资源简介

《5.1.2 复数的几何意义》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
能建立复数与有序实数对、平面内的点、以原点为起点的向量之间的一一对应关系，知道复平面内复数的几何意义；会求复数的模和复数的共轭复数；能用平面内的点或以原点为起点的向量表示复数. 培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养
学习重难点
重点 难点
求复数的模和复数的共轭复数． 复数的几何意义．
教材分析
本节课建立复数与有序实数对、平面内的点、以原点为起点的向量之间的一一对应关系，知道复平面内复数的几何意义；会求复数的模和复数的共轭复数；能用平面内的点或以原点为起点的向量表示复数.
学情分析
学生已经学过绝对值的几何意义及向量的坐标表示，通过类比学生比较容易理解复数的几何意义，在学习向量时，学生已经知道向量和坐标系中的点是一一对应的，因此这节课的关键是让学生理解为什么复数与实数对（坐标）一一对应．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
5.1.2 复数的几何意义
（一）创设情境，生成问题
我们知道,任意一个实数都可以用数轴上的点来表示,那么复数可否用点来表示呢？
【设计意图】与实数对比.
（二）调动思维，探究新知
由复数相等的定义,复数z=a+bi与有序实数对(a,b)之间是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点也是 一一对应的．因此,复数集里的复数与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系,即复数可以用平面直角坐标系中的点来表示.
如图所示,复数z=a+bi可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来表示.用来表示复数的平面称为复平面,直角坐标系中的x轴称为实轴,y轴(除去原点)称为虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点都表示纯虚数.
例如,复平面内的原点O(0,0)表示实数O,点A(1,0)表示实数,点B(0,-1)表示纯虚数-i,点D(1,-1 )表示复数 1- i.
由于复数z=a+bi与点Z(a,b)是一一对应的,点Z(a,b)与向量也是一一对应的,如图所示.因此,复数z=a+bi既可以用点Z(a,b)表示,也可以用向量表示,这就是复数的几何意义.
一般地,向量的长度称为复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|，
即
显然,复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离.如果b=0,那么复数z=a+bi是 一个实数,它的模等于实数a的绝对值|a|.
探究与发现
全体虚数构成的集合称为虚数集,全体纯虚数构成的集合称为纯虚数集,它们与实数集、复数集之间具有怎样的关系？
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用下图表示.
【设计意图】引导学生结合复数相等的定义认识到复数的实质是一个有序实数对，再运用学习代数、解析几何的经验领会到复数的几何意义是平面上的点.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】在复平面内，画出表示复数3-i、4、2i 的点和向量.
解: 如图所示表示复数3-i的点为A(3,-1)，向量为
表示复数4的点为B（4，0），向量为
表示复数2i 的点为C（0，2）， 向量为
【典例2】已知复数
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较模的大小.
解：(1)如图所示,复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，对应的向量分别为
（2）
所以Z1=Z2
【设计意图】在理解复平面概念的基础上，训练如何用复平面内的点表示复数，如何在复平面内表示复数.
一般地,如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数互为共轭复数.
共轭复数用表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
例2可知,两个共轮复数的模相等,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.特别地,实数a 的共轭复数仍是a本身.
【典例3】设复数z在复平面内对应的点为Z,问满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）|z|=3；
（2）2≤|z|≤3.
解：(1)由|z|=3知，向量的模等于3，所以满足条件|z|=3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆.
(2)不等式2≤|z|≤3可化为
满足条件在以原点O为圆心，以2为半径的圆上或其外部，满足条件|z|≤3的点Z在以原点为圆心、以3为半径的圆上或其内部.因此，满足条件2≤|z|≤3的点的集合是以原点O为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所围成的圆环.
【设计意图】巩固复数几何意义，提升学生直观想象核心素养.
温馨提示
两个实数可以比较大小,试问两个复数可以比较大小吗？.
（四）巩固练习，提升素养
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　C　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：　z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．
2. 已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是 (　D　)
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
解：不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B．
又|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|＜|z2|．
故选D．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 在复平面内画出表示下列复数的点和向量.
（1） （2） （3） （4）3
2. 求下列复数的模
（1）4- （2）2 （3） （4）
3.写出 下列复数的共轭复数，并求它们的模
(1) 5+12i (2)
4.指出满足下列条件的复数z所对应的点的集合是什么图形.
(1) (2)
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节5.1.2；
(2)书面作业： P162习题5.1的4,5.
（八）教学反思

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