资源简介

课 题 ： 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系
学段和学科： 九年级（下学期）数学
一、单元信息
学
年级 学期 教材版本 单元名称
科
基本信息
数 直角三角形边角关
九年级 第二学期 北师版
学 系
单元组织方式 自然单元 □重组单元
序
课时名称 对应教材内容
号
1 锐角三角函数-正切 1.1.1
2 锐角三角函数-正弦、余弦 1.1.2
3 30°，45°，60°角的三角函数值 1.2
课时信息
4 三角函数的计算 1.3
5 解直角三角形 1.4
6 三角函数的应用 1.5
7 利用三角函数测高 1.6
8 回顾与思考
二、单元分析
（一）课标要求
o o
通过实例认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA),知道 30 、45°、60 角的三角函数值，会
使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数
解决与直角三角形有关的简单实际问题。
《直角三角形的边角关系》是在学生已经学习了直角三角形及有关性质，如直角三角形的
两锐角互余、勾股定理及其逆定理等知识的前提下，对直角三角形的边与角之间的关系的进一
步探讨、学习与应用。
本章内容既是前面所学知识的应用，也是学生以后进一步学习三角函数和解斜三角形的预
备知识，它的学习还蕴含着深刻的数学思想(转化，化归)，另外由于解直角三角形在实际生活
中应用非常广泛，所以本章内容在教材中有着非常重要的地位与作用。
（二）教材分析
1.知识网络
~ 1 ~
2.内容及教材分析
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一。锐角三角函数在解决
现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高
度、角度的计算问题。一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的
关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系（如边和角之间的关系），把这种关系用数量的形式表示
出来（即进行量化），是分析问题和解决问题过程中常用的方法。通过这一章的学习，学生将进
一步感受数形结合的思想，掌握数形结合的方法。
通过直角三角形边角关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如：比和比例、
图形的相似、推理证明等。直角三角形边角关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识
及进一步学习其他数学知识奠定基础。
本章首先从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是
生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等往往用到正切。而正
弦和余弦的概念，是类比正切的概念得到的。
接着，教材从学生熟悉的一副三角板引入特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值。
对于一般锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教材详细介绍了由锐角求三角函数值，
以及由三角函数值求锐角的方法，并且提供了相应的练习。在此基础上，教材以勾股定理和锐
角三角函数为工具，分两类研究了直角三角形的解法。
（三）学情分析
~ 2 ~
学生已经学习了直角三角形及有关性质，如直角三角形的两锐角互余，勾股定理及其逆定
理等知识。但本章问题需要学生对正切、正弦、余弦的内容在进一步的熟悉过程中，逐渐学习
解决。
三、单元学习目标
1.利用直角三角形的相似，探索并认识锐角三角函数（sin A、cos A、tan A），掌握 30°、
45°、60°角的三角函数值，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
2.会使用计算器求锐角的三角函数值，由三角函数值求它的对应锐角。
四、单元作业目标
1.巩固学生对直角三角形中边角关系和对锐角三角函数概念的理解，以及计算器的使用。
2.考查学生对解直角三角形的掌握，和用直角三角形有关知识解决实际问题，培养分析问
题与解决问题的能力。
3.展示数形之间的联系，培养学生利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
五、单元作业整体设计思路
1.精准分析 2022 年版新课标中的“课程性质”、“课程理念”、“课程目标”、“课程内容”、
“学业质量”、“课程实施”，尤其是“课程实施”评价建议中的“作业评价”。
2.分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量 3—4大题，
属于必做题，要求学生都做）和“拓展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量在 2—3
大题，属于选做题，要求学生有选择的完成）。
3.具体设计体系如下：
（1）基础性作业包括（常规练习，基础知识记忆，课本母题变式练习）；
（2）拓展性作业包括（探究性作业，实践性作业，创新性作业，跨学科作业）。
六、单元知识掌握评价体系
~ 3 ~
七、课时作业
1.1 锐角三角函数（第一课时）
作业目标
1.考查正切的概念并进行简单的计算；
2.通过具体的情景巩固坡度概念，提升学生运用数学知识解决问题的能力。
学情分析
1.本节内容是在学生完成相似三角形学习的基础上进行的，学生能够运用相似知识理解本节内
容；
2.结合生活经验感知梯子的陡缓和倾斜角的关系，来探索延伸到对坡度的理解；
3.学生对综合运用勾股定理和相似三角形知识解决问题还有一定困难，分析问题的能力仍需提
升。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟内）
（2）作业内容
1.Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=1,则 tanA= _______。
设计意图：考查学生利用“数形结合”的思想理解定义。
作业分析：检查学生对正切函数的定义识记。
2.△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则 tanA=_______。
设计意图：考查勾股定理逆定理的应用，然后运用锐角三角函数正切定义求解。
作业分析：本题知道三角函数的前提条件是直角三角形，这个是解题根本。
3
3.如图，点 A(t，3)在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为α，tanα＝ ，则 t的值是( )
2
~ 4 ~
A．1 B． 1.5 C．2 D.3
设计意图：考查“数形结合”在平面直角坐标系中对正切概念的运用。
作业分析：本题是概念题，综合考察正切概念和坐标定义的组合运用。
4.（课本母体变式）如图，梯子(长度不变)和地面所成的锐角为∠A，关于∠A的正切值与梯子
的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是( )
A．tanA 的值越大，梯子越平缓
B．tanA 的值越小，梯子越陡
C．tanA 的值越大，梯子越陡
D．梯子的倾斜程度与∠A的正切值无关
设计意图：考查学生对正切值的大小和梯子陡缓的关系。
作业分析:此题是延伸题，由课堂上的探索过程根据生活经验综合判断。
作业 2（拓展性作业）
（1）完成时间（5分钟）
（2）作业内容
5.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.若三角形各边同时扩大三倍，则 tanA 的值( )
A．扩大为原来的三倍 B．不变
1
C．缩小为原来的 D．不确定
3
设计意图:此题让学生理解正切值和倾角的大小，与有关三角形的边长之比有关。
作业分析:通过作业加深正切值就是线段之比的认识。
6.（创新题）如图是宿州市新汴河护堤的横断面．堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，
