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2023-2024年人教版八年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷
专题一、二次根式（一）
一.知识点精讲
知识点一、二次根式的定义
形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
（1）实质：一个非负数的算术平方根
（2）作为运算条件必须
（3）作为运算结果≥0
注意：
（1）必须含有二次根号，“”的根指数是2，通常省略。
（2）二次根式中的被开方数可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）双重非负性，二次根式表示非负数的算术平方根，因此a≥0
知识点二、二次根式的性质
性质1： .（二次根式的非负性）
性质2：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质3：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
性质4
即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
性质5 （a≥0,b>0）
即商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
知识点三、最简二次根式
1.满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；
2.对最简二次根式的理解：
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；
③分母中不含根号；
易错点点拨
易错点一、二次根式定义
例1-1 .下列各式中不是二次根式的是( )
A. B. C. D.
根据二次根式定义，判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是的计算结果，是二次根式，形如（）的式子叫做二次根式.
变式训练1
变式1．下列式子中一定是二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
变式2．下列各式中，是二次根式有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
易错点二、二次根式有意义的条件
例2-1 .若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____.
二次根式有意义的条件：被开方数是非负数
（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数。
（2）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，并且分式中分母不为0.
（3）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有零指数或负指数指数幂那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数或负指数的指数幂的底数不为0.
变式训练2
变式1．式子有意义，则x的值可能是（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
变式2．如果，那么xy的值是 _____．
变式3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 _____．
易错点三、二次根式的性质及化简
例3-1．如果，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
例3-2．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A. B.
C. D.
反过来，a（a≥0）= ， 所以原式
例3-3．若4＜a＜5，则=（　　）
A. 2a-9 B. 1-2a C. 2a+1 D. 2a-1
例3-4．若，那么（　　）
A. x≥3 B. x≤1 C. 1≤x≤3 D. x=1或者x=3
运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
变式训练3
变式1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6
变式2．已知a＜b,则化简二次根式的正确结果是（　　）
A. B.
C. D.
变式3．把二次根式化简为（　　）
A. B.
C. D.
变式4．若，则_______________________．
变式5．使成立的条件是 _____．
变式6．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．
两种解答中，_________的解答是错误的；
若时，___________．
变式7．已知△ABC的三边分别为a、b、c,化简：++-=_____．
变式8．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
易错点四、最简二次根式
例4-1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
根据最简二次根式定义判断
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。
例4-2．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
根据最简二次根式定义被开方数相同列方程求解
例4-3. 将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式：
，，，，
把二次根式化成最简二次根式的一般方法
将被开方数中能开方开得尽的因数或因式进行开方。
被开方数是分数或小数：应先将小数化为分数。
被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式。
被开方数是多项式的要进行因式分解。
单元检测卷
(一)、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．下列式子一定是二次根式是（　　）
A. B. π
C. D.
2．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 12
3．式子有意义，则x的值可能是（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4．已知，化简二次根式的正确结果（ ）
A. B.
C. D.
5．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A. x≥ B. x≤
C. x＝ D. x≠
6．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
7．当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( )
A. －1 B. 1 C. 2a－3 D. 3－2a
8．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥- B. x≥
C. x≤- D. x≤
9．若式子有意义，则点P（a,b）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B.
C. 10 D. 4
(二)、填空题(共5题,每小题3分，共15分)
11．如果，那么xy的值是 _____．
12．已知，则x的取值范围________．
13．若等腰三角形的两条边a，b满足，则等腰三角形的周长为______．
14．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简为___________．
15．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是_____．
(三)、解答题(共8题，共75分)
16．（12分）已知二次根式．
（1）求x的取值范围；
（2）求当x=-2时，二次根式的值；
（3）若二次根式的值为零，求x的值．
17．（8分）已知+=b+3
（1）求a的值；
（2）求a2-b2的平方根．
18．（6分）已知x,y为实数，y=，求xy的平方根．
19．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
20．（9分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
21．（8分）化简下列二次根式（字母表示正数）
（1）；
（2）
22．（12分）（1）计算：已知a,b.在数轴上位置如图1，化简：+-；
（2）如图2：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF=2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．
23．（12分）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x,y）和Q（x,y'）给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（-2，5）的“横负纵变点”为（-2，-5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为_____，
点的“横负纵变点”为_____；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是_____．
2023-2024年人教版八年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷（解析版）
专题一、二次根式（一）
一.知识点精讲
知识点一、二次根式的定义
形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
（1）实质：一个非负数的算术平方根
（2）作为运算条件必须
（3）作为运算结果≥0
注意：
（1）必须含有二次根号，“”的根指数是2，通常省略。
（2）二次根式中的被开方数可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）双重非负性，二次根式表示非负数的算术平方根，因此a≥0
知识点二、二次根式的性质
性质1： .（二次根式的非负性）
性质2：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质3：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
性质4
即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
性质5 （a≥0,b>0）
即商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
知识点三、最简二次根式
1.满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；
2.对最简二次根式的理解：
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；
③分母中不含根号；
易错点点拨
易错点一、二次根式定义
例1-1 .下列各式中不是二次根式的是( )
