资源简介

沪科版八年级数学下册第 19 章
《四边形》单元作业设计
学科 版本 年级 设计人 单位
基本信息
数学 沪科版 八下
单元组织
自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 19.1 多边形内角和 P70-74
2 19.2 平行四边形的性质① P75-78
课 3 19.2 平行四边形的性质② P78-79
4 19.2 平行四边形的判定 P79-81
时 5 19.2 三角形中位线 P81-82
信 6 19.3 矩形的性质 P86-88
7 19.3 矩形的判定 P88-89
息 8 19.3 菱形的性质和判定 P90-92
9 19.3 正方形的性质和判定 P92-94
10 19.4 多边形的镶嵌 P99-100
11 单元质量检测作业 P102-105
一、课标要求、单元内容及教材分析：
（一）2022 年版课标要求：
1、了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌
握多边形内角和与外角和公式。
2、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关
系；了解四边形的不稳定性。
3、探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、
对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分
的四边形是平行四边形。
4、理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。
5、探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；
菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个
角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理
解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
6、探索并证明三角形的中位线定理。
（二）教材分析：
1、知识网络
2、内容分析
本章主要内容有三部分，即：多边形的内角和、平行四边形和特殊的平行四
边形、综合与实践：平面镶嵌。
多边形的内角和部分：教科书首先从多边形的概念着手，研究多边形的内角
和与外角和，并介绍了正多边形的概念和四边形的不稳定性；
平行四边形有部分：学生在小学已经学过平行四边形，所以教科书直接给出
平行四边形的概念，并通过学生自己的观察与思考得出平行四边形的性质，然后
从平移和作图研究平行四边形的判定定理，最后，分别从平行四边形在角、边、
对角线等方面的特殊性引入矩形、菱形的概念、性质和判定，继而从矩形、菱形
的综合特殊性得出正方形的概念和性质；
综合与实践部分：教科书通过地砖平铺的图案，介绍平面镶嵌的概念，然后
引导学生观察利用正多边形平面镶嵌的图案，总结归纳能够进行平面镶嵌的多边
形的性质，最后引导学生利用一种或两种正多边形进行设计创作。
另外，本章中的四边形还包括：平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形、
正方形）之间的共性与特性以及它们之间的从属关系，涉及概念的内涵和外延、
分类思想、逻辑思维等方面的知识，这对培养和发展学生的逻辑思维能力提供了
很好的素材。
3、学情分析
从学生的认知规律看：学生早在小学就已经学过部分四边形的有关知识，进
入中学后又学行线和三角形等知识，这些为四边形的学习不仅作了知识上
的良好铺垫，而且还奠定了思想方法、逻辑推理等方面的基础；
从学生的学习习惯、思维规律看：八下的学生已经具备了一定的独立思考能
力和自主学习能力，已积累了一定的数学学习活动经验，并渴望通过观察、操作、
交流、探究等有趣的活动，来满足自已的求知欲。但毕竟学生的思维方式和思维
习惯还不够完善，逻辑推理能力还需要提升。因此：①应重视动手操作，注意引
导学生独立思考与自主探索，让学生在观察、思考、探索、交流等活动中掌握知
识；②注意培养学生推理论证的规范性，进一步培养学生严密的思维习惯，为数
学结论的证明打下良好的认识基础；③要重视现代信息技术的应用，利用多媒体
演示各种特殊四边形之间的演变过程，能较好地帮助学生理解它们之间的区别和
联系，从而进一步理解各种特殊四边形的概念、性质与判定定理，这样，才能很
好突破难点，为难点降低坡度。
二、单元学习目标：
1、了解多边形和正多边形的有关概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和
公式；了解四边形的不稳定性；
2、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；
3、探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，掌握正
方形具有矩形和菱形的一切性质；
4、了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离；
5、探索并证明三角形中位线定理；
6、了解平面图形的镶嵌的含义，知道哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及
简单的镶嵌设计。
7、通过引导探究，在寻求解决问题的途径中，培养学生由直觉发现到抽象概
括的能力；培养学生的观察能力、动手操作能力、探索能力、口头表达能力以及
逻辑推理能力；
8、经历操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神。
三、单元作业整体设计思路：
1、分层设计作业，题型多样。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体
现课标，题量 3-4 题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化、探究性、
实践性，题量 2-3 题，要求学生有选择的完成）。题型分为选择题、填空题、解
答题等；
2、基于课程标准，优化精选习题，切实减轻学生的作业负担；
3、以核心素养为导向，注重作业的针对性和实效性，让学生在观察、思考、
操作、探索、交流等活动中掌握和巩固知识；
4、作业设计兼顾学生的年龄特征，从学生的生活经历、思维规律、已有发展
区出发，关注学生的可发展区，帮助学生架构起新旧知识之间的联系。具体设计
体系如下：
四、单元作业目标：
1、通过作业练习，巩固基础知识；
2、熟练地应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定等知识
解决问题，提升核心素养；
3、进一步培养学生严密的思维习惯，培养学生推理论证的规范性，为数学结
论的证明打下良好的基础。
4、通过分层作业，保护学生学习的积极性，让不同的学生在不同的层次受到
不同的激励，在不同程度上尝到成功的体验。
五、课时作业（包含作业内容、时间要求、评价设计、作业分析以及设计意图等。）
课时 1 作业：
19.1 多边形内角和
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．若经过 n边形的一个顶点的所有对角线可以将该 n边形分成 6个三角形，则 n
边形的对角线条数为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
（作业分析：经过 n 边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角
形，根据此关系式求边数，再求对角线条数。）
（设计意图：考查多边形的对角线，结合图形，培养学生的动手操作能力。）
2．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出 2个三角形；图（2）
中可分割出 3个三角形；图（3）中可分割出 4个三角形；由此你能猜测出，n
边形可以分割出 个三角形．
（作业分析：①三角形分割成了两个三角形；②四边形分割成了三个三角形；③
以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形。）
（设计意图：让学生在观察、操作，思考、探索等活动中掌握知识，提升能力。）
3．已知一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于与它相邻的内角的 ，
求这个多边形的边数及内角和．
（作业分析：设每个内角为 x，根据题意列出关于 x的方程，求出方程的解得到 x
的值，确定出边数与内角和即可。）
（设计意图：考查多边形的内角和与外角和，使学生在自主探索与交流合作中熟
练掌握和运用内角和公式，让学生体会其中的数学思想。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题；
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15 或 16 或 17 B．16 或 17 C．15 或 17 D．16 或 17 或 18
（作业分析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能
不变或减少了一条。）
（设计意图：动手操作是获得直观感知和直接经验的较好途径，可以培养学生的
动手操作能力，本题通过周全考虑、分类讨论，提升学生的思维品质。）
5．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2的正六边形．则原来
的纸带宽为（ ）
A．1 B． C． D．2
（作业分析：根据正六边形的性质，正六边形由 6个边长为 2的等边三角形组成，
其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可。）
（设计意图：考查等边三角形的性质以及正六边形的性质，培养学生的动手操作
能力．）
6．
某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形（n＞3）共有多少条对角线”
这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形的一个
1 2 …
顶点出发
多边形对角线的
2 …
总条数
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形
个数的和可能为 2022 吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理