那么斜坡 AB 的坡度是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
设计意图:考查坡度的定义理解，从具体生活情境中抽象出数学模型，感受数学的应用价值。
作业分析:根据生活场景中抽象出的数学问题的解决，训练学生学以致用的能力。
7.如图，直角三角形纸片 ABC 的两直角边 BC，AC 的长分别为 6，8，现将△ABC 折叠，使点 A与
点 B重合，折痕为 DE，求 tan∠CBE 的值。
设计意图：考查学生在“折叠变换”中的观察分析能力，提升学生整合不同模块知识的能力。
~ 5 ~
作业分析：这是综合性较强的问题，如何找到突破的关键点需要在解决问题的过程中去训练，
此题要求学生有较强的综合分析能力。
评价设计
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.1.2 锐角三角函数（第二课时）
作业目标
1.学生通过对应的练习，根据三角函数的概念进行简单的计算，巩固三角函数概念；
2.提升学生运用数学知识解决问题的能力；
3.将生活问题数学化，运用数学知识解决生活中的问题，感受数学的应用价值。
学情分析
1.学生已经对正切函数有了一定认识和学习；
2.学生对不同情境中的问题转化成数学模型的能力不足，相关练习不够。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
1.如图完成填空
~ 6 ~
锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= 。
设计意图：“温故而知新”，考查学生的锐角三角函数定义。
作业分析：通过知识回顾为本节的练习做好准备，把所做的练习与所学的知识点建立联系。
2.Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则 cosB＝ 。
设计意图：考查学生在具体直角三角形中利用三角函数的定义寻找对应的边长求解。
作业分析：本题为必做题，要求每个学生都要熟练正确求解。
3
3.△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinA＝ ，则 AB＝ 。
5
设计意图：考查学生逆向思维的能力，通过利用三角函数定义建立方程求解，强化运用方程
的思想解题。
作业分析：本题的解决主要还是基于对三角函数的定义的理解和运用。
4.如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点 A(2， 1)，则 cosα的值是( )
5 1 2 5
A． B． C． D．2
5 2 5
设计意图：考查在平面直角坐标系的背景下求解三角函数，加强学生对知识间的联系和运用。
作业分析：本题为必做题，结合图像确定求解的边长，利用余弦定义解决。
作业 2（拓展性作业）
（1）完成时间（8分钟）
（2）作业内容
5.如图，梯子与地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列
叙述正确的是( )
A．sinA 的值越小，梯子越陡
B．cosA 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子的倾斜程度与∠A的三角函数值无关
设计意图：考查“正弦和余弦”在生活中的意义，感受到从不同角度去解释一件事物的合理
性，体会三角函数值和梯子的倾斜程度的关系，感受数学与生活的联系。
作业分析：本题为必做题，要求学生具备将生活中的问题转化成数学问题。
6.（课本母题的变式）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AD⊥BC 于点 D．
(1)求 AD 的值(2)求 sinB，cosC 的值
~ 7 ~
设计意图:考查运用等腰三角形的性质解决三角形中的各个元素，让学生感受知识的联系，也
是对等腰三角形知识的一个复习。
作业分析:本题为提高题，第一问考察学生对等腰三角形“三线合一”性质的运用；第二问考
察学生对三角函数定义的理解。
评价设计
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.2 30°45°60°角三角函数值
作业目标
1.通过练习让学生熟练进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算；
2.能够根据 30°、45°、60°角的三角函数值说出相应锐角的大小并进行简单地应用；
3.让各个层次的学生都能得到充分的练习和成长。
学情分析
1.学生已经知道特殊角的三角函数值是怎么推导出来的，通过练习进行加深记忆；
2.学生具有利用已学知识解决直角三角形模型里的边角关系的初步能力。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
~ 8 ~
（2）作业内容
3
1.tanα= ，则锐角α =（ ）
3
A．45° B.60° C.90° D.30°
设计意图： 已知三角函数值，求解锐角的度数，加强学生对特殊角三角函数值的记忆和逆向
思维的培养。
3
作业分析： 主要考查了哪个锐角的正切值是
3 。
2.下列是有理数的是（ ）
A. sin45°B.cos45°C.tan45°D.cos30°
设计意图 ：考查学生有理数的概念和特殊三角函数值，熟练掌握概念是解题关键。
0
作业分析： 答案中只有 45°角和 30°角，主要是 30 、45°角的函数值容易能混。
3.（-sin60°，cos60°） 关于 y轴对称的点的坐标是（ ）
3
,
1 3 1 3 1
1 3 2 2
, ,
2 2 2 2
,
A． B． C． D． 2 2
设计意图 ：主要考查了特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中对称点的规律。
作业分析 ： 这题注重“知识间的衔接”，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关
于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
4.计算:
2
（1） 3 cos 30°+ 2 sin 45° （2） 2 8 sin 45 2
1 ( 2 1)0
设计意图： 考查学生对三角函数值的记忆，锻炼学生的计算能力。
作业分析： 第一小题检验三角函数值的运算和二次根式的运算，第二小题的负指数幂和零指
数幂的运算也是易错点。
作业 2（拓展性作业）
（1）完成时间（8分钟）
（2）作业内容
5.（创新题） 昨夜一场暴雪，小明同学在宿州北教场发现一棵大树在离地面若干米处被雪压倒
下，观察发现 B为折断处最高点，树顶 A落在离树根 C的 12 米处，测得∠BAC＝30°，求
BC 的长(结果保留根号)。
设计意图： 在直角三角形中，考查学生三角函数值与角、边之间的关系并加以实际应用。
作业分析： 通过现实生活中的实例，抽象出直角三角形，利用正切函数来求边长。
~ 9 ~
6.计算下列各式完成下列探究
(1) 230° + 230°= (2) 245° + 245°=
(3) 260° + 260°=
1、通过上面的计算猜想
2、 2 + 2 等于多少？
设计意图 ：让学生用已学三角函数的知识进行探究性学习，经历从特殊到一般再进行证明验
证，培养孩子的探究能力和激发学生的学习兴趣。
作业分析： 通过计算很容易猜想到，证明是需要学生画出直角三角形，利用三角函数和勾股
定理找到边与角之间的关系，需要学生去思考从何处入手找关系。
设计评价
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.3 三角函数的计算
作业目标
1.通过练习让学生熟练利用计算器求锐角三角函数的值和已知三角函数的值求解相应锐角的
度数；
2.通过练习巩固三角函数的相关知识，并解决一些实际问题。
学情分析
1.通过学习，学生很容易掌握使用计算器来计算锐角三角函数值的操作方法；
2.通过学生对计算器的使用，学生已经探索一些不是特殊角的三角函数值的应用和规律问题。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
~ 10 ~
1.利用计算器求解角的三角函数值和已知函数值求角的度数。并用计算器完成下列计算
（1）sin56°（2）cos20.5°（3）tan44°59′59″
设计意图：强化学生对计算器的操作训练。
作业分析：主要让生熟悉用计算器计算三角函数值的步骤。
2.用计算器求锐角 A的度数
