资源简介

目 录
第一部分 整章分析 ································································2
第二部分 单元作业设计··························································· 4
第三部分 具体实施································································· 5
第 23 章 解直角三角形··························································· 5
23.1 锐角的三角函数································································ 5
第 1 课时 正切 ································································5
第 2 课时 正弦、余弦························································ 9
第 3 课时 30°，45°，60°角的三角函数值··························13
第 4 课时 互余两角的三角函数关系······································16
第 5 课时 一般锐角的三角函数值·········································19
23.1 锐角的三角函数综合练习 ················································ 22
23.2 解直角三角形及其应用······················································· 27
第 1 课时 解直角三角形 ····················································27
第 2 课时 俯角、仰角的应用 ············································· 31
第 3 课时 解双直角三角形的应用 ······································· 36
第 4 课时 解决建筑工程中的实际问题 ································· 41
第 5 课时 平面直角坐标系中的直线与 x轴的夹角····················46
23.2 解直角三角形及其应用综合练习·········································· 50
第 23 章 综合评价···································································56
1
第 23 章 解直角三角形
第一部分 整章分析
一、课标要求
图形与几何——图形的变化——图形的相似
1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A, cos A, tan A)
使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐
角。
2、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实
际问题。
二、教材分析
1、知识体系
2
本章内容分为两大部分：
第一部分：以实际问题为背景，并从学生已有的相似三角形的有关知识
出发，引进锐角三角函数的概念，介绍 30°，45°，60°角的三角函数值，
以及利用计算器由已知锐角求出三角函数值和由一直三角函数值求对应的
锐角。
第二部分：归纳直角三角形中边、角之间的关系，根据情况选择恰当的
方法解直角三角形。能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一
些简单的实际问题。
2、地位与作用
本章是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的重要内容。从知识体
系来看，既是直角三角形和相似型等知识的完善，又是以后学习一般三角形
的基础，教材在运用学习过的相似三角形的基础知识上推出当直角三角形的
锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为定值，从而引入锐角三角函数的
概念，进一步强化数与形结合的思想，并且有利于数学知识间的串联、延伸；
从知识应用角度来看，广泛的应用于测量、工程技术和物理等，常用来计算
距离、高度、角度；从能力提高方面来看，解直角三角形培养学生的计算能
力，数形结合能力，分析问题以及解决实际问题的能力和应用数学知识的意
识。
3、学情分析
在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较
直接，前面已经学习过，而对于两边的比与一个锐角的关系，虽然通过锐角
三角函数概念的学习，学生能够很快的掌握。有了一定的基础以后，但具体
的直角三角形中，根据已知条件，选择恰当的锐角三角函数，学生有些困难，
易混淆、易出错。另外，解直角三角形往往需要综合运用勾股定理、锐角三
角函数等知识，具有一定的综合性，因此具体教学中要选择恰当的锐角三角
函数，把已知和未知条件联系起来。
4、学习目标
（1）了解锐角三角函数 (sin A, cos A, tan A)的概念,熟记 30°、45°、
60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这
个角。
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知
三角函数值求出相应的锐角。
（3）掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形。
（4）会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题。
（5）通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
5、重点和难点
重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
难点：锐角三角函数的概念。
6、主要数学思想
函数思想、方程思想、转化思想、数学结合思想
三、课时作业划分
根据本章的教学特点，课时具体划分如下：
23.1 锐角的三角函数 6课时
23.2 解直角三角形及其应用 6课时
章节小结 1课时
3
第二部分 单元作业设计
一、本章作业目标：
根据《数学课程标准》在作业设计中注重以下几点：
1、加强对锐角三角函数及解直角三角形有关知识的理解和运用。
2、在解题中，提高学生的计算能力。
3、通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
4、要重视数学思想的培养，本章内容所涉及的数学思想和方法主要有
数形结合思想、方程思想、转化思想等。
二、本章作业整体设计思路：
根据本章的内容以及“双减”文件中作业量的具体要求，设计有质量的
作业，要有一定的思考价值，同时要提高学生的兴趣，一个班级，学生的水
平不同，在设计作业时要考虑这一差异，除了有一些基础题之外，还有必要
设计适量的有弹性的题目，满足不同层次学生的学习需求。还要注意作业量，
让学生在规定的时间内能够完成作业，因此在作业设计中打算从以下几方面
着手：
1、题型的丰富性：
本章作业单涵盖选择题（2～4题）、填空题（2～4题）、解答题（1～
2）题，控制作业的总量，每节课后适宜布置 20～30 分钟左右的作业量，在
难易程度上、数量上合理的调控，让学生自主选择，减轻学生过重的作业负
担。在作业设计上，题型丰富，例如： 分层设计：分为 A、B两个层次或 A、
B、C三个层次，学生可根据自己的实际情况以及题目的难易程度有弹性的选
择完成； 探究型设计，从单元知识的联系上设计探究型试题增强大单元意
识，培养学生自主学习的能力。 跨学科等主要突出知识的综合运用和拓展
延伸，以及数学思想方法的灵活运用。
2、知识的滚动性：
在作业设计中关注对以往知识的再现，让学生不仅对新知识进行巩固，
也对旧知识进行复习，培养学生的灵活运用知识的能力。
3、内容的层次性：
在作业内容的设计上分部分，第一部分基础题，主要突出对基本概念的
理解；第二部分基本概念的基础上稍稍进行变式，重点在于对知识的熟练运
用；三部分为思维拓展题，例如：“一题多解”型，让学生去分析和比较，
找出最佳的解题方法，这类作业可以拓宽学生的思路，培养他们的创造性思
维。
4、作业的针对性。
不同学生的理解能力与学习能力有所不同，不同学生在学习相同章节时
所遇到的难点也会有所不同，这就要求教师在设计作业之前充分了解学生的
学习情况，根据学生实际进行针对性的作业设计。从学生的实际学习情况出
发设计作业，有利于提升数学作业的针对性，充分发挥作业的作用。“双减”
不仅仅是要求减少作业量，更要减量不减质，因此在布置作业前，教师一定
要将教学内容的重难点划分出来，然后有针对性地进行作业设计，促使学生
高效地完成作业，并能通过作业有所收获。
5、育人价值——立德树人
立德树人是教育的根本任务，作业设计中蕴含着许多德育素材，兼具了
本土性和国际性，在解答习题过程中，使学生在分析能力、思维能力、情感
态度与价值观等都能得到发展与提升。例如:23.2 第二课时第 1题中体现了
本地文化，23.2 整理与复习第 5题“北京冬奥会”提现了民族自豪感，第
23 章复习作业第 12 题提现了低碳环保、绿色出行等育人理念。
4
第三部分 具体实施
第 23 章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第一课时 正切
作业目标：学生能够理解锐角的正切的概念，能够由已知角求它的正切值。
了解三角函数在实际问题中的应用，如：坡度，坡角。通过练习培养学生的
观察、分析问题的能力
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．在Rt ABC中， C 90 ，若AC 3，BC 2，则tanA的值是 （ ）
A． B． C． D．
2．在Rt ABC中， C=90 ,若各边长都扩大为原来的3倍，则 A的正切值
（ ）
A．扩大为原来的 3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．以上都不对
二、填空题
3 . 如图，在 ABC中，AC BC， ABC 30 ，点D是CB延长线上的一点，且
AB BD，则tan D的值为________。
3
4. 如图，在菱形ABCD中 ，AC 8，tan BAO = ，则菱形ABCD的面积是
4
_________。
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1. _________ 2. _________ 3. _________ 4. _________
5
三、解答题
5.一个斜面的坡度 i=1：0.75，如果一个物体从斜面的底部沿着斜面方向前
进了 20 米，那么这个物体上升了多少米？
6.分层练习
（6-A）如图，在Rt ABC中， ACB=90 ，AC=8，BC=6，CD AB，垂足为D，
求tan BCD的值。
（6-B）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，CD AB于点D，已知 tan A 1 ，
2
BD 2，求CD的长。
（6-C）如图，将边长为2的正方形ABCD沿EF和ED折叠，使得B、C两点折叠后
重合于点G，求 tan FEG的值。
6
答案与解析：
1. B
A的对边
【分析】：画出图形，利用正切的定义，tan A
A的邻边
2. C
【分析】：当一个锐角的度数不变时，锐角的正切值也不变。
3. 2 3
【分析】：用方程思想，设参数。设AC x，则AB BD 2x,BC 3x ，
再利用正切的定义求解。
4. 24 1
【分析】：根据菱形的性质可得 AC⊥BD，OA=OC= AC =4，OB=OD，再根据正
2
切函数的定义求出 BD，进而可求出菱形的面积；
5. 16
【分析】：直接根据题意得出直角边的比值，即可表示出各边长进而得出答
案 3 ．
4
6-A.