A. B. C. D.
根据二次根式定义，判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是的计算结果，是二次根式，形如（）的式子叫做二次根式.
答案：B
解析：A、，，该选项不符合题意；
B、，，不符合二次根式定义，该选项符合题意；
C、，，符合二次根式定义，该选项不符合题意；
D、，符合二次根式定义，该选项不符合题意；
故选：B.
变式训练1
变式1．下列式子中一定是二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．当a＞0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项符合题意；
C．当a≠0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
变式2．下列各式中，是二次根式有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】根据二次根式的概念进行分析判断．
解：①是二次根式，
②没有意义，不是二次根式，
③是三次根式，不是二次根式，
④没有意义，不是二次根式，
⑤是二次根式，
⑥是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如，a≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．
易错点二、二次根式有意义的条件
例2-1 .若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____.
二次根式有意义的条件：被开方数是非负数
（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数。
（2）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，并且分式中分母不为0.
（3）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有零指数或负指数指数幂那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数或负指数的指数幂的底数不为0.
答案：
解析：因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数
所以有.
又因为分式分母不为零
所以.
故综上：，
则：.
故答案为：.
变式训练2
变式1．式子有意义，则x的值可能是（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】根据式子有意义，可得，据此求出x的取值范围，判断出x可能的取值即可．
解：∵有意义，
∴，
∴x≤10且x≠4，
∵4=4，8＜10且8≠4，12＞10，16＞10，
∴式子有意义，则x的值可能是8．
故选：B．
变式2．如果，那么xy的值是 _____．
【答案】225
【解析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解确定x和y的值，从而代入求值．
解：由题意可得，
解得：x=15，
∴y==2，
∴原式=152=225，
故答案为：225．
变式3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 _____．
【答案】x≤1且x≠-2
【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，1 x≥0且|x|-2≠0，
解得x≤1且x≠-2．
故答案为：x≤1且x≠-2．
【点睛】本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义．
易错点三、二次根式的性质及化简
例3-1．如果，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
【答案】B
【解析】解：可知：，
所以，
解得，
故选：B．
例3-2．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A. B.
C. D.
反过来，a（a≥0）= ， 所以原式
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质，即可求解．
解：，
，
原式
，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
例3-3．若4＜a＜5，则=（　　）
A. 2a-9 B. 1-2a C. 2a+1 D. 2a-1
【答案】A
【解析】根据二次根式的性质化简即可．
解：∵4＜a＜5，
∴
=|4-a|-|a-5|
=a-4-（5-a）
=2a-9，
故选：A．
例3-4．若，那么（　　）
A. x≥3 B. x≤1 C. 1≤x≤3 D. x=1或者x=3
运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
【答案】C
【解析】分x＜1，1≤x≤3，x＞3三种情况分类讨论即可得出结果．
解：当x＜1时，1-x＞0，3-x＞0，
∴（不合题意）；
当1≤x≤3时，1-x≤0，3-x≥0，
∴；
当x＞3时，1-x＞0，3-x＜0，
∴（不合题意）．
综上所述：1≤x≤3．
故选：C．
变式训练3
变式1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6
【答案】A
【解析】根据数轴先确定a-2、a-4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：a-2＞0，a-4＜0，
故原式=a-2+4-a=2．
故选：A．
变式2．已知a＜b,则化简二次根式的正确结果是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b,易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
解：∵有意义，
∴-a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b,
∴a＜0，b≥0，
∴=-a．
故选：A．
变式3．把二次根式化简为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据二次根式有意义，先判断a的符号，再将二次根式化简．
解：∵-＞0，∴a＜0．
原式=a×=a×=-．
故选：A．
变式4．若，则_______________________．
【答案】
【解析】先由二次根式有意义可得从而依次求解的值，可得答案．
解：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
变式5．使成立的条件是 _____．
【答案】x≤4
【解析】根据二次根式有意义的条件，= （a≥0，b≥0），=|a|即可得出答案．
解：根据题意得：=|x-4|=（4-x），
∴x-4≤0，6-x≥0，
∴x≤4．
故答案为：x≤4．
变式6．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．
两种解答中，_________的解答是错误的；
若时，___________．
【答案】 ①. 甲 ②. 199
【解析】利用二次根式的性质化简进行判断即可．
解：甲没有考虑化简后的正负，
甲的解答是错误的，
，
，
∴1-a＜0，
原式
；
故答案为：①甲；②199．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式7．已知△ABC的三边分别为a、b、c,化简：++-=_____．
【答案】4c
【解析】利用三角形的三边关系定理确定出a+b+c,a-b-c,b-a-c,c-a-b的符号，再利用二次根式的性质化简运算即可．
解：∵△ABC的三边分别为a、b、c,
∴a+b+c＞0，a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b,
∴a-b-c＜0，b-a-c＜0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b+c+b+c-a+c+a-b-（a+b-c）
=a+b+c+c+b-a+c+a-b-a-b+c
=4c.
