资源简介

第17章 一元二次方程 单元作业设计
目录
一、单元信息............................................1
二、单元分析............................................1
三、单元学习与作业目标..................................4
四、单元作业设计思路....................................5
五、课时作业
（一）第一课时..............................................6
（二）第二课时..............................................8
（三）第三课时.............................................10
（四）第四课时.............................................13
（五）第五课时.............................................15
（六）第六课时.............................................17
（七）第七课时.............................................20
（八）第八课时.............................................22
六、单元质量检测作业...................................27
七、数学小史...........................................30
八、作业参考答案.......................................31
第17章 一元二次方程 单元作业设计
一、 单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第二学期 沪科版 一元二次方程
单元
组织 自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 一元二次方程 第 17.1(P19-22)
2 配方法 第 17.2(P23-25)
课时 3 公式法 第 17.2(P26-28)
信息 4 因式分解法 第 17.2(P28-30)
5 根的判别式 第 17.3(P34-36)
6 根与系数的关系 第 17.4(P37-40)
7 代数问题 第 17.5(P41-42)
8 几何问题和简单的分式方程 第 17.5(P42-44)
二、单元分析
（一）课标要求
义务教育数学课程以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人
根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育,
不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养.
1.内容要求
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，课程标准对本单元的要求是：能
根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程,理解方程解的意义；了解
一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想，及其与一元一次方
程的联系，体会转化等数学思想方法；理解配方法的意义，能用开平方法、配方法、
公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别
方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次方程的根与系数的关系；能根据
具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，包括可化为一元二次方程的分式方程并
求解，并能根据具体问题的实际意义检验求得的结果是否合理；在经历建立方程模型
解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力，体会建模意识和符号化思
想,感受数学的应用价值.
2.学业要求
能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有
效的数学模型；能根据一元二次方程的特征，选择配方法，公式法，因式分解法解数
字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个
实数根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；知
道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的
实际意义，检验方程的解是否合理.建立模型观念.
1
3.教学提示
应当让学生经历对现实问题中量的分析，经历模型化的过程，建立两个量之间的
关系，知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达；引导学生关注用字
母表示一元二次方程的系数，感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算术与代数的
差异.在教学过程中，要关注数学知识与实际的结合，让学生在实际背景中理解数量
关系和变化规律，经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程，形
成模型观念；能在比较复杂的情境中，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解
决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力.
（二）教材分析
1.知识网络
（1）横向网络
2
（2）纵向网络
2.内容分析
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要的地位.
通过对一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、因式分解、
二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其他高次方
程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础.
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章
教材中都有比较多的体现、应用和提升.解一元二次方程的基本策略是将其转化
为一次方程，这就是降次，在一元二次方程解法的学习中，无论是配方法、公式
法，还是因式分解法，无不体现这一思想.一元二次方程根与系数的关系体现方
程的根与系数之间的内在联系，也是中考的一个热点这节内容在题型上变化较多,
运用的思想方法也很灵活多样，是本章的一个难点.
从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其他学科也有着重要的作用,
比如在物理学中，变速运动、能量守恒等问题都需要通过列、解一元二次方程来
解决.想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法,
因此，一元二次方程的解法是本章的重点.
本章主要内容有三个部分：第一部分内容是一元二次方程的基本概念及解法;
第二部分内容是一元二次方程根的性质；第三部分内容是一元二次方程的应用.
第一部分内容通过实际问题，引入一元二次方程，体现方程是刻画现实世界
的有效数学模型，通过思考、探究、交流等学习活动，运用转化的思想，讨论了
一元二次方程的几种解法.
第二部分的内容是研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.
3
第三部分的内容是运用一元二次方程解决实际问题，强化模型观念，展现运
用方程解决实际问题的一般过程.同时，结合实际问题介绍可化为一元二次方程
的分式方程的解法.
（三）学情分析
从学生的认知规律看：学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一
次函数的相关知识及应用，在“一次方程与方程组”一章中，学生已经经历了由
具体问题抽象出数学模型的过程，初步形成了一定的数学模型观念.同时，在以
往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验,
具备了一定的合作与交流的能力.
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级（下）的学生已经具有一定的自主
学习能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，初步具备进一步研
究方程的能力并在心灵深处渴望自己是一个发现者、研究者和探究者.但是，学
生的思维方式和思维习惯还不够完善，数学的运算能力、推理能力尚且不足.因
此，应加强学生积极参与教学活动的意识和集体荣誉感，培养学生的观察能力和
判断能力，开拓学生思维，培养学生的创新意识.因此，本单元的学习难点是：
一元二次方程的解法、根的性质及其应用，提高学生的数学运算能力和数学推理
能力.
我校位于市主城区，学生整体素质较高。在七年级时，学生对一元一次方程
的概念整体已掌握地较好，能熟练解整数系数的一元一次方程，但是在方程思想
的领会和模型观念的建立上有一定的欠缺.通过类比一元一次方程概念得出一元
二次方程的概念，并探索归纳一元二次方程的解法.通过分析实际问题中的数量
关系，列一元二次方程的过程，强化模型观念，感受方程的应用价值.
三、单元学习与作业目标
（一）单元学习
单元教学设计强调教师考虑学生心理认知发展特点,从促进学生对知识的系
统性掌握和落实核心素养的角度出发,宏观的把握教学内容.在一元二次方程内容
体系中蕴含着多种数学核心素养,是渗透方程思想的重要途径.一元二次方程的学
习不仅对初高中数学知识起着承上启下的作用,而且对于提高学生的运算能力具
有促进作用.
本单元在初中数学中占有极其重要的地位，主要体现在一元二次方程是在学
习了一元一次方程、二元一次方程组的基础上进一步深入学习，整式方程是对以
前的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等基础知识的巩固和深化，同时
又是以后学习一元二次不等式、二次函数的基础.
