资源简介

《2.3 向量的内积》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式及其坐标表示 （3）了解平面向量垂直的充要条件及向量的模、夹角的计算公式. （1）正确进行平面向量的内积运算，会计算向量的模及夹角的余弦值； （2）根据条件判断两个向量是否垂直； （3）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力．
学习重难点
重点 难点
平面向量内积的概念及计算公式. 内积的概念及利用内积来计算两个非零向量的夹角．
教材分析
向量内积是继向量线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛，还是培养学生数形结合的数学能力的良好题材，可以说是高中数学重要内容之一.
学情分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，对几何方法也有了一定的认识，初步体会了研究向量运算的一般方法.但学生学习的自主性较差，学习有依赖性，且学习的信心不足，要鼓励学生积极参与研究，主动去发现问题与解决问题．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
物体在力的作用下,沿着力的方向移动了一段距离,就说力对物体做了功.如图所示,在拉力F的作用下,小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ,怎样计算力F 对小车做的功呢？
力F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F|= |F1|·cosθ.由于小车在分力F2方向上的位移等于0,故分力F2对小车做的功等于0,从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功,即
力F 和位移s是两个向量,它们按照上式确定了一个数量W.为向量F 与向量s的“内积”或“数量积”.
【设计意图】结合做功的实例进行引入，更加直观.
（二）调动思维，探究新知
如图所示,对于非零向量a和b,作，称射线OA、OB所成的最小正角为向量与的夹角,记作.
当a、b同向时，；
当a、b反向时，；
当时， 称向量a与向量b互相垂直，记作.
两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a和b的内积(或数量积),记作a · b,即
由内积定义可知：
.
零向量与任一向量的内积为0，即0 · a=0.
温馨提示
对于非零向量a和b，当a、b同向时，；
当a、b反向时，.
对于两个非零向量a和b，由内积的定义有：
探究与发现
是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？
【设计意图】结合力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生进行推导，可以视作向量内积的几何应用，探究与发现深化3个性质的几何应用.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60°，求a·b．
解: a·b＝|a||b| cos ＝5×6×cos 60°＝15．
【典例2】 已知|a|＝|b|＝2，a·b＝-2，求cos的值．
解: cos＝
可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：
（1）a·b＝b·a．
（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
【典例3】设|a|＝4,|b|＝10, ＝60°，问m为何值时，向量与向量互相垂直？
解:由已知可得，，因此有
要使向量与向量互相垂直，必须满足，即4m+200=0.于是,m=-5.
因此，当m为-5时，向量与向量互相垂直.
【设计意图】例1直接应用公式，例2是公式的逆用和几何应用，例3巩固向量垂直的充要条件的应用.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知|a|＝3,|b|＝2, ＝,求a·b．
解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos＝3．
【巩固2】已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求．
解 cos＝＝＝ .
由于 0≤≤，
所以 ＝．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 判断下列说法是否正确.
（1）两向量夹角的范围与直线倾斜角的范围相同；
（2）两向量内积仍是一个向量；
（3）两向量a与b互相垂直的充要条件是a·b=0.
2．已知向量m与n的夹角为，|m＝3,|n|＝2, ＝,求m·n．.
3．已知|a|＝-1，|b|＝+1，向量a与b的夹角为，求a·b．
4. 已知|a|＝|b|＝2， =，求：
5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b=-3，求cos.
6．已知|a|＝4，a·b=2，问m为何值时，向量与向量互相垂直？
7．如图所示,某中等职业学校物流服务与管理专业学生进行“装卸搬运作业”,用T形叉车把重400N的货物从仓库出库区搬运至20m外的装载点.若拉力F的大小为150N,方向与水平线成45°角,求拉力F所做的功.
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节2.3；
(2)书面作业： P36习题2.3的1，2，3，4，5.
（八）教学反思

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