BC 3
【分析】根：据题意得 BCD CAB，所以 tan BCD tan CAB
AC 4
6-B. 4
1
【分析】：根据题意结合图形，可观察出 BCD A，因为tanA= ，所以
tan BCD BD 1
2
，题目已知BD 2，因此可求出CD的值。
CD 2
1
6-C. 2
【分析】：根据折叠后重合部分图形全等，可得 BEF≌ GEF， DGE≌ DCE，
则GE=BE=EC=1，再利用同角的余角相等说明 FEG= EDG，则tan FEG=
tan EDG= GE 1
DG 2
设计意图：
本节练习我共设计了 6 题，预计用时 25 分钟左右，设计内容上主要是
让学生理解并能灵活运用正切的定义，在设计中结合课本及学习目标，有基
础的概念运用，如：第 1题，第 2题，第 5题；也有融合了其他章节的知识，
如：第 3题学生要考虑“直角三角形中 30°所对的直角边是斜边的一半”找
到突破口，第 4题通过正切值求出线段的长度，再利用菱形的性质求出面积，
让学生在学习新知的同时，了解知识之间的衔接。
在设计时，第 6题解答题，我采用了分层次作业设计，主要培养学生的
观察能力，如(6-A)中，如果学生仔细观察会发现∠BCD 与∠A相等，因此求
∠BCD 的正切值，可以转化为∠A的正切值，那么可直接利用 Rt△ABC 求出，
CD BD
当然也有学生利用勾股定理将每条边都求出，利用 或 求值。(6-B)、
AD CD
（6-C）与（6-A）是同种类型的问题，当直接求某个锐角的正切值困难时，
可以用相等的角作为中间量，还可以利用相似，相等的比作为中间量进行求
值。
7
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 正切的定义 理解能力、数形结合思想 A 0.91
2 选择题 正切的定义 理解能力 A 0.85
直角三角形的性
3 填空题 运用能力 B 0.74
质、正切的定义
菱形的性质、正
4 填空题 运用能力、运算能力 B 0.72
切的定义
5 解答题 坡度问题 运算能力、分析解决能力 A 0.87
6-A 解答题 正切的定义 运用、观察能力、转化思想 A 0.90
6-B 解答题 正切的定义 运用、观察能力、转化思想 B 0.75
正切的定义、折
6-C 解答题 运用、观察能力、转化思想 C 0.60
叠后图形的特点
评价设计：
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 理解正切的定义，能熟练运用正切值，理解坡度、坡角的概念
评价要素 3 思维方法 能够通过观察分析探究更简单的解题方法
8
第二课时 正弦、余弦
作业目标：学生能够理解锐角的正弦、余弦的概念，能够由已知锐角求它的
正弦、余弦值。通过练习培养学生的数学结合思想，提高学生做题的兴趣。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1. 如图，在Rt ABC中， C 90 ，AC= 3，BC 1，以下正确的是 ( )
A. cosA= 1 B. sinA= 3
2
C. tanA= 3 D. cosB=
3
3 2
2. 如图， ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ABC 的值为（ ）
5
A. 5 B. 5
3 5
C. 2 5 D.
5 10
3. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m ），
若 OP 与 x 轴正半轴的夹角α的正切值是 4 ，则 sin 的值为
（ ） 3
A. 4 B. 5
5 4
C. 3 5 D. α
5 3
二、填空题
4. 如图在Rt ABC中， C 90 ，BC 2AC，点D在BC上，且BD AD，
则 cos BAD _______。
5. 在Rt ABC中， C为锐角，若2AB=AC，则cosC=________ 。
9
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1. _________ 2. _________ 3. _________ 4. _________
5._________
三、解答题
6. 1 如图，在 ABC中，AD是BC边上的高， C=45 ，sinB= ，AD 1，求BC
3
的长。
7. 【探索性作业】用锐角三角函数说明等腰三角形“等边对等角”结论的
正确性。
10
答案与解析：
1、C
【分析】：根据勾股定理求出 AB，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即
可判断。
2、B
【分析】：找到∠ABC 所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而
求得∠ABC 的对边与斜边之比即可。
3、A
【分析】：本题已知正切求正弦，可构造直角三角形求解。
2 5
4、 5
【分析】：由题意知 ABD BAD， 在Rt ABC中利用勾股定理求出 AB 的
长，cos BAD cos
BC
ABD
AB ，进而得出结果。
2 5 3
5、 或5 2
【分析】：题目没确定直角，因此要分类讨论，当∠A=90°时，当∠B=90°
时，分别画出图形，求出 cos C 。
解： 当∠A=90°时，
∵2AB=AC，由勾股定理得
BC AB2 AC2 5AB
∴ cos C AC 2AB 2 5
BC 5AB 5
当∠B=90°时，
∵2AB=AC，由勾股定理得
BC AC2 AB2 3AB
cos C BC 3AB 3
AC 2AB 2
6、2 2 1
【分析】：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解 Rt△ADC，
得出 DC=1；解 Rt△ADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2 2 ，然后根据
BC=BD+DC 即可求解。
7、解：在等腰△ABC 中，AB=AC，过点 A作 AD⊥BC 交 BC 于点 D
sin B AD ， sinC AD=
AB AC
sin B=sinC
B= C
设计意图：
在这一课时的作业中我设计了 7 题，预计用时 23 分钟左右，在设计中
以基础知识为主，重点考察锐角三角函数的定义以及对知识点的灵活运用，
第 2题我设计了一个网格题，让学生通过观察制造直角三角形，这题可以从
11
点 A向 BC 的延长线作垂线，也可以通过 AB 的中点在 1*2 的网格中观察等，
方法多样。第 3 题根据“课本第 115 页例 3”进行变式，使锐角三角函数与
平面直角坐标系相结合。第 4题利用等腰三角形的性质转化角度求值，这题
对于学生来说难度不大。
这节出错稍多的是第 5题，这题没有图形，需要学生根据题意自己画图，
要进行综合考虑，分类讨论，意在培养学生的学习能力同时提升了学生的思
维严谨性。
两题解答题，第 6题是很简单的对三角函数正切和正弦的应用，本题意
图让学生对锐角三角函数的概念能够正确的掌握和运用，同时难度不大，让
绝大部分学生能够完成。第 7题，我设计了一题探究型问题，意在引起学生
的兴趣，感受知识之间的联系，同时打开学生的思路，拓宽解题方法。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
锐角三角函数的定
1 选择题 理解 A 0.92
义、勾股定理
锐角三角函数的定
2 选择题 理解、观察能力 A 0.85
义、勾股定理
平面直角坐标系、锐
3 选择题 分析、运用 A 0.81
角三角函数的定义
等腰三角形的性质、
4 填空题 锐角三角函数的应 运用 B 0.72
用及勾股定理
锐角三角函数的应 分类讨论思想、数形结合
5 填空题 C 0.65
用 思想
锐角三角函数的应
6 解答题 运用 A 0.87
用
锐角三角函数的应
7 解答题 运用 C 0.60
用
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 理解并能熟练运用锐角的三角函数，会根据题目画出图形
评价要素 3 思维方法 能够通过观察分析解决问题、数学结合思想的提升
12
第三课时 30°，45°，60°角的三角函数值
作业目标：学生能够知道 30°，45°，60°角的三角函数值，会求一些简单
含有特殊角的三角函数值，通过计算培养学生的运算能力。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．点 M(－sin60°，cos60°)关于 x轴对称的点的坐标是（ ）
3 1 3 1
A．( ， ) B．(－ ，－ )
2 2 2 2
3 1 1 3
C．(－ ， ) D．(－ 2 ，－ )2 2 2
二、填空题
3. 计算： 2sin30 -3tan45 sin 2 45 cos 60 ________ 。
4. 在Rt A ABC中， C 90 ，AB 2，BC 3，则sin ________ 。
2
5. 在 ABC中，（2cosA- 2）2 1 tan B 0，则 ABC一定是 _________。
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1._________ 2. _________ 3. _________ 4. _________ 5._________
三、解答题
1
6.计算： 3tan30 8cos45 (1 tan60 )
2
cos60
7.【渗透跨学科知识】如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中
选取了两个瞬时状态，从C处测得 ACE 60 , BCF 45 ，这时点 F相对于点
E升高了 3cm．求该摆绳CD的长度（结果精确到 0.1）。（3 1.7, 2 1.4 ）
13
答案与解析：
1．B
2．B
【分析】：先求出点 M的坐标，再根据（x，y）关于 x轴对称点的坐标为（x，
-y）求出坐标点。
3. 0
【分析】：根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可。
1
4.
2
【分析】：根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据 30°的正弦值求解即可。
BC 3
解：∵ sin A ，
AB 2
∴∠A＝60°，
∴ sin
A
sin 30 1
2 2 ．
5．等腰直角三角形
【分析】：根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出∠A和∠B，进而
确定三角形的形状。
解： （2cosA 2）2 1 tan B 0，
2cos A 2 0，且1 tan B 0，
cos A= 2即 ，tanB=1，
2
A=45 ， B=45
C 90 ，
ABC是等腰直角三角形
6. 2 3 1
【分析】：先计算特殊角的锐角三角函数值，再对二次根式进行化简，最后
算二次根式的加减。
7. 摆绳CD的长度为 18.6cm
【分析】：点 E、F 作 EG⊥CD，FH⊥CD，根据直角三角形的解法解答即可．
解：分别过点E、F作EG CD，FH CD，垂足为G、H，
设摆绳CD的长度为x cm，则CE=CF=x cm，
由题意知：HG=3, CEG 60 ， CFH 45 ，
在Rt CEG中，CG=CE sin CEG=x sin60 ，
在Rt CFH中，CH=CF sin CFH=x sin 45 ，
HG CG CH，
x sin60 x sin45 3，解得x 6 3 2 18.6
答：摆绳CD的长度为18.6cm。
14
设计意图：
在这一课时的作业中我设计了 7题，预计用时 18 分钟左右，题目主要
围绕特殊的三角函数值的运用，让学生熟记 30°，45°，60°角的三角函数
值，在第 2题巩固了平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的特征，第 4
题根据三角函数值反推∠A的度数，再利用特殊角求三角函数，实际上是本
节知识的循环。
在最后一题解答题中，我采用了跨学科设计，以生活中常见的摆动为主
题，让学生感知不同学科知识间的联系，增强学生的整体认识。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 45°的三角函数值 运用能力 A 0.94
平面直角坐标系，
2 选择题 运用能力 A 0.85
60°的三角函数值
特殊角的三角函数
3 填空题 运算能力 A 0.80
值
4 填空题 锐角三角函数 运用能力 B 0.75
平方和绝对值的非
5 填空题 负性，特殊角的三角 运用能力 B 0.70
函数值
特殊角的三角函数
6 解答题 运用、运算能力 B 0.65
值
锐角三角函数的应
7 解答题 观察分析能力 C 0.60
用
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 理解并能熟记特殊角的三角函数值
评价要素 3 思维方法 能够通过观察分析解决问题，提高运算能力
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第四课时 互余两角的三角函数关系
作业目标：理解并掌握互余两角的三角函数关系，能利用这种关系快速的解
决问题。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1. 如果 A是锐角，且sin A 4 ，那么cos（90 - A）等于（ ）
5
A. 4 B. 3 1 3 C. D.
5 4 5 5
2. 在 ABC中， A、 B是锐角，且有sinA =cosB，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
3. 已知 A为锐角，若cos A sin 65 ，则 A的度数为________.
