资源简介

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课 题 7.2.2 组合 课 型 新授课 课 时 3
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第七章；教材内容：包括平面的基本性质、空间中两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系；地位与作用：本章所要介绍的“排列”“组合” 与“计数”有关，同上述语句中对应词语的意义有区别.“计数”就是数事物的个数，这是数学学科发展的起点，也是我们从小学开始就在学习的，可以说， 随着大家掌握的内容越来越多，我们的计数能力也变得越来越强大.“排列”“组合”就是一种强大的计数方法.．我们前面已经学过一些概率与统计的知识，对现实世界中随机现象的不确定性有了初步的了解.例如，我们已经知道，事件的概率是一个数， 它描述了事件发生的可能性大小；通过古典概型与用频率估计概率，可以得到一些事件发生的概率；等等.但是，如果要解决一些更复杂的问题， 我们还需要进一步学习概率统计的知识.怎样通过统计数据来判断这类说法是否有道理？通过本章的学习，我们能够解决类似的问题．
学情分析 16~18岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；2.通过排列知识学习，本节课将进一步探讨元素抽取排列的另一种方法----组合；3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，在对比旧知识（排列）基础上引入组合的概念.
学习目标 1.理解组合的概念；2.学生运用自主探讨、合作学习，理解组合数公式，掌握组合数公式的应用，掌握组合数公式的推导方法，掌握组合与排列之间的联系与区别，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力，培养学生逻辑思维能力；3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
学习重难点 理解组合的概念，组合数公式；掌握组合数公式的应用，组合数公式的推导方法；掌握组合与排列之间的联系与区别
教学方法 讲授法、谈话法、讨论法、类比法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题导入(1)从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多种不同的选法？从标有字母A、B、C、D的 4 个字母的小球中，取出 2 个排成一列，有多种不同的选法？（1） 甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲， 丙乙；（2） AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.）问题情境在北京、上海、广州 3 个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价？（假定两地间的往返票价和舱位票价是相同的.）提问1：这个问题与7.2.1节计算飞机票种数的问题有什么相同点 有什么不同点 相同点：都是从 3 个城市中选取 2 个城市.不同点：飞机票的种数与起点站、终点站有关， 而飞机票的价格只与两地的距离有关，与起点、终点顺序无关．提问2：你能列出所有飞机票的价格有多少种吗？飞机票的价格有如下三种： 北京———上海 （上海———北京） 北京———广州 （广州———北京） 上海———广州 （广州———上海） 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容
活动二： 调动思维探究新知 分析 问题 2 可以看成从 3 个不同元素中抽取 2 个元素作为一组，共有多少个不同的组.数学上我们把这个问题称为组合问题. 抽象概括组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素作为一组，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． 想一想1排列与组合有什么异同点？相同点：两者都是从 n 个不同元素中任取 m（m≤n）个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.问题3 (1)从甲、乙、丙3名同学中选 2 名去参加一项活动，有多种不同的选法？从标有字母A，B，C，D的 4 个小球中，取出 2 个放在一个盒子里，有多种不同的选法？想一想2问题 3 与问题 1 有什么相同点 有什么不同点 相同点：都是从 3 名同学中抽 2 名同学，从 4 个不同的小球中抽 2 个球；不同点:问题 1 中的选法与抽出同学或者小球的顺序有关，而问题 3 中的选法与抽出同学或者小球的顺序无关.想一想3你能列出所有情况吗？甲乙，甲丙，乙丙； AB，AC，AD，BC，BD，CD.问题4 你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗 （1）从排列和组合的定义来看，它们有什么联系和区别？排列与组合的共同点都是从 n 个不同元素中抽取 m （m≤n）个元素.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.（2）什么情况下，两个排列是相同的？组合呢？只有元素相同，顺序相同的两个排列才是相同的；两个组合只要元素相同，不论顺序如何，都是相同的.以问题 1 和问题 3 为例，我们以“元素相同”为标准分类，建立起排列和组合之间的对应关系：观察分析：问题 1 中（1）的 6 个排列可以分成每组有 2 个不同排列的 3 个组合；的 12 个排列可以分成每组有 2 个不同排列的 6 个组合. 分组讨论并解答“问题情境”中的问题讨论并解答“想一想1”中的问题讨论并解答“问题3”中的问题讨论并解答“想一想2”中的问题讨论并解答“想一想3”中的问题讨论并解答“问题4”中的问题 通过讨论，理解组合的概念 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
第二课时