故答案为：4c.
变式8．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
【答案】0
【解析】先根据数轴判断出，再根据二次根式的性质和立方根的性质对原式进行化简，最后化简绝对值即可．
由图可知：，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和立方根的性质，化简绝对值，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．
易错点四、最简二次根式
例4-1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
根据最简二次根式定义判断
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。
【答案】D
【解析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
解：A、==，故A不符合题意；
B、=2，故B不符合题意；
C、=，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
例4-2．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
根据最简二次根式定义被开方数相同列方程求解
【答案】C
【解析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可．
∵最简二次根式与的被开方数相同，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念．
例4-3. 将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式：
，，，，
把二次根式化成最简二次根式的一般方法
将被开方数中能开方开得尽的因数或因式进行开方。
被开方数是分数或小数：应先将小数化为分数。
被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式。
被开方数是多项式的要进行因式分解。
【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．
解：=2，=3，=2，=，=，
∴、、是被开方式相同的二次根式，
、是被开方式相同的二次根式．
单元检测卷
(一)、选择题(共10题,每小题3分，共30分)
1．下列式子一定是二次根式是（　　）
A. B. π
C. D.
【答案】D
【解析】根据二次根式的概念（一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式）对各选项进行逐一辨别．
解：A、该代数式无意义，不符合题意；
B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；
C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；
D、是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
2．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 12
【答案】C
【解析】先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可．
解：∵=且是整式，
∴3n是完全平方数，
∴正整数n的最小值是3
故选C
【点睛】此题主要考查二次根式的定义和化简，熟练掌握二次根式的定义和化简方法是解题的关键．
3．式子有意义，则x的值可能是（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】根据式子有意义，可得，据此求出x的取值范围，判断出x可能的取值即可．
解：∵有意义，
∴，
∴x≤10且x≠4，
∵4=4，8＜10且8≠4，12＞10，16＞10，
∴式子有意义，则x的值可能是8．
故选：B．
4．已知，化简二次根式的正确结果（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直接利用二次根式有意义的条件，结合已知得出，，进而化简得出答案．
解：由二次根式有意义的条件可得：
∵，
∴，，
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：．
5．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A. x≥ B. x≤
C. x＝ D. x≠
【答案】C
【解析】由题意可知：，解得：x=，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
6．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
7．当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( )
A. －1 B. 1 C. 2a－3 D. 3－2a
【答案】B
【解析】解：∵1＜a＜2，
∴=|a-2|=-（a-2），|1-a|=a-1，
∴+|1-a|
=-（a-2）+（a-1）
=2-1
=1．
故选B．
8．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥- B. x≥
C. x≤- D. x≤
【答案】B
【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
解：根据题意得：2x-1≥0
解得
故选：B．
9．若式子有意义，则点P（a,b）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．
解：要使这个式子有意义，必须有-a≥0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴点（a,b）在第三象限．
故选：C．
10．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B.
C. 10 D. 4
【答案】D
【解析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
(二)、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．如果，那么xy的值是 _____．
【答案】225
【解析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解确定x和y的值，从而代入求值．
解：由题意可得，
解得：x=15，
∴y==2，
∴原式=152=225，
故答案为：225．
12．已知，则x的取值范围________．
【答案】-2≤x<0
【解析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质列出不等式组，求解即可．
解：∵，
∴2+x≥0，x<0，
解得：-2≤x<0，
故答案为：-2≤x<0．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，明确“=，当a>0时式子等于a；当a=0时，则式子等于0；当a<0时，式子等于-a”是解题的关键．
13．若等腰三角形的两条边a，b满足，则等腰三角形的周长为______．
【答案】4+或2+
【解析】根据二次根式有意义，可得a=2，代入求得b=，利用三边关系求周长即可.