4. 已知sin35 =0.5736，cos35 =0.8192，则sin55 =_______ _,cos55 =________.
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1._______ 2. _______ 3. _______ 4. _______ ； _______
三、解答题
5. 已知 1为直角三角形的一个锐角，若 cos ，求 sin 和sin（90 - ）的值。
2
6.分层练习
（ 6 - A ）在Rt ABC中， C=90 ，设x sinA cosA ,y sinB cosB ,试判断 x ,y之间的大
小关系。
（6-B）已知在 ABC中， A、 B、 C的对边分别为a、b、c,且a 2 ( c b)( c b).
求证：sin B cosA
16
答案与部分解析：
1. A
2. B
【分析】：由sinA cos（90 A） cosB，来得出 B 90 A，从而得出三角形为直
角三角形。
3. 25°
【分析】：直接利用互余两角的三角函数关系。
4. 0.8192， 0.5736
【分析】： sin 55 cos35 0.8192， cos55 sin 35 0.5736
5. sin 3 , sin 1（90 - ）=
2 2
【分析】：由题可知α的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值可求出。
6-A. x y
【分析】：利用互余两角的三角函数关系，因为∠C=90°，则∠A+∠B=90°，
所以 sin A cosB，sinB cosA 。再由等式的性质，可求出。
6-B. 证明略
【分析】：由题目条件可得出 a2 b2 c2 ，根据勾股定理的逆定理，可知
△ABC 为直角三角形，两条直角边分别为 a,b。对应角为∠A、∠B，则∠A与
∠B互余。所以sin B cosA
设计意图：
本节课主要是对锐角三角函数之间的关系再提升，对于互余的两个锐角
之间正弦、余弦函数的互换，仅仅用于计算。因此，在设计作业时，并没有
设计较难题目。
在练习中，我共设计了 6题，预计用时 15 分钟左右，主要以基础为主，
在做题中要求学生慢慢转化，夯实基础。在第 2题中，设计一个陷阱，如果
学生对知识点掌握不是很准确，会误认为∠A=∠B，从而选择 D。在第 6题中，
学生要分析题目想到等式的性质以及勾股定理的逆定理，以此为突破口解决
问题。
17
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
互余两角的三角函
1 选择题 理解应用 A 0.88
数关系
互余两角的三角函
2 选择题 理解应用 B 0.70
数关系
互余两角的三角函
3 填空题 理解应用 A 0.82
数关系
互余两角的三角函
4 填空题 理解应用 A 0.81
数关系
互余两角的三角函
5 解答题 理解应用 B 0.70
数关系
等式的性质，互余两
6-A 解答题 理解应用 A 0.78
角的三角函数关系
勾股定理的逆定理、
6-B 解答题 互余两角的三角函 理解应用 B 0.65
数关系
评价设计：
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 理解并正确利用互余两角的三角函数关系解决问题
评价要素 3 思维方法 培养学生对知识的转化能力
18
第五课时 一般锐角的三角函数值
作业目标：学生能够使用计算器根据三角函数值求一般锐角的度数。也能根
据度数求三角函数值；培养学生的动手操作能力。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．如图，在 ABC中， C 90 ， B 42 ，BC 8，若用科学计算器求 AC 的
长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． 8 sin 4 2 B． 8 cos 4 2
C． 8 tan 4 2 D． 8 tan 4 2
2．Rt△ABC 中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算∠A的度数为(精
确到 1°) ( )
A．30° B．37° C．38° D．39°
二、填空题
3．用计算器比较两个锐角α，β的大小
3 5
（1） cos , tan = ， _____ 4 4
（2）sin 0.4567， cos =0.5678； _____
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°．若 AC=5，BC=12，
则 AB=______， tan A =_______，∠A≈______（精确到 1″）；
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1. ________ 2. ________ 3. ________；________
4. ________；________；________
三、解答题
1
5．在△ABC 中，∠C=90°，BC= 4 AC，求∠B的度数（精确到 1″）．
6.探究性作业：
当0 90 ,探究 sin ，cos ，tan 的取值范围与其增减性：
（1）_____ sin _____,且sin 随 的增大而_____;
（2）_____ cos _____,且cos 随 的增大而_____;
（3）_____ tan ,且 tan 随 的增大而_____;
（4）根据以上探究的结论比较大小：
cos 50 _____cos 20 ； sin 50 _____cos 31 ； tan 20 _____ tan 31
19
答案与解析：
1. D
AC
【分析】：根据正切函数的定义，可得tan B BC ，根据计算器的应用，可
得答案．
2. B a
【分析】：tan A 0.75 运用计算器可得：∠A=37°．
b
3. < <
12
4. 13， 5 ，67°22′48″；
【分析】：利用勾股定理求得 AB，再根据正弦的定义求得tan A ， 然后用计
算器求∠A即可；
5. 75°57′50″
【分析】：根据题意得到tan B 的值，再用计算器求得∠B的值即可.
6. （1）0；1；增大
（2）0；1；减小
（3）0；增大
（4）<; <; <
【分析】：在平面之角坐标系中，以原点 O为圆心，1为半径作圆，P是第
一象限内圆上一点，OP 与 x 轴的夹角为α，则 0°<α<90°.设 P 点的坐标为
（x，y），则 0 sin PQ y y，
OP 1
0 sin 1,且sin 随 的增大而增大
cos OQ x x，
OP 1
0 cos 1,且cos 随 的增大而减小 α
tan PQ y ，
OQ x
0 tan ,且 tan 随 的增大而增大
设计意图：
本节练习共有 6题，预计用时 15 分钟，主要围绕利用计算器解决已知
锐角的三角函数求锐角的度数问题，通过操作让学生进一步理解锐角三角函
数的概念，同时培养了学生的动手操作能力。
第 6题我设计了一个探究性的问题，让学生利用计算器对锐角三角函数
的增减性进行探究，有利于调动学生的积极性，主动性，使常态化的作业变
得有趣，
而探究的结论又可作为一种方法，在无计算器的情况下，能够快速的对一般
的锐角三角函数值进行大小比较。
20
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
用计算器根据三角
1 选择题 理解应用 A 0.90
函数值求边长
用计算器根据三角
2 选择题 理解应用 A 0.88
函数值求度数
3 填空题 用计算器比较大小 理解应用 A 0.92
用计算器根据三角
4 填空题 理解应用 A 0.85
函数值求度数
用计算器根据三角
5 解答题 理解应用 A 0.83
函数值求度数
用计算器探究问题
6 解答题 理解应用 B 0.65
并比较大小
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 能够使用计算器根据三角函数值求一般锐角的度数
评价要素 3 思维方法 培养学生的动手操作能力
21
23.1 锐角的三角函数
作业目标：对 23.1 的内容整理再巩固
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．在Rt ABC中， C 90 ，sin A 4 ， 则cosB的值等于（ ）
3 4 5 3 5
A． 5 B． 5 C． 4 D． 5
1 3
2．当 A为锐角，且 ＜ cos A ＜ 时，∠A的范围是（ ）
2 2
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60°
C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°3
3．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cos ，AB＝4，
5
则 AD 的长为（ ）
20
A．4 B． 3
16 16
c. 3 D． 5
二、填空题
1
4．在 ABC中， C 90 ，cosB ， BC=4，那么AB=________.
4
5．计算：2 2 sin45°·cos30°+3tan60°= ________.
6.如图，在平面直角坐标系系中，直线 y k1x 2与 x轴交于点A ，与 y轴交于
点C，与反比例函数 y
k
2
x 在第一象限内的图象交于点
B，连接 BO．若
S△OBC 1， tan BOC
1
，则 k2的值是________.3
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1. _________ 2. _________ 3. _________
4. _________ 5. _________ 6. _________
三、解答题
7．如图，已知 MAN，B为边 AM上一点．
（1）尺规作图（要求保留作图痕迹，不写作法）
22
①过点 B作 BC AM 交 AN 边于点C；
②以 AC为边作 ACD A ，且交 AB于点D．
（2）若 AD 3，BD 2，请利用（1）中所作的图形求 sin A 的值．
8. 分层练习
8-A．如图，将矩形纸片 ABCD（AD＞DC）的点 A沿着过点 D的直线折叠，使
点 A落在 BC 边上，落点为 E，折痕交 AB 边于点 F，若 BE＝1、EC＝2，
则求 sin∠EDC 的值。
8-B．如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=8，E 是 AD 边上的一点，将△ABE
沿着 BE 折叠，点 A恰好落在 CD 边上的点 F处，连接 BF．
（1）求证：△EFD∽△FBC；
（2）求 tan∠AFB 的值．
A B
E
D CF
8-C.如图，在矩形 ABCD 中，点 E在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D
落在边 BC 上的点 F处，过点 F作 FG∥CD，交 AE 于点 G连接 DG．
(1)求证：四边形 DEFG 为菱形；
(2)若 CD=8，CF=4，求 sin∠BAF 的值．
23
答案与解析：
1. B
【分析】：利用互余的两个锐角的函数关系可直接得出。
2. B
【分析】：根据锐角三角函数的增减性，cos A 随度数的增大而减小。
3. C
【分析】：由已知条件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在 Rt△DEC
中，
CE 3
cos∠ECD＝ cos ＝ ，由此可以求出 CE．然后根据勾股定理求出 DE，
DC 5
最后在 Rt△AED 中利用余弦函数的定义即可求出 AD。
4. 16
BC 1
【分析】： 由cosB = AB 4 ，代入计算可得。
5. 4 3
【分析】：先求出特殊函数值，再计算。
6. 3
【分析】：首先根据直线求得点 C的坐标，然后根据△BOC 的面积求得 BD 的
长，然后利用正切函数的定义求得 OD 的长，从而求得点 B的坐标，求得结
论．
解：∵直线 y＝k1x+2 与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 C，
∴点 C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝1，∴BD＝1，
1
∵tan∠BOC 3，
BD 1
∴ OD 3，
∴OD＝3，
∴点 B的坐标为（1，3），
k
∵反比例函数 y 2x 在第一象限内的图象交于点 B，
∴k2＝1×3＝3．
6
7.（1）如右图 （2）
6
解：（1）①如图，直线 BC 即为所求作．
②如图，射线 CD 即为所求作.
