资源简介

《3.2.1双曲线的标准方程》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
理解双曲线的定义，理解焦点在x轴与焦点在y轴的两种双曲线的标准方程. 通过双曲线的标准方程的推导，理解“解析法”的应用，从而学生的数学思维能力得到提高．
学习重难点
重点 难点
双曲线两种形式的标准方程． 标准方程的推导．
教材分析
双红线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识的角度还是从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处，学习双曲线本身对椭圆知识和方法的巩固、深化与提高.
学情分析
在前面学生已经学习椭圆的标准方程与性质，学生对本节内容的学习方法不会陌生，因此本节课的讲解比较少，要引导学生利用类比的方法发现问题，提出问题，解决问题．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？
【设计意图】创设情境，帮助学生形成双曲线形状的直观感受.
（二）调动思维，探究新知
可以看出,广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线,它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸,人们称这样的曲线为双曲线．那么,如何画出双曲线呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）取一条拉链,把它拉开分成两条,将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出,短的一条的端点固定在点F2处；
（2）将笔尖放在拉链锁扣M 处,随着拉链的拉开或闭合,笔尖 就画出一条曲线(图中右边的曲线)；
（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处,长的一条的端点固定在点F2处.类似地,笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线).
拉链是不可伸缩的,笔尖(即点M )在移动过程中,与两个点F1、F2 的距离之差的绝对值始终保特不变.
一般地,把平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点之间的距离称为双曲线的焦距.
【设计意图】通过一个试验展示画双曲线的这个过程，为建立双曲线的标准方程创造条件.
（三）创设情境，生成问题
情境与问题
我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系,并推导了椭圆的标准方程.对于双曲线,如何建立适当的坐标系求它的方程呢？
【设计意图】渗透类比的思想.
（四）调动思维，探究新知
以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设M(x,y)为双曲线上的任一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，M与两个焦点的距离之差的绝对值为2a，则
，
即 ．
于是有
将上式化简（类似于求椭圆的方程），得
．
由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，因此．令，则上式变为
两边同时除以，得
方程叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是并且．
如图所示，如果取过焦点的直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程
方程叫做焦点在y轴上的双曲线的标准方程．焦点为字母a，b意义同上，并且．
【设计意图】通过把几何问题转化成代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，类比介绍焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】根据条件,求双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为6；
（2）焦点为，双曲线上的一点M的坐标为.
解: （1）因为2c=14,2a=6,即c=7,a=3,所以b =a -c =40.
由于双曲线的焦点在x 轴上,故双曲线的标准方程为
（2）由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，于是有
从而可得即
又因为c=6,所以
由题意可知，双曲线的焦点在y轴上，因此，双曲线的标准方程为
【典例2】已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距.
（1）；（2）
解:（1）因为含x项的系数为正数,所以双曲线的焦点在x轴上,并且a =32,b =4.于是有
c =a +b =32+4=36，
从而可得 c=6,2c=12.
所以,双曲线的交点坐标分别为(-6,0)、(6,0),焦距为12.
（2）将双曲线的方程化为标准方程,为
因为含y的项的系数为正数,所以双曲线的焦点在y轴上,并且a =8,b =8.于是有 c =a +b =16，
从而可得 c=4,2c=8.
所以,双曲线的交点坐标分别为(0,-4)、(0,4),焦距为8.
温馨提示
要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上,可将双曲线的方程化为标准方程.然后,观察标准方程中含x项与含y项的符号,哪项的符号为正,焦点就在哪个坐标轴上.
【设计意图】例1让学生理解求双曲线标准方程的关键是求出和，例2是求焦点和焦距的问题，引导学生先将双曲线方程化为标准方程.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程．
解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以
由于双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程为
【巩固2】求下列双曲线的焦点坐标和焦距：
（1）； （2）．
分析　解题关键是判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上．方法是观察标准方程中含x项与含y项的符号，如果含x项（或含y项）的系数为正数，那么焦点在x轴（或y轴）上，并且该项的分母为．
解 （1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且．故
．
因此 ．
所以，双曲线的焦点为，焦距为26．
（2）将方程化成标准方程为
．
因为含y项的系数为正数，所以双曲线的焦点在y轴上，并且．故
因此
所以，双曲线的焦点为焦距为
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 根据条件，求双曲线的标准方程
（1），焦点在x轴上，焦点为；
（2）焦点在y轴上，焦点为．
2．已知双曲线的焦距为，双曲线上的点到两个焦点的距离距离之差的绝对值等于4，.求双曲线的标准方程.
3．已知双曲线的方程，求其焦点坐标和焦距.
(1) ；
(2) ．
4．求证：双曲线与椭圆.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.2.1；
(2)书面作业： P76习题3.2的1，2，（1），（2）.
（八）教学反思

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