tanA=2.9888 （2）sinA=0.3957 （3）cosA=0.7850
设计意图:考查学生动手操作能力，锻炼利用计算器求三角函数的值和度数，熟练使用计算器。
作业分析：让学生根据自己的计算器熟练操作步骤。
3.用计算器求下列各式的值
（1） 256°+ 225° （2）sin62.6°-2sin37°*cos20°
设计意图： 培养学生使用计算器计算的能力。
作业分析： 此题通过计算培养学生的耐心和细心。
4.（创新题）下图是宿州华夏世贸商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角为
37°，大厅两层之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为多少？
设计意图：通过生活中常见的实物考察学生对三角函数的实际应用，激发学生学习的兴趣。
作业分析：学生利用计算器来解决不是特殊角三角函数的应用问题。
作业 2（探究性作业）
(1) 完成时间（6分钟）
(2) 作业内容
5. 利用计算器完成以下探究：
（1）sin10°≈ ，sin36°≈ ，sin50°≈ ，sin87°≈ 。
规律：
（2）cos15°≈ ，cos40°≈ ，cos62°≈ ，cos88°≈ 。
规律：
（3）tan10°≈ ，tan36°≈ ，tan50°≈ ，tan87°≈ 。
规律：
应用拓展：
（1）根据上述规律判断：若 1/2＜cosα＜√3/2，则（）
A. 30°＜α＜60° B.30°＜α＜90°
C.0°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
（2）若 a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°，则 a，b，c的大小关系是（）
A. c＞a＞b B.a＞b＞c C.a＞c＞b D.b＞c＞a
设计意图 ：考查学生利用计算器来探究正弦，余弦，正切函数的增减性，并加以应用，以
此培养孩子的探究能力和总结能力。
作业分析 ：学生很容易利用计算器找到三角函数在锐角范围的的增减情况，但还要学会怎
么样利用找到规律来进行应用，这是个难点。
设计评价
作业评价表
~ 11 ~
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.4 解直角三角形
作业目标
1.理解解直角三角形的含义,掌握解直角三角形的方法。
2.能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，解决实际问题。
学情分析
1.九年级学生已经掌握了勾股定理、锐角三角函数的定义，会求三角函数 sin 、cos 、tan
值。
2.会用计算器求任意锐角的三角函数值和由三角函数值求相应的锐角。
3.学生综合运用所学知识解决问题能力薄弱，有必要进行针对性的练习。
作业一、基础性作业
（1）完成时间（10 分钟以内）
（2）作业内容：
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则 BC 的长是( )
A．5 3 B．5 2 C．5 D．10
设计意图：利用特殊角的三角函数值求边长。
作业分析：已知直角三角形一角一边利用三角函数求解三角形的基本元素。
2.如果等腰三角形的底角为 30°，腰长为 6 cm，那么这个三角形的面积为( )
~ 12 ~
2 2 2 2
A．12 cm B．6 3 cm C．6 cm D．9 3 cm
设计意图：考查构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值解决问题。
作业分析：利用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形模型解决面积问题。
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c＝8 2，∠A＝45°，求这个三角形的其他元素．
设计意图：利用直角三角形一边一角求解其他边角。
作业分析：这是最基本的题型，直接利用三角函数值求解直角三角形。
4. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c＝8 ，∠A＝60°．求△ABC 的面积。
设计意图：考查解直角三 角形的实际应用。
作业分析：利用特殊三角函数值求解直角三角形并求面积。
作业 2 拓展性作业
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
3
5.（课本母体变式）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D.若 BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，
4
求 sinC 的值.
设计意图：利用所掌握的解直角三角形知识与技能解决实际问题。
作业分析：这是一题无直角三角形的题目，如何构造直角三角形是有一定难度的，重点考查
了直角三角形的边角关系的应用。
6. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝9，BC＝6.
(1)求 sinC 的值．
(2)求 AC 边上的高 BD 的长。
设计意图：通过练习掌握解直角三角形的方法，考查锐角三角函数的综合应用。
作业分析：通过三角函数的使用求解边长，进一步求解三角形的周长。
设计评价
~ 13 ~
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.5 三角函数的应用
作业目标
1.提高学生利用三角函数解决实际问题的能力。
2.借助辅助线构造直角三角形，转化为解直角三角形的问题。
3.将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并能借助方程思想解决实际问题。
学情分析
1.学生已经掌握了直角三角形中边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角
互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）。
2.能利用以上三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，并解决一些简单的实际问题。
作业 一：基础性作业
（1）完成时间（12 分钟）
（2）作业内容
1.在 Rt△ABC 中， C 90 ，则下列式子一定成立的是( )。
A． sinA sinB B． cosA cosB
C． tanA tanB D． sinA cosB
设计意图：考查锐角三角函数概念之间的关系。
作业分析：基础题，考查学生对三角函数的理解。
2.（创新题）如图， AB 是宿州新汴河某河堤横断面的迎水坡，坡高 AC 1，水平距离 BC 3 ，
则斜坡 AB 的坡度为( )。
~ 14 ~
3
A. B． 3 C．30° D．60
3
设计意图：考查坡度概念的理解。
作业分析：坡度就是铅直高度与水平宽度的比，也是坡角的正切值。
3.(课本母题变式)为了迎接第 44 届植树节，我校汴河路校区八年级学生准备在坡角为α的山坡
上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为( )。
5 5
A．5cosα米 B． 米 C．5sin 米 D． 米
cos sin
设计意图：利用三角函数解决实际问题。
作业分析：构建数学模型解决实际问题。
4.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55°方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处.如果海轮沿正南
方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离 AB 的长是( )。
A.2 海里 B.2sin55°海里
C.2cos55°海里 D.2tan55°海里
设计意图：考查学生对于方位角的掌握。
作业分析：方位角是三角函数的应用之一。
5.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为α，如果 OA＝ 5 ，tanα＝
2，那么点 A的坐标是____．
设计意图：考查学生利用三角函数在平面直角坐标系中的应用。
