资源简介

第 17 单元《一元二次方程》单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第二学期 沪科版 一元二次方程
单元
组织 自然单元 重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 一元二次方程 第 17.1（P19-22)
课时 2 一元二次方程的解法 第 17.2（P23-33)
信息 3 一元二次方程根的判别式 第 17.3（P34-36)
4 一元二次方程的根与系数的关系 第 17.4（P37-40)
5 一元二次方程的应用 第 17.5（P41-45)
二、单元分析
（一）课标要求
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；
2.理解方程解的意义，经历估计方程解的过程；
3.理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方
程；
4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
5.了解一元二次方程的根与系数的关系；
6.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
（二）内容分析
1.知识网络
1
2.内容分析
《一元二次方程》是《课标（2022 年版）》“数与式”中“方程与不等式”
中的内容，是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因
式分解的基础上学习的，也是初中阶段代数方程知识的进一步拓展。学习本单元
内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化
与巩固，又是为以后学习二次函数、二次不等式作好铺垫。本单元第一部分通过
实际问题，建立一元二次方程，体现方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过
思考、探究、交流等学习活动，运用转化的思想，讨论了一元二次方程的几种解
法。第二部分是研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。第三部分是运
用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一
般过程。同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式方程的解法。
（三）学情分析
从学生认知规律看：在前几单元的学习中，学生已经了解了一元一次方程、
二元一次方程组以及分式方程、平方根、因式分解等概念，通过前一阶段的学习，
对于解方程的基本思路（即使方程逐步化为 x=a 的形式）、转化思想等已经比
较熟悉，初步建立了“降次消元”的思维方式，这为本单元的学习打下了基础。
从学生的学习习惯、思维规律来看：八年级的学生思维活跃，模仿性强，有
一定的观察、判断、自主能力和独立思考能力，但其抽象逻辑思维主要还处于经
验型，学生的思维方式和思维习惯还不够完善。所以在一元二次方程的解法中没
有单纯地考查学生解方程的速度和数量，而是突出在解决实际问题中考查学生能
否根据方程的特征，引导学生灵活运用一元二次方程的适当解法求解，并检验解
的合理性。在配方法解一元二次方程中，重点引导学生理解转化思想，设法将方
程中的“二次”降为“一次”。通过这种思想方法的学习，引导学生可以运用旧
知识来解决新问题，由“不会”转变为“会”。在建立一元二次方程或分式方程
模型解决实际问题时，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但
由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，
不易找出等量关系，所以我们在设计中尽量避免这些问题，尽可能创设更贴近学
生生活实际的现实背景，注重引导学生分析其中的数量关系，建立数学模型，使
学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，提升学生学习数学的兴
趣、增强应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
三、单元学习与作业目标
1.联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数
量关系及其变化规律，经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；
2.了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其
与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3.理解配方法的意义，会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解
数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
4.理解一元二次方程根的判别式及有关应用，了解一元二次方程两根与系数
的关系；
5.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检
验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。在解决问
题的过程中体会数学的应用价值；
2
6.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。
四、单元作业设计思路
从数学学科核心素养出发，结合 2022 年版数学课程标准，整体把握教材，
将本单元内容重组整合，分层设计作业，每课时均设计“基础性作业”（面向全
体，体现课标，题量 3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，
探究性、实践性，题量 3-4 大题，要求学生有选择的完成）。
五、课时作业
第一课时： 17.1 一元二次方程
A基础性作业
1. 作业内容
（1）下列方程是一元二次方程的是 ( )
x 2 2 2 2 2A. (x+2y)=x B.4y -1=0 C.x +3x=x -5 D.ax +bx+c=0
（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次
项系数和常数项:
①(x+2)(x-1)=6; ②(1+2x)(5-2x)=0.
2
（3）若关于 x 的一元二次方程 x -ax+6=0 的一个根是 2,则 a 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
（4）某种植基地 2021 年蔬菜产量为 80 吨,预计 2023 年蔬菜产量达到 100 吨,
求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为 x,则可列方程为
( )
2 2 2
A.80(1+2x)=100 B.100(1-x) =80 C.80(1+x) =100 D.80(1+x )=100
2.时间要求（7分钟）
3.使用方式：基础性性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
3
5.作业分析与设计意图
第（1）题判断一个方程是否是一元二次方程，设计意图是让学生知道判断
是否是一元二次方程，不能只看形式，要先化简，再看是否符合一元二次的定义.
第（2）题化一元二次方程为一般形式,设计意图是让学生掌握一元二次方程
的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号.
第（3）题求方程中未知参数,设计意图是使学会用方程的解求解方程中的未
知参数，培养学生逆向思维.
第（4）题由实际问题抽象出一元二次方程,设计意图是会从从实际问题找出
增长率问题中的等量关系，并能列出方程求解.
