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第十六章 二次根式
（八年级下册 沪科版数学）
一、单元内容及教材分析
16.1 二次根式（共 2课时）
16.2 二次根式的运算（共 4课时）
本章是在七年级下册第 6章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和
运算性质。本章重点是对二次根式的运算性质的理解并能熟练运用二次根式性质
进行运算，难点是正确理解及合理运用二次根式的性质和运算法则。
在大单元的概念统摄下，以知识逻辑结构、核心数学概念、认知方法体系、
数学思想方法组织学习材料，建构系统的、连续的知识单元。学生的学习过程，
实质上是自我构建、逐步调整、优化并完善认知结构的过程，将新学的二次根式
内容与已有的代数式结构建立联系，实现从数到式、从低层次到高层次的抽象理
解要求．
二、单元学习目标
1.知识与技能：
（1）理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由，理解二次
根式的“双重”非负性；
（2）理解二次根式性质并合理应用；
（3）了解最简二次根式的概念，并会化简二次根式；
（4）掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的实数
四则运算；
（5）了解代数式的概念，进一步体会并完善代数式在表示数量关系方面的
作用。
2.过程与方法：
（1）通过具体实例，抽象二次根式的概念，培养学生的数学抽象素养。通
过提出问题，学生探讨、分析问题，师生共同归纳总结，得出结论，强调知识的
生成过程。通过应用对结论加深理解，将重要概念、法则内化与心，构建学生自
己的知识体系，强化二次根式与其他知识之间的联系通过相互作用，形成关系性
理解；
（2）经历从具体数据到抽象代数的探究过程，让学生体会认识事物由特殊
到一般的过程并归纳出二次根式的运算法则，从数到式的转变，是一种新形式的
刺激，培养学生的归纳能力。
（3）运用逆向思维，归纳出二次根式性质及乘、除运算法则的逆向等式并
运用它们进行化简运算，最大限度地激发学生的思维浪花，培养知识迁移的能力，
体会数学的应用价值。
3.情感态度与价值观：
通过问题引导，激发学生的好奇心与求知欲；通过学习问题探究培养学生合
作探究精神，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；通过具
体的计算以及对法则的运用，让学生感受严谨、求实的科学精神，培养学生的逻
辑推理和数学运算素养。
三、单元作业目标
1、通过基础题（知识训练）的练习来加深学生对课本概念、性质、法则等
基本知识的理解和内化，增强学生对概念的辨析，同时也通过这些习题的练习来
让学生了解自己对课堂所学知识的理解程度，以确定后续学习方向。
2、提高类习题（能力训练）是开拓学生的思维方式，通过这类习题加深学
生的课本教学目标的理解和应用，也是培养学生综合运用能力，同时也是提升学
习应用数学解决问题的能力。
3、拓展类习题（智力培养）是培养学生创新思维和应用意识，将所学知识
融合到自身的知识体系中，这类习题可以帮助学生重视知识与生产生活的联系，
提高学生的应用意识，强化学生知识迁移的能力，培养学生数学学科素养。
四、单元作业设计思路
（一）目标明确，让作业针对性更强
初中数学的每一章每一节都有非常明确的知识目标，第一节课也可以归纳出
具体的几个能力点，这是我们这一节的教学目标，也是学生的学习知识点，在这
份作业设计中，我将每一节都划分出几个具体的点，通过这样的划分，让学生在
学习和练习时针对性更强，这点教师怎么教、学生怎样学、要学会什么、如何应
用。通过这样的练习，也可以让学生在完成练习的过程中，来反思这节课课堂上
所学知识，细化、分类、再总结，从而加深能课堂知识的理解与应用。
（二）层次分明，让所有学生都能突破自我
本章作业设计，首先对每节知识细分成几个知识点，而每个知识的作业又细
分成两到三层，每层每道习题又都划分易、中、难三个等次，方便教师分层次布
置作业，也使学生根据自己的能力层次有针对性的完成作业，从而兼顾到每一位
学生，让每一位学生都可以根据自己的知识层次完成相应作业，得到相应锻炼，
收获成功。
五、课时作业
16.1 二次根式
第 1 课时 二次根式的定义
知识点 1 二次根式的定义
概念：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。
（一）基础类
1.下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. 3 B. 3 9 C. a D. 5
（二）提高类
2.下列式子：① 4 ；② 3；③ x；④ (x 3)2 ；⑤ 22其中是二次根式的个
数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点 2 二次根式的有意义的条件
（一）基础类
3.若使 x 3有意义，则实数 x的取值范围是（ ）
A. x 0 B. x 3 C. x 3 D. x 3
（二）拓展类
4.已知 a为实数，求式子 a 4 9 4a a2 的值.
知识点 3 二次根式的“双重非负性”
概念：在二式根式 a中， a 0， a 0，叫二次根式的“双重非负性”。
（一）提高类
5.若 x 2 6 2y 0，则 y x的值（ ）
A.8 B.-8 C.9 D.-9
（二）拓展类
6.若 x, y都是实数，且 y 2x 3 6 4x 3 2y 3 ，试求 2x的值.