作业分析：本题在平面直角坐标系中综合应用三角函数。
作业二：发展性作业
（1）完成时间（8分钟）
（2）作业内容
6.（创新题）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，我校决定安
装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测
温（如图 1），其红外线探测点 O可以在垂直于地面的支杆 OP 上下调节（如图 2），已知探测
最大角（∠OBC）为 58.0°，探测最小角（∠OAC）为 26.6°．
（1）若该设备的安装高度 OC 为 1.6 米时，求测温区域的宽度 AB．
（2）该校要求测温区域的宽度 AB 为 2.53 米，请你帮助学校确定该设备的安装高度 OC．
~ 15 ~
（结果精确到 0.01 米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
设计意图：考查直角三角形中锐角三角函数在生活中的应用。
作业分析：把实际问题转化成数学问题，让学生进一步体会“数形结合思想”在学习中的应
用。
设计评价
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
1.6 利用三角函数测高
作业目标
1.同学们会制作测倾器，了解测倾器的使用方法。
2.课下实践性作业锻炼学生实地测量物体的高度。
学情分析
~ 16 ~
同学们已经熟悉了测倾器的使用方法，掌握了多种测高方法，根据解直角三角形边角关系，能够解决简单
的实际问题。
实践性作业
（1）完成时间（28 分钟）
（2）作业内容
活动任务
1. 同学们下面的雕塑都比较熟悉吧，它寓意深刻。它有多高呢？按照课堂上分好的 8 个组，（1—4）四
组设计用两种方法测量金钥匙的高度。（1 能直接到达它底部的方法测量高度。2 不能直接到达它底部的方
法测量高度）。完成活动报告（活页）
2.大家都去过万达 CBD 购物，它是目前我市最高的建筑物据说达到 180 多米，同学们想知道万达 CBD
到底有多高吗？请（5—8）组的同学在操场测量万达 CBD 的高度。
完成活动报告（活页）
设计意图：
课堂上我们分 8 组制作测倾器，了解测倾器的使用方法。在理论上设计如何测量物体的高度，为了培养学
生的实际操作能力，合作精神。特布置活动探究性作业。
评价设计：
探究性活动作业，学生比较喜欢，在活动报告中设计学生自评，和老师点评。
器材： 测倾器 卷尺
活动报告 年 月 日
课题
测量示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
~ 17 ~
计算过程
负责人及参加人员
计算者及复核者
活动感受
指导老师评价意见
设计评价
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
回顾与思考（第一课时）
作业目标
（1）巩固三角函数的基础目标（定义、特殊角的值、解直角三角形），及对三角函数公式的应
用；考察学生利用计算器求解三角函数值；
（2）培养学生学习数学的兴趣，提升学生运用知识解决实际问题能力。
学情分析
1．学生已经掌握了本章的知识点，并且利用三角函数这一工具解决相关问题；
~ 18 ~
2．学生能动手画出含有特殊角的直角三角形，并且已经获得所学知识的结论；
3． 学生能够运用计算器求锐角的三角函数值，充分感受到工具的作用。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求 sinA，cosA,tanA.
设计意图：主要考查学生利用“数形结合”思想，解决代数问题！
作业分析:本题属于基础知识点的考察，可以画出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求。
2.计算：2cos60°·sin30°－ 6sin45°·sin60°= 。
设计意图:考查特殊角的三角函数值的掌握。
作业分析:本题是熟记特殊角的三角函数值。
1. （创新题）一数学兴趣小组想了解宿州新汴河大堤。测量发现某处堤的横断面如图．堤高
是 5米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，那么斜坡 AB 的坡度是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
设计意图:激发学生的探索精神，爱学习，爱生活。
作业分析:本题是概念题，考查坡度概念的应用。
4.（课本母体的变式）已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为 a、b、
c，按下列条件解直角三角形。
(1)若 a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边 b、c的长；
(2)若 a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边 c的长。
设计意图:考查直角三角形的边角关系。
作业分析: 这是基本题型的训练，利用直角三角形的边角关系求解直角三角形。
作业 2（拓展性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
3 3
5.根据下列条件，确定锐角α的值： tan2α-( ＋1)tanα＋ ＝0。
3 3
设计意图:考查（1）特殊角的三角函数值的掌握；（2）运用“整体”的思想来解决问题。
作业分析:本题是个小综合题，要掌握特殊角的三角函数值以及一元二次方程的解法，加强知
识间的联系！
6.（创新题）如图,宿州市新开楼盘“御品华府”有甲,乙两栋楼相距 24m,甲楼高 21m,自甲楼楼
0
顶看乙楼楼顶,仰角为 30 ，求乙楼有多高 (结果根号表示)。
设计意图:考查直角三角形在现实生活中的应用，掌握数学模型的构造，知晓数学知识可以服
务于生活。
作业分析:这题是关于仰角的应用题。关键是要构造直角三角形，利用直角三角形的知识解决
问题。
~ 19 ~
图二
设计评价
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
回顾与思考（第二课时）
作业目标
1.考察学生运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形；
2.锻炼学生借助辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形；
3.检测学生实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并利用方程的思想解决实际问题的能力。
学情分析
1.学生对本章有了整体的把握，但还不熟练，要继续巩固；
2.学生的求知欲很高，想继续学习。
作业 1（基础性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
2 3
1.△ABC 中，若 sinA= ，tanB= ，则∠C=_______．
2 3
设计意图：考查直角三角形的边角关系。
~ 20 ~
作业分析：这题是对特殊角三角函数值的理解和概念的练习。
2.在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝ 2，∠A＝105°，求△ABC 的面积．
设计意图：考查非直角三角形构造成直角三角形，应用三角函数解决问题。
作业分析：是小型求面积的应用题，借助辅助线构造直角三角形解决面积问题。
3.（课本母体的变式）如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥CB 于点 D，已知 AC= 5 ，AB=2，
那么 sin∠CAD=（ ）
5 2 2 5 5
（A） （B） （C） （D）
3 3 5 5
（变式）：若将题目中“AD⊥BC 于点 D”改为“AD 为 BC 边上的中线”，其它条件不变，选哪个
答案呢？（B）
设计意图:本题是考查直角三角形中的等量“转换思想”的应用；变式，主要对所学的知识会
“举一反三”。
作业分析：“互余”的两个锐角的三角关系，用直角三角形的边角关系求解。
1
4．如图在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA= ,求 AD 的
5
长。
C
D
A E B
设计思想：考查学生利用“数形结合”和“方程”思想来解几何问题.