B 发展性作业
1. 作业内容
（5）若关于 x 的方程 (m 2)x m 2x -1 0是一元二次方程，则 m= .
2 2
（6）若关于 x 的一元二次方程（m+2)x +5x+m -4=0 , 有一个根为 0，求 m 的
值.
（7）若关于 x 的一元二次方程 2x2-(a+1)x=x(x-1)-1 化成一般形式后,二次项
系数为 1,一次项系数为-1,则 a 的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2 2
（8）已知 m 是方程 x -2x-1=0 的一个根,且 3m -6m+a=8,则 a 的值等
于 .
2.时间要求（10 分钟）
3.使用方式：发展性作业，用于课后提升学习能力，学有余力的同学完成.
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（5）题考查一元二次方程的定义，设计意图是让学生掌握一元二次方程
的概念，能根据定义判断式子中未知参数的值.
第（6）题考查一元二次方程的解，能使方程左右两边相等的未知数的值,
4
设计意图是让学生掌握一元二次方程的解.
第（7）题考查一元二次方程的一般形式,设计意图是让学生掌握一元二次方
程的标准形式，并且能够熟练转化.
第（8）题考查一元二次方程的解.设计意图是掌握一元二次方程的解，以及
多项式相等的条件.
第二课时：17.2.1 一元二次方程的解法（直接开平方法）
A基础性作业
1.作业内容
（1）有下列方程：①x2-2x=0；②x2-25=0；③(2x-1)2=1 1；④ （x+3) =27.其中能
3
用直接开平方法做的是( )
A.①②③ B.②③ C.②③④ D.①②③④
（2）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A.x2+9＝0 B.-2x2=0 C.x2-3=0 D.(x-2)2=0
（3）一元二次方程 x2-9=0的解是 ( )
A.-3 B.3 C.± 3 D.±3
（4）用直接开平方法解一元二次方程.
① (x-1)2=9 ② 2(x-1)2-14=0
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计.
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（1）题根据直接开平方形式来判定是否能直接开平方，作业第（2）、（3）、
（4）题利用直接开平方解一元二次方程.第（1）题设计意图是培养学生对直接开
平方法形式的判断，第（2）、（3）、（4）题设计意图是让学生掌握直接开平方法
解方程，以及降次的思想.
5
B 发展性作业
1.作业内容
（5）若（x2+y2-2021）2=1，则 x2+y2= .
（6）解方程：(2x-1)2=(x-2)2.
（7）若一元二次方程 ax2=（b ab>0）的两个根分别是m+1 m-3 b与 ，则 = .
a
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的同学选做.
4.评价设计.
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（5）、（6）题结合整体思想，根据直接开平方解方程.作业第（7）题解形
如 ax2=b(ab>0)的方程，根据直接开平方解方程得到方程的根互为相反数.
第（5）、（6）题设计意图是学会用直接开平方法解方程，整体思想的运用.
作业第（7）设计意图是培养学生的逻辑思维能力，使学生体会化归的数学思想.
第三课时：17.2.2 一元二次方程的解法（配方法）
A 基础性作业
1.作业内容
（1）用配方法解下列方程，其中应在等式的两边同时加上 1是( )
A.x2-2x=5 B.x2-4x=5 C.x2+4x=5 D.x2+3x=5
（2）用配方法解一元二次方程 x2-4x-1=0时，原方程可变形为( )
A.（x+2）2=5 B.（x-2）2=5 C.（x+4）2=5 D.(x-4)2=5
（3）将一元二次方程 x2+4x-5=0化成(x+a)2=b（a,b 为常数）的形式，则 a，b
的值分别是( )
A.-2，-9 B.-2，9 C.2，9 D.2，-9
6
（4）用配方法解下列方程.
①x2-3x+2=0 ②2x2-8x-1=0
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计.
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（1）题根据配方法确定方程两边的加数.作业第（2）题一般形式利用配方
法往直接开平方形式的转换.第（3）题利用配方法将一般形式转换为直接开平方
形式，并找到相对应的未知数的值.第（4）题根据配方法解方程，其中包括化一
元二次方程二次项系数为 1.
第（1）题设计意图是让学生掌握配方法的一般步骤.第（2）题设计意图培养
学生掌握配方法，运用变形的思维方式来解方程.第（3）题设计意图是培养学生
对配方法的使用，以及类比推理的能力.第（4）题设计意图是培养学生对配方法
的使用，使学生体会转化的数学思想.
B 发展性作业
1.作业内容
（5）已知关于 x 的方程 x +x-a=0的一个根为 2，则另一个根是_______．
（6）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的根，则
该三角形的周长是多少？
（7）已点 P(x，y)满足 x2-4x+y2+6y+13 k＝0，且点 P在函数 y 的图象上，则
x
k 的值为 .
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的同学选做.
7
4.评价设计.