（2）由作图可知，EF 垂直平分线段 AC，
∴DA=DC=3，
∵DB=2，
∴AB=5，
在 Rt△DCB 中，BC CD2 BD2 32 22 5，
在 Rt△ABC 中， AC BC2 AB2 ( 5)2 52 30 ，
∴ sin A BC 5 6
2 AC 30 6
8-A. 3
24
【分析】：根据矩形的性质，可得AD BC 3 ，再根据三角函数的定义即
可求解；
解： 在矩形 ABCD 中，AD BC BE EC 3， C 90
由折叠的性质可得：DE AD 3
在 Rt DEC中，sin EDC EC 2
DE 3
8-B. （1）略；（2）2．
【分析】：（1）根据折叠的性质，得到AE EF,AB BF, BAE BFE 90 ，
结合互余定义解得 DEF BFC ，再由 D C 90 可证明△EFD∽△FBC；
（2）在 Rt△BFC 由勾股定理解得 CF 的长，继而得到 DF的长，再在 Rt ADF中，
AD
利用正切定义解得 tan AFD 2DF ，然后由矩形对应边平行的性质结合翻
折性质，解得 AFD BAF AFD，最后由正切定义解题即可．
3
8-C （1）略；（2） 5 ．
【分析】：（1）根据折叠的性质，证明 DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由 FG∥
CD，可得∠1=∠3，证明 FG=FE，故由四边相等证明四边形 DEFG 为菱形；
（2）设BF m, 则 BC m 4 AD, 由轴对称得 AD=AF 利用勾股定理求解 m，
再利用锐角三角函数求解即可．
解（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，
∵FG∥CD， ∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3，
∴FG=FE，
∴DG=GF=EF=DE，
∴四边形 DEFG 为菱形；
（2） CD=8，CF=4，矩形 ABCD,
AB=CD=8，AD=BC
设 BF m, 则 BC m 4 AD,
由对折可得： AF AD m 4,
由 AF2 AB2 BF2,
m 4 2 m2 82 ,
解得：m 6, AF 10, BF 6,
sin BAF BF 6 3 .
AF 10 5
设计意图：
本次作业是 23.1 的小结练习，因此题目量上比前面较多一些，共 8题，
预计用时 30 分钟，在题目设计上根据本节的学习目标对知识点在加以巩固，
注重对学生能力的培养，例如第 3题逻辑推理能力；第 5题运算能力；第 6
题分析问题的能力，第 7题动手操作能力等。考察的知识点也比较多，有矩
形的折叠问题、相似三角形的性质和判定的结合、一次函数与反比例函数的
结合等，让学生感受锐角三角函数在解决边角问题时的作用。
25
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
互余两锐角的三角
1 选择题 运用能力 A 0.88
函数关系
根据三角函数判断
2 选择题 理解能力 A 0.80
锐角的取值范围
勾股定理、矩形的性
3 选择题 理解应用 A 0.75
质、锐角的三角函数
4 填空题 已知余弦求边长 运用能力 A 0.81
特殊角的三角函数
5 填空题 理解、运算能力 A 0.85
值
反比例函数与一次
6 填空题 函数的综合、已知正 理解应用 B 0.65
切求边长
作垂线（尺规作图）、
7 解答题 理解、操作能力 A 0.70
锐角的正弦值
矩形的性质、锐角的
8-A 解答题 理解应用 A 0.84
正弦值
勾股定理、矩形的性
8-B 解答题 质、相似三角形、锐 理解应用 B 0.65
角的正切值
矩形的性质、菱形的
8-C 解答题 理解应用 C 0.60
判定、锐角的正弦值
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
理解锐角三角函数，熟记特殊锐角的三角函数值，理解并掌握
评价要素 2 知识掌握 互余两个锐角的正弦、余弦之间关系，熟练运用计算器求出锐
角的三角函数值
通过练习提高逻辑推理能力、分析问题的能力、动手操作能力
评价要素 3 思维方法
等
26
23.2 解直角三角形及其应用
第一课时 解直角三角形
作业目标：在理解解直角三角形定义，直角三角形 5个元素间的关系基础上，
会用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1. 已知在 ABC中， ACB=90 ， B 60 斜边长AB 1，那么 ABC 的周长
为（ ）
3 3 2 3 3A. B. 3 C. D.
2
2. ABC AB 3 AC 6 cos B 3 在 中， =6 ， ， ，则BC边的长为（ ）
2
A．9 B．12 C．12 或 6 D．12或 9
二、填空题
3. 在 ABC中， A 30 ， B 45 ，AC 2 3，则AB的长度为_______.
4. 在 ABC中，若 B 45 ，AB =10 2，AC 5 5，则 ABC 的面积是_______.
*请将选择填空题答案写在以下区域：
1. 2. 3. 4.
三、解答题
5. 根据下列条件解直角三角形，其中∠C=90°
（1）Rt ABC中， A=30 ，c 6.
（2）Rt ABC中，a=24，c 24 2.
27
6. 分层练习
6-A. 如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20.
（1）求 BC 的长；
6-B. 如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20.
（1）求 BC 的长；
（2）若∠ADC=75°，求 CD 的长.
6-C. 某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，
CD=100m，求 AD，BC 的长（精确到 1m）。
28
答案与分析：
1. D
【分析】：利用 60°角的正弦、余弦求出两直角边，进而求得周长。
2. C
3
【分析】：由 cos B 可得∠B=30°，过点 A作 BC 边上的高，建立直角三
2
角形从而得解.需要注意的是题目无图，要想多种情况。
3. 3 3
【分析】过点 C作 AB 边上的高，利用特殊角的三角函数值从而求得。
4. 25 或 75
【分析】过点 A 作 BC 边上的高，建立直角三角形，再利用三角形面积公式
从而得解. 仍需要注意的是题目无图，要想多种情况。
5. 【详解】解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
∵∠A=30°，c=6.
a 1
∴sin30°= = .
c 2
∴a=3 , b= c2 a2 3 3 ,
又∵∠A+∠B=90°
∴∠B=60°
（2）∵a=24, c 24 2 ,
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 b c2 a 2 （24 2）2 242 24
∴∠A=∠B=45°
6-A. 【详解】解：（1）过点 A作 AE⊥BC 于点 E.
在 Rt△ACE 中，∵∠C=60°
1
∴CE AC 10，AE 3CE 10 3 ,
2
在 Rt△ABE 中，∵∠B=45°，∴BE AE 10 3
∴BC BE CE 10 10 3
6-B. (1)如 6-A 详解。
(2)∵∠BAC=180°-45°-60°=75°，而∠ADC=75°
∴∠ADC=∠BAC
∵∠C=∠C,∴△CDA∽△CAB.
CD CA CD 20
∴ ，即
CA CB 20 10 10 3
∴ CD 20 3 20
6-C. AD 的长约为 227m，BC 的长约为 146m.
【分析】延长 AD，交 BC 的延长线于点 E，
在 Rt△ABE 中，利用三角函数求出 AE，BE；
在 Rt△CDE 中，利用三角函数求出 CE，DE；
即可求出 AD，BC。
29
设计意图：
在这一课时的作业中我设计了 6 题，预计用时 25 分钟左右，在设计中
以基础知识为主，重点考察解直角三角形，第 1题，第 3题，第 5题，均为
简单的解直角三角形，属于基础题，第 2题与第 4题属于双解问题，在一些
几何题目中，当题目中无图时，需要学生根据题意画出图形。同时提醒学生
题目无图相双解，培养学生的思维严谨性。
在设计时，第 6题解答题，我采用了分层次作业设计，根据学生接受能
力自主选择。6-A 组,属于非直角三角形问题，需添加辅助线，进而解决。而
(6-B 组)中，不仅有非解直角三角形，还与相似综合一起，我设置成选做。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 解直角三角形 理解运用 A 0.90
解非直角三角形与勾股
2 选择题 运用能力，转化思想 A 0.85
定理
3 填空题 特殊角三角函数值 应用 A 0.86
三角函数、三角形面积
4 填空题 分类讨论 B 0.65
公式及勾股定理
解答题
5 解直角三角形 运算能力 A 0.90
6-A 解答题 解直角三角形 综合运用能力 A 0.65
解直角三角形与相似三
6-B 解答题 综合运用能力 B 0.65
角形
6-C 解答题 解直角三角形 综合运用能力 C 0.60
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
理解解直角三角形的定义，能熟练运用勾股定理及锐角三角
评价要素 2 知识掌握
函数解直角三角形
评价要素 3 思维方法 培养学生会用分类讨论思想解决问题
30
第二课时 俯角、仰角的应用
作业目标:使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解
直角三角形的知识解决一些实际问题。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．【本地文化】冬季某天正午时刻，太阳光线从天静宫老君殿的顶部照射，
与水平面所成夹角为ɑ，已知老君殿的高度为 23.75 米，则其影长为（ ）
A．23.75tan 米 B．23.75 米
tan
C 23.75． 米 D．23.75cos 米
sin
2．如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB的高度，他作了如下操作：（1）
在点 C 处放置测角仪．测得旗杆顶的仰角 ACE ；（2）量得测角仪的高
度 CD=1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB m米．利用锐角三角
函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
1.2 m mA． sin 米 B

． 1.2
tan
米

C． (1.2 msin )米 D． (1.2 m tan )米
二、填空题
3．如图，为了测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在河的彼岸选择一点 A，
点 C 看点 A 仰角为 30°，点 D看点 A 仰角为 60°，若 CD=60m，则河宽 AB
为________m（结果保留根号）．
4. 在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的 1，
2号楼进行测高实践，测得 1 号楼顶部 E 的俯角为 67°，测得 2 号楼顶部 F 的
俯角为 40°，此时航拍无人机的高度为 60米，已知 1 号楼的高度为 20米，
且 EC和 FD 分别垂直地面于点 C 和 D，点 B 为 CD 的中点，则 2 号楼的高度
31
为________（结果精确到 0.1）（参考数据 sin40°≈0.64，
cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
* 请将选择填空题答案写在以下区域：
1. 2. 3. 4.