作业分析：本题有一定的难度关键是构造合适的直角三角形，寻找等量关系，建立方程。
作业 2（拓展性作业）
（1）完成时间（10 分钟）
（2）作业内容
5.如图，在一个坡度 i 1: 2 的山坡 AB 上发现一棵古树 CD.测得古树底端 C 到山脚 A 的距离
AC 10 5 m，在距山脚 A水平距离 5m 的点 E处，测得古树顶端 D的仰角 AED 48 （古树 CD
与山坡 AB 的剖面、点 E在同一平面内，古树 CD 与直线 AE 垂直），则古树 CD 的高度约为（参
考数据： sin 48 0.74 ， cos 48 0.67 ， tan 48 1.11）( )
A.17.75 m B.20.9 m C.21.3 m D.33.3 m
设计思想：考查学生利用“数形结合”研究坡角和仰角的问题。
~ 21 ~
作业分析：这是一题关于坡角的应用题，是对坡角和仰角的应用。
6.（创新题）如图，安徽省萧县皇藏峪的山上有一座信号发射塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，
且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、
C三点可看到塔顶端 H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。某数学兴趣小组根据现有的条
件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案，具体要求如下：
（1）测量数据尽可能少
（2）在所给图形上画出设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D间的距
离用 m表示；如果测 D、C间距离用 n表示；如果测角用α、β、γ等表示，测倾器高度不变.）
（3）根据所测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示）
H
A γD α
m M
β
n
B C G
设计思想：培养学生自主学习、主动探究、合作交流。
作业分析：这题具有一定的挑战性，培养学生的发散思维。这题的结论可以作为解这类题型
的公式。
设计评价
作业评价表
评价指标 评价主体 等级（A,B,C） 备注
完成的及 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多次迟
时性 交，或不交的。
自 评
完成的整 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，破
洁性 损。
答题的准 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确； C 等，
确性 答案不正确。
互 评
答题的规 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不完整；
范性 C 等，过程不规范或无过程。
解法的创 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法思路
新性 有创新； C 等，常规解法，思路不清楚。
师 评
综合评价 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等； 至少 2A 以上无
等级 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
~ 22 ~
八、单元质量检测
作业时间：45 分钟 满分 100 分
作业目标
1.了解学生们解直角三角形的概念，运用直角三角形的边角关系解直角三角形。
2.探讨解直角三角形所需的最简条件，体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题。
3.通过对问题情境的讨论，渗透“数学建模”的思想，培养学生研究问题的意识。
学情分析
1.学生已经掌握了本章的知识点，知晓了本章的重点和难点；
2.对于本章的相关的知识进行相应的练习和训练；
3.本章所利用到的数学思想都进行了学习。
温馨提示
只为最棒的你：同学们好！本次测试内容共计 14 题，请认真结合所学知识，组织好解题步骤，
完整解答。最后理解，感悟----本次检测有哪些收获？我以后该怎么做？
一、选择题（每题 5分；共 6×5=30 分）
3
1.已知α为锐角，且 sin（α﹣10°）＝ ，则α等于（ ）
2
A. 70° B. 60° C. 50° D. 30°
2.如图是一架人字梯，已知 = = 2 米，AC 与地面 BC 的夹角为 ,则两梯脚之间的距离 BC
为（ ）
A. 4cos 米 B. 4sin 4米 C. 4tan 米 D. 米
cos
2 2
3. 计算 sin 30°+cos 60°的结果为（ ）
1 3 1
A. B. C. 1 D.
2 2 4
4. 若∠A为锐角，且 cosA<0.5，则∠A（ ）
A. 小于 30° B. 大于 30° C. 大于 60° D. 大于 60°
5.在△ 中，∠ = 90°，若 = 3, = 4，则（ ）.
A. = 5 B. sin > tan C. cos = 3 D. tan = cos
4
6.在正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则 sin∠AOB 的值为（ ）
1 5 2 5 85
A. B. C. D.
2 5 5 10
~ 23 ~
二、填空（每题 5分；共 4×5=20 分）
7. 在 △ 中， ∠ = 90° ， = 12 ， = 5 ，则 tan 的
值为 .
8.（教材变式题）在由边长为 1的小正方形所组成的网格中，△ 如图放置，则 cos =
.
9.如图，已知 P（4，3）为∠ 边上一点，则 cos = ．
10.在 △ 中，∠ = 90°, sin = 12 , = 13，则△ 的面积为 .
13
三、解答题（11---13 题，每题 12 分；14 题 14 分；共 50 分）
11.（选做题）如图，在 中， ， 是对角线 上的两点（点 在点 左侧），且 ∠ =
∠ = 90° . （1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）当 = 5，tan∠ = 3，
4 ∠ = ∠ 时，求 的长。
12、（改编题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图 1，伞不
管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠ ，且 = ，从
而保证伞圈 D能沿着伞柄滑动.如图 2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 D已滑动到
点 '的位置，且 A，B， '三点共线， ' = 40 ，B为 '中点，当∠ = 140°时，伞完
全张开.
~ 24 ~
（1）求 的长.
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： sin70° ≈
094, cos70° ≈ 0.34, tan70° ≈ 2.75 ）
13、（基础题）如图，宿州市符离镇的网红小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电
的铁架，小山的斜坡的坡度 = 1: 3，斜坡 BD 的长是 50 米，在山坡的坡底 B处测得铁架顶
端 A的仰角为 45°，在山坡的坡顶 D处测得铁架顶端 A的仰角为 60°.
（1）求符离网红小山的高度；
（2）求铁架的高度.（ 3 ≈1.73，精确到 0.1 米）
14、（拓展提高题）如图，在 7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的端
点均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点）.
（1）在图中画一个 Rt△ABC，使其同时满足以下三个条件：
①A为直角顶点；②点 C在格点上；③ tan∠ = 3 ；
2
（2）在（1）的条件下，请在网格中找到另一个格点 D，满足 tan∠CBD=1，连结 CD，求线段
CD 的长.
