资源简介

《3.1.1椭圆的标准方程》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
理解椭圆的定义，理解焦点在x轴与焦点在y轴的两种椭圆的标准方程. 通过椭圆的标准方程的推导，理解“解析法”的应用，从而学生的数学思维能力得到提高．
学习重难点
重点 难点
椭圆两种形式的标准方程． 标准方程的推导．
教材分析
椭圆的标准方程是圆锥曲线第一节的内容，在前面学生已经学习了运用坐标法研究直线和圆的性质，对椭圆概念与方程的研究是坐标的深入，为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此，椭圆的标准方程起到了承上启下的作用.
学情分析
在前面学生已经学习了运用坐标法研究直线和圆的性质，对解析几何有了一定的了解，已有一定的观察、分析、解决问题的能力，在日常生活中，学生对椭圆有了一定的认识，但没有上升到成为概念的水平，将感性认识理性化会是对学生的一个挑战．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一,它位于人民大会堂的西侧.观察上图,国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
【设计意图】创设情境，帮助学生形成椭圆开关的直观感受.
（二）调动思维，探究新知
可以看出,图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线,人们称之为椭圆.那么,如何画出一个椭圆呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔；
（2）将绳子的两端固定在画板上的两点，并使绳长大于下到下的距离；
（3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆，如图所示
显然，笔尖（即点M）移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和始终等于绳长（常数）.
一般地,把平面内与两个定点 的距离之和为常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点间的距离称为椭圆的焦距.
【设计意图】通过一个试验展示来椭圆的这个过程，为建立椭圆的标准方程创造条件.
（三）创设情境，生成问题
情境与问题
1970年4月24日,我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元,使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家.如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆,近地点A距离地球441km,远地点B距离地球2368km.那么,如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
我们知道,通过建立合适的平面直角坐标系,可以求出直线和圆的方程.那么,是否可以 建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
【设计意图】创设情境，扩充学生视野，激发爱国情怀.
（四）调动思维，探究新知
容易看出,椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形.因此,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).
又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0),即|MF1|+|MF2|=2a.设点M的坐标为(x,y),则有
移项得
两边平方得
整理得
两边平方后，整理得
由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以，设，则
【小提示】
设，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．
等式两边同时除以得
上面方程称为椭圆的标准方程,此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上,焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).
类似地,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,可以求得椭圆的标准方程为
此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c).
【设计意图】通过把几何问题转化成代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件,求椭圆的标准方程.
（1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10；
（2）焦点为，椭圆上一点M的坐标为.
解: （1）由于2c=6,2a=10,故c=3,a=5,从而
因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为
（2）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有
从而可得即
又因为c=2,所以
由题意可知，椭圆的焦点在y轴上，因此，椭圆的标准方程为
【典例2】求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程.
解: 如图所示,建立直角坐标系,设椭圆方程为，
则有
解得，则
故，卫星预定轨道的方程为
【典例3】已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距.
（1）；（2）
解:（1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a =6,b =4.
于是有
从而c=,2c=.
因此椭圆的焦点为，焦距为
（2）将椭圆的方程化成标准方程
因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
于是有从而椭圆的焦点为，焦距为2.
温馨提示
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上,可将椭圆方程化为标准方程.然后,观察标准方程中含x项与含y项的分母,哪项的分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
【典例4】若椭圆上一点到焦点的距离等于6,求|PF2|.
解: 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a，其中
又由椭圆的标准方程知，则
6+
即
【设计意图】例1让学生理解求椭圆标准方程的关键是求出和，例2体现学以致用，例3是求焦点和焦距的问题，引导学生先将椭圆方程化为标准方程，例4巩固对椭圆定义的理解和标准方程的应用.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
解 由于2c=8，2a=10，即c=4，a=5，所以
由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为
即
【巩固2】求下列椭圆的焦点和焦距．
（1）； （2）．
分析　解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且
故
因此 c=4，2c=2．
所以，椭圆的焦点为焦距为2．
（2）将方程化成标准方程，为
．
因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
故 ．
因此 ，
所以，椭圆的焦点为焦距为
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 根据条件，求椭圆的标准方程
（1），焦点在x轴上；
（2）焦点在y轴上.
2．已知椭圆的焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10.求椭圆的标准方程.
3．已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距.
(1) ；
(2) ．
4．设点为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，求的周长.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.1.1；
(2)书面作业： P63习题3.1的1，2，（1）-（5）.
（八）教学反思

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