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（5）题根据方程根的定义，代入求值得到字母的值，再去利用配方法解
方程.第（6）题根据配方法解出一元二次方程的根，再结合等腰三角相关内容.
第（7）题方程中多次采取完全平方公式配方，结合平方具有非负性得到未知数
的值，利用待定系数法求得未知数的值.
第（5）题设计意图是学生对方程根的掌握以及能熟练配方法的使用.第（6）
题设计意图是学生对配方法的掌握以及分类讨论思想的掌握.第（7）题设计意图
是培养学生对配方法的使用以及运用整体思想解题.
第四课时：17.2.3 一元二次方程的解法（公式法）
A 基础性作业
1.作业内容
（1）一元二次方程 ax +bx+c=0(a，b，c 都是常数，且 a≠0)的求根公式
是 ，用求根公式的前提条件是 .
（2）用公式法解一元二次方程-2x2-4x=1时，先求出 a，b，c 的值，则 a，b，
c 依次为（ ）
A.2，4，1 B.-2，-4，1 C.2，4，-1 D.2，-4，-1
（3）在方程 2x2+4x=3中，b2-4ac 的值为（ ）
A.40 B.-40 C.8 D.-8
（4）用公式法解方程.
①x2+2x-1=0 ②2x2-x=3
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计.
8
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（1）题熟知一元二次方程求根公式.第（2）题使用求根公式前将方程化为
一般式，确定 a，b，c 的值.作业第（3）题判断 b2-4ac≥0之后使用求根公式解一
元二次方程.第（4）题用公式法解一元二次方程的一般步骤以及求根公式的使用.
第（1）题设计意图是通过求根公式渗透特殊到一般的数学思想.第（2）题设计
意图是培养学生的类比推理能力.第（3）题设计意图是培养学生运用公式以及类
比推理能力.第（4）题设计意图是运用公式解决问题.
B 发展性作业
1.作业内容
5 x= 5 5
2 4 3 1
（ ） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
2 3
A.3x2+5x+1=0 B.3x2﹣5x+1=0 C.3x2﹣5x﹣1=0 D.3x2+5x﹣1=0
（6）用公式法解下列一元二次方程.
3
① x2-2x- 1 =0
4 2
②3x2-4 3 x-2=0
2.时间要求(8分钟以内)
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的同学选做.
4.评价设计.
9
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（5）题根据公式法的公式，对应找到字母的值，写出一般式.作业第（6）
题用公式法解一元二次方程的一般步骤以及求根公式的使用.第（5）题设计意图
是学会辨析求根公式，培养学生的逆向思维.第（6）题设计意图是学会使用求根
公式解一元二次方程.
第五课时：17.2.4 一元二次方程的解法（因式分解法）
A 基础性作业
1.作业内容
（1）用因式分解法解一元二次方程（2x+4)(x-1)=0，将它转化为两个一元二次
方程是（ ）
A.2x-4=0，x-1=0 B.2x-4=0，x+1=0
C.2x+4=0，x-1=0 D.2x+4=0，x+1=0
（2）方程(x-3)(2x-1）=0的解是（ ）
A.x=3 B.x=- 1 C.x1=3 x =
1
， 2 D.x
1
1=-3，x2=
2 2 2
（3）一元二次方程 3x2﹣x＝0的解是（ ）
1 1
A.x＝ B.x1＝0，x2＝3 C.x1＝0，x2＝ D.x＝03 3
（4）方程 x(x-2)=3x 的解为（ ）
A.x＝5 B.x1＝0，x2＝5 C.x1＝2，x2＝0 D.x1＝0，x2＝-5
（5）用因式分解法解方程.
①x2﹣4x﹣5＝0. ②3x（x+3）＝2（x+3）
2.时间要求(10分钟以内)
10
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计.
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（1）题根据乘法性质得至少有一个因式等于，并求出一元一次方程得解.
第（2）题根据乘法性质得至少有一个因式等于，并求出一元一次方程得解.第（3）、
（4）、（5）题利用因式分解法转换为几个整式的乘积的形式，并利用乘法性质得
方程得解.第（1）题设计意图是让学生知道因式分解的本质是降次的思想.第（2）
题设计意图是培养学生转化思想，将一元二次方程转化为一元一次方程.第（3）、
（4）、（5）题设计意图是学会用因式分解法解一元二次方程.
B 发展性作业
1.作业内容
（5）用因式分解法解一元二次方程(3x-4) -25=0时，需要转化成两个一元一次
方程求解，其中的一个方程是 3x-4+5=0，则另一个方程是 .
（6）已知方程 x2+kx+3=0的一个根是-1，则 k= ，另一根为 ．
（7）如果等腰三角形的两边长分别是方程 x2-10x＋21＝0的两根，那么它的周
长为 .
（8）已知方程（x2-x）2-4（x2-x）=-4在实数范围内有解，求代数式 2x2-2x+1
的值？
2.时间要求(10分钟以内)
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的同学选做.