~ 25 ~
设计评价
（1）等级性评价
作业评价表
评 价 指 评 价 主 等级（A,B,C） 备注
标 体
完 成 的 A 等，及时； B 等，迟交； C 等，催了多
及时性 次迟交，或不交的。
自 评
完 成 的 A 等，干净，漂亮； B 等，有涂改； C 等，
整洁性 破损。
答 题 的 A 等，答案正确； B 等，答案不完全正确；
准确性 C 等，答案不正确。
互 评
答 题 的 A 等，过程规范； B 等，过程不够规范、不
规范性 完整； C 等，过程不规范或无过程。
解 法 的 A 等，解法有新意和独到之处； B 等，解法
创新性 思路有创新；C 等，常规解法，思路不清楚。
综 合 评 师 评 至少 3A,无 C 综合评价为 A 等；至少 2A 以
价等级 上无 C 综合评 价为 B 等；其余情况综合评
价为 C 等。
（2）定量性评价
分数与等级互换的规则
分数 等级 人数 你的目标等级
90～100 A
70～89 B
60～69 C
50～59 D
50 分以下 E
【教师寄语】： 。
【学生练习心得】： 。
~ 26 ~
学生自我章节总评价
单元知识掌握评价体系
参考答案
1.1 锐角三角函数（第一课时）
1
1.【答案解析】学生根据正切定义直接求解得出。解：
3
2.【答案解析】利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角形，确定∠C为直角，再运用正切定
3
义求解出结果。解： 4
~ 27 ~
3.【答案解析】根据坐标的定义和正切定义，由点 A的坐标(t，3)得出 3：t=3:2 得 t=2。解：
C
4.【答案解析】根据正切值越大倾斜角越大梯子越陡得出。
解：C
5.【答案解析】根据正切定义得出锐角三角函数的正切等于角的对边与邻边的比，再利用分数
的基本性质得出各边都扩大三倍，其比值不变。
解：B
6.【答案解析】根据勾股定理先求出 AC 再由坡度定义计算得出。
解:由勾股定理得 AC＝12 米．则斜坡 AB 的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4。
解：C
7.【答案解析】由折叠性质得出 AE=BE,在直角三角形中运用勾股定理得出 CE 的长度再运用正
切定义解决。
解：由折叠性质可知相关量的关系.BE=AE，设 CE=x,则 BE=CE=8-x,在 Rt△BCE 中，根据勾股
2 2 2 2 2 2 7 CE 7
定理，得 BE ＝BC ＋CE ，即(8－x) ＝6 ＋x . 解得 x＝ .∴tan∠CBE＝ ＝ 。
4 CB 24
1.1.2 锐角三角函数（第二课时）
1.【答案解析】由三角函数定义完成。
∠ A的对边 ∠ A的邻边 ∠ A的对边
解：根据三角函数定义填写完成 ， ，
斜边 斜边 邻边 。
2.【答案解析】先根据勾股定理求出第三边，再利用余弦定义计算求出。
5
解：
13
3.【答案解析】先根据提议画出草图找出对应边再利用正弦定义得出含有 AB 未知线段的等式，
通过解方程求出。
3 BC 3 6 3
解： 因为，sinA＝ ，∠ACB＝90°，所以 = ，所以 = ,所以 3AB=30,所以 AB=10
5 AB 5 AB 5
4.【答案解析】学生先根据坐标定义得出直角三角形，运用勾股定理得出线段 OA 的长度再利用
余弦定义计算得出。
解：C
5.【答案解析】根据倾斜程度和三角函数值的关系进行判断得出。
解：B
6. 【答案解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质得出 BD＝CD=4，再根据勾股定理计算
求出 AD。(2)在第一问的基础上根据正弦，余弦定义计算得出。
1 1 2 2 2 2
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝ BC＝ ×8＝4. ∴AD＝ AB －BD ＝ 6 －4 ＝2 5.
2 2
~ 28 ~
AD 2 5 5 CD 4 2
（2）sinB＝ ＝ ＝ ，cosC＝ ＝ ＝ .
AB 6 3 AC 6 3
1.2 30°45°60°角三角函数值
3
1.【答案解析】30°角的正切值是 所以锐角α等于 30°。
3 ，
答案：D
2.【答案解析】计算出各个实数，再判断谁是有理数。
答案：C
3.【答案解析】根据关于 y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行解
题即可。

解：点 sin 60 , cos 60 3 , 1 3 1 化简得 2 2 ，∴关于 y轴对称的点的坐标是 ,2 2 ；
故选：A．
4.【答案解析】算出特殊角的三角函数值再利用实数的运算法则进行计算得出答案。
解：（1）原式= 3 × 3 + 2 × 2 2（2）原式=-4+ 8 × +1
2 2 2
3
= + 1 =-3+2
2
5
= =-1
2
5.【答案解析】在 Rt△ABC 中，根据已知条件，利用正切就可求出 BC 的长。
解：∵BC⊥AC，∴∠BCA＝90°.

在 Rt△ABC 中，∵tan∠BAC＝ ，∠BAC=30°

∴BC＝AC tan∠BAC＝12×tan30°=4 3 答：BC 的长是 4 3米。
6.【答案解析】通过计算，很容易猜想得到 2 + 2 =1；
在直角三角形中，先求出特殊角的正弦和余弦值，再代入 2 + 2 ，利用勾股定理的知识
即可证明猜想。
解：（1）通过计算猜想 2 + 2 =1；

如图在 Rt△ABC 中，sinA= ，cosA= ；

2
2 2 +
2
∴ + = ；
2
∵Rt△ABC 中， 2 + 2= 2
∴ 2 + 2 =1
1.3 三角函数的计算
1.【答案解析】利用学生自己的计算器操作方法，进行操作计算。
答案：（1）0.8290 （2）0.9367 （3）1.0000
2.【答案解析】利用学生自己的计算器操作方法，进行操作计算。
答案：（1）71°30′2″（2）23°18′35″（3）38°16′46″
3.【答案解析】利用计算器算出三角函数值，在进行实数的运算，得出答案。
答案：（1）1.5087 （2）—0.2432
4.【答案解析】
~ 29 ~
根据实际情况抽象成几何图形然后利用三角函数的边角关系进行解决。
解：在 Rt△ABC 中，BC⊥AC，AB=37°
∴AB=BC/sin37°≈6÷0.6≈10 米
答：自动扶梯的长度约为 10 米。
5.【答案解析】
利用计算器找出在锐角范围内随着度数的增加 sinα，cosα，tanα，三角函数值的变化情
况，从而得到三角函数的增减性，然后再利用得到的结论解决问题。
1 3
解：（1）∵cos60°= ，cos30°= ，在锐角范围内余弦函数是减函数
2 2
∴30°＜α＜60°，选 A。
（2）∵a=sin46°＞sin45°，b=cos46°＜cos45°=sin45°；∴a＞b。
∵当为锐角时 tanα＞sinα，∴tan46°＞sin46°；
∴c＞a＞b。
1.4 解直角三角形
1.【答案解析】利用∠A的正切值等于∠A的对边比邻边。
解：A
2.【答案解析】过顶点作底边的垂线，利用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形，求
高和底边，从而求出面积。
解：D
3.【答案解析】利用三角形内角和定理求出另一锐角，利用 45°角的正弦和余弦求出另两条边。
解：∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.
a b a b
在 Rt△ABC 中，sinA＝ ，cosA＝ ，∴sin45＝ ，cos45°＝ .
c c 8 2 8 2
∴a＝b＝8.
4.【答案解析】在直角三角形中利用∠A 的正弦和余弦分别求出两条直角边，从而求出三角形
的面积。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c＝8 ，∠A＝60°．
a b
sinA＝ ，cosA＝ ∴a=BC＝csinA=sin60°8 =12 b=AC＝ccosA=cos60°8 =4 ，
c c
∴△ABC 的面积＝ .