由．
（作业分析：①由表格探求的 n边形对角线的总条数： 得出最终结果；②
根据从 n边形的一个顶点出发可引（n﹣3）条对角线，这些对角线分多边形所得
的三角形个数为（n﹣2）。）
（设计意图：考查 n边形对角线的总条数，掌握对角线数量形成的规律，注重学
生的观察思考、猜想验证、自主探索等能力的培养。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
参考答案
1．解：由题 n﹣2＝6，
解得 n＝8．
∴对角线条数是 ＝20，
故选：A．
2．解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
3．解：设每个内角为 x，
根据题意得 x+ x＝180°，
解得 x＝160°，
则有（n﹣2）×180°＝160°n，
解得 n＝18，
160°×18＝2880°．
则多边形的边数为 18，内角和为 2880°．
4．解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或
减少了一条，
则多边形的边数是 15 或 16 或 17．
故选：A．
5．解：边长为 2的正六边形由 6个边长为 2的等边三角形组成，其中等边三角形
的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝ ×2＝ ．
故选：C．
6．解：①把 n＝12 代入 得，
＝54．
∴十二边形有 54 条对角线．
②不能．
由题意得，n﹣3+n﹣2＝2022，
2027
解得 n＝ ．
2
∵多边形的边数必须是正整数，
∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形
个数的和不可能为 2022．
课时 2 作业：
19.2 平行四边形的性质（1）
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则 CD＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（作业分析：首先由在 ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得 CE的长，然后由 DE平分∠ADC，
证得△CED是等腰三角形，继而求得 CD的长。）
（设计意图：使学生掌握平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，培养学生综合运
用所学知识解决问题的能力。）
2．下列图形中，三角形 ABC和平行四边形 ABDE面积相等的是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
（作业分析：根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答。）
（设计意图：考查了平行四边形的性质、三角形的面积公式、平行四边形的面积公式，通过
作图、对比、猜想、验证，培养学生的识图能力和推理能力。）
3．如图，在平行四边形 ABCD中，点 F是 AD中点，连接 CF并延长交 BA的延长线于点 E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若 BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
（作业分析：①由题意易得 AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有 CD＝AE，
然后问题可求证；②由①及题意易得 AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外
角的性质可求解。）
（设计意图：考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，培养学生的逻辑推理能力。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．在平行四边形 ABCD中，∠ADC的角平分线与 AB边所在直线交于点 E．若 AB＝5，BE
＝1，则平行四边形 ABCD的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或 18 D．24 或 16
（作业分析：分两种情况画出图形，由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得出答案。）
（设计意图：考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，培养学生
的分类讨论思想、逻辑思维等能力。）
5．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（1，2）、（2，﹣5）、（﹣2，﹣3），
以这三点为平行四边形三的三个顶点，则第四个顶点 D的坐标是 ．
（作业分析：分三种情形画出图形即可解决问题。）
（设计意图：考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，培养学生学会用分
类讨论的思想解决问题。）
6．如图 1，已知：平行四边形 ABCD中，∠BCD的平分线 CE交边 AD于点 E，∠ABC的平
分线 BG交 CE于 F，交 AD于点 G．
（1）求证：AE＝DF；
（2）如图 2，若∠ABC＝90°，BF、CE交于点 G，写出图中所有的等腰直角三角形．
（作业分析：①证∠ABG＝∠FBA，∠ECD＝∠CED，则 AB＝AF，CD＝DE，得 AF＝DE，
即可得出结论；②由等腰直角三角形的定义进行判断即可。）
（设计意图：考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及等腰直角
三角形的判定等知识，培养学生的逻辑思维能力，提升思维品质。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
解法的创新性 A等，解法有新意、答案正确；
B 等，解法思路有创新，答案不完整或
错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
参考答案
1．解：在 ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
故选：B．
2．解：①三角形 ABC的面积＝ ，平行四边形 ABDE的面积＝4×2＝8，不相等；
②三角形 ABC的面积＝ ，平行四边形 ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
③三角形 ABC的面积＝ ，平行四边形 ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
④三角形 ABC的面积＝ ，平行四边形 ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
故选：C．
3．（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点 F是 AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得 AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
4．解：①如图 1，当点 E在线段 AB上，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE＝BC，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AD＝4，
∴平行四边形 ABCD的周长为 2×（AD+AB）＝2×（4+5）＝18．
②如图 2，当点 E在 AB的延长线上时，
同理可得 AD＝AE，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝6，
∴平行四边形 ABCD的周长为 2×（AD+AB）＝2×（6+5）＝22．
故选：C．
5．解：如图，A、B、C三点的坐标分别为 A（1，2）、B（2，﹣5）、C（﹣2，﹣3），
当 AB为 ACBD的对角线时，AC平移到 D1B，根据平移规律可得 D1（5，0），
当 AC为 ABCD的对角线时，AB平移到 D2C，根据平移规律可得 D2（﹣3，4），
当 BC为 ABDC的对角线时，AB平移到 CD3，根据平移规律可得 D3（﹣1，﹣10）．
故答案为：（5，0）或（﹣3，4）或（﹣1，﹣10）．
6．（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠FBC＝∠BFA，∠BCE＝∠CED，
又∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF＝∠FBC，∠BCE＝∠ECD，
∴∠ABG＝∠FBA，∠ECD＝∠CED，
∴AB＝AF，CD＝DE，
∴AF＝DE，
∴AF﹣EF＝DE﹣EF，
即 AE＝DF；
（2）解：△ABF、△CDE、△BCG、△EFG是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得：AB＝AF，CD＝DE，
∵∠ABC＝90°，四边形 ABCD是平行四边形，
∴平行四边形 ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴△ABF、△CDE是等腰直角三角形，
∴∠ABF＝∠AFB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠BGC＝∠EGF＝90°，∠GBC＝∠GCB＝45°，
∴△BCG、△EFG是等腰直角三角形．
课时 3 作业：
19.2 平行四边形的性质（2）
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，在平行四边形 ABCD中，∠OAB＝90°，AC＝8，BC＝10，则 BD的长为（ ）
A．213 B．15 C．4 D．20
（作业分析：根据平行四边形的性质可知 AO＝OC，OD＝OB，据此求出 AO、DO 的
长，利用勾股定理求出 BO 的长即可求得 BD的长。）
（设计意图：考查平行四边形的性质和勾股定理的知识，了解平行四边形的对角
线互相平分，培养学生独立思考与自主探索的精神。）