4.评价设计.
11
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图.
第（5）题根据因式分解解一元二次方程.第（6）题根据方程根的定义得出原
方程，利用因式分解求得一元二次方程得解.第（7）题根据因式分解解一元二次
方程，在等腰三角形求周长时需要分类讨论.第（8）题运用因式分解法解一元二
次方程.第（5）题设计意图是培养学生对因式分解法的使用.第（6）题设计意图
是培养学生对因式分解法的使用.第（7）题设计意图是培养学生对因式分解法的
使用，以及分类讨论思想的运用.第（8）题设计意图是培养学生对因式分解法的
使用，以及整体思想的运用.
第六课时： 17.3 一元二次方程根的判别式
A基础性作业
1.作业内容
（1）一元二次方程 x +2022=0 的根的情况是 ( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根
C.只有一个实数根 D.无实数根
（2）关于 x 的一元二次方程 x -4x+3=0 的实数根有 ( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
（3）已知关于 x 的方程 x -3x+k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是
( )
k 9 9 9 9A. < B.k> C.k<- D.k>-
4 4 4 4
（4）一元二次方程(x-1)(x+5)=3x+1 的根的情况是 ( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根
（5）不解方程,判别下列方程根的情况.
①x +2x-3=0; ②5x +1=4x.
2.时间要求（6分钟）
12
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业设计与设计意图
第（1）题考查一元二次方程根的判别式.设计意图是熟练计算根的判别式，
并且由根的判别式判断根的情况.第（2）题考查用判别式判断一元二次方程的根
的情况.设计意图是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特点
选择合适、简单的方法.第（3）题根据判别式大于 0和已知条件得到不等式求解.
设计意图是会根据方程的根的情况确定方程中字母系数的取值范围.第（4）题先
将方程转化为标准形式，在判断△的正负，判断根的情况.设计意图是培养学生
的计算能力，并能运用判别式判别方程根的情况.第（5）题不解方程判断方程根
的情况，先将方程转化为标准形式，在判断△的正负.设计意图是熟练运用判别
式判别方程根的情况.
B 发展性作业
1.作业内容
（6）若关于 x 的一元二次方程(k+1)x -2x+1=0 有实数根,则 k 满足 ( )
A.k≥0 B.k≤0且 k≠-1 C.k<0 且 k≠-1 D.k≤0
（7）已知关于 x 的方程 kx -6x+9=0 有实数根,则 k 的取值范围是 ( )
A.k<1 且 k≠0 B.k＜1 C.k≤1且 k≠0 D.k≤1
（8）已知关于 x 的一元二次方程 mx -(2m-3)x+m-1=0 有两个实数根.
①求 m 的取值范围;
②若 m 为正整数,求此方程的根.
（9）已知关于 x 的方程 2x +kx+k-3=0.
①试说明无论 k 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
②若 k=5,请解此方程.
2.时间要求（10 分钟）
3.使用方式：发展型作业，提升学习能力，供学有余力选做.
13
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（6）题根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,得出关于 k 的不等式组.
设计意图是让学生知道二次项系数非零及根的判别式△≥0是方程有根的条件.
第（7）题本题题干是关于 x 的方程，所以“二次项系数可能为零”进行分
类讨论，再求出 k 的取值范围.设计意图是在探索一元二次方程根的情况与根的
判别式的关系中体会分类讨论的思想.
第（8）题根据一元二次方程的定义和根的判别式得到 m≠0，且△≥0，再
进行求解.设计意图是让学生学会利用根的判别式确定一元二次方程中待定字母
的取值范围或值，并会求方程的整数解问题.
第（9）题应用根的判别式证明方程根的情况.设计意图是利用配方法和根的
判别式来确定根的情况，提高学生解题的综合能力.
第七课时：17.4 一元二次方程的根与系数关系
A基础性作业
1.作业内容
2
（1）方程 x +3x-1=0 的两根分别为 x1,x2,则 x1+x2等于 ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
2
（2）若 x1,x2是一元二次方程 x -4x-5=0 的两根,则 x1·x2的值为 ( )
A.-5 B.5 C.-4 D.4
2
（3）若关于 x 的一元二次方程 x -bx+c=0 的两根分别为 x1=1,x2=-2,则 b 与 c
的值分别为( )
A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2
x x2 x m2（4）已知关于 的一元二次方程 + + -2m=0 有一个实数根为-1,求 m 的值
及方程的另一个实数根.
2.时间要求（8分钟）
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识.
14
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业设计与设计意图
第（1）题考查一元二次方程根与系数关系，设计意图是了解一元二次方程
根与系数关系，体验不解方程也能求出一元二次方程两根之和.
第（2）题考查一元二次方程根与系数关系，设计意图是了解一元二次方程
根与系数关系，体验不解方程也能求出一元二次方程两根之积.