3
5.【答案解析】在 Rt△ADB 中，利用 tan∠BAD＝ ，AD＝12 求出 BD 的长，从而求出 DC 的长，
4
在 Rt△ADC 中，勾股定理求出 AC 的长，从而得到 sinC 的值。
BD
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴Rt△ADB 中 tan∠BAD＝ .
AD
3
∵tan∠BAD＝ ，AD＝12，∴BD＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.∴在 Rt△ADC 中，
4
2 2 2 2 AD 12
AC＝ AD ＋CD ＝ 12 ＋5 ＝13.∴sinC＝ ＝ .
AC 13
6.【答案解析】
~ 30 ~
1
解：(1)过点 A作 AE⊥BC 交 BC 于点 E.∵AB＝AC，∴BE＝EC＝ BC＝3 .
2
2 2 AE 6 2 2 2
在 Rt△AEC 中 AE＝ 9 －3 ＝6 2 ，∴sinC＝ ＝ ＝ .
AC 9 3
BD BD 2 2
(2)Rt△BDC 中，sinC＝ ，∴ ＝ .∴BD＝4 2 .
BC 6 3
1.5 三角函数的应用
1.【答案解析】根据直角三角形中锐角三角函数的关系解答。
解：D
2.【答案解析】根据坡度的知识解答。
解：A
3.【答案解析】根据两直线平行内错角相等，利用相等角的函数值也相等解答。
解：B
4.【答案解析】掌握方位角的表示方法利用三角函数解决。
解：C
5.【答案解析】过 A 点作 X 轴的垂线，垂足为 B，在 Rt△AOB 中求出 AB 和 OB 的长，求出 A 点
的坐标即可。
解：（1，2）
6.【答案解析】
解：（1）根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6 米，
在 Rt△OBC 中，BC＝ ＝ ≈ ＝1.00（米），
在 Rt△OAC 中，
AC＝ ＝ ≈ ＝3.20（米），∴AB＝AC﹣BC＝3.2﹣1＝2.20（米）．
答：测温区域的宽度 AB 为 2.2 米；
（2）根据题意可知：
AC＝AB+BC＝2.53+BC，
在 Rt△OBC 中，BC＝ ≈ ，∴OC＝1.60BC，
在 Rt△OAC 中，OC＝AC tan∠OAC≈（2.53+BC）×0.50，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.50，
解得 BC＝1.15 米，∴OC＝1.60BC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度 OC 约为 1.84 米．
1.6 利用三角函数测高
答案（略）
回顾与思考（第一课时）
1．【答案解析】本题利用勾股定理求出 AC，然后根据正弦、余弦和正切的定义计算。
~ 31 ~
解：由勾股定理得 AC AB2 2 2 2＝ －BC ＝ 13 －5 ＝12，
BC 5 AC 12 5
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ,tanA= ＝
AB 13 AB 13 12
2.【答案解析】将特殊角的三角函数值代入求解。
1 1 2 3 1 3
解：原式＝2× × － 6× × ＝ － ＝－1
2 2 2 2 2 2
3.【答案解析】由勾股定理得 AC＝12 米．则斜坡 AB 的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选 C。
4.【答案解析】(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角
形。
a
解：(1)在 Rt△ABC 中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°， ＝cosB，即 c＝
c
a 36 1 1
＝ ＝24 3，∴b＝ c＝ ×24 3＝12 3；
cosB 3 2 2
2
(2)在 Rt△ABC 中，∵a＝6，b＝6，∴c＝6 2，∠A＝∠B＝45°。
5.【答案解析】用因式分解法解关于 tanα的一元二次方程。
3 3 3 3
解：∵tan2α－( ＋1)tanα＋ ＝0，(tanα－1)(tanα－ )＝0，tanα＝1或 tanα＝ ，
3 3 3 3
∴α＝45°或α＝30°。
6.【答案解析】
这一题如何构造直角三角形是关键，再结合三角函数的知识，然后解答。
解：过 A作 DAE⊥DC 于 E
0
在 Rt△ADE 中， AE=BC=24, ∠A=30

∵ tan A=

3
∴ DE= ×24=8 3 ∴DC=21+8 3
3
答：乙楼的高度为（21+ 8 3）m。
图二
回顾与思考（第二课时）
1.【答案解析】利用特殊锐角三角函数值求角，再利用直角三角形中简单的边角关系，进而求之。.
2 3
解：∵sinA= ，∴∠A=45°, ∵tanB= ,∴∠B＝30°, ∴∠C=105°。
2 3
2.【答案解析】过点 A作 AD⊥BC 于点 D，
根据勾股定理求出 BD、AD 的长，再根据解直
角三角形求出 CD 的长，最后根据三角形的面积公式解答。
解：过点 A作 AD⊥BC 于点 D，∵∠B＝45°，
~ 32 ~
2 2
∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝ AB＝ × 2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝
2 2
AD 1 1 1
60°，∴∠C＝30°，∴CD＝ ＝ ＝ 3，∴S△ABC＝ (CD＋BD)·AD＝ ×( 3＋1)×1
tan30° 3 2 2
3
3＋1
＝ .
2
3.【答案解析】将要求的角转化为与它相等的角
∠CAD= B , sin∠CAD= sin B , 选 A
【变式】若 AD 为 CB 边上的中线，则有 AD=CD,则∠CAD=∠ACD,sin∠CAD=sinC,从而得到选项
是 B.
4.【答案解析】这题主要是构造直角三角形，利用 tan∠DBA。
1
已知 tan∠DBA= ,所以可以过 D作 DE⊥AB 于 E，把∠DBA 放于 Rt△DBE 中，然后根据正切函
5
数的定义，即可弄清 DE 与 BE 的长度关系，再结合等腰直角三角形的性质，问题迎刃而解.
