资源简介

第 12 章《全等三角形》作业设计
一、单元信息
学 科 年 级 学 期 教 材 版 本 单 元 名 称
基 本
人 教 版
信 息 数 学 八 年 级 第 一 学 期 全 等 三 角 形
（ 201 3）
单 元
组 织 自然单元 □重组单元
方 式
序 号 课 时 名 称 对 应 教 材 内 容
1 全 等 三 角 形 12. 1（ P3 1 - 3 2）
课 时 2 三 角 形 全 等 的 判 定 （ SSS） 12 . 2（ P3 5 - 3 7）
3 三 角 形 全 等 的 判 定 （ SAS） 12 . 2（ P3 7 - 3 9）
信 息
4 三 角 形 全 等 的 判 定 （ ASA、 AA S） 12 . 2（ P3 9 - 4 1）
5 直 角 三 角 形 全 等 的 判 定 （ HL） 12 . 2（ P4 1 - 4 3）
6 三 角 形 全 等 判 定 的 综 合 应 用
二、单元分析
（一）课标要求
1. 经历从实际操作中探索图形特征的过程，形成全等三角形的概念，培理解全等三角
形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、
ASA、AAS、HL），掊养直观能力、抽象能力、模型观念。提高应用数学的意识和能力。
2. 掌握基本的证明方法和基本的作图技能，会用尺规作图完成一些基本作图。
3. 体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数
学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力，能够用数学语言准确表达数学推理和结论，
并能很好地理解他人的思想方法和结论。不断反思，形成批判性思维和创新意识。积累数
学活动经验，发展核心素养。
4.在解决问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活
中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美，养成认真勤奋、独立思考、合作交
流、反思质疑的学习习惯。
1
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《全等三角形》是人教版（2013 ）八年级上册几何与图形中的重要内容，中学阶段重
点研究的两个平面图形之间的关系是全等和相似，本章是以三角形为例研究全等，全等三
角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，全等三角形的内容是学习相似
三角形的重要基础。本章的主要内容是全等三角形的概念和性质、三角形全等的判定方法
以及利用三角形全等进行计算和证明。它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知
识之后出现的。通过对本章的学习,可以丰富、加深学生对已学图形的认识,同时为后面学
习等腰三角形、轴对称等内容做好铺垫,起着承上启下的作用。全等三角形是最简单的全等
图形,在生活中到处可见,它既体现了“生活中处处有数学”的新课标理念,又易于实现“人
人学习有价值的数学”的教学宗旨。全等三角形是构建“空间与图形’知识的重要基石,探
索三角形全等条件的过程中处处体现着在“做中学”的思想。我们要让学生在做中主动获
取知识,在做中体验、感悟三角形全等的数学本质,在做中积累数学活动的经验。要把合情
推理和演绎推理有机地结合在一起，使学生在认知水平、思维能力上有很大的提高。
本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,主要包括用分析法分析题设
（条件）与结论的关系，用综合法书写证明过程，以及掌握证明几何命题的一般步骤。由
于利用证明三角形全等可以证明线段、角等基本元素相等，所以本章的内容也将是后面将
要学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。
（三）学情分析
在当今时代，几何的教与学不仅是数学课程的重要问题，也是教学改革的重大问题。几
何不仅能够培养学生的空间想象力，而且对逻辑推理能力的培养也非常重要。在几何教学
中，作为初中数学严格演绎推理开端的全等三角形的学习，对以后的数学学习将会产生深
远的影响。因此，以本校的八年级学生为研究对象，采用访谈法、作业分析法和问卷调查
法，研究八年级学生全等三角形的学习情况，并将学生遇到的困难分类整理并进行归因分
2
析，最后提出相应的教学策略，对实际教学能起到一定的理论参考价值和实践指导意义。
通过调查与研究，发现学生在学习《全等三角形》一章时，大部分学生基础知识掌握比较
扎实，能够运用所学知识解决问题，但是也有相当一部分学生掌握不佳，具体表现在：（1）
基础知识方面：对概念和关键词语不理解；（2）基本技能方面：识图能力薄弱，空间想象
力较差，从复杂图形中抽象出基本图形的能力不强。逻辑推理能力薄弱，理不清命题的题
设（条件）和结论，不能恰当选择或运用定理，思维不够活跃，解题过程书写不够严谨，
几何语言表达不够规范；（3）基本方法方面：不能形成系统的学习几何的思想方法，单独
的知识点学习还行，综合应用时力不从心；（4）基本思想方面：不能将实际问题抽象成数
学问题，数学建模能力较差，将复杂图形转化为基本图形的思想，数形结合的思想，用方
程解决实际问题的思想有所欠缺，针对此种现象，实际教学中应做好以下几方面工作：（1）
注重“四基”能力培养，加强全等三角形概念教学，深化对全等三角形概念的理解；加强
概念对问题解决的指导作用。（2）加强全等三角形命题教学，加强学法指导，让学生充分