学习本单元除了让学生的知识体系更加完整化和系统化之外，对于培养学生
的数学思想方面起到至关重要的作用.让学生进一步体会方程的模型思想，会选
用恰当的方法解数字系数的一元二次方程，然后应用一元二次方程解决实际问题,
并初步学会从数学的角度去观察事物思考问题，激发学习数学的兴趣以及学好数
学的愿望.
4
（二）作业目标
1.通过对实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会方程是刻画现实世界
的一种数学模型.
2.知道一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及
其与一元一次方程的联系，体会转化等数学思想方法.
3.理解配方法的意义，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数
字系数的一元二次方程.
4.理解一元二次方程根的判别式，不需解方程，会用它判别一元二次方程
有无实数根，有实数根时，两根相等或不等.
5.知道一元二次方程的根与系数的关系.
6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，包括可化为一元二
次方程的分式方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验求得的结果是否
合理.
7.通过建立方程模型解决实际问题的过程，提高分析问题和解决问题的能
力，体会数学模型和符号化思想，感受数学的应用价值.
四、单元作业设计思路
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：义务教育阶段的数学课程要面
向全体学生，适应学生个性的发展，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的
人在数学上得到不同的发展,课程内容的呈现应该注意层次化和多样化，以满足学生
的不同学习需求.实施分层作业有利于学生在完成适合自己的作业中都取得成功，获
得轻松、愉快、满足的心理体验，有利于优化学生的思维品质.
在“双减”政策和新课程标准的背景下，分层设计作业.每课时均设计“基础
性作业”（面向全体，体现课标，题量3-4 题，要求学生必做）和“发展性作业”
（体现个性化，探究性、实践性，题量3-4 题，要求学生有选择的完成）.具体设计
体系如下：
常规联系
基础性作业 整合运用
思维拓展
作业设计体系
探究性作业
实践性作业
发展性作业
个性化作业
跨学科作业
5
五、课时作业
课时目标：
1. 知道一元二次方程及相关概念，会应用概念解决一些简单题目.
2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.
3. 通过抽象一元二次方程概念的过程，初步形成抽象能力，提高分析及解决问题
的能力，体会建模思想.
4. 通过对实际问题的探索，感受方程是刻画现实世界的一种数学模型，体会数学
知识的应用价值，提高数学的学习兴趣.
重点：一元二次方程的意义及一般形式.
难点：探求问题中的等量关系，建立方程模型.
1.作业内容
（1）下列方程中，是一元二次方程的是( )
1
A. 2 + 1 = 0 B. 3 + 1 = 5 + 4
2
C. 2 + + = 0 D. 2 = 3
（2）一元二次方程4 2 3 = 7的二次项系数是_____，一次项系数是____，
常数项是_____．
（3）若关于 的一元二次方程 2 2 + = 0有一个解为 = 1，则 的值
为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
6
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生理解一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定
义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最
高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程；第（2）题考查一元二次方程的二次
项系数、一次项系数和常数项是对方程的一般形式而言的，要确定它们，必须先
把方程化成一般形式；第（3）题考查一元二次方程的解的意义：能使一元二次方
程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
1.作业内容
（1）已知关于 的方程(2 + 1) 2 + 4 + 1 = 0．
① 为何值时，此方程是一元一次方程？
② 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次
项系数、一次项系数及常数项．
（2）已知关于 的一元二次方程( 1) 2 2 + 2 1 = 0有一个根为 = 0,
则 =______．
（3）已知一元二次方程 2 + + = 0满足 + = 0，则此方程必有
一根为______．
（4）（选做）已知 2 3 + 1 = 0，求 2 + 12的值．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
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4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义，掌握
一元一次方程和一元二次方程的定义是解决本题的关键：当二次项系数等于零，
一次项系数不等于零时是一元一次方程，当二次项系数不等于零时是一元二次方
程；第（2）题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数
的值是一元二次方程的解，同时也考查了“二次项系数不为0”这个隐藏条件；第
（3）题考查一元二次方程的解，由满足的条件去推导该方程的解；第（4）题考
查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
2 3 + 1 = 0 + 1方程的解，解决本题的关键是把方程 变形得到 = 3；利用完

1 1
全平方公式得到 2 + 2 = ( + )2 2，然后利用整体代入的方法计算．
课时目标：
1. 理解一元二次方程降次的转化思想.
2. 会用直接开平方法解形如( + )2 = （ 0）的一元二次方程.
3. 理解配方法的意义，知道配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解数字系
数的一元二次方程.
4. 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，体会转化的数学思想方法，增强知
识的应用意识，激发学习兴趣.
重点：会用配方法解一元二次方程.
难点：理解配方的基本过程.
1.作业内容
（1）直接开平方解方程：2( 2)2 4 = 0．
（2）用配方法解方程 2 + 10 + 16 = 0．
解：移项，得 ．
两边同时加52，得 + 52 = + 52．
左边写成完全平方式的形式，得 ．
开平方，得 ．
解得 ．
（3）用配方法解一元二次方程 2 8 9 = 0
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
8
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握直接开平方
法解方程的步骤是解题关键，需要学生把（ 2）视为一个整体，渗透换元的思
想，用开平方来求解；第（2）题强调书写的规范性，让学生明白配方法每一步的
必要性和合理性；第（3）题要求学生掌握一元二次方程的解法--配方法，配方法
的一般步骤：先把常数项移到等号的右边；再把二次项的系数化为1；然后等式两
边同时加上一次项系数一半的平方,最后用直接开平方法求解.掌握其解法的一般
步骤，能够加深学生配方法的理解.
1.作业内容
（1）用配方法解一元二次方程2 2 3 1 = 0，配方正确的是( )
3
A. ( )2 = 17 B. ( 3 )2 = 1
4 16 4 2
( 3C. )2 = 13 3 11D. ( )2 =
2 4 2 4
（2）用配方法解方程：5 2 2 = ．
（3）利用配方法求代数式 2 10 + 1的最大值或最小值.