2．如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交 BC于点 F，BE平分∠ABC交 AD于点 E，若
AF＝6，BE＝8，则 AB的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
（作业分析：根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，进而利
用角平分线得出∠AOB＝90°，利用勾股定理解答。）
（设计意图：进一步培养学生严密的思维习惯，为数学证明打下良好的基础。）
3．如图， ABCD 的对角线相交于点 O，且 AB＝5，△OCD的周长为 23，则 ABCD的
两条对角线长的和 ．
（作业分析：首先由平行四边形的性质可求出 CD 的长，由条件△OCD 的周长为 23，
即可求出 OD+OC 的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的
两条对角线的和。）
（设计意图：让学生在充分思考与合作交流中，进行严格的推理论证，培养学生
推理论证的规范性。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A 等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．如图，在平行四边形 ABCD中，AB＝ ，AD＝2，AC⊥BC．则 BD＝ ．
（作业分析：由 BC⊥AC，则由勾股定理求得 AC的长，得出 OC长，然后由勾股定理求得
OB的长即可。）
（设计意图：考查平行四边形与勾股定理的综合应用，让不同层次的学生在不同
程度上尝到成功的体验。）
5．在 ABCD中，BC边上的高为 3，AB＝5，AC＝2 ，则 BC的长为 ．
（作业分析：在直角三角形 ABE 和直角三角形 ACE中利用勾股定理分别求出 BE，
EC，即可求解。）
（设计意图：考查平行四边形与勾股定理的综合应用以及分类讨论思想，让不同
层次的学生在不同程度上尝到成功的体验。）
6．如图，平行四边形 ABCD的对角线交于点 E，若 BC＝4，BD＝10，AC＝6．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求 CD的长．
（作业分析：根据平行四边形的性质对称 CE＝3，BE＝5，进而利用勾股定理的逆
定理解答。）
（设计意图：考查平行四边形的性质、勾股定理，培养学生利用数形结合思想解
决问题的能力。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
参考答案
1．解：∵∠OAB＝90°，AC＝8，BC＝10，
∴AB＝ ＝ ＝6，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AO＝ AC＝4，
∴BO＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2BO＝2×2 ＝4 ，
故选：C．
2．解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AF平分∠BAD交 BC于点 F，BE平分∠ABC交 AD于点 E，
∴∠BAF＝ ∠BAD，∠ABE＝ ∠ABC，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴AF⊥BE，
∵AF＝6，BE＝8，
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB＝ ，
故选：B．
3．解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∵△OCD的周长为 23，
∴OD+OC＝23﹣5＝18，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形 ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36，
故答案为：36．
4．解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
由勾股定理得：AC＝ ，
∴OC＝ AC＝1.5，
在 Rt△BCO中，∠BCO＝90°，
∴OB＝ ，
∴BD＝2OB＝5，
故答案为 5．
5．解：当高在△ABC内部时，如图所示：
在 ABCD中，BC边上的高 AE为 3，AB＝5，AC＝2 ，
∴EC＝ ，BE＝ ，
∴BC＝CE+BE＝ +4，
当高在△ABC外部时，如图所示，
同理可得 EC＝ ，BE＝4，
∴BC＝4﹣ ，
故答案为 4± ．
6．（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴BE＝5，CE＝3，
∵32+42＝52，
即 BE2＝CE2+BC2，
∴△BEC是直角三角形，
即∠ACB＝90°；
（2）解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠CAD＝90°，
在 Rt△ACD中，由勾股定理得，CD＝ ．
课时 4 作业：
19.2 平行四边形的判定
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，以△ABC 的顶点 A为圆心，以 BC 长为半径作弧；再以顶点 C为圆心，以
AB 长为半径作弧，两弧交于点 D，则四边形 ABCD 是平行四边形的理由是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（作业分析：根据平行四边形的判定解答即可，正确把握两组对边分别相等的四
边形是平行四边形。）
（设计意图：考查平行四边形的判定，通过尺规作图，培养学生的动手操作能力。）
2．如图，BD 垂直平分 AC，交 AC 于 E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为 A，AF＝
DF＝5，AD＝6，则 AC 的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
（作业分析：根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形
的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明 AB∥DF，进而得到四边形 AFDB
为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定
理列出方程，解方程得到答案。）
（设计意图：考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，培养
学生综合运用所学知识独立思考、自主探究的能力。）
3．已知：如图，点 E，F在 BD 上，且 AE＝CF，BF＝DE，∠AEB＝∠CFD．求证：AC
与 BD 互相平分．
（作业分析：连接 BC、AD，证明△ABE≌△CDF（SAS），得 AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
则 AB∥CD，再证四边形 ABCD 是平行四边形，即可得出结论。）
（设计意图：考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，
进一步培养学生严密的思维习惯，培养学生推理论证的规范性。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．如图，在下列网格中，每一个小正方形的边长为 1，请在网格中找出一点 D，
使四边形 ABCD 为平行四边形，则平行四边形 ABCD 边 AB 上的高的长度
为 ．
（作业分析：过 B作 BE⊥CD 于 E，由勾股定理求出 AB 的长，再由面积法求出 BE
的长即可。）
（设计意图：培养学生作图、猜想、推理、验证等综合能力。）
5．如图，在等边△ABC 中，BC＝8cm，射线 AG∥BC，点 E从点 A出发沿射线 AG 以
1cm/s 的速度运动；点 F从点 B出发沿射线 BC 以 3cm/s 的速度运动．设运动时
间为 t（s），当 t 为 s 时，以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四
边形．
（作业分析：分别从当点 F在 C的左侧时与当点 F在 C的右侧时去分析，由当 AE
＝CF 时，以 A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得
答案。）
（设计意图：动点问题。考查了平行四边形的判定，培养学生分类讨论、逻辑思
维的能力。）
6．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AO＝OC，过点
O作 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F．
（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；
（2）连接 BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE 的度数．
（作业分析：①证△AOD≌△COB（ASA），得 AD＝CB，再由 AD∥BC，即可得出结
论；②先根据线段垂直平分线的性质得 BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠
EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可。）
（设计意图：进一步培养学生独立思考、自主探索的能力，为数学结论的证明打
下良好的基础。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
参考答案
1．解：由题意可知，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故选：B．
2．解：∵BD垂直平分 AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形 AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设 BE＝x，则 DE＝5﹣x，
在 Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在 Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即 52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
