭圆关于 y 轴、 x 轴成轴对称，关于原点成中心对称.因此， x 轴、 y 轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心也称为双曲线的中心，我们只讨论中心在原点的双曲线． 3.顶点在方程①中，令，得 ．这说明A1(-a,0)，A2(a,0 ）是双曲线和 x 轴的两个交点．同理，令 ，得，这个方程无实数解，这说明双曲线与 y 轴没有交点．因为双曲线与它的对称轴共有2个交点，即A1，A2 ，这两个交点称为双曲线的顶点. 线段A1A2分别称为双曲线的实轴．若记B1(0,-b)，B2(0,b)，则称线段B1B2为双曲线的虚轴，显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上，而且双曲线的实轴长为2，虚轴长为2b， 和 b 分别称为双曲线的半实轴长和半虚轴长．特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.4.渐近线经过点A2,A1分别作 y 轴的平行线 x=±a ，经过点B2,B1分别作 x 轴的平行线 y=±b ，四条直线围成一个矩形（图4-14)．矩形的两条对角线所在直线的方程是 ，从图4-14可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，但永远不会与它们相交．我们把两条直线 为双曲线的渐近线． 5.离心率一般地，同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长的比 称为椭圆的离心率．因为，所以双曲线的离心率 探索研究（1）双曲线的离心率的范围是什么？（2）离心率对双曲线的形状有什么影响．（1）因为，所以.注意到，，这说明 越趋近于1，则 的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 当固定 不变时，双曲线的离心率与双曲线形状的关系可以从图4-15中看出来，其中蓝色、绿色双曲线的离心率分别为. 探索研究如果双曲线的标准方程为. ②你能根据方程②来研究双曲线的一些几何性质吗？显然，方程②表示的双曲线，焦点坐标为（0，- c )，(0, c )，双曲线上点的坐标的取值范围是 或 ；实轴的两个端点是A1(0,-)，A2(0,)；虚轴的两个端点是B1(-, O )，B2(, O)．渐近线方程为.除了这些以外，对称性、焦距、实轴长、虚轴长、离心率等都与焦点在 x 轴上的双曲线是一致的，如图4-16所示． 分组讨论，推导双曲线的取值范围、对称性、顶点、标准方程分组讨论并解答“新知探究”的内容 通过讨论，理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
活动三：巩固练习素质提升 例 1 求双曲线 的半实轴长、半虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程.解 将已知方程化成双曲线标准方程：,由此可知双曲线的焦点在x轴上，半实轴长 半虚轴长所以双曲线焦点焦点的坐标分别是(-3，0)(3，0)．离心率 ，渐近线方程．例2 已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率．解 设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且｜OA1｜=a，｜BO｜=，由△BA1A2是一个等边三角形可知｜BO｜=｜OA1｜ ，因此．又因为，所以，从而．例3 已知 A , B 两地相距800m，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s，且声速为340m/ s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析 先根据题意判断轨迹的形状．由声速及 A , B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A , B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以 A , B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应在靠近 B 处的双曲线的一支上． 解 如图所示，建立平面直角坐标系 xOy ，使 A , B 两点在 x 轴上，并且原点 O 与线段 AB 的中点重合．设炮弹爆炸点 P 的坐标为(x , y )，则| PA |-| PB |=340×2=680，即2a=680，a =340.又| AB |=800，所以2c=800， c =400，.因为| PA |-| PB |=680＞0，所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此 x ≥340.所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为. 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
活动四：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P119 ——练习1./3./4./5.
活动五：板书设计 4.2.2双曲线的几何性质双曲线的取值范围、对称性 练习 小结二、双曲线的顶点、离心率 练习 作业
活动六： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
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