参与课堂，探究三角形全等的判定定理；（3）加强证明训练，注重推理能力的培养；增强
命题的运用能力，培养学生应用数学的意识和能力。
三、单元学习与作业目标
1.理解并掌握全等三角形的概念和性质。
2.经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边
角边”“角边角”）和定理“角角边”，以及直角三角形全等的判定方法“HL”。能灵活
运用这几种判定方法判定两个三角形全等。
3.熟练运用全等三角形的性质和判定解决问题。发展学生的抽象能力 、几何直观、推
理意识、符号意识、创新意识等核心素养，培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、单元作业设计思路
本单元主要是让学生通过探究活动，归纳总结出全等三角形的性质和三角形全等的判定
方法，在理解并掌握全等三角形的性质和三角形全等的判定前提下，用几何语言规范书写
证明或解答的基本过程,具备一定的几何推理能力。在学习全等三角形之前已经学习了图形
的初步认识,相交线和平行线,三角形以及命题与证明,后续还会学习轴对称、勾股定理、四
边形、图形的变换方式等，这些都与全等三角形有关。因此学好全等显得尤为重要。特别
是本章开始将会出现复杂的证明过程,在初次学习全等知识时,要求学生将对应元素的字母
写在对应位置上,因此要求也更高。实际教学中应该适当慢下来，注重培养学生从复杂的图
3
形中抽象出基本图形的能力,提高分析能力,明确所给条件的意图。教学中,要循序渐进,给
学生留下足够的思考和领悟时间。同时借助我校近年来开展智慧课堂积累的经验，利用 C30
智慧教学平台每日推送两到三题基本练习，以巩固基础知识，提高基本技能，传授基本方
法，规范解题过程。平台会根据学生做答情况给出分析，找出共性错误，然后每周再进行
针对性的错题回练，经过几个学期的坚持，学生的学业水平和学习能力得到了很大的提升。
五、课时作业
第一课时（12.1 全等三角形）
作业 1（基础性作业)
1.作业内容
⑴下列各组图形中是全等图形的是 （ ）
⑵如图将△ABC 沿 AC 翻折 180°后与△ADC 重合，请用全等符号表示两个三角形全等，并写
出所有的对应边和对应角。
⑶如图，△ABC≌△DEC，∠A=∠D，AC=DC，则下列结论：①BC=EC；②AB=DE；
③∠ACE=∠DCA；④∠ACD=∠BCE．成立的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
第（2）题图 第（3）题图
4
参考答案：（1）B （2）△ABC≌△ADC，对应边：AB 与 AD，BC 与 DC，AC 与 AC，对应角：
∠B与∠D，∠ACD 与∠ACB，∠BAC 与∠DAC，（3）B
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、无
过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查全等形及全等三角形的概念，会从大小、形状两个方面去判断两个三角
形是否全等。第（2）题考查对应边、对应角的相关知识，让学生掌握确定对应边和对应角
的方法和技巧（如：公共边是对应边，公共角是对应角，长边对长边，大角对大角等）。
了解全等三角形与位置无关，只要大小和形状相同即可。第（3）题考查全等三角形的性质。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
⑴如图（1），△ABC≌△ADE，下列说法中不正确的是（ ）
A.∠B=∠D B.CB=ED C.∠BAE=∠CAD D.AC∥DE
⑵如图（2），△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
求∠DEF 的度数和 CF 的长．
⑶如图（3），△ABE≌△ACD，如果 AB=5cm, BD= 3cm，那么 AE 的长是 （ ）
A.2cm B.3cm
C.4cm D.5cm
（1） （2） （3） 5
参考答案：（1）D （2）解：如图，∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF=∠B＝50°，BC=EF=7，
∴CF=BC－BF=7-4=3
（3）A
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
答题的准确性
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题要求学生根据全等三角形的对应边相等、对应角分别相等的性质，快速找到
相等的线段或角，从而对得到的信息进行再加工。第（2）题培养学生认真观察的习惯，从
而准确确定对应边和对应角。第（3）题认真观察并找准全等三角形的对应边是解决问题的
关键，本题不能由全等三角形的对应边相等直接得到，需要对条件进行再次加工，因此小
有难度。这几个题目的主要目的是培养学生认真观察，善于思考的意识和能力，并且形成
初步的几何推理能力。
第二课时 12.2.1 三角形全等的判定（SSS）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图（1），在△ABC 中，AB=AC，EB=EC，则，由“SSS”可以判定（ ）
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE C.△EBD≌△ECD D.以上都不对
（2）已知：如图（2），AB=AD，BC=DC,∠B＝40°求：∠D 的度数.