3．证明：连接 BC、AD，如图：
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF
即 BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴AC与 BD互相平分．
4．解：如图，过 B作 BE⊥CD于 E，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ，
∵平行四边形 ABCD的面积＝AB×BE＝5×4﹣ ×2×3﹣ ×3×1﹣ ×2×3﹣ ×3×
1＝11，
∴BE＝ ＝ ，
即平行四边形 ABCD边 AB上的高的长度为 ，
故答案为： ．
5．解：当点 F在 C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则 CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当 AE＝CF时，四边形 AECF是平行四边形，
即 t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点 F在 C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则 CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当 AE＝CF时，四边形 AEFC是平行四边形，
即 t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当 t＝2或 4s时，以 A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故答案为：2或 4．
6．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形 ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形 ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
课时 5 作业：
19.2 三角形中位线
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，D、E分别为△ABC 的边 AB、AC 的中点．连接 DE，过点 B作 BF 平分∠ABC，
交 DE 于点 F．若 EF＝4，AD＝7，则 BC 的长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
（作业分析：根据三角形中位线定理得到 DE∥BC，BC＝2DE，根据平行线的性质、
等腰三角形的判定定理求出 DF，进而求出 DE，得到答案。）
（设计意图：考查三角形中位线定理、平行线的性质，培养学生观察、思考、探
索、研究的学习习惯。）
2．如图，已知在△ABC 中，AB＝6．AC＝10，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE．若
DE＝4，则△ABC 的面积是 ．
（作业分析：根据三角形中位线定理求出 BC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC
为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．）
（设计意图：通过练习巩固，使学生熟练掌握三角形中位线定理、勾股定理的逆
定理。）
3．如图，在△ABC 中，M，N分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E是 CN 的中点，
连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D．若 BC＝4，则 CD 的长是多少？
（作业分析：根据三角形中位线定理求出 MN，证明△MNE≌△DCE，根据全等三角
形的性质解答即可．）
（设计意图：通过操作、思考、探究、交流等活动，进一步无培养学生严密的思
维习惯。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．如图，小红作出了边长为 1的第 1个等边△A1B1C1，算出了等边△A1B1C1的面积，
然后分别取△A1B1C1三边的中点 A2、B2、C2，作出了第 2个等边△A2B2C2，算出了
等边△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第 3 个等边△A3B3C3，算出了等边
△A3B3C3的面积…，由此可得，第 n个等边△AnBn n的面积是（ ）
A． B．
C． D．
（作业分析：证 A2B2是△A1B1C1的中位线，得等边△A2B2C2，以及等边△A3B3C3的面
积，依此类推△AnBn n的面积即可。）
（设计意图：通过观察、思考、操作、猜想、验证等过程，让学生发现规律，解
决问题。）
5．如图，△ABC 中，D，E，F分别是 AB，AC，BC 的中点．
（1）若 EF＝5cm，则 AB＝ cm；若 BC＝9cm，则 DE＝ cm；
（2）中线 AF 与中位线 DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想．
（作业分析：①利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且
等于第三边的一半．可以求得 AB、ED 的长度；②连接 DF，易判定四边形 ADFE 为
平行四边形，则该平行四边形的对角线相互平分。）
（设计意图：通过练习，让学生进行独立思考、自主探索，为数学结论的证明打
下良好的认识基础。）
6．如图，在△ABC 中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE 分别是其角平分线和中线，
过点 C作 CG⊥AD 于点 F，交 AB 于点 G，连接 EF．
（1）说明：AC＝AG；
（2）求线段 EF 的长．
（作业分析：①根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，利用 ASA 定理证明△GAF
≌△CAF，根据全等三角形的性质证明结论；②根据题意求出 BG，根据三角形中位
线定理解答即可。）
（设计意图：培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；②
学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确努力
的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家长及时
了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度和习惯。）
参考答案
1．解：∵D为边 AB的中点，AD＝7，
∴BD＝AD＝7，
∵D、E分别为△ABC的边 AB、AC的中点．
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝7，
∴DE＝DF+EF＝11，
∴BC＝2DE＝22，
故选：A．
2．解：∵D，E分别是 AB，AC的中点，DE＝4，
∴BC＝2DE＝8，
∵AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC＝ ×AC×BC＝ ×6×8＝24，
故答案为：24．
3．解：∵M，N分别是 AB和 AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝ BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点 E是 CN的中点，
∴NE＝CE，
在△MNE和△DCE中，
，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
4．解：等边△A1B1C1的面积为： × ×12＝ ，
∵△A1B1C1三边的中点为 A2，B2，C2，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2∥A1B1，A2B2＝ A1B1，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1，
∴△A2B2C2的面积：△A1B1C1的面积＝1：4，
∴等边△A2B2C2的面积为： × ＝ ，
同理可知，等边△A3B3C3的面积：等边△A2B2C2的面积＝1：4，
∴等边△A3B3C3的面积为： × ＝ ，…，
﹣
依此类推第 n个等边△AnBn n的面积是： ＝ ×（ ）n 1，
故选：C．
5．解：（1）∵在△ABC中，点 E、F分别是 AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且 EF＝ AB．
又 EF＝5cm，
∴AB＝10cm．
同理，DE＝ BC＝4.5cm；
故答案是：10、4.5
（2）互相平分，
理由：如图，连接 DF，
∵AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形 ADFE为平行四边形，
∴中线 AF与 DE的关系是互相平分．
6．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AC＝AG；
（2）解：∵AC＝8cm，
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm），
∵△GAF≌△CAF，
∴CF＝FG，
∵CE＝EB，
∴EF＝ BG＝ ×4＝2（cm）．
课时 6 作业：
19.3 矩形的性质
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，在矩形 ABCD中，点 O是 AC的中点，OM∥AB交 AD于点M，若 OB＝5，BC
＝8，则 OM的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
（作业分析：由矩形的性质可得 OM＝ CD，由勾股定理可得 CD＝6，进而可以解
决问题。）
（设计意图：考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，培养学生熟练地
应用这些知识解决问题的能力。）