解：过 D作 DE⊥AB 于 E∴△DBE 和△DEA 为 Rt△
1
∵tan∠DBE= = , ∴设 DE=x，则 BE=5x∴AB=DE+BE=6x
5
0
又∵△ACB 为等腰 Rt△ ∴∠A=45 ∴Rt△DEA 为等腰 Rt△
∴AE=DE=x ∴AD= 2x 又∵AC=6, AB= 2AC=6 2 ∴6x=6 2 ∴x= 2
∴AD= 2x= 2 × 2=2 即 AD=2
5.【答案解析】先构造直角三角形，以及坡角与仰角的应用。如图，延长 DC 交直线 EA 于点由
题意可知， DF EG ， BG EG ， DF //BG ， BG : AG CF : AF i 1: 2， AF 2CF .在 Rt
△ACF 中，AC 10 5 ，由勾股定理，得 AF
2 CF 2 AC 2 ，即5CF 2 500 ， CF 10，AF 20 ，
EF AE AF 5 20 25 FED 48 tan 48 DF 1.11 CD 10 .在 Rt△EDF 中， ， ，即 ，EF 25
解得CD 17.75（m），即古树 CD 的高度约为 17.75 m.故选 A。
6.【答案解析】要设计一个测量 HG 高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，
若已知 AD 的长度，再分别测在 A和 D两处观测的 H的仰角即可求出 H点距 AD 的高度.但要求
HG 的长度还需测得 DC 的高度，因此采用这种方法，需 4 个数据；若分别测得在 D和 C 两处
观测的 H的仰角再测出 DC 的长度也可以求出 HG 的长度，而采用这种方案需 3个数据，因此
本题最佳的解决方案有两套.有了方案第 3小题便可轻松解决了。
解：（1）延长 AD 交 HG 于 M，
方案 1：分别测量 AD=m，DC=n，在 A处测得 H的仰角为γ，在 D处测得 H的仰角为α。
（2）解设 HG=x，
HM x n x n
在Rt AHM中，tan AM
AM AM tan
~ 33 ~
Rt DHM tan HM x n x n在 中， DM
DM DM tan
x n x n又 AM DM m m
tan tan
x m tan tan n(tan tan ) m tan tan n
tan tan tan tan
即HG n m tan tan
tan tan
方 案 2 ：（ 1 ） 分 别 在 D 、 C 两 点 测 得 H 的 仰 角 为 α 、 β 及 DC 长 为 n
（2 HG x x）设HG x，在Rt CHG中， tan CG
CG CG tan
HM x n x n
在Rt DHM中， tan DM
DM DM tan
H
A γD α
m M
β
n
B C G
DM CG x x n
tan tan
n tan n tan
x 即HG
tan tan tan tan
m tan tan n tan
（重要的结论： HG n ， HG
tan tan tan tan
可以作为公式计算相关问题的物体高度。）
八、单元质量检测
5
1.【答案】
12
5 5
解：∵ ∠ = 90° ， = 12 ， = 5 ，∴ tan = = .故答案是： . 12 12
2.【答案】 A
3
解：∵sin（α﹣10°）＝ ，∴α﹣10°＝60° ∴α＝70°
2
3.【答案】 A
~ 34 ~
解：过点 A作 ⊥ ，如图所示，∵ = ， ⊥ ，
∴ = ，
∵ = ，∴ = cos = 2cos ，∴ = 2 = 4cos

4.【答案】 A
2
解：原式= 1 + 1
2
= 1 + 1 = 1.
2 2 4 4 2
5.【答案】 D
解： cosA<0.5，∴cosA60°.
6.【答案】 C
解：A.如图，
A.BC= 42 32 = 7 ，故不正确；
7 7 7 3 3 7 12 7
B. ∵sinA= = ，tanB= = = ，∴ sin < tan ，
4 28 7 7 28
故不正确；
C. cos = = 3 ，正确；
4
7 7
D. ∵tanA= ，cosB= ，∴ tan > cos ，故不正确
3 4
7.【答案】 C如图：AE⊥OB，在 Rt△AOE 中，AE=4，OE=2，∴ = 2 + 2 = 2 5 ，
4 2 5
∴sin∠AOB= = = .
2 5 5
2 5
8.【答案】
5
解：如图所示： 延长 AB，过 C作 CD⊥AB 交延长线于 D，
在 Rt△ADC 中，AD=4，CD=2，由勾股定理得
AC= 2+ 2 = 42 + 22 = 2 5 ，∴ cos = = 4 = 2 5 .
2 5 5
4
9.【答案】
5
解：过点 P（4，3）作 PQ⊥x 轴于点 Q，则 OQ=4，PQ=3，
~ 35 ~
4
∴OP= 2 + 2=5，∴cosα= = . 5
10.【答案】30
解：在 Rt△ABC 中，
= 90°, sin = 12 , = 13 sin = 12 = = ∵ ∠ ，∴ ，∴BC＝12，
13 13 13
由勾股定理可得：
1 1
= 2 2 = 132 122 = 5∴S△ABC＝ · = × 5 × 12 = 302 2
11.【解析】
（1）证明： ∵ ∠ = ∠ = 90° ，∴ // ，
在 中， // ， = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ △ ≌ △
( ) ，
∴ = ，∴四边形 是平行四边形
（2）解：∵ △ ≌ △ ，∴BE=DF，∵四边形 是平行四边形，∴ ∠ =
∠ ，
在 △ 中 = 5 ， tan∠ = 3 ，∴AE=3，BE=4.
4
∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，
∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
3
∴tan∠CBF= = ，tan∠ECF= = ，
+ 4+ 3
3
∴ = 4+ 3 ，得到 EF= 13 2 ，或 EF= 13 2 （舍去），
∴BD=4+4+ 13 2 = 6 + 13 ，即 BD= 6 + 13
12.【解析】
1
（1）解：∵B为 ' 中点，∴ = ' ，∵ '2 = 40 ，∴ = 20( )
（2）解：如图，过点 B作 ⊥ 于点 E.
∵ = ，∴ = 2 .∵ 平分 ∠ ,∠ = 140° ，
∴ ∠ = 1∠ = 70° .
2
在 △ 中， = 20 ，∴ = cos70° ≈ 20 × 0.34 =
6.8 ，
∴ = 2 = 13.6 .
∵ ' = 40 ，∴ 40 13．6 = 26.4( ) ，∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为 26.4
13.【解析】
（1）解：如图，过 作 垂直于坡底的水平线 于点 .
~ 36 ~
3
由已知，斜坡的坡比 = 1: 3 ，于是 ∠ = ，∴ 坡角∠ = 30 .
3
于是在 △ 中， = 30 = 25 ，即宿州市符离镇网红小山高为 25 米.
（2）解：设铁架的高 = .
在 △ 中，已知 ∠ = 60 ，于是 = =
3 ，
60 3
在 △ 中，已知 ∠ = 45 ，∵ = + = + = + 25 ，
又 = + = + = 25 3 + 3 ，由 = 3，得 + 25 = 25 3 +
3 3
.
∴ = 25 3 ≈ 43.3 ，即铁架高 43.3 米.
14.【解析】（1）解：由题意，知 = 32 + 32 = 3 2 .
∵ tan∠ = 3 = ，∴
2 = 2 2 .
如图，Rt△ABC 即为所求：
解：∵tan∠CBD=1，∴∠CBD=45°.
（1）如图所示，点 D和点 D′即为所求：
∴ = ' = 22 + 32 = 13
~ 37 ~

展开更多......

收起↑