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8.4 三元一次方程组的解法
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节课是在二元一次方程组的基础上学习三元一次方程组的概念和解法．通过解三元一次方程组进一步体会消元思想，同时为二次函数等知识的学习作准备。
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念；
2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。
新知导入
说一说：解二元一次方程组的基本思想是什么？基本方法有哪几种？
基本方法：代入消元法和加减消元法
基本思想：消元
二元一次方程组
一元一次方程
消元
探究新知
任务：探究三元一次方程组的解法
思考：小明手头有 12 张面额分别为 1 元、2 元、5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元、5 元纸币各多少张．
想一想：这个问题中含有____个相等关系．
1 元纸币的数量＋2 元纸币的数量＋5 元纸币的数量＝12 张
1 元纸币的总金额＋2 元纸币的总金额＋5 元纸币的总金额＝22 元
1 元纸币的数量＝2 元纸币的数量× 4
3
探究新知
任务：探究三元一次方程组的解法
解：设 1 元、2 元、5 元的纸币分别为 x 张、y 张、z 张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x＋y＋z＝12，
x＋2y＋5z＝22，
x＝4y．
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
探究新知
任务：探究三元一次方程组的解法
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
特点：（1）方程组中含有三个未知数；
（2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1；
（3）方程组中一共有三个方程。
探究新知
任务：探究三元一次方程组的解法
探究：怎样求三元一次方程组 的解？
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含 y，z 的方程：
4y＋y＋z＝12，
4y＋2y＋5z＝22．
它们组成方程组
得到二元一次方程组后，再根据之前学习的方法解方程组即可．
探究新知
任务：探究三元一次方程组的解法
三元一次方程组
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
典例分析
例1：解三元一次方程组
解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35 ④
　　①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝5，z＝－2 代入②，得
2×5＋3y－2＝9，
所以 y＝
因此，这个三元一次方程组的解为
典例分析
例2：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值．
分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
　　解：根据题意，得三元一次方程组
典例分析
②－①，得 a＋b＝1； ④
③－①，得 4a＋b＝10． ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把代入①，得 c＝－5．
因此
即 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．解方程组，最简便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解方程组：
解：，得，
，得，即，
，得，
把代入⑤，得，
把，代入①，得，
故原方程组的解为
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ．
课堂练习
【综合实践类作业】
幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.什么是三元一次方程组？
2.如何解三元一次方程组？
1．解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
B
2．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解方程组：
解：根据题意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得
，
得，
原方程组的解为．
下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
D
作业布置
【综合实践类作业】
聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则
，
得，
购A，B，C三样商品各一件共150元．
板书设计
课题：8.4 三元一次方程组的解法
一、三元一次方程组
二、三元一次方程组的解法
教师板演区
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第八章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法，能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 学业要求： 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代人消元法或加减消元法解二元一次方程组；关能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系。 3.了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重点、难点 重点： 理解二元一次方程（组）的有关概念；掌握二元一次方程组的解法——代入法、加减法；会用方程组来解决实际问题。 难点： 掌握消元法，能解二元一次方程组；会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元——解二元一次方程组38.3实际问题与二元一次方程组28.4三元一次方程组的解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1 二元一次方程组1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.了解二元一次方程的概念及二元一次方程的解 2.了解方程组、二元一次方程组的概念及二元一次方程组的解活动：探究二元一次方程组及其相关概念8.2.1 代入法解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用代入法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究代入消元法解二元一次方程组8.2.2 加减法解二元一次方程组1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用加减法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究加减消元法解二元一次方程组8.2.3 选择适当方法解二元一次方程组能选择适当方法解二元一次方程组能根据二元一次方程组的具体情况，选择合适的解法活动：选择适当方法解二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究1、28.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究38.4 三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．1.了解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组活动：探究三元一次方程组的解法
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分课时教学设计
第八课时《 8.4 三元一次方程组的解法 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在二元一次方程组的基础上学习三元一次方程组的概念和解法．通过解三元一次方程组进一步体会消元思想，同时为二次函数等知识的学习作准备。
学习者分析 在此之前，学生已学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法等有关内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
教学目标 1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。
教学重点 会用代入法或加减法解三元一次方程组。
教学难点 会解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 说一说：解二元一次方程组的基本思想是什么？基本方法有哪几种？ 预设： 基本思想：消元 基本方法：代入消元法和加减消元法 学生活动1： 学生回答问题活动意图说明： 通过复习解二元一次方程组的基本思想和基本方法，为进一步学习解三元一次方程组做好铺垫。环节二：知识探究教师活动2： 思考：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张． 想一想：这个问题中含有____个相等关系． 预设：3 1元纸币的数量＋2元纸币的数量＋5元纸币的数量＝12张 1元纸币的总金额＋2元纸币的总金额＋5元纸币的总金额＝22元 1元纸币的数量＝2元纸币的数量×4 试一试：你能设出未知数，并根据相等关系列出方程吗？ 解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程： x＋y＋z＝12， x＋2y＋5z＝22， x＝4y． 指出：这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 归纳：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 特点：（1）方程组中含有三个未知数； （2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1； （3）方程组中一共有三个方程。 探究：怎样求三元一次方程组的解？ 讲解：仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程： 4y＋y＋z＝12， 4y＋2y＋5z＝22． 它们组成方程组 得到二元一次方程组后，再根据之前学习的方法解方程组即可． 归纳：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 学生活动2： 学生读题后，寻找数量关系，在合作探究中设出未知数，并列出方程，然后听老师讲解三元一次方程组，并和老师一起探究三元一次方程组的解法。活动意图说明： 通过思考问题，引出三元一次方程和三元一次方程组，并类比二元一次方程组的概念，给出三元一次方程组的概念，类比二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法，让学生尝试用消元的思想解三元一次方程组。环节三：例题讲解教师活动3： 例1：解三元一次方程组 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得 2×5＋3y－2＝9， 所以y＝ 因此，这个三元一次方程组的解为 追问：你还有其它的解法吗？ 例2：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值． 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①，得a＋b＝1；④ ③－①，得4a＋b＝10．⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把代入①，得c＝－5． 因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5．学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识解决实际问题，并在解三元一次方程组的过程中，体会“消元”思想，以及怎么消元，先消哪个元，以提高学生的解三元一次方程组的能力。
板书设计 课题：8.4 三元一次方程组的解法一、三元一次方程组 二、三元一次方程组的解法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．解方程组，最简便的消元方法是（ ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 答案：B 2．方程组的解是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．解方程组： 解：，得， ，得，即， ，得， 把代入⑤，得， 把，代入①，得， 故原方程组的解为． 选做题： 在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ． 答案： 【综合拓展类作业】 幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 答案：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．解方程组时，要使解法较为简便，应（ ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 答案：B 2．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 答案： 3．解方程组：． 解：根据题意： 由①②得④， 由②③得⑤， ④⑤得， 得， 把代入④得， 得， 把、代入③得， 得， 原方程组的解为． 选做题： 下列四组数值中，是方程组的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则 ， 得， 购A，B，C三样商品各一件共150元．
教学反思 本节课主要内容是学习三元一次方程组的解法，由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以先结合实例运用类比法学习三元一次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元一次方程组，尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多类似之处，毕竟三元一次方程组复杂的多，所以在教学过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识。
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