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（3）如图（3），在△ABC 与△ADE 中，E在 BC 边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
（1） （2） （3）
参考答案：（1）B （2）解：如图，在△ABC 和△ADC 中 （3）25°
AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠D =∠B=40°
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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4.作业分析与设计意图
第（1）题是让学生明确公共边是对应边这样的隐藏条件，从而加上给出的条件用 SSS
可判定两个三角形全等；第（2）题是在证三角形全等的基础上再利用全等三角形的对应角
相等来求解，目的是考查全等三角形的判定 SSS 和性质的应用，第（3）题也是需要先证明
全等再用性质才能解决问题。这几个题目的设计体现出层层递进，有一定的梯度，因此解
起来应该不难，主要目的是让学生明白公共边是对应边，要用全等三角形的性质就必须先
证明三角形全等，培养几何直观和推理能力。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图（1），若 AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠A=45°，∠C=85°.则∠E的度数是（ ）
A.30° B.40° C.50° D.65°
（2）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图（2），∠AOB 是一个任意角，在
边 OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N重合．过角
尺顶点 C作射线 OC．由作法得△MOC≌△NOC 的依据是______．
（3）如图（3），已知 AB，CD 相交于点 O，且 AB=DC，AC=DB，∠A=65°，∠ACD=45°．
①求证：∠A=∠D； ②求∠AOD 的度数．
（1） （2） （3）
参考答案：（1）C （2）SSS （3）①证明：如图，连接 BC，在△ABC 和△DCB 中
AB=DC
BC=CB
AC=DB
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠A=∠D
②解：由①得∠D=∠A=65°
∴∠AOD=∠ACD+∠D=65°+45°=110°
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
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作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题是要先用 SSS 判定两个三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等和三角
形的内角和定理求解，考查综合应用所学知识解决问题的能力，感受数学知识相互之间的
联系。第（2）题是考查用 SSS 判定三角形全等来证明尺规作图作一个角等于已知角的合理
性，让学生明白作图也必须有理论依据，培养严谨的数学思想和严谨的推理习惯。第（3）
题难度较大，学生可能首先会想到证明两个现有的三角形全等，但是在找条件时却发现条
件不够，这里需要用到了添加辅助线构造全等三角形，再证明全等，然后利用全等三角形
的性质解决问题，本题讲解时引导学生采用“由果索因”的推理方式进行分析。培养学生
的想象力和推理能力，同时形成添加辅助线的意识和能力。
第三课时 12.2.3 三角形全等的判定（SAS）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
⑴如图（1），已知 AB=AC，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，可添加的条件为（ ）
A. BD=CE B. AD=AE C.CE∥AB D.∠BAD=∠CAE
⑵如图（2），AD=BC，∠DAB=∠CBA，由此可得下列哪组三角形全等（ ）
A. △ABC≌△BAD B. △AOC≌△AOB C. △BOD≌△AOB D. 没有全等三角形
⑶如图（3），已知点 B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
求证：AC∥DF．
（1） （2） （3） 9
参考答案：（1）B （2）A
（3）证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B=∠E
又∵BF＝CE
∴BF+CF=CE+CF
即 BC=EF
在△ABC 与△DEF 中
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB=∠DFE
∴AC∥DF
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题是考查用 SAS 判定两个三角形全等，已有的两边对应相等，根据已学过的判
定方法可用 SSS 或 SAS 证明全等，因此从四个选项中很容易选出正确答案。第（2）题是考
查学生抽象基本图形的能力，公共边是对应边，再加上已知条件从而判定两个三角形全等。
第（3）题难度较大，考查综合应用所学知识解决问题的能力，先证明全等，然后利用全等
三角形的性质得到对应角相等，再根据“内错角相等，两直线平行”来解决问题，本题讲
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解时引导学生采用“由果索因”进行分析。要证明平行就需要证角相等，要证明角相等则
需要证明这两个角所在的三角形全等，培养学生的推理能力和应用意识。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
⑴ 已 知 :如 图 （ 1） , AB=DB,CB=EB,∠ 1＝ ∠ 2， 求 证 :∠ A=∠ D.