第（3）题考查一元二次方程根与系数关系，设计意图是让学生了解利用一
元二次方程根与系数关系，求解各项系数，进一步了解一元二次方程的根与系数
有密不可分的联系.
第（4）题将 x＝-1 代入方程求出 m，再结合根与系数关系求出另一根.设计
意图是当已知方程一根时，可以利用一元二次方程根与系数关系求解另一个根和
待定字母的值.
B 发展性作业
1. 作业内容
2
（5）已知关于 x 的一元二次方程 x +(m+2)x+m=0 有两个实数根 x1,x2,且
x1+x2+2x1x2=3,则 m= .
2
（6）关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0,王同学由于看错了二次项系数,误求

得两根分别为 x1=2,x2=4,那么 = .
2
（7）若等腰三角形的底边长为 4,另两边长分别是关于 x 的方程 x -kx+9=0 的
两个根,则 k 的值为 ( )
25
A.6 B.-6 C.±6 D.
4
2 2
（8）已知 x1,x2是关于 x 的一元二次方程 x -2(m+1)x+m +5=0 的两个实数根.
①若(x1-1)(x2-1)=28,求 m 的值;
②已知等腰三角形ABC的一边长为7,若 x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求
这个三角形的周长.
15
2.时间要求（12 分钟）
3.使用方式：发展性作业，用于提升学习能力，供学有余力学生选做.
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5. 作业设计与设计意图
第（5）题利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积带入求解即可, 设
计意图是利用一元二次方程根与系数关系和涉及根的式子的值求未知字母的
值.第（6）题利用根与系数的关系求未知字母的值或范围,设计意图是让学生
了解利用一元二次方程根与系数关系，求解各项系数，进一步了解一元二次方
程的根与系数有密不可分的联系.第（7）题考查等腰三角形与方程根之间的关
系,设计意图是进一步了解韦达定理的在几何问题中应用，让学生体会数形结
合思想.第（8）题考查根与系数的关系,以及一元二次方程的解与等腰三角形
的三边关系.设计意图是让学生了解运用一元二次方程根与系数关系的前提是
方程有两个实数根，体会韦达定理的在代数和几何中应用，进一步体会分类讨
论思想.
第八课时：17.5.1 一元二次方程的应用（面积、数字问题）
A 基础性作业
1.作业内容
(1) 小红同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编
了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年
督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，
多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是 x，则可列方程为（ ）
2
A.10x+（x﹣3）＝(x﹣3) B.10（x+3）+x＝x
C.10x 2 2+（x+3）＝(x+3) D.10（x+3）+x＝(x+3)
(2) 在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离 h（单位:m）与下落
2
时间 t（单位:s）有如下关系：h =4.9t .今有一铁球从 h =44.1m 的高处自由落下，
求铁球落到地面所用的时间．
16
(3) 如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出 2×2个位置
上相邻的数（如 2，3，9，10）．如果圈出的 4个数中最大数与最小数的积为 128，
则这 4个数中最小的数是多少？
(4) 如图，在一张边长为 40cm 的正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的
正方形，剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．要使折
2
成的长方体盒子的四个侧面的面积之和为 800cm ，列出方程求剪掉的小正方形
边长.
第 3题 第 4题
2.时间要求（10 分钟）
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5. 作业分析与设计意图
第(1)题根据题意表示数，从而列出一元二次方程.第(2)题是一元二次方程
的简单应用.第(3)题会分别表示出最小数与最大数，解题关键是根据题意正确表
示出最大数.第(4)题首先设剪掉的正方形的边长为 xcm,则折成的长方体纸盒的
长为（40-2x)cm ,高为 xcm,根据“折成的长方体盒子的四个侧面的面积之和为
800cm ”，可得方程 4(40-2x)x =800，再解方程即可.
第(1)（2）（3）（4）的设计意图都是学生会找准等量关系，能由实际问题抽
象出一元二次方程，培养学生乐于探究的学习习惯.
17
B 发展性作业
1. 作业内容
(5)如图，在一块长为 16m，宽为 10m 的矩形空地中，修建 2条同样宽的小
路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为 135m ，求道路
的宽度．
(6) 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数
字的平方和比这个两位数小 4，若设个位数字为 a，求这个两位数.
(7)在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长 25m 的墙 AB 建
2
造面积为 450m 的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供 65m 长的篱笆
（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
①如图 1，若选取墙 AB 的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，
则在墙 AB 上借用的 CF 的长度为多少？
②如图 2，若将墙 AB 全部借用，并在墙 AB 的延长线上拓展 BF，构成长方形
ADEF，BF，FE，ED 和 DA 都由篱笆构成，求 BF 的长．
2.时间要求（12 分钟）
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的学生选做
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
18
5.作业分析与设计意图
第(5)题可设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而
即可列出方程，求出答案.本题体验通过移动变化分析面积问题的方法找出题目
中的等量关系.第(6)题根据个位数与十位数的关系，会数的表示方法，会利用未
1
知数表示两位数.第(7)题第①问设 CF 的长度为 xm,则 CD = （65-x）m ,由长方
2
形的面积为 450m ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再
结合墙 AB 的长为 25m，即可确定 x 的值；第②问设 BF 的长为 ym,则 AD =(20-y)
m,由长方形的面积为 450m ，即可得出关于 y 的一元二次方程，解之取其正值即
可得出结论.