（4）（选做题）用配方法解关于 的方程： 2 + + = 0．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
9
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生掌握一元二次方程的解法：配方法.掌握其解法的一
般步骤,能够加深学生对配方法的理解，配方法其本质就是将一元二次方程通过配方
转化成可直接开平方解方程的方法；第（2）题要求学生掌握对于二次项系数不为1
的情形下该如何处理，培养学生善于观察分析、乐于探索的学习品质；第（3）题
考查学生对配方法的应用，配方法是中学数学中解决代数问题的一种常用方法,方
法的实质是将代数式 2+ 配成 ( + )2 + 的形式，然后根据完全平方式的非负
性求代数式的最小值，它的理论依据是完全平方式，检查学生对配方法理解的同时,
培养学生的运算能力；第（4）题考查一元二次方程的解法--配方法：将一元二次
2 4
方程配成( + )2 = 的形式，然后讨论：当 2 4 ≥ 0时，利用直接开平方
2 4
法解方程;当 2 4 < 0时，利用负数没有平方根可判断方程没有实数根．
课时目标：
1. 会用配方法推导一元二次方程求根公式，熟练地运用求根公式解一元二次方程.
2. 通过对求根公式的推导，提高推理能力，以及求简意识和创新精神，发展分析
问题、解决问题的能力，进一步体会分类讨论和化归思想，认识到配方法是推导
求根公式的关键.
3. 通过运用公式法解一元二次方程，提高运算能力，并从学习活动中获得成功体
验，建立学好数学的自信心.
重点：一元二次方程的求根公式的灵活运用.
难点：如何运用配方法推导求根公式.
1.作业内容
（1）一元二次方程 2 + + = 0( , , 都是常数，且 ≠ 0)的求根公式
是 ，用求根公式的前提条件是 ．
10
（2）用公式法解方程：5 + 2 = 3 2.
将方程化为一般形式，得 ，
所以 = 3， = ， = ，
2 4 = ，
代入求根公式，得
= = ，
所以 1 = ， 2 = ．
（3）用公式法解方程： 2 3 1 = 0．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生理解利用求根公式解方程，必须要满足什么样的前提
条件，同时也为后面一元二次方程根的判别式的学习做好了铺垫；第（2）题考查
解一元二次方程 公式法，熟练掌握求根公式是解题的关键，培养学生的求简意
识和规范意识，让学生养成严谨的学习习惯；第（3）题要求学生掌握公式法解方
程，其一般步骤：一化、二求、三代、四定.
1.作业内容
（1）一元二次方程2 2 2 1 = 0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数
之间( )
A. 0，1 B. 1，2 C. 2，3 D. 3，4
11
（2）如下表，方程1，方程2，方程3 是按照一定规律排列的一列方程．
序号 方程 方程的解
1 2 + 2 = 0 1 = 2 2 = 1
2 2 + 2 8 = 0 1 = 4 2 = 2
3 2 + 3 18 = 0 1 = 2 =

①请将方程3的解填在表中的空白处;
②请写出这列方程中的第10个方程，并用公式法求其解．
（3）已知关于 的一元二次方程( 1) 2 2 + + 1 = 0．
①求出方程的根;
②当 为何整数时，此方程的两个根都为正整数
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查公式法解一元二次方程，先估算这个无理数在哪两个连续
整数之间，再根据不等式的基本性质，将这个无理数转化为含无理数的式子,即可
确定范围，培养学生估算能力和动手能力；作业第（2）题对规律探究题先观察、
发现、最后论证，要求学生掌握利用公式法解一元二次方程，其一般步骤：一化
、二求、三代、四定；第（3）题要求学生会解含有参数的一元二次方程并会求满
足正整数解的参数的整数值.
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课时目标：
1. 正确理解因式分解法的实质，会用因式分解法解某些数字系数的一元二次方程.
2. 通过因式分解法的过程中，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程,树
立降次转化的数学思想.
3. 通过新方法的学习，提高分析问题、解决问题的能力，形成探索意识,体会数
学的简洁美.
重点：用因式分解法解一元二次方程.
难点：根据方程的结构分解因式.
1.作业内容
（1）下列方程中能用因式分解法求解的是 (填序号) ．
① 2 = ； ② 2 4 + 4 = 0； ③ 2 3 = 0； ④(3 + 2)2 = 16．
（2）方程( 5)( 6) = 5的根是( )
A. = 5 B. 1 = 5， 2 = 6
C. = 7 D. 1 = 5， 2 = 7
（3）解方程： 2 3 4 = 0．(用因式分解法)
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）、（2）题要求学生掌握用因式分解法解一元二次方程：先把方
程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样就把一元二次方程转化为两
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个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解，主要考查学生的解方
程的能力，作业评价时要关注学生出现“失根”的处理，因式分解法突出转化思
想，把“二次”降次转化为“一次”，体现了化归的数学思想方法；第（3）题要
求学生掌握因式分解法解一元二次方程，培养学生的规范意识，让学生养成严谨
的学习和解题习惯.
1.作业内容
（1）已知( 2 + 2)2 ( 2 + 2) 6 = 0，则 2 + 2的值是( )
A. 2 B. 3 C. 2或 3 D. 2或3
（2）用因式分解法解方程:2 2 5 + 2 = 0.