2．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，
则矩形对角线 BD 的长为 cm．
（作业分析：根据矩形性质得出 AC＝BD，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出△AOB
是等边三角形，求出∠ADB＝30°，得出 AC＝BD＝2AB＝5cm 即可。）
（设计意图：考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等，培养学生熟练地应
用这些知识解决问题的能力。）
3．如图，在矩形 ABCD 中，E是边 AD 上点．连接 BE，过点 C向 BE 作垂线，交 BE
于点 F，交 DA 的延长线于点 G．且满足 AG＝DE．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若 AE＝ CD＝2，求 CG 的长．
（作业分析：①根据矩形的性质证明△GEF≌△CBF；②根据勾股定理可得 BE 的长，
然后得 AG＝3，进而可以解决问题。）
（设计意图：培养学生独立思考、自主探索的习惯，为数学结论的证明打下良好
的基础。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．如图，矩形 ABCD 中，点 E为 BC 中点，点 P为线段 BE 上一个动点，连接 AP，
DP，AB＝4，BC＝10，当∠APD＝90°时，AP 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
（作业分析：先根据矩形的性质求出矩形各边的长，设 BP＝x，再根据勾股定理
求出 AP 即可。）
（设计意图：考查矩形的性质和勾股定理的应用，培养学生掌握和运用所学知识
解决问题的能力。）
5．如图，矩形 ABCD 中，AB＝9，AD＝12，点 M在对角线 BD 上，点 N为射线 BC 上
一动点，连接 MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当△DMN 是等腰三角形时，线段 BN
的长为 ．
（作业分析：分三种情形讨论求解。）
（设计意图：考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，培
养学会用分类讨论的思想考虑问题，不漏解。）
6．如图，BN、CM 分别是△ABC 的两条高，点 D、点 E分别是 BC、MN 的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若 BC＝10，MN＝6，求 DE．
（作业分析：连接 DM，DN．根据直角三角形的中线得到 DM＝DN，根据等腰三角形
的性质证明；根据勾股定理计算，得到答案．）
（设计意图：用适当的方法添加辅助线，使学生综合运用所学知识解决问题。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C三个
等级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
参考答案
1．解：∵四边形 ABCD是矩形
∴AB∥CD，AD＝BC＝8，
∵OM∥AB，
∴OM∥CD，
∵点 O是 AC的中点，
∴M是 AD的中点，
∴OM＝ CD，
∵AC＝2OB＝10，
∴CD＝ ＝ ＝6，
∴OM＝3．
故选：B．
2．解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝ AC，BO＝DO＝ BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝5（cm）．
故答案为：5．
3．（1）证明：在矩形 ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠G＝∠FCB，
∵AG＝DE，
∴AG+AE＝DE+AE，
∴GE＝AD，
∴GE＝BC，
在△GEF和△CBF中，
，
∴△GEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF；
（2）解：∵AE＝ CD＝2，
∴AB＝CD＝4，
∴BE＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝BF＝ BE＝ ，
∵GF⊥BE，
∴∠GFE＝∠BAD＝90°，
∴∠G+∠GEF＝∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠G＝∠ABE，
∴△GFE∽△BAE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AG＝3，
∴DG＝AG+AE+DE＝2AG+AE＝6+2＝8，
∴CG＝ ＝ ＝4 ．
∴CG的长为 4 ．
4．解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，AB＝CD＝4，
设 BP＝x，则 CP＝10﹣x，
在 Rt△ABP中，
AP2＝AB2+BP2＝16+x2，
在 Rt△DCP中，
DP2＝CP2+DC2＝16+（10﹣x）2，
∵∠APD＝90°，
在 Rt△APD中，
AD2＝AP2+DP2，
100＝16+x2+16+（10﹣x）2，
解得：x1＝2，x2＝8，
∵点 E为 BC中点，点 P为线段 BE上一个动点，
∴BP＝2，
∴AP＝ ＝2 ．
故选：D．
5．解：∵四边形 ABCD是矩形，AB＝9，AD＝12，
∴BC＝12，DC＝9，DC⊥BC，
①如图 1中，当 NM＝ND时，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵∠MND＝∠CBD，
∴∠BDN＝∠BND，
∴BD＝BN＝ ＝15；
②如图 2中，当 DM＝DN时，
易知 M与 B重合，此时 BC＝CN＝12，BN＝24，
③如图 3中，当 MN＝MD时，
∵MN＝MD，
∴∠MND＝∠MDN，
∵∠DNM＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠MDN，
∴BN＝ND，
设 BN＝DN＝x，
在 Rt△DNC中，
∵DN2＝CN2+CD2，
∴x2＝（12﹣x）2+92，
∴x＝ ，
故答案为 15或 24或 ．
6．（1）证明：如图，连接 DM，DN．
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是 BC的中点，
∴DM＝ BC，DN＝ BC，
∴DM＝DN，
∵E为 MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）解：∵BC＝10，
∴DM＝5，
∵点 E是 MN的中点，MN＝6，
∴ME＝4，
由勾股定理得：DE＝ ＝4．
课时 7 作业：
19.3 矩形的判定
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．如图，要使 ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
（作业分析：根据矩形的判断方法即可解决问题。）
（设计意图：通过练习，让学生巩固、识记：①矩形的定义：有一个角是直角的
平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四
边形是矩形。）
2．如图，已知直角三角形 ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以 AB、BC 为边的矩
形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出 AC 的中点 E；
（2）连接 BE 并延长到 D，使得 ED＝BE；
（3）连接 AD 和 DC．则四边形 ABCD 即为所求的矩形．理由是 ．
（作业分析：先证四边形 ABD 是平行四边形，再由∠ABC＝90°，即可得出结论。）
（设计意图：让学生熟练掌握平行四边形的判定与性质，熟记“有一个角是直角
的平行四边形为矩形”。）
3．如图，连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，还要添加 条件，
才能保证四边形 EFGH 是矩形．
（作业分析：根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线
的性质∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG＝90°，所以
∠2＝90°，因此 AC⊥BD．）
（设计意图：使学生掌握各种特殊四边形之间的演变过程，较好地理解它们之间
的区别和联系。）
4．如图，点 B在线段 MN 上，过 AB 的中点 O作 MN 的平行线，分别交∠ABM 和∠ABN
的平分线于点 C和点 D．试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论．
（作业分析：证∠OCB＝∠OBC，则 OC＝OB，同理 OD＝OB，再由 OA＝OB，证出四
边形 ACBD 是平行四边形，然后证 AB＝CD，即可得出结论。）
（设计意图：通过练习，让学生掌握各种特殊四边形之间的演变过程，较好地理
解它们之间的区别和联系。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C三个
等级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
5．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D 为边 AC 上一动点，DE⊥AB
于点 E，DF⊥BC 于点 F，则 EF 的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
（作业分析：连接 BD，由勾股定理求出 AB，再证四边形 DEBF 是矩形，得 EF＝CD，
然后由垂线段最短得 BD⊥AC 时，线段 EF 的值最小，最后由三角形面积求出 BD 的
长即可。）
（设计意图：考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理以及三角形
面积等知识，培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。）
6．如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝
OB．