解：由题意，得3a-6≥0,2-a≥0
∴a=2
将a=2代入，得b=
当腰为2时，符合三角形三边关系，周长为4+
当腰为时，符合三角形三边关系，周长为2+
故答案为：4+或2+
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，以及三角形三边关系求周长的问题，利用二次根式有意义的条件得出a值是解题关键.
14．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简为___________．
【答案】
【解析】直接利用数轴得出各项符号，利用二次根式的性质化简原式进而得到答案．
解：如图所示：，
∴
则原式
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确根据数轴确定a，b，c的符号，以及根据绝对值的性质去掉绝对值符号是解决本题的关键．
15．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是_____．
【答案】-
【解析】判断得到a为负数，利用二次根式性质化简即可．
解：原式=-=-，
故答案为：-
(三)、解答题(共8题，共75分)
16．（12分）已知二次根式．
（1）求x的取值范围；
（2）求当x=-2时，二次根式的值；
（3）若二次根式的值为零，求x的值．
【解析】（1）根据二次根式的定义得出3-x≥0，解之可得答案；
（2）将x=-2代入计算可得；
（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．
解：（1）根据题意，得：3-x≥0，
解得x≤6；
（2）当x=-2时，===2；
（3）∵二次根式的值为零，
∴3-x=0，
解得x=6．
17．（8分）已知+=b+3
（1）求a的值；
（2）求a2-b2的平方根．
【解析】（1）直接利用二次根式的性质分析得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出b的值，进而得出答案．
解：（1）∵，有意义，
∴，
解得：a=5；
（2）由（1）知：b+3=0，解得：b=-3，
则a2-b2=52-（-3）2=16，
则平方根是：±4．
18．（6分）已知x,y为实数，y=，求xy的平方根．
【解析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得x,y的值，根据开平方，可得答案．
解：由题意，得
，，且x-2≠0
解得x=-2，y=-
xy=，
xy的平方根是．
19．（8分）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
【答案】0
【解析】先根据数轴判断出，再根据二次根式的性质和立方根的性质对原式进行化简，最后化简绝对值即可．
由图可知：，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和立方根的性质，化简绝对值，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．
20．（9分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）5
【解析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝＋2得到a 2＝，两边平方得到a2 4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【小问1详解】
解：＝，
故答案为：
【小问2详解】
解：原式＝=.
【小问3详解】
解：，
，
，即，
，
=
=
=a2-4a+4
=1+4
=5
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，解题的关键是注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
21．（8分）化简下列二次根式（字母表示正数）
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）根据二次根式的化简运算法则化简即可；
（2）先将根式中的式子提公因式，再化简即可；
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键．
22．（12分）（1）计算：已知a,b.在数轴上位置如图1，化简：+-；
（2）如图2：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF=2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．
【解析】（1）根据a,b在数轴上位置，判断a+b,a-b,a的符号，进而根据二次根式的性质化简即可；
（2）由三角形的面积公式可得答案．
解：（1）由a,b在数轴上位置，可得a+b＜0，a-b＜0，a＜0，
∴+-
=|a+b|+|a-b|-|a|
=-a-b-a+b+a
=-a；
（2）如图，连接AD，
∵AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB DE+AC DF，
又∵三角形ABC面积为3+2，
∴AB （DE+DF）=3+2，
∴AB=3+2，
答：AB的长为3+2．
23．（12分）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x,y）和Q（x,y'）给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（-2，5）的“横负纵变点”为（-2，-5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为_____，
点的“横负纵变点”为_____；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是_____．
【答案】(1)（，-）;(2)（-3，2）;(3)（-，-）;
【解析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；
（2）根据材料一，模仿解答；
（3）先化简m得到点M的坐标，再根据点M'是点M的“横负纵变点”，求出点M′的坐标．
解：（1）∵0，
∴点的“横负纵变点”为（，-）；
∵-3＜0，
∴点的“横负纵变点”为（-3，2）；
故答案为：（，-）；（-3，2）．
（2）
=
=
=||
=+；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a-1≤1，
∴0≤≤1，
∴-1≤0．
∴m=
=（||+||）
=（）
=
=，
∴M（-，），
∵-＜0，
∴M′（-，-）．
故答案为：（-，-）．
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
名师点拨
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