（3）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 4 5 2 + 4 = 0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设 2 = ，那么 4 = 2，于是原方程可变为 2 5 + 4 = 0 ①，
解得 1 = 1， 2 = 4．
当 = 1时， 2 = 1，∴ =± 1；
当 = 4时， 2 = 4，∴ =± 2；
∴原方程有四个根： 1 = 1， 2 = 1， 3 = 2， 4 = 2．
①在由原方程得到方程①的过程中，利用_____法达到______的目的，体
现了数学的转化思想．
②解方程( 2 + )2 4( 2 + ) 12 = 0．
（4）（选做题）如果关于 的一元二次方程 2 + + = 0有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍
根方程的说法，正确的有( )个；
①方程 2 2 = 0是倍根方程；
②若( 2)( + ) = 0是倍根方程，则4 2 + 5 + 2 = 0；
③若 、 满足 = 2，则关于 的方程 2 + 3 + = 0是倍根方程；
④若方程 2 + + = 0是倍根方程，则必有2 2 = 9 ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
14
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查一元二次方程的解法：换元法，主要考查学生的解方程的
能力，但是要注意结果的非负性；作业第（2）题考查二次项系数不为1的一元二
次方程的因式分解法，以及学生在求解时习惯上会把未知数写成 ；作业第（3）
题要求学生掌握换元法，把关于 的方程转化为关于 的方程，这样书写简便且形
象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便，作业评价时要加强学生
对题中把 2 + 的理解，把它当成一个整体 来计算；作业第（4）题考查一元二次
方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方
程的解是解决问题的关键．
课时目标：
1. 知道一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况.
2. 会用一元二次方程根的判别式，在不解方程的情况下判别根的情况，渗透数学
的简洁美；会根据方程根的情况确定方程根中字母系数的取值范围.
3. 通过对求根公式讨论的过程，提升分类思想，逻辑思维能力及推理论证能力.
4. 通过观察、分析、讨论交流的过程，强化探索、协作的意识，通过观察、分析
感受数学的变化美，激发学生的求知欲.
重点：（1）发现根的根的判别式；
（2）判别式的正确理解和运用.
难点：根的判别式的发现.
1.作业内容
（1）一元二次方程2 2 5 + 2 = 0根的情况( )
15
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
（2）下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. 2 +1 = 2 B. 2 +1 = 0 C. 2 2 = 3 D. 2 2 = 0
（3）关于 的一元二次方程 2 + = 0有实数根，则 的取值范围为 .
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）、（2）、（3）题考查根的判别式，要求学生掌握一元二次方程
的根的情况与判别式 的关系： > 0 方程有两个不相等的实数根； = 0 方
程有两个相等的实数根； < 0 方程没有实数根.
1.作业内容
（1）若关于 的一元二次方程 2 2 1 = 0有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是( )
A. > 1 B. > 1且 ≠ 0
C. ≥ 1且 ≠ 0 D. < 1且 ≠ 0
1
（2）对于任意实数 ，关于 的方程 2 ( + 5) + 2 +2 + 25 = 0的根的
2
情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
16
（3）直线 = + 不经过第二象限，则关于 的方程 2 + 2 + 1 = 0实数解
的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
（4）关于 的一元二次方程 2 ( + 3) + 2 + 2 = 0．
①求证：方程总有两个实数根；
②若方程有一个根小于1，求 的取值范围．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生利用根的判别式，求出 的取值范围；第（2）题考查
的是根的判别式及配方法的相关内容，要求学生会利用配方法把代数式化成完全
平方式的形式，再判断 ，从而得到方程根的情况；第（3）题考查一元二次方程
的判别式和方程的解有关知识及分类讨论思想，解题的关键是：分 = 0及 ≠ 0
两种情况，能够加深学生对根的判别式的理解，培养学生的运算能力；第（4）题
考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程,解答本题的关键是正确求出该方
程的两个根．
课时目标：
1. 理解一元二次方程根与系数的关系，会运用根与系数关系解决有关问题.
2. 通过发现数字系数的一元二次方程根与系数的关系，进而推导论证一般情况下
17
一元二次方程根与系数关系及其应用，渗透特殊到一般，再由一般到特殊的事物
认知规律，提高观察、分析，猜测规律的能力.
3. 通过观察、归纳，猜想，并证明根与系数的关系的过程，发展合情推理能力.
重点：根与系数的关系及其推导.
难点：正确理解根与系数的关系.
1.作业内容
（1）若 1、 2是一元二次方程 2 3 4 = 0的两个根，则 1 2的值是
( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 4
（2）已知关于 的方程 2 + = 0的一个根是3，则另一个根是( )
A. 6 B. 6 C. 2 D. 2
（3）设 、 是方程 2 + 2021 = 0的两个实数根，则 2 + 2的值为
______．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）、（2）、（3）题都要求学生了解一元二次方程 2 + + =
0( ≠ 0)的根与系数的关系：当方程有解，即 2 4 ≥ 0时，设方程两个根为
1, 2，则 1 +

2 = ， 1

2 = ，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，培
养学生计算的能力.
18
1.作业内容

（1）设 1，
2 1
2是一元二次方程2 2 + 4 3 = 0的两个根，则 +1 2
的值是 ．
（2）已知实数 ， 满足2 2 + 2 1 = 0，2 2 + 2 1 = 0，求| |的
值．
（3）已知关于 的一元二次方程 2 (2 1) + 2 = 0有两个不相等的实
数根．
①求 的取值范围；
②若此方程的两实数根 1， 2满足( 1 1)( 2 1) = 5，求 的值．
（4）（选做题）如果关于x的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)有两个实
数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如:一
元二次方程 2 + = 0的两个根是 21 = 0， 2 = 1，则方程 + = 0是“邻根方
程”.通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
① 2 6 = 0；
②2 2 2 3 + 1 = 0．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用根与系数的关系求去两根之和与两根之积，并把
它们代入代数式求值；作业第（2）题考查了一元二次方程 2 + + = 0( ≠
0)的根与系数的关系和分类讨论思想：①若 = ，则| | = 0；②若 ≠ ，
可把 、 看作方程2 2 + 2 1 = 0的两根，然后利用根与系数的关系得到 +
= 1， = 1，然后利用整体代入的方法计算，培养学生分析问题的能力和
19
培养学生的分类思想；第（3）题根据根与系数的关系解关于 的方程，最后利用
的范围再确定 的值，使学生理解韦达定理是在一元二次方程有根的前提下才成
立的；第（4）题本题考查了根与系数的关系：若 1， 2是一元二次方程 2 +
+ = 0( ≠ 0)的两根，则 1 + =
= 2 ， 1 2 ，也考查了阅读理解能力.
