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课 题 7.2.4 计数原理 课 型 新授课 课 时 2
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中二年级拓展模块（一）第七章；教材内容：包括平面的基本性质、空间中两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系；地位与作用：本章所要介绍的“排列”“组合” 与“计数”有关，同上述语句中对应词语的意义有区别.“计数”就是数事物的个数，这是数学学科发展的起点，也是我们从小学开始就在学习的，可以说， 随着大家掌握的内容越来越多，我们的计数能力也变得越来越强大.“排列”“组合”就是一种强大的计数方法.．我们前面已经学过一些概率与统计的知识，对现实世界中随机现象的不确定性有了初步的了解.例如，我们已经知道，事件的概率是一个数， 它描述了事件发生的可能性大小；通过古典概型与用频率估计概率，可以得到一些事件发生的概率；等等.但是，如果要解决一些更复杂的问题， 我们还需要进一步学习概率统计的知识.怎样通过统计数据来判断这类说法是否有道理？通过本章的学习，我们能够解决类似的问题．
学情分析 16~18岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；2.通过的展开式和计数原理学习，本节课将从熟悉的知识出发探究学习二项式定理；3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾的展开式和计数原理学习的基础上学习二项式定理.
学习目标 1.理解二项式定理的结构和规律；2.学生运用自主探讨、合作学习，理解二项式系数的概念和性质，掌握二项式定理的通项公式，学会区分二项式展开式中某一项的二项式系数与该项的系数等概念，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力，培养学生逻辑思维能力；3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
学习重难点 理解二项式定理的结构和规律；理解二项式系数的概念和性质；掌握二项式定理的通项公式，区分二项式展开式中某一项的二项式系数与该项的系数等概念
教学方法 讲授法、谈话法、讨论法、类比法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题情境由 (a+b)1=a+b， (a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)3=a3 +3a2b+3ab2+b3．探究：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的展开式的各项分别是什么呢？ 思考并尝试利用初中所学知识解 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容
活动二： 调动思维探究新知 分析可以看出，等号右边的积的展开式的每一项，是从4个括号中每个里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项:a4 ， a3b， a2b2，ab3，b4.现在来看上面各项在展开式中的个数，也就是展开式中各项的系数是什么.在上面4个括号中：每个里都不取b的情况有1种，即种，所以a4 的系数是；恰有1个取b的情况有种，所以a3b的系数是；恰有2个取b的情况有种，所以a2b2的系数是；恰有3个取b的情况有种，所以ab3的系数是；4个都取b的情况有种，所以b4的系数是.因此. 抽象概括一般地，可以证明有下面的公式: 这个公式所表示的规律称为二项式定理，右边的多项式 称为(a+b)n的二项展开式，其中称为二项式系数，式中的称为二项式的通项，用Tm+1表示，Tm+1表示的是二项展开式的第m+1项，我们将称为二项展开式的通项公式． 分组讨论并解答“问题情境” 通过讨论，理解二项式定理的概念，掌握二项式系数、通项公式应用方法 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
活动三：巩固练习素质提升 例 1 求的二项展开式. 解 .例 2 求的二项展开式的第6项．解 . 例3 求的展开式．解 在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到公式依此公式，得原式= ===. 例4 求的二项展开式中x3的系数．解 展开式的通项为.根据题意，有 9-2m=3．解得m=3．因此，x3的系数是.注意　二项展开式中第m+1项的系数与第m+1项的二项式系数是两个不同的概念．例5 求展开式的常数项．解 展开式的通项为根据题意，有 3-m=0，m=3．因此，常数项是例6 计算0.9975的近似值（精确到0.001）．解 根据题中精确度的要求，从第3项及以后的各项都可舍去，所以 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
第二课时
活动四： 调动思维探究新知 二项式系数的性质问题情境根据二项式定理，利用工具计算的(a + b)n展开式的二项式系数，并填入下表.通过计算、填表，你发现了什么规律？通过观察发现每一行都是对称的，且两端的数都是1.为了方便发现规律，把上表写成如下形式：这个二项式系数列成的表，称为 “杨辉三角”或 “贾宪三角”．杨辉是我国宋朝时的数学家，他于1261年著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表．并且指出这个方法出于更早期贾宪的著作《皇帝九章算法细草》．在欧洲这一般认为这是帕斯卡于1654年发明的，所以称这个图形为“帕斯卡三角”． 可以看出，这个表的发明，我国比欧洲早了近400年的时间．想一想观察 “杨辉三角”中的数字，能发现什么规律吗？每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等；如果二项式(a + b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等．理解并熟记二项式系数的性质：（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；（2）每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等；（3）如果二项式(a + b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等． 分组讨论并解答“问题情境”分组讨论并解答“想一想” 通过讨论，理解并掌握二项式定理的性质 讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；
活动五：巩固练习素质提升 例 7 求(1+x)8的展开式中二次式系数最大的项．解 已知二项式的幂指数是8，展开式共有9项，依二项式系数性质，中间项的二项式系数最大，所以要求的项为 例8 求证：证明 运用 (1+x)n的展开式设x=1，则；这就是说，二项展开式的各二项式系数的和等于2n．例9 求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.解 在展开式令a=1，b=-1，得整理后，得所以 即所证命题成立.例8、例9的解题方法称为赋值法.赋值法就是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在数学考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显． 学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解 通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
活动四：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P221 ——练习1./2./4.P223 ——练习1./3./4.
活动五：板书设计 7.2.4二项式定理定理 练习 小结性质 练习 作业
活动六： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
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