⑵已知：如图（2）,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:① AD=CD； ② DB 平分∠ ADC.
⑶ 已 知 ： 如 图 （ 3） ， ∠BED=90°，BE=DE，AE=CE.
求证：①△BCE≌△DAE ②DF⊥BC
（1） （2） （3）
参考答案：（1）证明：∵∠1=∠2，∠DBC 是公共角，
∴∠ABC=∠EBD.
在△ABC 与△EBD 中，AB=DB，∠ABC=∠EBD，CB=EB，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠A=∠D.
（2）证明： （3）证明：①如图，∵∠BEC=∠DEA=90°
①在△ABD 和△CBD 中，
又∵BE=DE，AE=CE
∴△BCE≌△DAE(SAS)
∴∠B=∠D
又∵∠B+∠C=90°
∴△ABD≌△CBD(SAS)
∴AD=CD ∴∠D+∠C=90°
②由①可知：△ABD≌△CBD,
∴∠ADB=∠CDB ∴∠CFD=90°
∴ DB 平分∠ ADC
∴DF⊥BC
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
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作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）考查用 SAS 判定全等以及全等三角形性质的综合应用，要用性质就必须先判定
全等，第（2）题找出隐含条件是关键，要求学生牢记这种基本图形，从而快速解决问题，
第（3）题要求学生弄明白所给条件的作用，由垂直可得到两个直角，这两个角相等，从而
得到一组对应角相等，再加上已知条件可证明三角形全等，再用全等三角形的性质来解决
问题，本题综合性较强。有一定难度，可适当提示。可适当拓展，AD 与 BC 有怎样的关系？
第四课时 12.2.4 三角形全等的判定（ASA、AAS）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
⑴打碎的一块三角形玻璃如图（1），要去玻璃店配完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
⑵如图（2），在△ABC 和△DEF 中，点 B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，
请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加
辅助线）。
⑶如图（3），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 E．AD⊥CE 于点 D．
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求证：①△BEC≌△CDA．②直接写出 AD、DE、BE 三条线段的长度关系（不用证明）
（1） （2） （3）
参考答案：（1）A （2）AB=DE 或∠ACB=∠DFE 或∠A=∠D 或 AC∥FD
(3)（提示：本题可将线段 AB 给去掉，便于去找条件，并且不受干扰）证明：如图，
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠BEC=∠ADC=∠ACB=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°
∴∠CBE=∠ACD
又∵AC=CB
∴△BEC≌△CDA(AAS)
②AD=DE+BE
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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4.作业分析与设计意图
第（1）题考查用 AAS 判定两个三角形全等，让学生感受数学知识在生活中的实际应用，
体会数学知识对生活实际的指导意义，感受数学的应用价值。第（2）题是一个条件开放题，
是考查综合运用所学的 SAS，ASA，AAS 判定方法来添加适当的条件，思路是先标出已知条
件，再根据所选择的判定方法去添加条件，第（3）题需要挖掘隐藏条件，再对所给条件进
行加工处理后才能得到证明全等所需的条件，本题可采用由果索因的方法去思考。同时引
导学生学会从复杂的图形中抽象出基本图形，也可将图中的线段 AB 去掉，能快速找到全等
三角形。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
⑴如图（1），已知 AC＝CD．∠1＝∠2，要使△ABC≌△DEC，还需添加一个条件，这个条
件可以是 （只需写出一个即可）．
⑵如图（2），在△ABC 中，D是边 AB 上一点，E是 AC 边的中点，过点 C作 CF∥AB 交 DE
的延长线于点 F．
①证明：△ADE≌△CFE；②若 AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求 DB 的长．
⑶已知：如图（3）AB∥CD，AB＝CD，AD，BC 交于 O，BE∥CF，BE，CF 分别交 AD 于 E，F.