课时目标：
1. 会分析代数与方程问题，会根据题意找等量关系列一元二次方程；会根据问题
的实际意义检验所得结果是否合理.
2. 通过建立方程模型解决实际问题的过程，提高学生抽象、概括、分析和解决问
题的能力.
3. 通过列方程解应用题，进一步体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价
值，加强数学的应用意识.
重点：列一元二次方程解应用题，寻找等量关系.
难点：寻找应用问题的等量关系.
1.作业内容
（1）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则
平均每次降价的百分率为( )．
A. 20%； B. 40%； C. 18%； D. 36%．
（2）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送2450张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为( )
A. ( + 1) = 2450 B. ( 1) = 2450
1
C. ( + 1) = 2450 1D. ( 1) = 2450
2 2
（3）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题:
“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为:
一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽
为 步，根据题意，可列方程为_____________________．
（4）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5.把这个数的个位
数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来
的两位数．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
20
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 ，变化后
的量为 ，平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 (1 ± )2 = ．公式
的记忆与运用是本题的解题关键，强化学生从题干中寻找等量关系，并能正确设
元的能力，规范解题的习惯；第（2）题考查一元二次方程在实际生活中的应用.
计算全班共送多少张，首先要确定一个人送出多少张是解题关键；第（3）题激
发学生兴趣，使学生集中精力分析问题，快速融入课堂气氛，由实际问题抽象出
一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程；第（4）
题要求学生通过不同的设元方法，让学生感知殊途同归，反应了问题的表现形式
虽然发生了改变，但问题的本质没有改变.
1.作业内容
（1）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市
第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收
入达36亿元，将增长率记作 ，则方程可以列为( )
A. 4 + 4 + 4 2 = 36 B. 4(1 + )2 = 36
C. (1 + )2 = 36 D. 4 + 4(1 + ) + 4(1 + )2 = 36
（2）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开
始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传
人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患
新冠肺炎(假设每轮传染的人数相同).求：
①每轮传染中平均每个人传染了几个人？
②如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第
三轮传染后，共有多少人患病？
（3）某超市经销一种销售成本为每件20元的商品，据市场调查分析，如果
按每件30元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少
10件.设销售单价为每件 元( ≥ 30)，一周的销售量为 件．
①直接写出 与 的函数关系式；
②在超市对该种商品投入不超过5000元的情况下，使得一周销售利润
达到8000元，销售单价应定为多少？
21
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，学
生会忽视对“累计”两字的理解；作业第（2）题考查学生“经过两轮传染后共有
169人患新冠肺炎”这句话的理解，对于每一轮人数的变化情况要掌握；作业第
（3）题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①根据
各数量之间的关系，找出 与 的函数关系式；②找准等量关系，正确列出一元二
次方程.另外在求出解后，要对所求的解是否符合题意进行检验.
课时目标：
1. 会列一元二次方程解有关几何方面的问题.
2. 通过方程模型在几何和现实生活中的应用，体会数学与实际的联系，提高解
决问题的能力.在利用一元二次方程解决几何问题时，多角度思考，用不同方法
解决问题，从而开拓思路，养成创新意识.
3. 通过列简单的分式方程解应用题，体会分式方程在一些实际问题中的优越性,
感受数学来源于生活又服务于生活的理念.
重点：列一元二次方程解有关几何方面的实际问题.
难点：设“元”的灵活性和寻找等量关系.
1.作业内容
22
（1）如图，某小区计划在一块长为32 ，宽为20 的矩形空地上修建三条同
样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 2.若设道路的宽为
，则下面所列方程正确的是( )
A. (32 2 )(20 ) = 570 B. 32 + 2 × 20 = 32 × 20 570
C. (32 )(20 ) = 32 × 20 570 D. 32 + 2 × 20 2 2 = 570
（2）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 ，宽40 ，要
求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建
后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总
费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
（3）如图，有长为30 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 )，围
成中间隔有一道篱笆(平行于 )的长方形花圃．
①设花圃的一边 为 ，则 的长可用含 的代数式表示为 ；
②当 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
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A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题主要训练学生由实际问题抽象出数学模型，这类题目体现了
数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，即可列出方程，也
体现了一元二次方程的应用价值；作业第（2）题考查了列一元二次方程解实际
问题的运用，总价=单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键；
作业第（3）题主要考查列代数式及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条
件，合理地列出代数式，要求学生再求出解后要进行检验，所得的结果应该保证
它的长不能超过墙的边长.
1.作业内容
（1）如图1，有一张长20 ，宽10 的长方形硬纸片(图中阴影部分)裁剪之
后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为72 2，则该有盖纸盒的高为
( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（2）一小艇顺流航行24 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共
6 .已知水流速度是3 / .求小艇在静水中的速度．
（3）如图，在△ 中，∠ = 90°， = 10 ， = 8 ，点 从点 开
始沿射线 向点 以2 / 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点
以1 / 的速度移动．如果 、 分别从 、 同时出发，运动的时间为 秒，当点
运动到点 时，两点停止运动．
24
①当点 在线段 上运动时， 、 两点之间的距离_______ . (用含 的代
数式表示)
②在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△ 的面积是△ 面积
1
的 .若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
6
（4）（选做题）如图，已知等边三角形 的边长为6cm，点 从点 出发，沿
→ → 的方向以2cm/s的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，沿 → 的
方向以1cm/s的速度向终点 运动．当点 运动到点 时，两点均停止运动．运动
时间记为 s，请解决下列问题：
①若点 在边 上，当t为何值时，△ 为直角三角形？
②是否存在这样的 值，使△ 的面积为2 3cm2？若存在，请求出 的值,
若不存在，请说明理由．
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B
等；其余情况综合评价为C等.
