资源简介

《4.2 直线与直线的位置关系》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
知道空间直线的三种位置关系；知道异面直线画法； 理解空间两直线的位置关系，能用异面直线判定定理判定两直线是否异面；会用平行线在空间的传递性证明两线平行问题，知道异面直线所成角定义，能用相交直线所成角的概念定义异面直线所成角. （1）经历对线线、的位置关系及对应直观图形的认知，发展空间想象思维； （2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维； （3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．
学习重难点
重点 难点
两直线位置关系、平行线的传递性、异面直线定义及判定定理 异面直线所成角的计算方法
教材分析
本节课主要学习异面直线的定义、画法、成角定义、平行公理、等角定理，本课既是公理化思想的延伸，又是后面学习空间线面平行、垂直，面面平行、垂直的基础，对学生后续的学习具有深远的影响.
学情分析
学生对新鲜事物充满好奇，对立体几何有较浅的了解，但空间想象能力差，且对概念方法容易遗忘．
教学工具
教学课件
课时安排
3课时
教学过程
如图所示,在长方体教室中,观察并思考：直线a、b、c、d有怎样的位置关系？
观察发现,直线b、c、d在同一平面内,其中直线b、c平行，直线d与直线b、c分别相交；直线a与直线d既不平行也不相交,它们不同在任何一个平面内.
一般地,把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线；相交或平行的两条直线称为共面直线.
4.2.1共面直线
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
1.平行直线
图中所示长方体教室中,直线a与直线b是共面于黑板所在平面内的平行直线,直线b与直线c是共面于地板所在平面内的平行直线，那么直线a与直线c是否平行呢？
【设计意图】引出异面直线概念
（二）调动思维，探究新知
我们知道,在同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行.可以证明,在空间中这个结论仍然成立.如前面图所示,当a∥b,b∥c时,有a∥c.
事实上,空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行,这称为平行线的传递性.
【设计意图】平面平行实现空间转变.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图所示,点E、F分别是矩形 ABCD 的边BC、AD 的中点,点C、H分别是MB、MA 的中点，M 平面BD. 求证：GH // EF.
证明：因为点E、F分别是矩形 ABCD 的边BC、AD的中点，所以 AF// BE, 且AF=BE.故四边形 ABEF 是平行四边形,EF // BA.
又因为点G、H分别是ΔABM的边MB、MA的中点,所以GH// BA.
根据平行线的传递性可知, GH// EF.
【设计意图】运用平行线在空间的传递性证明直线平行的问题.
2.相交直线
我们知道,同一平面内有且只有一个公共点的两条直线成为相交直线,当l与m相交于点A时,可简记作l∩m=A.
两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角,如图所示.显然, ，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角.
规定：两条平行直线缩成的角为0.因此,两条共面直线所成角的范围是 .
【设计意图】用集合语言描述相交直线，注意正确的写法和理解
【典例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1,如图.
（1）分别求AB与D1C1、BD所成的角的大小;
（2）直线AB与BD所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角是否相等？
解：（1）因为AB // D1C1,所以AB与D1C1所成的角为0.
又正方体的各面都是正方形, BD为正方形ABCD的对角线,所以， 即AB与DB所成的角的大小是.
（2）显然,直线AB 与BD所成的角为∠ABD,直线A1B1与D1B1所成的角∠A1B1D1.
因为,,，即直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角相等.
【设计意图】巩固直线所成角的定义，引出“等角定理”
一般地,如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l1'与 l2',那么l1与l2 所成的角和l1'与 l2'所成的角相等.
这个结论称为等角定理,常用来判定空间中的两个角相等.
（四）巩固练习，提升素养
1. 观察自己的教室，找出其中的平行直线、相交直线、共面直线.
2. 如图所示,己知长方体ABCD-A1B1C1D1,判断下列说法是否正确.
(1)直线A1B1与DD1相交；
(2)直线AD与CC1平行；
(3)直线AB与D1B1相交；
(4)直线BD与B1D1平行.
3. 顶点不共面的四边形称为空间四边形.如图所示,点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD中AB、BC、CD、DA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
4. 设E是长方体 ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内一点.如图所示,试过点E作直线l、m, 使得l∥BC,m ∥AC.
5. 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,
求：（1）直线与直线所成的角的大小；
（2）直线与直线之间的距离.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
4.2.2 异面直线
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
图中所示长方体教室中,可以直观地看出直线a与直线d不同在任何一平面内,是异面直线,能否有更准确的方法判断两条直线是异面直线呢？
【设计意图】创设情境，借助熟悉的盒子体会异面直线的特征
（二）调动思维，探究新知
观察异面直线a与d,直线a在黑板所在平面α内,直线d经过平面α外一点D和平面α内一点B,但直线a 不经过点B.