（1）如图 1，求证：四边形 ABCD 为矩形；
（2）如图 2，P 是 AD 边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F 分别是垂足，若
AD＝12，AB＝5，求 PE+PF 的值．
（作业分析：①先证四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
再证出 AC＝BD，即可得出结论；②由勾股定理可求 AC＝BD＝13，由面积法可求解．）
（设计意图：培养学生的观察思考、动手操作与自主探索能力，使得不同层次的
学生得到不同层次的发展。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C三个
等级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
参考答案
2．解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
3．解：∵E是 AC的中点，
∴AE＝CE，
∵ED＝BE，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形 ABCD为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
4．解：∵G、H、E分别是 BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形 EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加 AC⊥BD，才能保证四边形 EFGH是矩形．
5 ．解：四边形 ACBD是矩形，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是 AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形 ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形 ACBD是矩形．
7．解：如图，连接 BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝ ＝ ＝13，
∵DE⊥AB于点 E，DF⊥BC于点 F，
∴四边形 DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得 BD⊥AC时，线段 BD最短，则 EF最小，
此时，S△ABC＝ BC AB＝ AC BD，
即 ×12×5＝ ×13 BD，
解得：BD＝ ，
∴EF的最小值为 ．
故选：B．
9．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形 ABCD是矩形；
（2）如图，连接 OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝ ＝ ＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝ ，
∵S△AOD＝ S 矩形 ABCD＝ ×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴ × ×FP+ × ×EP＝15，
∴PE+PF＝ ．
课时 8 作业：
19.3 菱形的性质与判定
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．菱形 ABCD 的周长是 8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线 BD 的长是
（ ）
A． cm B．2 cm C．1cm D．2cm
（作业分析：由菱形的性质得 AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再
证△ABC 是等边三角形，得 AC＝AB＝2（cm），则 OA＝1（cm），然后由勾股定理
求出 OB＝ （cm），即可求解。）
（设计意图：考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质性质以及勾股定理等知
识，培养学生综合运用所学知识解决问题的能力，提升核心素养。）
2．如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F分别是 AD，BC 的中点，G，H分别是 BD，AC
的中点，AB，CD 满足什么条件时，四边形 EGFH 是菱形（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC
（作业分析：证 EG 是△ABD 的中位线，得 EG∥AB，EG＝ AB，同理 HF∥AB，HF
＝ AB，EH∥CD，EH＝ CD，则 EG∥HF，EG＝HF，得四边形 EGFH 是平行四边形，
再证 EG＝EH，即可得出结论。）
（设计意图：使学生理解各种特殊四边形之间的关系，掌握它们之间的演变过程，
灵活运用所学知识解决问题，提升核心素养。）
3．若某个菱形的两条对角线的长度分别为 3和 4，则该菱形的周长为 ．
（作业分析：首先根据题意画出图形，由菱形 ABCD 中，AC＝4，BD＝3，即可求得
其边长，继而求得答案。）
（设计意图：考查了菱形的性质以及勾股定理，培养学生独立作图、独立思考与
自主探索的能力。）
4．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相
交于点 M、N．
（1）求证：四边形 BNDM 是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形 BNDM 的周长．
（作业分析：①证△MOD≌△NOB（AAS），得出 OM＝ON，再由 OB＝OD，则四边形
BNDM 是平行四边形，进而得出结论；②由菱形的性质得出 BM＝BN＝DM＝DN，设 BN
＝DN＝x，则 CN＝BC﹣BN＝16﹣x，再在 Rt△CDN 中，由勾股定理得出方程，求出
BN＝10，即可求解．）
（设计意图：通过观察、思考、探索等过程，掌握菱形的判定与性质、平行四边
形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，提升核心素养。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
5．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的
是（ ）
已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E、F是直线 AC 上两点，AF＝CE．
求证；四边形 FBED 是菱形．
甲：利用全等，证明四边形 FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接 BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形 FBED
是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
（作业分析：由全等三角形的性质证出 BF＝DF＝BE＝DE，则四边形 FBED 是菱形，
故甲对；再由菱形的性质得 OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则 OF＝OE，得四边形 FBED
是平行四边形，然后由 AC⊥BD，得平行四边形 FBED 是菱形，故乙对，即可得出结
论．）
（设计意图：使学生掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质等知识，综合运用所学知识解决问题。）
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中，
AB＝3，AC＝2，则四边形 ABCD 的面积为 ．
（作业分析：先证四边形 ABCD 是菱形，再由勾股定理可求 BO 的长，然后由菱形
的面积公式可求解。）
（设计意图：通过练习，让学生熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定
与性质、勾股定理等知识，提升核心素养。）
（二）时间要求：（20 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
参考答案
1．解：∵菱形 ABCD的周长为 8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在 Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝ ＝ ＝ （cm），
∴BD＝2OB＝2 （cm），
故选：B．
2．解：当 AB＝CD时，四边形 EGFH是菱形．理由如下：
∵点 E，G分别是 AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG＝ AB，
同理 HF∥AB，HF＝ AB，EH∥CD，EH＝ CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形 EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形 EGFH是菱形．
故选：A．
3．解：如图，∵菱形 ABCD中，AC＝4，BD＝3，
∴OA＝ AC＝2，OB＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴它的周长为： ×4＝10．
故答案为：10．
4．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线 BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形 BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形 BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形 BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设 BN＝DN＝x，则 CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在 Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即 82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即 BN＝10，