三、解答题
5．如图①，南京中山陵的台阶拾级而上被分成坡度不等的两部分．图②是
台阶的侧面图，若斜坡 BC 长为 120m，在 C 处看 B处的仰角为 25°；斜坡 AB
长 70m，在 A 处看 B处的俯角为 50°，试求出陵墓的垂直高度 AE的长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，
tan25°≈0.47）
32
6．分层练习
6-A. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，
工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 45°改为 30°．已知原传送
带 AB 长为 4米．求新传送带 AC 的长度；
6-B. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，
工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 45°改为 30°．已知原传送
带 AB 长为 4米．
（1）求新传送带 AC 的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出 2米的通道，试判断距离 B点 4
米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由（．结果精确到0.01m，已知 2 1.41，
3 1.73， 6 2.45）
33
答案与分析
1．B
【分析】利用正切值的定义。
2．D
【分析】过 C 作 CF⊥AB 于 F，则四边形 BFCD 是矩形，根据三角函数的定义
即可得出结论.
3．30 3
AB
【分析】在 Rt△ACB 中，利用三角函数求出 BC ，在 Rt△ADB 中，
tan ACB
利用三角函数BD
AB AB AB
，根据CD 60m得出 60，求出 AB
tan ADB tan 30 tan 60
即可．方法不一.
4．45.8 米
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分
别求出 EM，AN，进而计算出 2 号楼的高度 DF 即可．
BD
5．【详解】解：在 Rt△BDC 中，sinC BC
∴ BD BC sinC BC sin 25 120 0.42 50.4m
Rt AFB sin ABF AF在 中， ，
AB
AF AB sin ABF AB sin 50 70 0.77 53.9 m
AE AF FE AF BD 50.4 53.9 104.3 m．
答：陵墓的垂直高度 AE 的长为 104.3 m．
6．【详解】解：（1）在Rt△ABD中， AD ABsin 45 2 4 2 2(m)，
2
在Rt△ABD中， ACD 30 ， ∴ AC 2AD 4 2 5.64 m ，
答：新传送带 AC的长度约为5.64m；
（2）在Rt△ABD中， BD AB cos 45 2 4 2 2(m) ，
2
在Rt△ACD中，CD ABcos30 4 2 3 2 6(m)，
2
∴CB CD BD 2 6 2 2 2.08(m) ，
∵PC PB CB 4 2.08 1.92 2，
∴货物MNQP需要挪走.
设计意图：
在这一课时的作业中我设计了 6 题，预计用时 25 分钟左右，在设计中
以基础知识为主，重点考察解直角三角形的实际应用，第 1题，第 2题，解
决单直角三角形实际应用，其余均为双直角三角形实际应用，这些题对于学
生来说难度不大,绝大部分学生能够完成。本节作业计算量大，部分学生思
路正确，解答错误，需多加练习。
在设计时，第 6题解答题，我采用了分层次作业设计，主要培养学生的
应用能力， 6-A 组,是简单双直角三角形实际应用.而(6-B 组)中，不仅有解
直角三角形的实际应用,还需加以比较才能解决。
34
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 正切的定义 理解与应用 A 0.90
解直角三角形的实际
2 选择题 应用能力 A 0.85
应用
等腰三角形与解直角
3 填空题 应用能力 A 0.86
三角形的实际应用
解直角三角形的实际
4 填空题 应用能力 B 0.65
应用
解答题 仰角与俯角及解直角
5 理解与应用 A 0.80
三角形实际应用
解直角三角形的实际
6-A 解答题 综合运用能力 A 0.72
应用
解直角三角形的实际
6-B 解答题 综合运用能力 B 0.65
应用
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 会用仰角、俯角知识解决实际问题
评价要素 3 思维方法 培养学生分析问题，解决实际问题的能力等
35
第三课时 解双直角三角形的应用
作业目标：能利用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题，发现双直角
三角形间的关系，学会将实际问题转化为数学问题。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻
两棵树之间的水平距离为 8 m，那么这两棵树在坡面上的距离 AB 为（ ）
cos 8A．8 m B． m
cos
8
C．8sina m D． m
sin
2．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面夹角为 ，当梯顶 A下滑 1米
4
到 A’时，梯脚 B滑到 B’，A'B' 与地面的夹角为 ，若 tan ，BB' 1米，
3
则 cos （ ）
3 4
A． B．
5 5
3 2
C． D．
4 5
二、填空题
3．小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在 A处观察到电视塔在北偏东
37 度的方向上，5分钟后在 B处观察到电视塔在北偏西 53 度的方向上．已
知电视塔 C距度为________（精确到个位，sin 37 0.6，离公路 AB 的距离为
300 米，则小明的徒步速cos37 0.8，sin53 0.8，cos53 0.6， tan 37 0.75，
tan 53 1.3）
4．如图，在△ABC 中， A 90 ， B 60 ，AB 2，若D是BC边上一动点，
则 AD
1
DC的最小值为________
2
36
* 请将选择填空题答案写在以下区域：
1. 2. 3. 4.
三、解答题
5．如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE，为了测量天线的高度，在地面上取
同一条直线上的三点 C，D，A，在点C处测得天线顶端 E的仰角为 60，从点C
走到点D，测得 CD=5 米，从点 D测得天线底端 B的仰角为 45°，已知 A，B，
E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25 米．求 A与 C之间的距离；
6-A. 如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午 10 点，在 A处
测得小岛 P的方向是北偏东 75°，以每小时 15 海里的速度继续向东航行，
中午 12 点到达B处，并测得小岛 P的方向是北偏东 60°，若小岛周围 25 海
里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
6-B. 如图，已知楼房 CD 旁边有一池塘，池塘中有一电线杆BE高 10 米，在
池塘边 F处测得电线杆顶端 E的仰角为 45°，楼房顶点 D的仰角为 75°，
又在池塘对面的 A处，观测到 A，E，D在同一直线上时，测得电线杆顶端 E
的仰角为30 ． (注: tan 75 2 3 )
（1）求池塘边 A，F两点之间的距离；
（2）求楼房 CD 的高
37
答案与分析：
1．B
【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离 AB．
2．B
4
【分析】根据 tan 设 OA=4k，则 OB=3k，AB=5k，从而表示OA =4k-1，3
OB =3k+1，在 OA'B' 中，由勾股定理，求得 k值，后根据三角函数的定义计算即
可
3．126 米/分钟
【分析】过C作CD AB于D，则CD 300米，由解直角三角形求出 AD 和 BD 的
长度，则求出 AB 的长度，即可求出小明的速度．
4．D
【分析】过点C作射线CE，使 BCE 30 ，再过动点D作 DF CE ，垂足为点F，
1 1
连接 AD，在 RtVDFC中， DCF 30 ，DF DC，AD CD AD DF , 当
2 2
A，D，F在同一直线上，即 AF CE时，AD DF的值最小，最小值等于垂线段
AF的长．
5. 30 米
【分析】依题意可得，在Rt△ABD中， ADB 45 ，
∴AD=AB=25 米，
∵CD=米，∴AC=AD+CD=25+5=30 米.
即 A,C之间的距离为 30 米．
38
6-A.不能一直向东航行
解：过 P作 PD⊥AB 于点 D．
∵∠PBD=90°- 60°=30°，
且∠PBD=∠PAB +∠APB，
∠PAB=90﹣75=15°，
∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=15×2=30（海里）．
在 Rt△BPD 中，∵∠PBD=∠PAB+∠APB=30°，
1
∴PD= BP=15 海里＜25 海里，
2
故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
6-B. （1）AF=10+10 3 ; （2）CD 的高为(10+5 3 )米
解:如图：(1)在 Rt△ABE 中, ∠A=30 o ,BE=10,
BE 3
∴ = ∴AB=10
AB 3
,
3
在 Rt△EBF 中, ∵∠BFE=45 o ,
∴BF=BE=10,
∴AF=10+10 3 ;
(2)∵BE=10,∠A=30 o ,∴AB=10 3 ,
x x
设 CD=x.则 CF= = .
tan 75o 2+ 3
∵∠EBA=∠DCA=90 o ,∠A=30 o ,
∴△ABE∽△ACD,
AB BE 10 3 10
由相似三角形的性质可得: , 即10 3 10 x

AC CD x ,
2 3
解得 x=10+5 3 .
答:AF 间的距离为(10+10 3 )米,楼房 CD 的高为(10+5 3 )米.