求证：①△AOB≌△DOC；②BE=CF
（1） （2） （3）
参考答案：（1）BC=EC 或∠A＝∠D或∠B＝∠E,
(2) ①证明：如图，∵E是边 AC 的中点 ②∵CE＝5，
∴AE=EC ∴AB=AC=2CE=10
又∵ CF∥AB 由①得△ADE≌△CFE
∴∠A＝∠ECF ∴AD=CF＝7
又∵ ∠AED＝∠CEF DB=AB-AD=3
∴ △ADE≌△CFE(ASA)
②∵由①△AOB≌△DOC
（3）证明：①∵AB∥CD，
∴OB=OC，∠AOB＝∠COD
∴∠A＝∠D，∠ABO＝∠DCO
又∵BE∥CF
又∵AB＝CD ∴∠EBO＝∠FCO
∴△AOB≌△DOC（ASA） ∴△EOB≌△FOC（ASA）
∴BE=CF 14
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题是一个条件开放题，是考查综合运用所学的 SAS，ASA，AAS 判定方法来添加
适当的条件，思路是先标出已知条件，再根据所选择的判定方法添加条件，最适合用“由
果索因”来分析，不行的话再换，经过多次尝试就会总结出一定的经验。第（2）题考查三
角形全等的判定和全等三角形的性质综合应用，先判定两个三角形全等，再用全等的性质
来解决问题，第（3）题需要对所给条件进行加工处理后才能得到证明全等所需的条件，同
时考查全等的性质和判定的综合应用，本题也可采用“由果索因”的方法去思考。
第五课时 12.2.5 直角三角形全等的判定（HL）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
⑴有下列条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一个锐角对应相等；③斜边和一条直角
边对应相等；④一条直角边和一个锐角对应相等．其中能判定两个直角三角形全等的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
⑵如图为 6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ （ ）
A．90° B．135° C．150° D．180°
⑶如图所示，点 B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，
连接 AC、DF，且 AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
15
参考答案：（1）D,(2)B
（3）证明：如图，∵AB⊥BE，DE⊥BE 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中
∴∠B＝∠E=90° AC=DF
∵BF=CE BC=EF
∴BF+FC=CE+FC ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
即 BC=EF ∴AB=DE
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，
过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题是让学生明白一般三角形全等的判定方法也可以用来判定直角三角形全等，
除此之外还有专用的判定方法“HL”，第（2）题考查直观能力，要能够快速找出全等三角
形，再综合应用全等判定和性质以及三角形相关知识分析解决问题，第（3）题转化为用全
等来证明线段相等，实质还是证明全等，考查全等三角形的性质和判定的综合应用。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
⑴ 如 图 ⑴ ， 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 在 BC 上，沿 AD 翻折后使 C点落在 AB 边
上的 E点，若 AC=4，AB=6，则 BE 的长为 。
⑵ 如图⑵，P是∠BAC 内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点 E，F，AE=AF．
求证：PE=PF.