∴菱形 BNDM的周长＝4BN＝40．
5．解：甲：∵四边形 ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形 FBED是菱形；
乙：连接 BD交 AC于 O，如图所示：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即 OF＝OE，
∴四边形 FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形 FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
6．解：过点 A作 AE⊥CD于 E，AF⊥BC于 F，连接 AC，BD交于点 O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形 ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2BO＝4 ，
∴菱形 ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×2×4 ＝4 ，
故答案为： ．
课时 9 作业：
19.3 正方形的性质与判定
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．正方形 ABCD 的一条对角线长为 6，则这个正方形的面积是（ ）
A．9 B．18 C．24 D．36
（作业分析：正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可
以根据 S＝ ab 计算。）
（设计意图：使学生掌握正方形对角线相等的性质，清楚正方形面积可以按照菱
形面积计算公式计算，并熟记菱形的面积计算公式。）
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E在对角线 AC 上，EF⊥AB 于点 F，EG⊥BC 于点 G，
连接 DE，若 AB＝10，AE＝3 ，则 ED 的长度为（ ）
A．7 B．2 C． D．
（作业分析：连接 BE，证明△ABE≌△ADE，可得 ED＝BE，在等腰直角三角形 AEF
中，求出 AF，EF 的长，再在 Rt△BEF 中求出 BE 的长，即可得出 ED 的长。）
（设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力，提升核心素养。）
3．如图，四边形 ABCD 是正方形，AE⊥BE 于点 E，且 AE＝3，BE＝6，则阴影部分
的面积是 ．
（作业分析：由勾股定理可求 AB2＝45，由面积关系可求解。）
（设计意图：通过观察、思考、操作、探究，为数学知识的积累打下良好的基础。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E 是边 AB 上
一点，且∠DCE＝45°，则 DE 的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
（作业分析：：过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G，延长 DG 至 F，使 GF＝BE，先
证四边形 ABCG 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设 DE＝x，在
Rt△AED 中利用勾股定理可求出 ED 的长。）
（设计意图：通过添加适当的辅助线，熟练运用正方形的判定与性质，全等三角
形的判定和性质、勾股定理等知识解决问题，提升核心素养。）
5．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3cm，延长 BC 到点 E，使 CE＝1cm，连接 DE，动
点 P 从点 A 出发，以每秒 0.5cm 的速度沿 AB→BC→CD→DA 向终点 A 运动．设
点 P的运动时间为 t秒，当△PBC 和△DCE 全等时，t的值为 ．
（作业分析：分点 P在 AB 和 CD 上两种情况讨论。）
（设计意图：通过练习，培养学生的分类思想、逻辑思维等方面的能力。）
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，
过点 D作 DE⊥BC，垂足为 F，交直线 MN 于 E，连接 CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当 D为 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？
（不必说明理由）
（作业分析：①先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即
可；
②求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
③当∠A＝45°，四边形 BECD 是正方形。）
（设计意图：熟练掌握平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、
直角三角形性质的应用，灵活运用所学知识解决问题，提升核心素养。）
（二）时间要求：（20 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
参考答案
1．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形 ABCD的对角线长均为 6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是 S＝ ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝ ×6×6＝18，
故选：B．
2．解：如图，连接 BE，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点 F，AE＝3 ，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝ ＝ ，
∴ED＝ ．
故选：C．
3．解：∵AE⊥BE，AE＝3，BE＝6，
∴AB2＝AE2+BE2＝9+36＝45，
∵阴影部分的面积＝S 正方形 ABCD﹣S△ABE，
∴阴影部分的面积＝45﹣ ×3×6＝36，
故答案为：36．
4．解：如图，过 C作 CG⊥AD于 G，并延长 DG至 F，使 GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形 ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设 ED＝x，则 EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
5．解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC为直角三角形，
∴点 P只能在 AB上或者 CD上，
当点 P在 AB上时，有 BP＝CE，
∴BP＝CE＝1，
∴AP＝2，
∴t＝2÷0.5＝4，
当点 P在 CD上时，有 CP＝CE＝1，
∴t＝（3+3+1）÷0.5＝14，
故答案为：4或 14．
6．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即 CE∥AD，
∴四边形 ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形 BECD是菱形，
理由是：∵D为 AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形 BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为 AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形 BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形 BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形 BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形 BECD是正方形．
课时 10 作业：
19.4 多边形的镶嵌
作业 1（基础性作业）
（一）作业内容：
1．下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正七边形 D．正九边形
（作业分析：分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除 360°即可。）
（设计意图：考查了平面镶嵌（密铺），培养学生的观察、操作、探究能力。）
2．如图所示是三个相同的正 n边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则 n
的值为 ．
（作业分析：根据图中是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形
的一部分，即可求出多边形每个内角的度数，进而即可求出答案。）
（设计意图：考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°，培养
学生的观察、操作、探究能力，以及应用数学的意识。）
3．在教学活动课中我们学面镶嵌，若给出如图一些边长均为 1的正三角形、
正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙，围绕某一个
顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出多少种不同的图案？其中所拼图案
中最大的周长是多少？
（作业分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角
之和能否为 360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满。）
（设计意图：培养学生的观察、操作、探究能力，以及应用数学的意识。）
（二）时间要求：（10 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
