资源简介

《2.3 一元二次不等式》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
（1） 了解方程、不等式、函数的图像之间的联系； （2） 掌握一元二次不等式的图像解法． （1）通过一元二次不等式的学习，培养计算技能和观察能力。 （2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能。
学习重难点
重点 难点
（1） 方程、不等式、函数的图像之间的联系； （2）一元二次不等式的解法． 一元二次不等式的解法．
教材分析
一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，由于它是高中数学的重要基础，而且也有非常广泛的应用，所以本节内容教学在中学数学教学中有重要的地位。
学情分析
学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，基本上掌握了一元二次方程和二次函数的基本知识，学生为中职一年级学生，普遍基础较差，对知识的理解处于模糊阶段，因此借助图像直观学习和理解数学，以使学生更好理解知识．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？
观察函数的图像：
方程的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式的解集；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式的解集．
由此看到，通过对函数的图像的研究，可以求出不等式与的解集．
当a＞0时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和二次函数y＝ax2＋bx＋c之间有下表所示结论．
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的实数解的个数 2 2 0
y=ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的图象与x轴交点个数 2 1 0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
图像在轴上方的部分所对应的函数值，即ax2＋bx＋c＞0，
图像在轴下方的部分所对应的函数值，即ax2＋bx＋c＜0．
像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax2＋bx＋c＞0 （a．
上面不等式中的”>”也可以换成”<”、 或
例如，， ，等都是一元二次不等式．
一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如 ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c＞0这样的一元二次不等式呢？
【设计意图】复习相关知识内容,强化知识点的内在联系,突出数形结合明确定义
（二）调动思维，探究新知
分析 一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系.
如图(1)所示，二次函数的图像与轴交于两点，方程的解是，也就是抛物线与轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．
如图(2)所示，当 -1 < x < 3 时，函数的图像位于x 轴的下方，此时 y < 0 .
由此得到，不等式的解集为(-1,3)；
如图(3)所示，当 x<-1 或 x>3 时，函数的图像位于 x 轴的上方，此时 y>0 .
不等式的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)．
按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 ( a>0 )和 ax2＋bx＋c<0 ( a>0 )的求解方法：
先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．
假设
【设计意图】引导学生经历由特殊到一般的提炼过程, 强化图像作用熟练数形结合应用, 综合归纳便于学生理解记忆,强化求解步骤使学生进一步明确方法
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】求下列一元二次不等式的解集：
(1)
(2)
(3)
解 （1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程的解为，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式的解集为．
（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程的解为，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式的解集为．
（3）因为不等式的二次项系数2＞0，对应方程无实数根（），对应的二次函数的图像如图所示．
所以不等式的解集为．
【典例2】若有意义，试求的取值范围．
解 要使有意义，应该满足不等式．
因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程的解为，对应的二次函数的图像如图所示．
所以不等式 的解集为,
即当时，有意义．
探究与发现
如何求解一元二次不等式？
当二次项系数a＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘 1，不等号方向改变，就可以将a＜0的情形转化为a＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．
【典例3】求一元二次不等式的解集．
解 因为不等式的二次项系数为-1<0，，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式，其对应方程的解为，对应的二次函数图像如图所示．所以不等式0的解集为.
即不等式的解集为.
【设计意图】强化一元二次不等式的解题思路
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】解下列各一元二次不等式：
（1）； （2）；
（3）；（4）．
分析 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．
解　（1）因为二次项系数为，且方程的解集为，故不等式的解集为．
（2）可化为，因为二次项系数为，且方程的解集为，故的解集为．
（3）中，二次项系数为，将不等式两边同乘，得．由于方程的解集为．故不等式的解集为，即的解集为．
（4）因为二次项系数为，将不等式两边同乘，得．由于判别式，故方程没有实数解．所以不等式的解集为，即的解集为．
【巩固2】是什么实数时，有意义．
解　根据题意需要解不等式 ．解方程得．由于二次项系数为，所以不等式的解集为．
即当时，有意义．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 不等式的解集为( )．
2 ．不等式解集为( )．
3 ．不等式解集为( )．
4 ．求下列一元二次不等式的解集：
5.当x在什么范围取值时，有意义？
6．若一元二次方程无实数解，求m的取值范围．
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步理解区间的概念。
通过反思，让学生对自己知识掌握程度有更清楚的认识，同时培养学生良好的学习习惯。
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节2.3；
(2)书面作业： P58习题2.3的1，2，3，4.
（八）教学反思

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