设计意图：
本节练习我共设计了 6题，预计用时 30 分钟左右，设计内容上主要是让学
生能利用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题，在设计中结合课本及学习
目标，有基础运用，如：第 1题，第 2题，第 5题；也有融合了其他章节的知识，
39
如：第 4题学生要考虑添加辅助线，利用 “垂线段最短”找到突破口，让学生
在学习新知的同时，了解知识之间的衔接。
在设计时，第 6题解答题，我采用了分层次作业设计，主要培养学生的应用
能力，如(6-A 组)中,是课本第 127 面例 5的变式练习.而(6-B 组)中，不仅有解
直角三角形的实际应用，还与相似相结合，意在考察学生的综合应用能力。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
坡角坡度的掌握及三角
1 选择题 理解与应用 A 0.90
函数的应用
2 选择题 勾股定理与三角形函数 应用 B 0.65
3 填空题 解直角三角形 应用 A 0.82
垂线段性质与解直角三
4 填空题 应用 、转化思想 C 0.55
角形
解答题 等腰直角三角形性质及
5 理解与应用 B 0.65
直角三角形的实际应用
6-A 解答题 航海、航空问题 应用 B 0.65
直角三角形的实际应用
6-B 解答题 综合运用能力 C 0.55
与相似
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 解双直角三角形问题
评价要素 3 思维方法 提高学生数学应用意识和解决实际问题的能力
40
第四课时 解决建筑工程中的实际问题
作业目标：使学生正确理解坡度、坡角等有关概念，并弄清它们的意义，同时要
求学生能够把实际问题转化为数学问题，或用所学的知识解释、解决生活中的问
题，进而提高数学应用意识和解决问题的能力。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．如图，滑雪场有一坡角α为 20°的滑雪道，滑雪道 AC 的长为 200 米，则滑
雪道的坡顶到坡底垂直高度 AB 的长为（ ）
A．200tan20°米 B． 米
C．200sin20°米 D．200cos20°米
2．如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1：2，物体从地面沿着该斜坡前
进了 10 米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5 米 B．5 米
C．2 米 D．4 米
二、填空题
3．如图所示，一水库迎水坡 AB 的坡度 i＝1： ，则该坡的坡角α＝ 度．
4．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为 18cm，宽为 30cm，为方便残
疾人士，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为 A 点，斜坡的起点为 C
点，准备设计斜坡 BC 的坡度 i＝1：5，则 AC 的长度是 cm．
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________
41
三、解答题
5．如图，某一水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD＝5 米，斜坡 AD＝6
米，坝高 6米，斜坡 BC 的坡度 ．求斜坡 AD 的坡角∠A和坝底宽 AB．
6. 分层练习
6-A. 如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口 AD 宽 10cm，燕尾槽深 10cm，AB
的坡比 i＝1：1，求里口宽 BC 及燕尾槽的截面积．
6-B. 为确保我市水库平安渡汛，水利部门决定对某水库大坝进行加固，加固前
大坝的横截面是梯形 ABCD，如图所示，已知迎水坡面 AB 的长等于 10 米，
坡角∠B＝60°，背水坡面CD的坡度为1：1.5，加固后的大坝截面为梯形ABED，
DE 的坡度为 1：2．
（1）求 CE 的长．
（2）已知被加固的大坝长为 100 米，求需要被填的土石方约为多少立方米？
6-C. 某市为加固长 90 米，高 30 米，坝顶宽为 6米，迎水坡和背水坡都是 1：1
的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高 2米，背水坡坡度改为 1：1.5，
已知坝顶宽不变，求大坝横戴面积增加多少平方米？
42
答案与部分解析：
1. C
【分析】： 根据正弦的定义进行解答即可．
解：∵sin∠C＝ ，
∴AB＝AC sin∠C＝200sin20°，
2. C
【分析】：作 BC⊥地面于点 C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
解：作 BC⊥地面于点 C，
设 BC＝x 米，
∵传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1：2，
∴AC＝2x 米，
2 2 2 2 2 2
由勾股定理得，AC +BC ＝AB ，即（2x） +x ＝10 ，
解得，x＝2 ，即 BC＝2 米，
3. 30
【分析】：坡角的正切值即为坡度，由此可求得α的度数．
解：由题意，设坡角α，
∴ tan ＝i＝ ，
故坡角 ＝30°．
4. 270
【分析】：根据题意求出 BH，根据坡度的概念求出 CH，计算即可．
解：由题意得，BH⊥AC，
则 BH＝18×4＝72，
∵斜坡 BC 的坡度 i＝1：5，
∴CH＝72×5＝360，
∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），
5. 斜坡 AD 的坡角∠A为 45°，坝底宽 AB 的长度为（11+6 ）m．
【分析】：过 D点作 DE⊥AB 于点 E，过 C 点作 CF⊥AB 于点 F，得到两个直角三
角形和一个矩形，在 Rt△AED 中利用 DE 和 AD 的长，求得线段 AE 的长和∠A 的
度数；在 Rt△BCF 中利用 BC 的坡度和 CF 的长求得线段 BF 的长，然后与 AE、EF
相加即可求得 AB 的长．
解：过 D点作 DE⊥AB 于点 E，过 C点作 CF⊥AB 于点 F，则四边形 CDEF 是矩
形，
则 CD＝FE＝5m，CF＝ED＝6m，
在 Rt△AED 中，AD＝6 2 m，
AE＝ ＝6（m），
DE
∵tan∠A＝ ＝1，
AE
∴∠A＝45°，
43
在 Rt△BCF 中，
∵CF ：BF＝ 1: 3 ，
∴BF＝ 3CF 6 3 米，
则 AB BF EF AE 6 3 5 6 (11 6 3)米
故斜坡 AD 的坡角∠A为 45°，坝底宽 AB 的长度为（11+6 ）m．
6-A. BC 为 30 厘米；截面积为 200 平方厘米。
解：如下图，作 DF⊥BC 于点 F．
由条件可得四边形 AEFD 是矩形，AD＝EF＝10，
∵AB 的坡比为 1：1，
∴ ＝1，
∴BE＝10，
同理可得 CF＝10，
∴里口宽 BC＝BE+EF+FC＝30（厘米），
∴截面积为 ×（10+30）×10＝200（平方厘米）．
6-B. （1）CE 的长为 7.5 米；（2）需要被填的土石方约为 5625 立方米
解：（1）作 AF⊥BC 于 F，DH⊥BC 于 H，
则四边形 AFHD 为矩形，
∴AF＝DH，AD＝FH，
在 Rt△ABF 中，
AB＝10 m，∠B＝60°，
则 AF＝AB sin B＝15（米），BF＝AB cos B＝5 （米），
∴DH＝15 米，
∵坡面 CD 的坡度为 1：1.5，DE 的坡度为 1：2，
∴CH＝22.5（米），EH＝30（米），
∴CE＝EH﹣CH＝7.5（米），
答：CE 的长为 7.5 米；
（2）需要被填的土石方＝ ×7.5×15×100＝5625（立方米），
答：需要被填的土石方约为 5625 立方米．
6-C. 大坝横戴面积增加 392 平方米．
解：过 C作 CG⊥AB 于 G，过 D作 DH⊥AB 于 H，
过 F作 FM⊥AB 于 M，过 E作 EN⊥AB 于 N，
则四边形 CDHG 和四边形 EFMN 是矩形，
即 CG＝DH＝30m，FM＝EN＝30+2＝32（m），
∵梯形 BCDQ 的迎水坡和背水坡的坡度都是 1：1，
∴BG＝QH＝30m，
同理 AM＝32×1.5＝48（m），QN＝32m，
∴AQ＝48+6+32＝86（m），BQ＝30+6+30＝66（m），
2
大坝横截面面积增加 ×（6+86）×32﹣ ×（6+66）×30＝392（m ），
答：大坝横戴面积增加 392 平方米．
44
设计意图：
本节课主要是对锐角三角函数之间的关系再提升，对于互余的两个锐角之间
正弦、余弦函数的互换，仅仅用于计算。因此，在设计作业时，并没有设计较难
题目。
在练习中，我共设计了 6题，预计用时 15 分钟左右，主要以基础为主，在
做题中要求学生慢慢转化，夯实基础。在第 2题中，设计一个陷阱，如果学生对
知识点掌握不是很准确，会误认为∠A=∠B，从而选择 D。在第 6 题中，学生要
分析题目想到等式的性质以及勾股定理的逆定理，以此为突破口解决问题。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 坡角的概念 理解能力 A 0.92
2 选择题 坡度的概念 应用能力 A 0.91
3 填空题 坡角与坡度的应用 应用能力 B 0.75
4 填空题 坡度的综合应用 理解运用 B 0.73
5 解答题 坡角与坡度的概念 理解应用 B 0.78
6-A 解答题 坡比的概念 应用能力 A 0.92
6-B 解答题 坡度的综合应用 综合运用 B 0.71
6-C 解答题 坡度的实际应用 综合运用 C 0.59
评价设计：
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
评价要素 2 知识掌握 理解并正确利用坡角与坡度的概念解决问题
评价要素 3 思维方法 培养学生对学生理解及综合运用的能力
45
第五课时 平面直角坐标系中的直线与 x轴的夹角
作业目标：学生能够理解平面直角坐标系中的直线与 x轴的夹角，能够由平面直
角坐标系中的直线与 x轴的夹角求出正切值，进而求出 k。也可以通过 k求出直
线与 x轴的夹角，为高中系统学习直线的倾斜角与斜率作铺垫。
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．直线 y 3x 5向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角的是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，已知角 的一边在 x轴上，另一边经过点 A（2，4），顶点为 B（﹣1，
0），则 cos 的值是（ ）
2 5
A．5 B．
3 5
C． D．
5
二、填空题
3．直线 x=2 的向上方向与 x轴的正方向所夹的角为 ．
4．如右图，点 P在反比例函数 y＝ 的图象上，且横坐标为 1，过点 P作两条坐
标轴的平行线，与反比例函数 y＝ （k＜0）的图象相交于点 A、B，则直线
AB 与 x 轴所夹锐角的正切值为 ．
* 请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1._________ 2. _________ 3. _________ 4. _________
三、解答题
5.已知直线 y kx(k 0) 经过点（-1,2），且向上的方向与 x轴正方向所夹的锐
角为 60°，求直线的表达式.
6.探索性作业（请尝试用不同的方法证明）
在学习了一次函数时，通过描点画图，直观的得出正比例函数 y kx(k 0)的
图象是一条直线.现在，你能对这个结论给出证明吗？
46
答案与解析：
1、 C
【分析】：根据 k= 3 求出直线 y＝ 3 x﹣5向上方向与 x轴正方向所夹的锐角为
60°.
2、 C
【分析】：找到 AB 为斜边所在的直角三角形，进而cos 即可。
3、 90°
【分析】：本题用数形结合进行求解。
4、 3
【分析】：点 P横坐标为1，则点 P（1，3），
1
则易求点 B、A的坐标分别为（1,k），（ k ,3）
3
设直线 AB 的表达式为： y mx t，
k m t
将点 A、B的坐标代入上式得 1
3 3km t
，解得 m＝﹣3，
故直线 AB 与 x 轴所夹锐角的正切值为3，故答案为3．
5、 y 3x 2 3
【分析】：先求出 k的值，然后代入表达式求 b,从而求得直线的表达式.
6、提示：构造直角三角形，可以通过三角形相似说明角相等，也可以通过正切
值相等说明角相等。
证法 1 设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )为 y kx 的图象上的两点（不与原点重合），因为
原点O(0,0)在图象上，连接OP1,OP2 ,作 P1Q1 Qx 轴，P2Q2 Ox 轴，垂足分别为
y 1 y 2 Q1P1 Q 2P2 Q1P1 O P点Q1,Q2.由 k , ,即
2 .
x1 x 2 OQ 1 OQ 2 Q 2P2 OQ 2
又 OQ1P1 OQ2P2 ,
又Rt P1Q1O ∽ Rt P2Q2O , P1OQ1 P2OQ 2 .