作业 2（发展性作业）
（一）作业内容：
4．利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有 a块
正三角形和 b块正六边形（a＞b＞0），则 a+b 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（作业分析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几
个角之和能否为 360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能
进行平面镶嵌。）
（设计意图：考查平面镶嵌，让学生在观察、思考、操作、探究中发展应用数学
的能力。）
5．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边
完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 ．
（作业分析：先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的
条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求
解。）
（设计意图：通过问题的分析解决，让学生在观察、思考、操作、探究中发展应
用数学的能力。）
6．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶
嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点
处的各个角的和为 °；
（2）如图②，长方形的长为 2cm、宽为 1cm，若用 4 个这样的长方形镶嵌成 1
个大长方形，则该长方形周长的最小值是 cm；
（3）如图③，用 3个边长为 1cm 的正三角形和 2个边长为 1cm 的正方形，可以
镶嵌成 1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
（作业分析：根据周角的定义即可得到结论；根据矩形的周长公式即可得到结论；
根据周角的定义即可得到结论。）
（设计意图：培养学生综合运用知识解决问题的能力，同时让学生在观察、思考、
操作、探究中发展应用数学的能力。）
（二）时间要求：（15 分钟）
（三）评价设计
作业评价表
等级
指标评价 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确；
B等，答案正确、过程有问题；
答题的准确性
C等，答案不正确、有过程不完整或答
案不准确、过程错误、无过程。
A等，过程规范、答案正确；
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确；
C等，过程不规范或无过程、答案错误。
A等，解法有新意、答案正确；
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性 错误；
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
（评价方式：①双轨评价：教师实行等级和符号的双轨评价，分 A、B、C 三个等
级来评价学生的作业质量，用学生普遍都喜欢的符号来评价学生作业的态度；
②学生互评：学生互评的过程也是一次再学习的过程，找到自己的不足，明确
努力的方向；③邀请家长参与评价：教师引导家长进行正确的评价，能够让家
长及时了解孩子的学习状况，关心孩子的学时更加关注孩子的作业态度
和习惯。）
参考答案
1．解：A．正方边形每个内角为 90°，能整除 360°，所以能铺满地面；
B．正五边形每个内角为 108°，不能整除 360°，所以不能铺满地面；
C．正七边形每个内角为（ ）°，不能整除 360°，所以不能铺满地面；
D．正九边形每个内角为 140°，不能整除 360°，所以不能铺满地面；
故选：A．
2．解：∵是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，
∴每个内角度数＝360°÷3＝120°，
那么边数为：360÷（180﹣120）＝6．
故多边形是正六边形．
故答案为：6．
3．解：∵正三角形的内角为 60°，正六边形的内角为 120°，
∴围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出①2×120°+2×60°或 120°
+60°+120°+60°，②120°+4×60°，3种不同的图案；
其中所拼的图案中最大的周长为①1×10＝10，
答：共拼出 3种不同的图案，其中所拼图案中最大的周长是 10．
4．解：∵正三边形和正六边形内角分别为 60°、120°，
60°×4+120°＝360°，或 60°×2+120°×2＝360°，
∴a＝4，b＝1或 a＝2，b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5，
故选：B．
5．解：正四边形每个内角度数为 360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为 180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为 360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为 360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
6．解：（1）用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为 360°，
故答案为：360；
（2）如图，
长方形的长为 2cm、宽为 1cm，若用 4个这样的长方形镶嵌成 1个大长方形，则该长方形
周长的最小值是 12（cm），
故答案为：12；
（3）七边形如图所示，
课时 11 作业：
单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容：
一．选择题（共 5 小题）
1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
（作业分析：根据平行四边形的判定定理（①两组对边分别平行的四边形是平行
四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四
边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互
相平分的四边形是平行四边形）进行判断。）
（设计意图：考查对平行四边形的判定定理的应用，培养和发展学生的操作能力
与逻辑思维能力。）
2．如图，是可调躺椅示意图，AE 与 BD 的交点为 C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为
了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°．根据图中数据信息，下列调整
∠D大小的方法正确的是（ ）
A．增大 10° B．减小 10° C．增大 15° D．减小 15°
（作业分析：延长 EF，交 CD 于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据
对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF 的度数；利用
∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．）
（设计意图：通过问题的分析与解决，培养学生应用数学的意识，发现数学就在
身边，激发学生学习数学的兴趣。）
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D、E、F分别是三边的中点，且 DE＝
4cm，则 AF 的长度是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
（作业分析：根据三角形中位线定理求出 BC，根据直角三角形的性质解答）
（设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。）
4．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，
其形状也随之改变．如图，改变正方形 ABCD 的内角，使正方形 ABCD 变为菱形
ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形 ABC′D′与正方形 ABCD 的面积之比
是（ ）
A． B． C． D．1
（作业分析：过 D'作 D'M⊥AB 于 M，求出正方形 ABCD 的面积＝AB2，再由含 30°
角的直角三角形的性质得 AM＝ AD'，D'M＝ AM＝ AD'，然后求出菱形 ABCD
的面积＝AB×D'M＝ AB2，即可求解。）
（设计意图：使学生理解并掌握各种特殊四边形之间的关系，培养学生综合运用
所学知识解决问题的能力。）
5．求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 O是 AC 的中点．
求证：OB＝ AC．
证明：延长 BO 到 D，使 OD＝OB，连接 AD、CD，中间的证明过程排乱了：
①∵∠ABC＝90°；
②∵OD＝OB，OA＝OC；
③∴四边形 ABCD 是平行四边形；
④∴四边形 ABCD 是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝ BD＝ AC．
则中间证明过程正确的顺序是（ ）
A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
（作业分析：延长 BO 至点 D，使 OD＝OB，连接 AD、CD，先证四边形 ABCD 是平行
四边形，再证平行四边形 ABCD 是矩形，得 AC＝BD，即可得出结论。）
（设计意图：通过引导学生进行独立思考、自主探索，为数学结论的证明打下扎
实的基础。）
二．填空题（共 3 小题）
6．如图，直线 AB∥CD，GH 平分∠CGF，GI 平分∠DGF，且 HG＝15cm，GI＝20cm，
HI＝25cm，则直线 AB 与直线 CD 之间的距离是 cm．
（作业分析：根据角平分线得出∠HGI＝90°，利用直

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