2 3 2y
作业评价量表（时间：10 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性 正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
16.1 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质
2
知识点 1 性质 1： a a(a 0)
（一）基础类
1.下列计算正确的是（ ）
A. 23 3 B. 5 2 25 C. 2 29 9 D. 6 6
（二）提高类
2
2.化简 x 3 1 x 的结果是（ ）
A.2 B.-2 C. 2x 4 D.4 2x
知识点 2 性质 2： a2 a
（一）基础类
3.下列计算正确的是（ ）
2 2
A. 3 3 B. ( 5)2 5 C. 53 5 D. 6 6
（二）提高类
4.实数 a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 a (a b)2 的结果是（ ）
A. 2a b B. 2a b
C. b D.4b
（三）拓展类
5.笑笑和淘气在解答题目“先化简，后求值： a 1 2a a2 ，其中 a 9”时，
给出了不同的解答，淘气的解答是：原式= a (1 a)2 a 1 a 1；笑笑的解
答是：原式= a (1 a)2 a (1 a) 2a 1 2 9 1 17 .
的解答是错误的，错在 .
作业评价量表（时间：10 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性 正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
16.2 二次根式的运算
第 1 课时 二次根式的乘法
知识点 1 二次根式的乘法法则
概念： a b ( )
（一）基础类
1 2．计算 6 的结果是（ ）
3
A． 2 B．2 C．3 D．4
（二）提高类
2．化简 3 2 ______．
3．计算：（ 3 +2）2014（ 3﹣2）2015＝______．
（三）拓展类
1 2 2 3
4．计算： 8 2 ， a a b ＝ .
2
作业评价量表（时间：10 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性 正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
16.2 二次根式的运算
第 2 课时 二次根式的除法
知识点 1 二次根式的除法
a
概念： , ( )
b
（一）基础类
1. 计算 10 2的结果是（ ）
5 5 10A. B.5 C. D.
2 2
（二）提高类
2.计算
1 48 3 2 90 3 4 2 8ab
2
； ； ； 4 .
5 7 21 2a
知识点 2 商的算数平方根
a a
概念： 成立吗？
b b
（一）提高类
3.计算
1 2 2 2 1 1 2 4 1 15 ； 2 18 2 8 54.
3 4 2 5 3 3
知识点 3 最简二次根式
概念：最简二次根式满足的两个条件是：
1. 2.
（一）基础类
4.下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. 9 B. 2 2 C. 20 D. 2 8
（二）拓展类
5.化简二次根式的时候，我们会遇到下列情况：
5 5 3 5 3 2 2 3 1 3 1 1 1 5 3 5 3 ； ； .
3 3 3 3 3 1 3 1 3 1 5 3 5 3 5 3 2
这种化简方法叫做分母有理化。
请仿照上述方法，化简：
1 2 ; 2 1 1 1 1 .
5 3 3 1 5 3 7 5 21 19
6.某零件的设计图纸上有一个直角三角形，已知它的面积为10 14cm2 ，一条直
20
角边长为5 2cm，斜边上的高为 7cm，工人师傅想要制造出这个零件，请你
9
帮他算出另外两边的长。
作业评价量表（时间：15 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性
正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
16.2 二次根式的运算
第 3 课时 二次根式的加减
知识点 1 同类二次根式
概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根
式称为同类二次根式。
（一）基础类
1.如果最简二次根式 a 6 和 3a 是同类二次根式，则
A.a=3 B.a= 3 C.a=2 D.a= 2
（二）提高类
2.下列二次根式化成最简二次根式后，与 2a是同类二次根式的是（ ）
A . 9a3 B 1. 50a C. 27a D.
a2
（三）拓展类
3.代数式 (1 a)2 + ( 2a-4 )2 的值为 6，则 a的取值范围是（ ）
A a 11 B a 1 C 1 a 11 D a 1 a 11. . . . 或
3 3 3 3 3 3
知识点 2 合并同类二次根式
先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（一）基础类
4. 计算: 12 + 27
(二)提高类
5 1 18 8 1.计算：（ ） （2） 16x 5 x x 1
8 4 x
作业评价量表（时间：12 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性 正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
16.2 二次根式的运算
第 4课时 二次根式的混合运算
概念：二次根式混合运算的步骤是：
知识点 1 二次根式的混合运算
（一）基础类
1．计算： 2 2 -1
（二）提高类
22．计算： 7 - 6 7 6 2 3 -3 2
（三）拓展类
2021 2022
3.计算： 6 35 6 - 35
4.已知：x 11, y 11 11.求x2 2xy y2的值.