这 3题的设计意图都是根据题意列出对应的方程求解，让学生体会一元二次
方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活，
同时培养学生自我探索的兴趣和知识迁移的能力.
第九课时：17.5.2 一元二次方程的应用（增降率、比赛场次、握手问题）
A基础性作业
1.作业内容
（1）如图是某公司去年 8～12 月份生产成本统计图，设 9～11 月每个月生产
成本的下降率都为 x，根据图中信息，得到 x 所满足的方程是 .
（2）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，
全组共互赠了 182 件，这个小组的人数为（ ）
A.10 人 B.13 人 C.14 人 D.16 人
（3）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以
发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有 1人感染了“新冠
肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 196 人感染了“新冠肺
炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A.12 人 B.13 人 C.14 人 D.15 人
（4）某校要组织篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
①如果有 4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
②如果全校一共进行 36 场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
2.时间要求（10 分钟）
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识
4.评价设计
19
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（1）题中的下降率和增长率是同种问题，通过简单的图表帮助学生列出
一元二次方程并求解.设计意图是让学生能理解一元二次方程增长率问题的一般
2
形式为 a（1+x） ＝b，a 为起始时的有关数量，b 为终止时的有关数量，能正确
的列出方程，同时要学会如何验根.第（2）题设生物兴趣小组共有 x 人，则每人
赠送（x﹣1）个标本，根据全组共赠送 182 个，即可得出关于 x 的一元二次方程.
设计意图是创设贴近学生生活实际的现实背景，先找出等量关系后列出方程，让
学生感受数学在实际生活中的应用.第（3）题根据 a（1+x）n＝b 其中 a 表示传
染之初携带病毒的个体数量，x 表示每轮感染中每个个体可以传染的数量，n 表
示传播了几轮，b 表示经过 n 轮传播后，已经感染病毒的个体的总数量,即可得
出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.培养学生努力寻找解决
问题的方法,体会数学的应用价值.第（4）题根据参加比赛球队的数量及赛制，
即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.设计意图是经历
由实际问题抽象出一元二次方程的过程，强化数学建模思想，学会利用一元二次
方程来解决比赛场次问题.
B 发展性作业
1.作业内容
（5）象棋比赛中，每个选手与其他选手将比赛一场，每局胜者记 2 分，败者
记 0分，如果平局，每人各记 1分，今有 4位同学统计了比赛中全部选手得分的
总和分别为 2025，2070，2080，2085 分，经核实，其中只有一位同学是正确的，
试求这次比赛中共有多少名选手参加？
2.时间要求（8分钟）
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的学生选做.
4.评价设计
20
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（5）题不管一局比赛有没有分出胜负，对局双方总分都是 2分.设有 x 名
( 1)
选手，则有 场比赛，则总分为 x(x-1).由于 x 为整数，则 x，x-1 为一奇一
2
偶,x(x-1)必为偶数.所以奇数舍去.经检验，只有 x(x-1)=2070 有正整数解.本题
1
考查的等量关系为：局数= ×选手数×（选手数﹣1）； 2×局数＝所得分数，
2
得到局数是解决本题的难点.设计意图是让学生探究如何利用一元二次方程来解
决的实际问题，体验运用方程解决实际问题的一般过程.
第 10 课时：17.5.3 一元二次方程的应用（商品利润问题）
A基础性作业
1.作业内容
（1）某商场将进价为每件 20 元的玩具以每件 30 元的价格出售时,每天可售出
300 件,经调查发现,当每件玩具每涨 1元时,每天少售出 10 件.若商场想每天获
得3750元利润,则每件玩具应涨多少元 如果设每件玩具应涨 x元,则下列说法错
误的是 ( )
A．涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是 10x 件
C．涨价后每天销售玩具的数量是(300-10x)件
D．可列方程为(30+x)(300-10x)=3750
（2）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为 80 元，平均每天可售出 30 件，
每件衬衣盈利 50 元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取
适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价 10 元，商场平均每天可多售
出 20 件．若商场平均每天盈利 2000 元，则每件衬衣应降价多少元？
21
解：设每件衬衫应降价 x 元．
每件衬衫盈利 元，
每天销售这种衬衣 件；
根据题意，列出方程得 ；
整理，得；
解得 ；
∵“增加盈利，减少库存”，
∴应舍去 ，
∴x＝ ．
答：商场平均每天盈利 2000 元，每件衬衣应降价 元．
2.时间要求(6 分钟)
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（1）题正确理解玩具价格和玩具数量的关系，设计意图是经历建立方程
模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力.