又这两个角的顶点和一遍公共，另一边在公共边同侧，故OP1与OP2重合，
即 P1与P2 与原点 O 在同一条直线上.
47
y 1 y 2
证法 2 如图 1，由 k , tan Px x 1
OQ 1 tan P2OQ 2 .
1 2
这两个角均为锐角， 故 P1OQ 1 P2OQ 2 ,得O , P1 , P2 在同一条直线上
设计意图：
在这一课时的作业中我设计了6题，预计用时25分钟左右，在设计中以基础
知识为主，重点考察学生能够能够由平面直角坐标系中的直线与 x轴的夹角求出
正切值，进而求出 k。也可以通过 k求出直线与 x轴的夹角，为高中系统学习直
线的倾斜角与斜率作铺垫。
第1题直接由 k的值确定正切值，属于基础题。
第2题由B向x轴作垂线BC构造直角三角形，直线与x轴的夹角求出余弦值。
渗透了数形结合的思想。
第3题根据作出直线 x=2的图象，利用数形结合得到直线与 x 轴的正方向所
夹的角为90°.
第4题属于综合性的试题，考察学生应用知识的能力。先由点 P横坐标为1，
1
得点 P（1，3），则易求点 B、A的坐标分别为（1,k），（ k ,3）设直线 AB 的表达式
3

y mx t k m t为： ，将点 A、B的坐标代入上式得
3
1
3km t
，解得 m＝﹣3，此题是
一次函数与反比例函数的综合题，渗透了知识之间的联系。
第5题属于基础题，先求出 k的值，然后代入表达式求 b,从而求得直线的表
达式.主要考察学生对基础知识的掌握。
第 6题，我设计了一题探究型问题，意在激发学生的兴趣，感受知识之间的
联系，同时打开学生的思路，发散学生的思维，也为高中系统学习直线的倾斜角
与斜率作铺垫。渗透初中与高中知识的联系性。
48
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
1 选择题 由k的值确定正切值 理解能力 A 0.91
夹角度数求三角函
2 选择题 应用能力 B 0.75
数值
3 填空题 数形结合 理解、运用 A 0.83
一次函数，反比例函
4 填空题 综合运用 C 0.60
数，正切值
5 解答题 由角度确定 k 的值 应用能力 A 0.85
三点共线的证明方
6 解答题 综合运用 C 0.60
法
评价设计
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
理解并能熟练运用由 k 的值确定正切值及夹角度数
评价要素 2 知识掌握 求三角函数值，明确本课知识与一次函数和反比例函数之间
的联系
评价要素 3 思维方法 能够通过分析解决问题、理解能力和应用能力得到提升
49
23.2 锐角的三角函数
作业目标：对 23.2 的内容整理再巩固
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
一、选择题
1．下列条件中，不能解直角三角形的是（ ）
A．已知两锐角 B．已知两条边
C．已知三边 D．已知一边和一锐角
2．在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠B＝40°，则直角边 AC 的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40° C．mtan40° D．
3．如图，小军测量一棵树的高度，已知他看树的顶端的仰角是 30 度，与树之间
的水平距离 BE 为 6m，AB 为 1.5m（即小军的眼睛距地面的距离），那么这棵
树高是（ ）米
A. 2 3 3 B．4.5
2
C．6 5 3.5 D．5
二、填空题
4．如图，在平面直角坐标系中，∠α是直线 OA 与 x 轴相交所成的锐角，且
tan ，则直线 OA 的解析式为 ．
5．【关注热点】北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入
了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段 AB．已知
坡 AB 的长为 30m，坡角∠ABH 约为 37°，则坡 AB 的铅直高度 AH 约为
m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
50
6．如图，勘探队员朝一座山行走，在前后 A、B两处测量山顶的仰角分别是 30°
和 45°，两个测量点之间的距离是 100m，则此山的高度 CD 为 m．
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1._______ 2. _______ 3. _______ 4. _______ 5._______ 6.________
三、解答题
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°， sin A＝ ，D为 AC 上一点，∠BDC＝45°，
CD＝6．求 AD 的长．
8. 【分层练习】
8-A.一货轮在 A处测得灯塔 P在货轮的北偏西 23°的方向上，随后货轮以 80 海
里/时的速度按北偏东 30°的方向航行，1 小时后到达 B处，此时又测得灯塔 P
在货轮的北偏西 60°的方向上，求此时货轮距灯塔 P的距离（参考数据：sin53°
≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．
51
8-B．如图，灯塔 B在灯塔 A的正东方向，且 AB＝75km．灯塔 C在灯塔 A的北偏
东 20°方向，灯塔 C在灯塔 B的北偏西 50°方向．
（1）求∠ACB 的度数；
（2）一轮船从 B地出发向北偏西 50°方向匀速行驶，5h 后到达 C地，求轮船的
速度．
8-C.如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B之间的距离，他在与小亭 A、B位于同
一水平面且东西走向的湖边小道 l上某一观测点 M处，测得亭 A在点 M的北偏东
60°，亭 B在点 M的北偏东 30°，当小明由点 M沿小道 l向东走 60 米时，到达
点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q
处，此时亭 B恰好位于点 Q的正北方向．
根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭 A、B 之间距离的示意
图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭 A、B 之
间距离．
52
答案与解析：
1. A
【分析】：在直角三角形中，除了直角外，其余 5个元素只要知道 2个（至少有
一条边）就可以求出其余 3个，不能解直角三角形的是 A.
2. A
【分析】：利用 40°的正弦值进行计算即可解答。
3. A
【分析】：根据正切的概念求出 CD，计算即可。
4
4. y x3
【分析】： 设该直线上有一定 P（a、b），则 tan ＝ ＝ ＝k．设该直线的方
程是 y kx
如图，设 P（a、b），则 k＝ ＝ tan ＝ ，即 k＝ ，
4
所以，该直线的解析式为 y x
3
4
故答案是：y x
3
5. 18 米
【分析】：先求出特殊函数值，再计算。
6. 50( 3 1)
分析：设CD x,根据正切的定义分别用 x表示出 AD、BD，根据题意列出方程，
解方程得到答案．故答案为：50( 3 1) ．
7. AD=2
【分析】：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DBC＝45°，
∵DC＝6，
∴BC＝6，
∵ sin A 3 BC ，
5 AB
∴AB＝10，
∴ AC AB2 BC 2 102 62 8，
∴AD＝AC﹣DC＝8﹣6＝2．
320
8-A. 3 海里
【分析】：由题意可知：∠PAB＝53°，由平行线的性质可知∠PBA＝180°﹣30°
﹣60°＝90°，
∵AB＝80×1＝80（海里），
53
在 Rt△APB 中，∵∠PAB＝53°，AB＝80，
∴PB＝AB tan53°＝80× ＝ 海里，
320
答：此时货轮距灯塔 P的距离为 海里
3
8-B. ∠ACB＝70°；轮船的速度为 15km/h．
【分析】：（1）由题意得： BAC＝90 ﹣20 ＝70 ， ABC＝90 ﹣50 ＝40 ，
ACB＝180 ﹣ BAC﹣ ABC＝180 ﹣70 ﹣40 ＝70 ；
（2）由（1）得： BAC＝ ACB＝70 ，
BC＝AB＝75km，
75 5＝1（5 km / h），
即轮船的速度为15km / h．
8-C. 两个小亭 A、B之间距离为 20 39米
【分析】：如图：过点A作AH BQ，垂足为H，
由题意得 AMN， BMQ都是直角三角形，
AMN＝30 ， BMQ＝60 ，则AH＝NQ＝30米，AN＝HQ，
MQ＝MN NQ＝30 60＝90米，
在Rt AMN中，
AN＝MNtan30 ＝60 3 ＝20 3米，
3
AN＝HQ＝20米，
在Rt BMQ中，
BQ＝MQtan60 ＝90 3＝90 3米，
BH＝BQ HQ＝70 3米，
在Rt AHB中，AB＝ AH 2 BH 2＝ 302 (70 3)2＝20 39米
设计意图：
本次作业是 23.2 的小结练习，因此题目量上比前面较多一些，共 8题，预
计用时 30 分钟，在题目设计上根据本节的学习目标对知识点在加以巩固，注重
对学生数学思想的培养，例如第 4题函数思想；第 5题转化思想；第 6题方程思
想，第 8-B 题转化思想。本练习考察的知识点也比较多，有本节学习的新的知识
点锐角三角函数的概念、坡度、坡角、仰角、俯角、方向角，还有以前学习的勾
股定理、待定系数法求正比例函数的解析式、平角的定义、让学生感受知识之间
的练习。
54
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
解直角三角形的条
1 选择题 理解能力 A 0.89
件
锐角三角函数的正
2 选择题 理解能力 A 0.86
弦、余弦、正切
解直角三角形的应
3 选择题 转化思想 A 0.79
用
待定系数法求正比
例函数的解析式、锐
4 填空题 函数思想 A 0.84
角三角形函数的定
义
解直角三角形的应
5 填空题 转化思想 A 0.86
用—坡度坡角问题
解直角三角形的应
6 填空题 方程思想 B 0.75
用﹣仰角俯角问题
直角三角形的性质、
7 解答题 正弦的定义、勾股定 理解、应用能力 A 0.80
理
方向角的含义，平角
8-A 解答题 综合应用能力 A 0.81
的定义
方向角问题以及等
8-B 解答题 转化思想 B 0.72
腰三角形的判定
解直角三角形的应
8-C 解答题 构造直角三角形建立模型 C 0.60
用—方向角问题
评价设计：
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
理解并掌握直角三角形的条件，能熟练的解答解直角三角形的
评价要素 2 知识掌握 应用—坡度坡角问题和解直角三角形的应用—方向角问题，熟
练运用计算器求出锐角的三角函数值
评价要素 3 思维方法 通过练习巩固函数思想、转化思想、数形结合思想等
55
第 23 章 综合评价
作业目标：对第 23 章的内容整理再巩固
班级： 姓名： 实际完成时长： 分钟
教师评价：
三、选择题
1．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c．若 a＝3，b＝4，c＝5，
则 tan A的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度 AC＝12m，上弦 AB＝BC，∠BAC＝25°．若