25
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查一元二次方程的应用，根据题意用含 的式子表示底面的
长和宽，正确列方程，要启发学生理解方程的解要确保其实际意义，使学生深刻
体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识；作业
第（2）题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，提高学生分析问题、解
决问题的能力，特别要注意分式方程要做到双重检验；作业第（3）题考查了一元
二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，
解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程，培养学生的几何直观、思维能
力和运算能力.
26
六、单元质量检测作业
一、选择题（本题共计6小题，共计30分）
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.2 + 1 = 0 B. 2 + = 1 C. 2 + 1 = 0 2D. + 2 + 1 = 0

2.若关于 的一元二次方程 1 2 + 5 + 1 3 = 0 的常数项为
0，则 的值是 ( )
A.1 B.3 C.1 或 3 D.0
3.已知实数 、 、 满足 + = 0，那么关于 的方程 2 + + = 0 一定
有根( )
A. = 1 B. = 1 C. =± 1 D.都不对
4.一元二次方程 2 x + 3 2 = 8 的根是( )
A. 1 = 2, 2 = 2 B. 1 = 5, 2 = 1
C. 1 = 1, 2 = 5 D. 1 = 1, 2 = 7
5.在下列方程中，有实数根的是( )
A. 2 + 3 + 5 = 0 B. 2 + 1 + 3 = 0
2
C. = D. 2 + + 3 = 0
2 2
6.将一张长方形桌布铺在长为 3 ，宽为 2 的长方形桌面上，各边下垂的长度相
同，且桌布的面积是桌面面积的 2 倍，求桌布下垂的长度，设桌布下垂的长度为
，则所列的方程是( )
A.(2 + 3)(2 + 2) = 2 × 3 × 2 B.2( + 3)( + 2) = 3 × 2
C.( + 3)( + 2) = 2 × 3 × 2 D.2(2 + 3)(2 + 2) = 3 × 2
二、填空题（本题共计 6小题，共计 30 分）
7.方程 ( 1) = 2(1 )的解是________．
8.关于 的方程 2 + = 0 的一个根是 3，则 的值等于________．
9.将一元二次方程 2 2 2 = 0 用配方法化成( + )2 = 的形式为_______，
此方程的根为________．
10.一元二次方程 2 2 = 0的两根分别为 1和 2，则 1 2 =________．
11.若( 2 + 2)( 2 + 2 2) = 3，则 2 + 2 =________．
12.当 =_____， =_____时，方程 2 + 2(1 + ) + (3 2 + 4 + 4 2 + 2) = 0
有实数根．
三、解答题（本题共计 4小题，共计 40 分:第 13 题 10 分；第 14 题 8 分；第 15
题 10 分；第 16 题 12 分）
13.解下列方程： （1）3 2 + 11 = + 8；
（2） (2 + 1)2 + 2(2 + 1) 3 = 0．
27
14.十八世纪，古巴比伦泥板书上有这样一个问题：“一块矩形田地面积为 55，
长边比短边多 6，问长边多长？”请用一元二次方程的知识解决这个问题.
15.已知关于 的方程 2 2 3 + 2 4 = 0.
(1)求证：无论 为何实数，此方程总有实根；
(2) 为何值时，两根异号且负根的绝对值大？
16.某商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利
40 元，为迎接“六 一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，
增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价 1元，那么平均
每天就可多售出 2 件.设商场降价 元.
(1)降价 元后，每一件童装的利润为________（元），每天可以卖出去的童装
件数为________（件）（用含 的代数式表示）；
(2)若销售该童装每天盈利要达到 1200 元，则每件童装应该降价多少？
28
序号 类型 对应单元 对应学 难度 来源 完成时间
作业目标
了解 理解 应用
1 选择题 2 √ 易 改编
2 选择题 2、3 √ 中 原创
3 选择题 2、3 √ 中 改编
4 选择题 3 √ 中 改编
5 选择题 4 √ 中 改编
6 选择题 1、6、7 √ 较难 改编
7 填空题 2 √ 易 选编
8 填空题 3 √ 易 改编 60分钟
9 填空题 3 √ 中 改编
10 填空题 5 √ 易 原创
11 填空题 3 √ 中 改编
12 填空题 4 √ 较难 改编
13 解答题 3 √ 中 改编
14 解答题 1、3、6 √ 中 选编
15 解答题 4 √ 较难 改编
16 解答题 1、6、7 √ 较难 改编
29
七、数学小史
1.公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了.古埃及的纸草
文书中也涉及到最简单的二次方程.
2.大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根.《九章算
术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于 2 + 34 71000 = 0 的正根而解
决的.
3.公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《
婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程 2 + + = 0 的一个求根公式 .
4.公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了
《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，
还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存
在.
5.法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出
了根与系数的关系.
30
八、作业参考答案
第一课时：
作业1：
1.
2.4， 3， 7
3.
作业2 :
1.(1)由题意得：2 + 1 = 0且4 ≠ 0，
解得： = 1，
2
∴ = 1 2 3当 时，原方程为一元一次方程，此时方程为 = 0；
2 2
(2)由题意得：2 + 1 ≠ 0，
1
解得： ≠ ，
2
∴当 ≠ 1时，原方程为一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为
2
2 + 1，一次项系数为4 ，常数项为 1．
2. 1
3. = 1
4.解：∵ 2 3 + 1 = 0，
∴ 3 + 1 = 0，

∴ + 1 = 3，

∴ 2 + 12 = ( +
1 )2 2 = 32 2 = 7．

第二课时：
作业1：
1.解：∵ 2( 2)2 4 = 0，
∴ ( 2)2 = 2，
∴ 2 =± 2，
∴ 1 = 2 + 2， 2 = 2 2．
2. 2 + 10 = 16； 2 + 10 ； 16；( + 5)2 = 9； + 5 =± 3； 1 = 8，
2 = 2
3.解： 2 8 = 9，
2 8 + 16 = 9 + 16，
∴ ( 4)2 = 25，
31
∴ 4 =± 5，
∴ 1 = 9， 2 = 1．
作业2:
1.