第（2）题利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利
润，列出方程解答即可.设计意图是通过问题设计让学生明确题目中有哪些相等
关系列方程.本题展现了知识的发展过程，符合学生的认知规律.同时在此展示标
准的解题过程，规范学生的解题步骤和书写格式，让学生对解决这类问题的步骤
有个大致的了解，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
B 发展性作业
1. 作业内容
22
（3）某水果店销售一种水果的成本价是 5元/千克，在销售中发现，当这种水
果的价格定为 7元/千克时，每天可以卖出 160 千克，在此基础上，这种水果的
单价每提高 1元/千克．该水果店每天就会少卖出 20千克，设这种水果的单价为
x 元（x＞7），
①请用含 x 的代数式表示：每千克水果的利润 元及每天的销售量 千
克．
②若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是 420元，为了让利于顾客．单
价应定为多少元？
2.时间要求(8分钟以内)
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的学生选做
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（3）题是根据利用销量×每千克利润＝总利润，正确得出等量关系是解
题关键.设计意图是让学生发现可以利用一元二次方程来解决的实际问题，经历
“问题情境——建立模型-—解释应用拓展”的过程，培养学生分析问题、解决
问题的能力.
第 11 课时：17.5.4 可化为一元二次方程的分式方程及应用
A基础性作业
1.作业内容
26 26
（1）解分式方程 - 0.6
x x 3
（2）某品牌瓶装饮料每箱价格 26 元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”
促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元，
23
设该品牌饮料一箱有 x 瓶，则：
总费用/元 瓶数/瓶 每瓶费用/元
原 来 26 x
现 在 26 x +3
问该品牌饮料一箱有多少瓶？
（3）甲、乙两辆货车分别从 A,B 两城同时沿高速公路向 C城运送货物.已知 A、
C两城相距 450 千米,B、C 两城的路程为 440 千米,甲车比乙车的速度快 10 千米/
时,甲车比乙车早半小时到达 C城.求两车的速度.
2.时间要求（13 分钟）
3.使用方式：基础性作业，要求学生必做，用于课后巩固知识
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
5.作业分析与设计意图
第（1）题会解分式方程，并要验根.设计意图是复习巩固可化为一元二次方
程的分式方程的解法.第（2）题主要考查分式方程的应用，根据“买一箱送三瓶
相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元”列分式方程求解，并知道验根.通过表格设计
让学生明确题目中有哪些相等关系，强调利用哪个关系设未知数，又用哪个相等
关系列方程.解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑
它有无实际意义.本题设计主要让学生对解决这类问题的思维过程有个大致的了
解，初步体验数学建模思想.第（3）题设乙车的速度为 x 千米/时，则甲车的速
度为（x +10）千米/时，由甲车比乙车早半小时到达 C 城，以时间作为等量关
系列出分式方程求解.设计意图是创设学生熟知的行程问题，引导学生进一步掌
24
握可化为一元二次方程的分式方程的解法，并让学生体会到列分式方程解应用题，
也是解决实际问题的需要，在某些问题中它有一定的优越性.
B 发展性作业
1.作业内容
（4）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,
倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批
椽,这批椽的价钱为 6210 文.如果每株椽的运费是 3文,那么少拿一株椽后,剩下
的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6210 文能买多少株椽？
（5）十一黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需要提前
预算
①备用食品费：购买备用食品共花费 300 元，在出发时，又有两名同学要加
入（不再增加备用食品费用），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊 5元.
现在每人需要分摊多少元食品费？
②租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费用如下表所示.请选择最合
适的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由.
车型 座数 租车费（元/辆）
A 7 500
B 5 400
2.时间要求（12 分钟）
3.使用方式：发展性作业，提升学习能力，供学有余力的学生选做
4.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
25
5.作业分析与设计意图
第（4）题根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱，设计意图是通过创设古代著作《四元玉鉴》中记载的现实问题，
引导学生分析其中的等量关系，建立分式方程，也是增强学生文化自信，提高学
生的学习兴趣.第（5）题考查可化为一元二次方程的分式方程的应用，分析题意，
找到关键描述语，找到合适的等量关系是关键.加大问题情境的复杂程度,引导学
生借助列表的方法，挖掘题中隐含的等量关系，主要培养学生的思维转换能力、
分析问题能力，培养创新意识.