用科学计算器求上弦 AB 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知：0°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A． sin A cos A B． sin A cos A
C． sin A tan A D． sin A cos A
4．如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A的值为（ ）
1 2
A． B．
2 2
C．2 D． 2 2
2
5．Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 sin A ，那么 cosB的值为（ ）
3
2 5 5
A． B． C． D．不能确定
3 3 2
二、填空题
6．如图，B、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得
∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60 m，则点 A到对岸
BC 的距离是 m．
56
7. 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A测得历下亭 C在北偏东 37°方
向，继续向北走 105m 后到达游船码头 B，测得历下亭 C在游船码头 B 的北偏东
53°方向．请计算一下南门 A与历下亭 C之间的距离约为 ．（参考数据：
tan37°≈ ，tan53°≈ ）
3 1
8．△ABC 中，∠A、∠B 都是锐角，若 sin A ，cosB ，则∠C＝ ．
2 2
9．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan
∠DBA＝ ，则 AD 的长是 ．
*请将选择题、填空题答案写在以下区域：
1._________ 2. _________ 3. _________ 4. _________ 5._________
6._________ 7. _________ 8. _________ 9. _________
三、解答题
2
10．计算：8sin 60°﹣4sin30°cos45°+ tan30°．
11．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当
天舟二号从地面到达点 A处时，在 P处测得 A点的仰角∠DPA 为 30°且 A与 P
两点的距离为 6千米，它沿铅垂线上升 7.5 秒后到达 B处，此时在 P处测得 B
点的仰角∠DPB 为 45°，求天舟二号从 A 处到 B 处的平均速度．（结果精确
到 1m/s，取 ＝1.732， ＝1.414）
57
12．【关注社会生活】“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行
车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共
自行车的车架示意图，点 A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，
AF＝25cm，FD⊥AE 于点 D，座杆 CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
（1）求 AD 的长；
（2）求点 E 到 AB 的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
tan75°≈3.73）
13．如图，在直角坐标系中，点 O为原点，直线 y kx b与 x轴交于点 A（3，0），
与 y轴的正半轴交于点 B，tan∠OAB＝ ．
（1）求这直线的解析式；
（2）将△OAB 绕点 A顺时针旋转 60°后，点 B落到点 C的位置，求以点 C为
顶点且经过点 A的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与 x轴的另一个交点为点 D，与 y轴的交点为 E．试
判断△ODE 是否与△OAB 相似？如果认为相似，请加以证明；如果认为不相似，
也请说明理由．
58
答案与解析：
1. A
【分析】：如图， a＝3，b＝4，c＝5，
a2 b2＝32 42＝25＝c2，
ABC是直角三角形，
BC 3
tanA＝ ＝ ，故选：A．
AC 4
2. B
【分析】：过B点作BD AC于D，
AB＝BC，BD AC，AC＝12米，
AD＝CD＝6米，在Rt ADB中， BAC＝25 ，
AB AD 6 ＝ ＝ ，
cos 25 cos 25
即按键顺序正确的是 ．
3. B
【分析】：由图得 BC＞AC，根据锐角三角函数即可求得。
4. A
【分析】：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD AC，
AD＝ 22 22＝2 2，BD＝ 12 12＝ 2，
tanA BD 2 1＝ ＝ ＝ ，
AD 2 2 2
5. A
【分析】：利用锐角三角函数中两个余角的互余关系求得。
6. 30 米
【分析】：由题意可得：∠A＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
AB＝AC＝BC×sin45°＝30 ．
∵面积 S＝ AB×AC＝ BC×h，
∴h＝30．
故点 A到对岸 BC 的距离是 30 米．
7. 300 米
【分析】：如图，作CE BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt ECB中，tan53 EC 4 x ＝ ，即 = ，
EB 3 y
在Rt AEC中，tan37 EC 3 x ＝ ，即 = ，
AE 4 105 y
解得x＝180，y＝135，
AC＝ EC 2 AE 2＝ 1802 2402＝300（m）
59
8. 60° 3 1
【分析】： ABC中， A、 B都是锐角,sinA＝ ，cosB＝
2 2
A＝ B＝60 ．
C＝180 - A- B＝180 -60 -60 ＝60 ．
9. 2
【分析】：过D作DH AB于H，如图：
Rt BDH 1 DH 1中，tan DBA＝ ， ＝ ，
5 BH 5
设DH＝m，则BH＝5m，
ABC是等腰直角三角形， C＝90 ，AC＝6，
A＝45 ，AB＝ 2AC＝6 2，
AHD是等腰直角三角形，
AH＝m，AD＝ 2m，
AB＝AH BH＝6m， 6m＝6 2，解得m＝ 2，
AD＝ 2m＝2．
10. 6 3 1 2 3
【分析】：原式＝8 ( )2-4 6
2 2 2 3
3
＝8 - 2 2
4
＝6．
11. 293 米/秒
【分析】：由题意可得： APD＝30 ， BPD＝45 ，
AP＝6千米， BDP＝90 ，
在Rt APD中， APD＝30 ，AP＝6千米，
ADP＝90 ，cos APD PD＝cos30 ＝ ，
PA
1
AD＝ AP＝3千米，
2
PD＝PA cos30 3 ＝6 ＝3 （3 千米），
2
在Rt BPD中，
BPD＝45 ，PD＝3 3 BD千米， BDP＝90 ，tan BPD＝tan45 ＝ ，
PD
BD＝PDtan45 ＝3 （3 千米），
故AB＝BD-AD＝3 3-3 5.196-3＝2.196（千米）＝2196米，
则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196 7.5 29（3 米 / 秒），
答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米 / 秒．
60
12. （1）AD 的长为 15 cm， 点 E到 AB 的距离为 58.2 cm
【分析】：
（1）在Rt ADF中，由勾股定理得，
AD＝ AF 2 FD2＝15(cm)；
（2）AE＝AD CD EC＝15 30 15＝60（cm），
如图②，过点E作EH AB于H，
在Rt AEH中，sin EAH EH＝ ，
AE
则EH＝AE sin EAH＝AB sin75 60 0.97＝58.2（cm）．
答：点 E到 AB 的距离为 58.2 cm．
13.（1）直线的解析式为y＝- 3x 3 3
3
（2）所求抛物线的解析式为y＝- （x-6）2 3 3
3
（3）相似
【分析】（：1） 直线y＝kx b与x轴交于点A（3，0），
OA＝3．
tan OAB OB＝ 3，即 ＝ 3，
OA
OB＝3，
点B的坐标为（0，3 3），
又 直线y＝kx b经过点A（3，0）、B（0，3），
代入求出直线的解析式为y＝- 3x 3 3，
答：直线的解析式为y＝﹣ 3x 3 3．
（2）由题意，可得点C的坐标为（6，3 3），
设抛物线的解析式是y＝（a x-6）2 3 3 3，把A的坐标代入求出a＝- ，
3
3
所求抛物线的解析式为y＝- （x﹣6）2 3 3，
3
y 3答：所求抛物线的解析式为 ＝- （x﹣6）2 3 3．
3
3 3（）相似．证明：由（2）得，抛物线y＝- （x﹣6）2 3 3
3
与x轴的另一个交点为点D（9，0），与y轴的交点为E（0，-9 3）．
OD＝9，OE＝9 3，
在 ODE与 OAB中，
DOE＝ AOB＝90 ，且OD：OA＝OE：OB,
∴△ODE∽△OAB．
61
设计意图：
本次作业是 23 的练习，因此题目量上比前面较多一些，共 13 题，预计用时
40 分钟，在题目设计上根据本节的学习目标对知识点在加以巩固，注重对学
生能力的培养，例如第 4题构造合适的直角三角形；第 9题推理得到△AHD 是
等腰直角三角形；第 11 题把实际问题转化成数学问题，第 12 题过点 E 作 EH
⊥AB 于 H，在 Rt△AEH 中，sin∠EAH＝ 培养学生认真审题、提取关键信息
的能力。考察的知识点也比较多，有勾股定理、一次函数、二次函数、行程
问题、等腰直角三角形，让学生感受到数学知识的紧密联系，形成大数学学
习意识。
作业情况分析
题号 题型 知识点 思维方法与能力 水平 难度
勾股定理和正切函
1 选择题 理解、运算能力 A 0.91
数
2 选择题 计算器的使用 操作能力 A 0.82
3 选择题 构造直角三角形 转化能力 A 0.78
4 选择题 正切函数 识图能力 B 0.72
正余弦函数之间的
5 选择题 理解能力 A 0.95
关系
直角三角形的边角
6 填空题 转化的能力 A 0.85
关系
勾股定理、锐角的 转化能力、识图能力
7 填空题 B 0.76
正切值
三角形的内角和、
8 填空题 理解能力 A 0.86
锐角的正弦值
等腰直角三角形、
9 填空题 应用能力 B 0.75
锐角的正切值
62
10 解答题 锐角的三角函数值 计算能力 A 0.90
直角三角形的边角
11 解答题 转化思想 B 0.73
关系
直角三角形的边角
12 解答题 应用能力 C 0.60
关系、勾股定理
一次函数、二次函
13 解答题 函数的思想 C 0.58
数、三角函数
评价设计：
评价要素 1 基本要求 答题的规范性，作业完成的质量，用时
理解锐角三角函数，熟记特殊锐角的三角函数值，理解并掌握
互余两个锐角的正弦、余弦之间关系，熟练运用计算器求出锐
评价要素 2 知识掌握
角的三角函数值，会构造直角三角形运用直角三角形的边角关
系、勾股定理，等腰直角三角形、锐角的正切值解决实际问题
通过练习提高分析图形能力、计算的能力、动手操作能力，学
评价要素 3 思维方法
会利用函数思想、划归思想、数形结合思想解决问题
63

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