活动三： 调动思维探究新知 试一试是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而便捷地求出组合个数？组合数类比排列数，我们引进组合数概念：从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示.例如，从 1，2 这两个元素中，每次任意取出 1 个作为一个组合，那么它可以构成两个组合，即，即从 2 个元素中任取 1 个元素的组合数.从 3 个不同元素中，取出 2 个元素的组合数表示为；从 4 个不同元素中，取出 3 个元素的组合数表示为 . 想一想组合数与排列数的之间有什么关系？探究组合数的计算公式.求从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素的组合数.从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素的排列与组合的关系如下： 由上述对应关系可以看出，对于相应的每一个组合，都有个不同的排列.因此，求从 4 个不同元素中取 3 个元素的排列数，可以按照下面的考虑方法分两步完成: 第 1 步，从 4 个不同元素中取出 3 个元素做组合，共有个，由上述对应关系可知； 第 2 步，对每一组合中的 3 个不同元素做全排列，每一组合对应的全排列都是个.根据分步计数原理，得，所以. 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，可以分如下两步完成:第1步，求从这 n 个元素中取出 m 个元素的组合数 ；第2步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 .根据分步计数原理，得.由此可得：组合数公式这里的 n ，m∈N*，并且 m≤n ，这个公式叫做组合数公式.因为所以上面的公式还可以写成另外，我们规定:. 分组讨论并解答“问题情境”中的问题 通过讨论，理解组合的概念 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
活动四：巩固练习素质提升 例 1 计算及 .解 ；.例 2 从 10 名运动员中，选出 3 名参加比赛，则有多少种选法 解 实际上这是从 10 个不同元素中取出3个元素的组合问题， 即也就是说，有 120 种选法.例 3平面内有 12 个点，其中任意 3 点都不在同一条直线上，以任意 3 点为顶点画三角形，一共可画多少个三角形 解 因为平面内的 12 个点中任意 3 点都不在同一直线上，所以，任意 3 个点都可以看作一个三角形的顶点，求可画多少个三角形，就是从 12 个不同元素中取出 3个元素的组合数，即.答：一共可画 220 个三角形.排列问题与组合问题的根本区别在于，取出元素后是否要按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列，属排列问题;不需要考虑元素顺序，属组合问题.例4（1）从全班 50 人中选班委 7 人，共有多少种不同的选法 （2）从全班 50 人中选班长、副班长、学习委员、体育委员、宣传委员生活委员、文娱委员各一人，共有多少种不同的选法 解（1）；（2）（小结：排列问题与组合问题的根本区别在于，取出元素后是否要按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列，属排列问题;不需要考虑元素顺序，属组合问题.） 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
第三课时
活动五： 调动思维探究新知 组合数的两个性质问题情境例1某小组有 7 人： （1）选出 3 人植树，可以有多少种不同的选法？ （2）选出 4 人清扫校园，可以有多少种不同的选法？解 （1）；（2）.即选出 3 人植树或选出 4 人清扫校园都有 35 种不同的选法． 从这个例题可以看出，从 7 个不同的元素中选出 3 个和选出 7-3＝4（个）的组合数是相等的，即.想一想上述情况加以推广可得到组合数的什么性质 加比赛，有多少种参赛方法，就是求解从 10 个不同的元素中取出 3 个元素的所有排列的个数.抽象概括定理1一般地，有如下定理：（n，m∈ N*， m≤n）.证明 因为，，所以.这个性质也可以从组合的定义得出．从 n 个元素中取 m 个并成一个组合后，剩下的（n-m）个元素相应地也构成了一个组合，每从 n 个元素中取出不同的 m个元素构成不同的组合，剩下的（n-m）个元素同样也是不同的组合，并且这种对应关系是一对一的，所以有多少个从 n 个元素中取 m 个元素的组合，相应的就有多少个从 n 个元素中取（n-m） 个元素的组合，即（n，m∈ N*， m≤n）.为了使这个公式在 n＝m 时也成 立，我们约定:. 分组讨论并解答“问题情境”分组讨论并解答“问题1”分组讨论并解答“想一想” 通过讨论，理解排列数公式，掌握计算方法 讲授中穿插小组讨论、问题解答，…更利于课堂高效化；
活动五：巩固练习素质提升 例 2 计算及.解 ；.定理2.证明 .于是.定理 2 也可以根据组合的定义和分类计数原理得出：从a1，a2，…，an，an+1 这（n＋1）个不同元素中，取出 m 个元素的组合数是.这些组合可分为两类，一类包含 a1，一类不包含 a1 .含有 a1 的组合是从a2，…，an，an+1 中取出（m-1）个元素与 a1 组成的，共有 个；不含 a1 的组合是从a2，…，an，an+1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，得.例 3 计算.解 由定理2，得：，由定理1，得.（本小题也可以先利用定理１，然后利用定理２来求解.) 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
活动六：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P216 ——练习1./2.
活动七：板书设计 7.2.2组合组合的概念 练习 小结组合数公式 练习 作业 性质
活动八： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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