作业评价量表（时间：12 分钟）
批改等级
评价指标 备注 自评情况
A B C
A等级，答案正确、过程正确。
B 等级，答案正确、过程存在问题。
答题的准确性
C等级，答案不正确，有过程不完整；
答案不准确，过程错误；无过程。
A等级，过程书写规范。
B 等级，过程不够规范、完整，答案
书写的规范性 正确。
C等级，过程不规范或无过程，答案
错误。
A等级，解法有创意之处，答案正确。
B 等级，解法思路完整有创意，安全
解法的多样性 不完整或错误。
C等级，常规解法，思想不清楚，过
程错误或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
综合评价等级 BBB、ACC 综合评价为 B 等；其余情
况综合为 C等。
单元质量检测
（作业预计完成时间 30 分钟）
一、选择题
1.化简 18的结果是（ ）
A. B. 2 9 C. 2 3 D.3 2
2.下列计算正确的是（ ）
6
A. 3 2 B. 3 2 5 C. 4 3 3 2 1 D. 2 3 3 3 6 3
2
3.等式 (x 2)2 2 x成立的条件是（ ）
A. x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2
4.已知m,n为实数，且 m 1 n 2 2 0，则m n的值为（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
2 15.下列二次根式：① 6 ② 3 ③ ④ 27 .其中能与 3合并的是（ ）3
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
二、填空题
6.如果最简二次根式 b a 3b和 2b a 2是同类二次根式，那么ba .
19 1 2
7.比大小： （填>、<或=）.
3 3
8.我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》中，给出了著名的秦九韶公式，也
中三斜求积公式，即如果一个三角形三边长分别是 a,b,c，则该三角形面积为
1 a2 b2 c2
2
2 2 S [a b ] .现已知 ABC的三边长分别为1,2, 5，则 ABC的4 2
面积为 .
三、解答题
3 81b3
9.化简：（1） 3 （2） 2 (a 0,b 0)8 4a
8 1 4 610.计算：（1） （2） (3 7)(3 7) 2(2 2)
2 3 3
11.先阅读材料，然后完成下面问题.
已知 x 5 2，求 x2 4x 1的值.计算时，若将 x 5 2直接代入，则运算比
较麻烦，仔细观察代数式，发现由 x 5 2可得 x 2 5，所以 (x 2)2 5，
再代入求值非常方便，解答过程如下：
解：由 x 5 2，得 x 2 5，所以 (x 2)2 5，
整理后得， x2 4x 1，所以 x2 4x 1=1 1 0
请仿照上述方式解答问题：已知 x 7 2，求 2022- 2x2 8x的值
单元质量检测作业考察知识点分布表
对应单 对应学习层次
题号 类型 难度 来源 完成时间
元目标 了解 理解 应用
1 选择题 16.2.2 √ 易 改编
2 选择题 16.2 √ 易 改编
3 选择题 16.1.2 √ 易 原创
4 选择题 16.1.1 √ 易 改编
5 选择题 16.2.3 √ 中 改编
6 填空题 16.2.3 √ 中 改编 30 分钟
7 填空题 16.2.4 √ 中 原创
8 填空题 16.2.4 √ 中 改编
9 计算题 16.1 √ 中 改编
10 计算题 16.2 √ 中 原创
11 解答题 16.2 √ 难 改编
参考答案
16.1 二次根式
第 1 课时 二次根式的定义
概念： a a 0
1.D 2.B 3.B 4.-1
概念： a 0, a 0
5.C 6.-4
16.1 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质
1.A 2.A 3.B 4.C
5.淘气，因为 a=9>1，1-a<0，所以 a 1 a 2 a 1 a a (1 a) 17 .
16.2 二次根式的运算
第 1 课时 二次根式的乘法
概念： a b ab a 0,b 0
2
1.B 2.π-3 3. 3 2 4.① 2 ② a b b
16.2 二次根式的运算
第 2 课时 二次根式的除法
a a
概念： , a 0,b 0
b b
1.A 2.⑴4 ⑵3 2 ⑶ 6 ⑷ 2 b
3 .
2 8
4
⑴ 原式
15

1
⑵原式 3 2
1 3 6

3 4 10 3 4 2 3
32 15 6
10
3 16
10
概念：1.被开方数不含分母 2.被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
2 5 3 3 1 5 3 7 5 21 194.B 5.(1)原式 （2）原式 5 3 5 3 2 2 2 2
5 3 21 1
2
6.另外一个直角边长4 7cm，斜边长9 2cm.
16.2 二次根式的运算
第 3 课时 二次根式的加减
1.A 2.B 3.D 4.5 3
2 5
5.①原式 3 2 2 2 ②原式 4 x x x
4 2
5 2 11
x
4 2
16.2 二次根式的运算
第 4课时 二次根式的混合运算
1. 2 2
. 7 6 12 12 6 8
2
31 12 6
3. 6 35 6 35 2021 6 35
6 35
4.11
单元质量检测
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.1 7.> 8.1
27 3 6 9b b
9.⑴原式 ⑵原式
8 4 2a
1 3 6
10.⑴ 原式 2 2 ⑵ 原式 9 7 2 2 2
2 4 3
2 2
2

2
11.解： x 7 2，x 2 7
x 2 2 7, x2 4x 3
2022 2 x2 4x
2022 2 3
2016

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