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题(单项选择）
1.一元二次方程( + 2) = + 2化一般形式2 + + = 0( ≠ 0)后
( )
A. = 1， = 3， = 2 B. = 1， = 3， = 2
C. = 1， = 3， = 2 D. = 1， = 3， = 2
2.已知关于的方程2 ( + 1) 6 = 0的一个根为 = 3，则实数的值
为( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. -2
3.若方程2 4 + = 0有两个不相等的实根，化简 16 8 + 2等于
( )
A. 4 a B. a 4 C. (a + 4) D. 无法确定
4.若一元二次方程2 2 = 0的两根为1，2，则(1 1)(1 2)的值
是( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 2
5.安徽省作为首批国家电子商务进农村示范省之一，先后携手阿里巴巴、苏
宁云商等电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“安徽特
产卖全国”.统计某淘宝农村超市一月份的营业额为 36万元，三月份的营业额为
49万元.设每月营业额的平均增长率为，则可列方程为( )
A. 49(1 + )2 = 36 B. 36(1 )2 = 49
C. 36(1 + )2 = 49 D. 49(1 )2 = 36
6.、是方程2 + ( 5) + 7 = 0的两个根，则(2 + + 7)(2 + +
7) = ( )
A. 365 B. 245 C. 210 D. 175
二、填空题
7.若关于的方程( 2)|| 2 3 = 0是一元二次方程，则 =______．
8.若是方程 22 3 1 = 0 的一个根，则 62 9 + 2019的值
26
为 ．
9.已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程2 7 + 10 = 0的
两根，则该等腰三角形的周长是______．
10.对于实数、，定义一种运算“※”为：※ = + .如果关于的
1
方程(※)※ = 有两个相等的实数根，则实数的值________．
2
三、解答题
11.小明在解方程2 2 1 = 0时出现了错误，其解答过程如下:
2 2 = 1 (第一步)
2 2 + 1 = 1+ 1 (第二步)
( 1)2 = 0 (第三步)
1 = 2 = 1 (第四步)
(1)小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______；
(2)请写出此题正确的解答过程．
12.用适当的方法解方程：
(1)2 6 1 = 0 (2)2( 3)2 = ( + 3)( 3)
13.已知关于的一元二次方程 22 (5 1) + 3 1 = 0．
(1)求证：无论为任意实数，方程总有实数根;
(2)如果这个方程的根的判别式的值等于 2，求的值．
14.适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出 30支 2B铅笔，卖出 1支铅
笔的利润是 1元，经调查发现，零售单价每降 0.1元，每天可多卖出 10支铅笔，
为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降 x元(0 < x < 1)．
(1)当 x为多少时，才能使该文具店每天卖 2B铅笔获取的利润为 40元？
(2)该文具店每天卖 2B铅笔获取的利润可以达到 50元吗？如果能，请求出，
如果不能，请说明理由．
15.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两
个方程为“同伴方程”.例如2 = 4和( 2)( + 3) = 0有且只有一个相同的实
数根 = 2，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有____；(只填写序号即
可)
①( 1)2 = 9；②2 + 4 + 4 = 0；③( + 4)( 2) = 0．
(2)关于的一元二次方程2 2 = 0与2 + 3 + 1 = 0为“同伴方程”，
求的值；
(3)若关于的一元二次方程2 + + = 0( ≠ 0)同时满足 + + = 0
和 + = 0，且与( + 2)( ) = 0互为“同伴方程”，求的值．
27
（二）使用方式：单元总结，用于单元检测
（三）评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
（四）作业分析与设计意图
第（1）、（7）题考查了一元二次方程的概念，考查学生对一元二次方程的定
义的理解。
第（2）、（8）、（9）、（11）、（12）题考查了一元二次方程的解，检验学生是
否能正确解出一元二次方程，并灵活应用方程的解解决相关问题。
第（3）、（13）题考查了一元二次方程根的判别式，检验学生能否根据一元
二次方程的解判断△的正负并解决相关问题。
第（4）题考查了韦达定理，要求学生会用韦达定理解题。
第（5）、（14）题考查了一元二次方程的应用，要求学生学会通过列一元二
次方程解决实际问题。
第（6）题考查了一元二次方程的解，要求学生在解题过程中学会灵活应用
整体思想和换元思想。
第（10）、（15）题为阅读理解题，考查学生的审题能力和解题能力。
28
（五）单元质量检测作业属性表
对应单 对应学
完成时
序号 类型 元作业 难度 来源
了解 理解 应用 间
目标
1 选择题 2 √ 易 改编
2 选择题 2 √ 易 改编
3 选择题 4 √ 易 改编
4 选择题 4 √ 中 改编
5 选择题 1、5 √ 易 选编
6 选择题 3 √ 中 选编
7 填空题 2 √ 易 选编
8 填空题 3 √ 易 改编 40分钟
9 填空题 3、4 √ 中 选编
10 填空题 3、4 √ 较难 选编
11 解答题 3 √ 易 选编
12 解答题 3 √ 易 选编
13 解答题 4 √ 中 选编
14 解答题 1、5 √ 中 选编
15 解答题 3 √ 较难 选编
29

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