于是可以得到：
异面直线判断定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.
已知：如图, M∈n且M α,P∈n且P∈α,m α,P m.
求证：m和n是异面直线.
证明: 假设n和m共面,记它们所在的平面为β,则由M∈n可知M∈β.但是M α,因此α和β是两个不同的平面. 由P∈n可知P∈β,又P m,因此, β是经过直线m 及其外一点P的平面,而这就是平面α,与α和β是两个不同的平面相矛盾. 所以, m和n是异面直线.
异面直线判定定理的证明使用的是反证法,它属于“间接证法”的一类,是通过否定结论,经过推理导出矛盾、从而证明原命题为真的一种方法.
在画异面直线时,除图(1)画法外,我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内,并且使它们既不相交也不平行,如图(2)和(3)中的异面直线m与n.
【设计意图】使用反证法锻炼学生逻辑思维，提升逻辑推理核心素养，强调异面直线规范画法注意线面直接衬托体现.
（三）巩固知识，典例练习
【典例3】写出三棱锥D-ABC中与直线AB异面的直线.
解：因为AB 平面ABC,C∈平面ABC, C AB, D 平面ABC,所以DC与AB是异面直线.
【设计意图】异面直线判断定理的应用，二维向三维的过渡
对于平面内的两条相交直线,可用夹角大小定量描述它们之间的位置关系；对于平面的两条平行直线,可用距离定量描述它们之问的位置关系,如图所示.对于两条异面直线,如何定量描述它们之间的位置关系呢？
己知两条异面直线a与b,如图(1)所示.在空间上任取一点P,过点P作a'∥a, b'∥b,得到两条相交直线a'和b',如图 (2)所示.
我们把相交直线a'与b'所成的角θ称为异面直线a与b所成的角.
在作异面直线a与b所成的角时,常在其中的一条直线上取一点O,过点O作另一条直线的平行线,如图所示.
由平面内两条直线所成角的范围可知,两条异面直线所成的角的取值范围是
特别地,当两条异面直线a与b所成的角为时,称这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b.
【设计意图】通过转化的思想，将异面直线所成的角转化为平面内直线角的问题，克服教学难点
（四）巩固知识，典例练习
【典例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求下列异面直线所成角的大小.
(1)AB与DD1 ； (2)A1C1与BC.
解：(1)因为正方体的各个面都是正方形,所以AA1∥DD1 .
又AA1与AB相交于点A, 故∠A1AB就是异面直线AB与DD1所成的角.
因为∠A1AB是直角, 所以异面直线AB与DD1所成角的大小为.
(2)因为B1C1∥BC,且A1C1与B1C1相交于点C1, 所以∠A1C1B1就是异面直线A1C1与BC所成的角.
在RtΔA1B1C1中, ∠A1B1C1=.
因此异面直线A1C1与BC所成角的大小为.
观察右图可以发现,正方体中与异面直线 AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC,其中只有AD与异面直线AB 和DD1同时垂直且相交.
像这样,与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.
两条异面直线的公垂线有且只有一条.
两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分,称为这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度称为两条异面直线的距离.
温馨提示
因为两条直线垂直可以是相交垂直,也可以是异面垂直,所以经过一点P与己知直线 l 垂直的直线有无数条.
【典例5】在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,C1C=1,求异面直线A1B1与BC之间的距离.
因为长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是矩形,所以
B1B⊥A1B1 , B1B⊥BC.
又B1B∩A1B1=B1, B1B ∩ BC=B，
所以线段B1B是异面直线A1B1与BC的公垂线段.
因为B1B=C1C=1,所以A1B1与BC之间的距离等于1.
综上,我们从两条异面直线所成的角和两条异面直线的距离两个方面定量描述了两条异面直线的位置关系.
【设计意图】加深理解异面直线距离的概念
（四）巩固练习，提升素养
1.关于两条直线的位置关系,以下描述正确的是( )
A. 没有交点的两条直线平行
B. 不平行的两条直线相交
C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
D.两平行直线a、b分别在平面α、β内,则a、b是异面直线
2.两条异面直线的公垂线指的是( )
A.与两条异面直线都垂直的直线
B. 与两条异面直线都垂直的相交直线
C. 与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段
D.与两条异面直线都相交的所有直线
3.在图中,分别给出异面直线m与n所成的角的一种画法.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直线中,分别指出与直线AA1平行、相交、异面的直线.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,直线BC与CD1所成的角的大小是 ；直线A1D1与BD所成的角的大小是 ；直线AD1与BC所成的角的大小是 .
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,求：
（1）直线AB与CD之间的距离；
（2）直线A1D1与CD之间的距离.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.2；
(2)书面作业： P119习题4.2的1，2，3，4，5，6.
（八）教学反思

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