= 41 1 41 12. 1 ， =10 2 10
3. 2 10 + 1=( 2 10 + 25) + 1 25
=( 5)2 24 ≥ 24
∴ 代数式 2 10 + 1的最大值或最小值是 24．
4.解： 2 + = ，
2 2
2 + + = + ，
4 4
( + )2 =
2 4
，
2 4
2
当 2 4 ≥ 0 + =± 4 时， ，
2 2
= +
2 4 2 = 4 所以 1 ， ；2 2 2
当 2 4 < 0时，方程没有实数解．
第三课时：
作业1：
= ±
2 4
1. ， 2 4 0
2
2.3 2 5 2 = 0， 5， 2 49 5± 49 5±7 1， ， ， ，2， ．
2×3 6 3
3.这里 = 1， = 3， = 1，
∵△= 9 + 4 = 13 > 0 ∴ = 3± 13，
2
作业2 :
1.
2.解：① 6 3
②方程规律：
① 2 + 1 12 × 2 = 0，
② 2 + 2 22 × 2 = 0，
③ 2 + 3 32 × 2 = 0，
即第10个方程为 2 + 10 102 × 2 = 0，
化简， 2 + 10 200 = 0，
32
10± 102 = 4×( 200)解得 ，
2
∴ 1 = 20， 2 = 10．
3.解：①根据题意，得 ≠ 1．
∵ 2 4 = ( 2 )2 4( 1)( + 1) = 4，
∴ 2 +2 +1 2 21 = = ， 2( 1) 1 2 = = 12( 1)
= +1②由①知 1 = 1 +
2
．
1 1
∵方程的两个根都是正整数，
∴ 2 是正整数．
1
∵ 为整数，
∴ 1 = 1或 1 = 2，
∴ = 2或 = 3．
第四课时：
作业1：
1.①②④
2.
3.解： 2 3 4 = 0，
( + 1)( 4) = 0，
+ 1 = 0或 4 = 0，
所以 1 = 1， 2 = 4．
作业2 :
1.
2.解：2 2 5 + 2 = 0，
( 2)(2 1) = 0，
2 = 0或2 1 = 0，
1
所以 1 = 2， 2 = ．2
3.解：①换元；降次；
②设 + = ，原方程可化为 4 12 = 0，
解得 = 6， = 2．
由 + = 6，得 = 3， = 2．
由 + = 2，得方程 + + 2 = 0，
4 = 1 4 × 2 = 7 < 0，此时方程无实根．
所以原方程的解为 = 3， = 2.
33
4.解：①解方程 2 2 = 0得， 1 = 2， 2 = 1，得， 1 ≠ 2 2，
∴方程 2 2 = 0不是倍根方程；
故①不正确；
②若( 2)( + ) = 0是倍根方程， 1 = 2，
因此 2 = 1或 2 = 4，
当 2 = 1时， + = 0，
当 2 = 4时，4 + = 0，
∴ 4 2 + 5 + 2 = ( + )(4 + ) = 0，
故②正确；
③ ∵ = 2，则： 2 + 3 + = ( + 1)( + ) = 0，
∴ 11 = ， 2 = ，
∴ 2 = =
2 = 2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
2 2
④方程 2 + + = 0 + 4 4 的根为： 1 = ， = ，2 2 2
+ 2 4 2
若 = 2 4 1 2，则， = × 2，2 2
+ 2 4 2 4 即 × 2 = 0，
2 2
2
∴ +3 4 = 0，
2
∴ + 3 2 4 = 0，∴ 3 2 4 =
∴ 9( 2 4 ) = 2，
∴ 2 2 = 9 ．
2
2 = + 4 × 2 =
2 4
若 1 2时，则， ，2 2
+ 2 4 2× 2 4 则 = 0，
2 2
∴ +3
2 4 = 0，
2
∴ + 3 2 4 = 0，
∴ = 3 2 4 ，
∴ 2 = 9( 2 4 )，
∴ 2 2 = 9 ．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选C
第五课时：
作业1：
1.C
2.A
34
3. ≤ 1
4
作业2 :
1.B
2.B
3.D
4.①证明：∵在方程 2 ( + 3) + 2 + 2 = 0中，
△= [ ( + 3)]2 4 × 1 × (2 + 2) = 2 2 + 1 = ( 1)2 ≥ 0，
∴方程总有两个实数根；
②解：∵ 2 ( + 3) + 2 + 2 = 0，
即 2 ( + 3) + 2( + 1) = 0，
即( 2)( 1) = 0，
∴ 1 = 2， 2 = + 1．
∵方程有一根小于1，
∴ + 1 < 1，
解得： < 0，
∴ 的取值范围为 < 0．
第六课时：
作业1：
1.D
2.C
3.2021
作业2 :
141.