16
⑶ 如图⑶，已 AD 和 AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，
如果 AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．
⑴ ⑵ ⑶
参考答案：（1）2
（2）证明：如图，连接 AP,∵PE⊥AB，PF⊥AC （3）证明：由已知可得∠ADB=∠AFB=90°
∴∠AEP=∠AFP=90° 又∵AD=AF，AB=AB
在 Rt△APE 和 Rt△APF 中 ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)
AP=AP ∴BD=BF 同理，CD=EF
AE=AF ∴BD－CD=BF－EF
∴Rt△APE≌Rt△APF(HL)
∴BC=BE
∴PE=PF
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
17
4.作业分析与设计意图
第（1）题综合运用直角三角形全等的判定 HL 和全等三角形的性质，但是要注意
的是用 HL 的前提是必须说明两个三角形为直角三角形；第（2）题需要先添加辅助线
构造全等三角形，再用 HL 证明两个直角三角形全等再用全等的性质解决问题；第（3）
题需要证明两次全等才能解决，本题让学生尝试用由果索因的方法进行分析，然后再
顺着写出证明过程即可，本题有一定的难度，可小组合作探究，养成合作学习的意识，
培养合作学习的能力，在合作学习的过程中感受合作学习的好处和乐趣。
第六课时 全等三角形的性质与判定的综合应用
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，点 E、F分别在 AD 和 AD 延长线上，DE=DF，连接 BF、CE．下
列说法：①△BDF≌△CDE,②CE=BF,③CE∥BF,④△ABD≌△ACD，其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
（2）如图②，点 F、C在线段 BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补
充一个条件______．（只要填一个）
（3）如图③，在下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B. AC=BD，∠A=∠D C. AB=DC，∠ABC=∠DCB D. BO=CO，∠A=∠D
① ② ③
参考答案：（1）B
（2）AC=DF 或∠A=∠D 或∠B=∠E， 注意：不要踩“SSA”这个坑。
（3）B，提示：“SSA”不能判定全等
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
18
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）考查全等三角形的性质和三角形全等判定方法综合应用，第（2）、（3）题考
查全等的判定方法综合应用，要求学生要灵活掌握几种判定三角形全等的方法，并选择用
最直接的方法证明三角形全等，尤其要注意的是 SSA 不能用来判定两个三角形全等。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图①，在△ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 BC、AC 边上，且∠1=∠B，AD=DE，
求证：DB=EC．
（2）已知：如图②，AB 和 CD 相交于点 O．AC∥BD，
请添加一个条件 ______，使得△ACO≌△BDO，然后再加以证明．
（3）已知：如图③，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.
（4）如图④，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．
猜想线段 CD 与 BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
① ② ③ ④
19
作业 3（综合实践作业）
如图，化学实验室有一个小口圆柱型容器，李老师想让大家帮忙测量一下该容器的内部
直径，请你们以小组为单位，分工合作，制定测量方案，并完成实际测量，同时用所学知
识证明方案的合理性。最后课代表队收集各小组测量数学并汇总。
参考答案：
（1）证明：∵∠1+∠EDC=∠B+∠BAD，∠1=∠B
（2）AC=DB 或 AO=BO 或 CO=DO
∴∠EDC=∠BAD
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
又∵AD=DE，
∴△ADB≌△DEC（AAS
∴DB=EC
（3）证明：如图，在 AB 上截取 AF=AC，连接 DF， （4）解：CD⊥BE，CD=BE
在△AFD 和△ACD 中， 理由：∵AD⊥AB，AE⊥AC
AF=AC ∴∠BAD＝∠CAE=90°
∠1＝∠2 F ∴∠BAD+∠BAD＝∠CAE+∠CAE
AD=AD 即∠BAE＝∠DAC
∴△AFD≌△ACD（SAS） 又∵AD＝AB，AE＝AC
∴DF=DC，∠AFD=∠ACD ∴△BAE≌△DAC（SAS）
又∵∠C＝2∠B ∴CD=BE，∠ADC＝∠ABE
∴∠FDB＝∠B 又∵∠AGD＝∠FGB
∴FD=FB ∴∠BFD＝∠BAD=90°
∴AB=AF+FB=AC+FD=AC+CD ∴CD⊥BE
本题可将线段 BD，BC，CE 去掉，
抽象出“手拉手”基本图形。
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标
A B C 备注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
20
4.作业分析与设计意图
第（1）题是让学生知道在图形中用不同的记号标出对应相等的元素非常是有必要的，
考查归纳、总结经验的能力；第（2）题为条件开放题，由已知条件只能得到三个角对应相
等，而证明全等的条件中至少有一组条件是边相等，因些本题只需要找到一组边对应相等
即可；第（3）题考查作辅助线以及综合应用全等的性质和判定，本题通过“截长补短”转
化为证明两条线段相等即可轻松解决，主要拓展学生的思维能力；第（4）题考查三角形全
等判定的综合应用，要在猜测的基础上，寻求解决问题的方法，通过角的数量关系证明两
