资源简介

《1.2 充要条件》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
通过学习，了解充要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系；知道条件与结论之间的充要性能根据命题及其逆命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑关系. 通过条件与结论之间充分性和必要性关系的分析，逐步养成实事求是、扎实严谨的数学思维习惯和科学态度．
学习重难点
重点 难点
根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是不是结论的充要条件 命题、逆命题的真假判断．
教材分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础.
学情分析
从学生学习的角度看，学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。所以教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．
教学工具
教学课件
课时安排
1课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 “开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？
由于命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”是真命题，它的逆命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”也是真命题，所以“开关A闭合”既是“灯B亮”的充分条件，也是“灯B亮”的必要条件.
探究与发现
回顾学过的知识，除了表达式、列表，我们还有其他的方式来表示函数吗？函数的表示方法有几种？
【设计意图】以原有的问题的另一种关系探究中引出新问题.
（二）调动思维，探究新知
一般地, 若命题“如果p, 那么q”是真命题, 其逆命题“如果q, 那么p”也是真命题, 即p q且p q, 则称p是q的充分且必要条件, 简称充要条件.
有时也称p与q等价, 记为p q.
“情境与问题”中“开关A闭合”是“灯B亮”的充要条件.
【设计意图】归纳概念，举例说明.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件.
(1)如果x=2, 那么x=4；
(2)如果a>b，那么
解 “如果 x=2, 那么 x =4”是真命题, 其逆命题“如果 x =4, 那么 x=2”是假命题, 因此“x=2”不是“x =4”的充要条件.
（2）因为“如果a>b, 那么是真命题, 其逆命题“如果, 那么a>b”也是真命题, 所以“a>b”是“”的充要条件.
情境与问题：如果“灯B亮”，那么是否一定需要“开关A闭合”呢？
将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题.
命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”.
命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”.
一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p q.
若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p q.
命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”是真命题,所以“开关A闭合”是“灯B亮”的必要条件，即如果“灯B亮”，一定需要“开关A闭合”.
【典例2】下列命题中的条件p是结论q的什么条件.
(1) 如果,那么x=1；
（2）如果x是有理数，那么x是实数；
（3）如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切.
（4）如果，那么.
解 （1）命题“如果,那么x=1”是假命题，其逆命题“如果x=1，那么”是真命题，所以是x=1的必要条件，但不是充分条件（简称必要不充分条件）.
（2）因为“如果x是有理数，那么x是实数” 是真命题，其逆命题“如果x是实数，那么x是有理数” 是假命题，所以如果x是有理数是x是实数的充分条件，但不是必要条件（简称充分不必要条件）.
（3）“如果圆心到直线的距离等于圆的半径, 那么直线与圆相切”是真命题, 其逆命题“如果直线与圆相切, 那么圆心到直线的距离等于圆的半径”也是真命题, 因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件；
（4）“如果α>β, 那么sinα>sinβ”是假命题, 其逆命题“如果sinα>sinβ, 那么α>β”也是假命题, 所以“α>β”既不是“sinα>sinβ”的充分条件, 也不是“sinα>sinβ”的必要条件, （简称“既不充分也不必要条件”）.
【设计意图】帮助学生初步认识到要“双向”考虑问题，例2延续例1加深认识，判断条件直接关系需要直接“双向”确认.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　C　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解]　由于函数y＝x3在R上是增函数，∴当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．
故“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C．
【巩固2】设a、b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　D　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1．判断上列各题中的p是否为q的充要条件．
（1）p:函数是R上的增函数，q:a>1；
（2）p:三棱锥P-ABC是正三棱锥，q: 三棱锥P-ABC的底面为正三角形；
（3）p: ，q: ；
（4）p:x>3，q:x>2.
2．写出下列各题中条件与结论之间的逻辑关系．
（1）“”是“”的 ；
（2） “”是“”的 ；
（3）“”是“函数在上单调递减的” ．
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节1.2；
(2)书面作业： P8习题1.2A，1，2，3.
（八）教学反思

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