3
2.解：由题意可知，2 2 + 2 1 = 0，2 2 + 2 1 = 0，
①若 = ，则| | = 0；
②若 ≠ ，则 、 可看作方程2 2 + 2 1 = 0的两根，
∴ + = 1， = 1，
∴ | | = ( + )2 4 = 5．
综上，| |的值为0或 5．
3.解：①根据题意得△= (2 1)2 4 2 > 0，
解得 < 1；
4
35
②根据题意得 1 + 2 = 2 1， 21 2 = ，
∵ ( 1 1)( 2 1) = 5，
∴ 1 2 ( 1 + 2) + 1 = 5，
即 2 (2 1) + 1 = 5，
整理得 2 2 3 = 0，解得 1 = 1， 2 = 3，
∵ < 1，
4
∴ = 1．
4.解：① 2 6 = 0，
解得 1 = 3， 2 = 2，
∵ 1 2 = 5，
∴方程 2 6 = 0不是“邻根方程”：
②设方程得两根分别为 、 ( > )，
1
根据根与系数的关系得 + = 3， = ，2
∵ = ( )2 = ( + )2 4 = ( 3)2 4 × 1 = 1，
2
∴方程2 2 2 3 + 1 = 0是“邻根方程”．
第七课时：
作业1：
1.A
2.B
3. ( + 12) = 864
4.原来的两位数为23或32
作业2 :
1.D
2.解：①设每轮传染中平均每个人传染了 个人，
依题意，得：1 + + (1 + ) = 169，
解得： 1 = 12， 2 = 14(不合题意，舍去)．
36
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
②169 × (1 + 12) = 2197(人)．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
3.①依题意得： = 500 10( 30) = 10 + 800( ≥ 30)．
②依题意得：( 20)( 10 + 800) = 8000，
整理得： 2 100 + 2400 = 0，
解得： 1 = 40， 2 = 60．
当 = 40时，20( 10 + 800) = 8000(元)，8000 > 5000，不合题意，舍去；
当 = 60时，20( 10 + 800) = 4000(元)，4000 < 5000，符合题意．
答：销售单价应定为60元．
第八课时：
作业1：
1.A
2.解：设扩充后广场的长为3 ，宽为2 ，
依题意得：3 2 100 + 30(3 2 50 × 40) = 642000，
解得 1 = 30， 2 = 30(舍去)．
所以3 = 90，2 = 60，
答：扩充后广场的长为90 ，宽为60 ．
3.①30 3 ；
②解：当矩形 的面积为63时，有
(30 3 ) = 63，
即 2 10 + 21 = 0，
解得： 1 = 7， 2 = 3；
当 = 7时，30 3 = 9 < 10，符合题意；
当 = 3时，30 3 = 21 > 10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7 时，花圃的面积为63 2.
37
作业2 :
1.D
2.解：设小艇在静水中的速度为 / ，则顺流速度为( + 3) / ，逆流速度
为( 3) / ．
24 24
根据题意，得 + = 6. 2 +3 3 化成整式方程为 8 9 = 0，
解得x1 = 9， 2 = 1．
经检验， 1 = 9， 2 = 1都是原分式方程的根，但 2 = 1不符合题意，
所以取 = 9．
答：小艇在静水中的速度为9km/ ．
3.解：①(6 2 )；
②△ 的面积为
1
△ = × 6 × 8 = 24，2
当0 < < 3时， = 6 2 ， = ，
∴ 1 1△ = × = (6 2 )，2 2
∴ 1 (6 2 ) = 4，即
2
2 3 + 4 = 0，
∵△= 2 4 = 7 < 0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴该范围下不存在；
当3 < ≤ 8时， = 2 6， = ，
∴ △ =
1 × = 1 (2 6)，
2 2
∴ 1 (2 6) = 4，即 2
2 3 4 = 0，
解得 = 4或 1(舍去)，
综上所述，存在，当 = 4 1时，△ 的面积是△ 面积的 ．
6
4.解：① ∵△ 是等边三角形
∴ = = = 6，∠ = ∠ = ∠ = 60°，
当点 在边 上时，由题意知， = 2 ， = 6 t，
当∠ = 90° 1时， = 2 = 1，即 (6 )，解得 = 1.2，
2 2
当∠ = 90°时， = 1 ，即6 = 1 × 2 ，解得 = 3，
2 2
38
所以，点 在边 上，当 为1.2 或3 时，△ 为直角三角形；
②存在，
①当点 在边 上时，此时0 ≤ ≤ 3，
过点 作 ⊥ 于点 ，
在 △ 中，∠ = 60°， = 2 ，
∴ = 60° = ，即 = 3，
2 2
∴ = 3 1， △ = =
1 (6 ) 3t，
2 2
1
由 (6 ) 3 = 2 3得 1 = 3 + 5(不合题意,舍去) , 2 = 3 5；2
②当点 在边 上时，此时3 ≤ ≤ 6，
如图，过点 作 ⊥ 于点 ，
在 △ 中，∠ = 60°， = 12 2 ，
∴ = ，即 60° = = 3，
12 2 2
∴ = 3(6 ) 1 1， △ = = (6 ) 3(6 )，2 2
1
由 (6 ) 3(6 ) = 2 3得 1 = 4， 2 = 8(不合题意，舍去)，2
因此，当 的值是(3 5) 或4 时，△ 的面积为2 3 2．
1.C
2.B
3.B
4.C
5.D
6.A
7. 1 = 1, 2=-2
8.-6
9.( + 1)2=3 1 = 3 1, 2 = 3 1
10.0
11.3
39
12.1 -0.5
2
13.（1） 1 = 4, 2 = 3
（2） 1 = 0, 2 = 2
14.设短边长 ,长边为 +6，
则 ( + 6) = 55
解得 1 = 5， 2 = 11（不合题意，舍去）
所以长边长为11.
15.(1)证明：△= (2 3)2 4(2 4)
= 4 2 20 + 25
= (2 5)2 ≥ 0
∴无论 为何实数，此方程总有实根.
（2）设方程两根为 1, 2
由题意知 1 + 2 < 0， 1 2 < 0
∴2 3 < 0,2 4 < 0
3
所以 <
2
16.（1）(40 ) 20 + 2
（2）由题意得(40 )(20 + 2 ) = 1200
解得 1 = 10, 2 = 20
为扩大销售量，尽量减少库存， 应取20
答：每件童装应该降价20元.
40

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