条直线垂直，目的是培养数学模型观念，提高学生的推理能力和应用意识和创新意识；综
合实践作业设计是为了提高学生应用数学的意识，培养动手操作能力和建模思想。
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1.已知 AB=AD，BC=BD，且∠B=105°，∠BAD=80°，则∠ACD 等于（ ）
A.30° B.35° C.40° D.50°
2.下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相
等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤周长和面积分
别相等的三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
3.在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠C=∠C′，BC=B′C′，添加下列条件中的一个，仍不能使
△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A. AC=A′C′ B. AB=A′B′ C.∠B=∠B′ D. ∠A=∠A′
4.如图，在方格纸中，以 AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，
从 P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点 P，则点 P有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5.如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，且点 B，C，E在同一直线上，
则下列结论不一定成立的是（ ）
A.△ACE≌△BCD B.△ABD≌△ACE C.∠CAE=∠CBD D.AE=BD
21
第 1 题 第 4 题 第 5 题
二、填空题（请将正确答案写在横线上）
6.如图，在△ADC 与△BDC 中，AD=BD，加上条件 ______
（只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC.
7.如图，△ABC≌△ADE，BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G，∠D=28°，
∠E=110°，∠DAC=18°，则∠DGB=______．
8.如图，以△ABC 的边 AB、AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE，线段 BE、CD 交于点 O，∠BOC
的度数是 °．
9.如图，已知△ABC 中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=8cm，点 D为 AB 的中点．如果点 P 在线
段 BC 上以 2cm/s 的速度由点 B向点 C运动，同时，点 Q在线段 CA 上由点 C向点 A运动．
①若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 ______秒后，△BPD≌△CQP；
②若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为 ______cm/s 时，能够
使△BPD 与△CQP 全等？
第 6 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题
三、解答题
10.已知：如图：OA=OD，OB=OC．求证：∠B=∠C．
11.如图：在△ABC 中，D在 BC 上，E在 AD 上，若 AB=AC，DB=DC．求证：EB=EC．
12.如图，在△ABC 中，D为 AB 上一点，E为 AC 的中点，连接 DE 并延长至点 F，使得 EF=ED，
连接 CF．
（1）求证：CF∥AB;
（2）若∠ABC=40°，连接 BE，BE 平分∠ABC，CA 平分∠BCF，求∠A的度数．
第 10 题 第 11 题 第 12 题
22
参考答案：
1. B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.AC=BC 或∠ADC=∠BDC 或 CD 平分∠ADB 7.60° 8.120 9. 1 、 3
10.证明：如图，在△AOB 和△COD 中
OA=OD
∠AOB=∠DOC
OB=OC
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴∠B=∠C
11.证明：如图，在△ABD 和△ACD 中
AB=AC
AD=AD
DB=DC
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD
在△ABE 和△ACE 中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
∴△ABE≌△ACE(SAS)
∴EB=EC
12.(1)证明：∵ E为 AC 的中点， (2)解：∵ CA 平分∠BCF
∴ AE=CE． ∴ ∠ACB=∠ACF
在△AED 和△CEF 中， ∵ ∠A=∠ACF，
∴ ∠A=∠ACB ，
AE=CE ∵ ∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠ABC=40°
∠AED=∠CEF ∴ 2∠A=180°-40°=140°
∴ ∠A=70°
DE=FE
∴△AED≌△CEF（SAS）
∴ ∠A=∠ACF
∴ CF∥AB
23
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 原创
2 选择题 2、3 √ 中 改编
3 选择题 2 √ 易 原创
4 选择题 2、3 √ 中 选编
5 选择题 2、3 √ 中 原创
6 填空题 2 √ 中 原创
30 分钟
7 填空题 1、2 √ 易 原创
8 填空题 2、3 √ 中 原创
9 填空题 2、3 √ 较难 改编
10 解答题 2 √ 易 原创
11 解答题 2、3 √ 中 原创
12 解答题 2、3 √ 较难 改编
24

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