资源简介

《4.2 弧度制》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
⑴ 理解弧度制的概念； ⑵ 理解角度制与弧度制的换算关系. （1）会进行角度制与弧度制的换算； （2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算； （3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
学习重难点
重点 难点
弧度制的概念，弧度与角度的换算． 1弧度角的定义的理解．
教材分析
本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位，并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用.
学情分析
在前面的学习中，学生在初中学习了角度制度量角的大小，还学习了角度制下的弧长公式。大部分学生已经熟练掌握了角度值的知识，为学生学习弧度制打下基础，作为高一的学生，学生已具备一些基本数学能力，有了一定的数学素养，这对学习很有帮助.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 日常生活中，有些量可以用不同的单位进行度量．如，度量温度可以用℃ (摄氏温度) 、 F (华氏温度) 、 K (热力学温度)等不同单位．
开尔文温度：T=t+273.15K 摄氏温度：t=T-273.15℃ 华氏温度：F=(9/5)t+32
在义务教育阶段, 用角度制来度量角．即把一个周角 360等分, 每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．用角度制度量角用的是六十进制, 而日常的运算多数是十进制, 能否建立一种十进制的度量体系来度量角呢？
在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？
【设计意图】引导学生主动观察思考发现规律，激发学生求知欲.
（二）调动思维，探究新知
显然，半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 周长为2πcm，周长为4πcm，周长为10πcm
，可见，在不同半径的圆中, 同一度数角的弧长与其半径之比是相等的.
在半径为r的圆中,1°的圆心角所对的弧长与半径之比为, 因此 x°的圆心角所对的弧长 l 与半径之比为. 即 x°的圆心角所对的弧长与半径之比仅与角的大小 x 有关. 因此,可以用弧长和半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的值．
规定，弧长等于半径(即) 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”) ．
以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 .
同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
半径为r的圆中, 长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α, 那么. ，
其中,角α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
因为半径为r的圆的周长是2πr，所以周角的弧度数是,故有
360°=2π rad 或 180°=π rad.
由此可得弧度制与角度制的换算公式：
【设计意图】通过观察与思考参与概念形成，感觉知识形成乐趣.
温馨提示
用弧度制表示角时,可以省略单位“rad”．如“2rad”可以写成“2”．
但是,在用角度制表示角时,不能省略单位“°”.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】把 100°转换为弧度.
解 100°=（ 100°）
【典例2】 把转化成角度．.
解
【典例3】扇形的圆心角为α(0＜α＜2π) ，半径为r，弧长为l，扇形面积为S，求证：(1) l=αr ; (2)
证明 (1)因为，而0＜α＜2π，所以，即l=αr
（2）因为圆心角为1 rad的扇形面积为
所以圆心角为α的扇形面积为
【典例4】 利用科学型计算器进行角度与弧度的转换：
(1)把67°30′转换为弧度(保留到小数点后第2位)；
(2)把3.14rad转换为角度(保留到小数点后第2位)．
分析 利用科学型计算器进行角度与弧度的转换时，应先确定角的度量单位．设置角的度量单位为
“度”或“弧度”的方法是：依次按键：SHIFT→MODE SETUP→3(角度制模式)或4(弧度制模式).
(1)第一步：将科学型计算器设为弧度制模式：
第二步：输入67°30′，并把它转换为弧度：
结果显示1.178097245．
因此， 67°30′≈1.18rad．
(2)第一步：将科学型计算器设为角度制模式：
第二步：输入3.14rad，并把它转换为角度：
结果显示179.9087477．
因此， 3.14 rad≈179.91°．
温馨提示
一些特殊角的角度值和弧度值的对应关系：
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 　 　 　 　 　 　 π 　 2π
【设计意图】巩固角度与弧度转化常用方法，以证明题方式给出弧度制下弧长和扇形面积公式.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)：
⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶ 100°．
分析 角度制换算为弧度制利用公式1°=．
解 ⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
【巩固2】把下列各弧度换算为角度（精确到1′）：
⑴ ； ⑵ 2.1； ⑶ 3.5．
分析 弧度制换算角度制利用公式．
解 ⑴
⑵ ；
⑶ 3.5．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1．把下列角度转换为弧度．
(1)22°； (2) 210°； (3) 1200°．
2．把下弧度转换为角度．
3．经过4h，时钟的时针和分针各转了多少度，转换为弧度是多少？
4．用弧度制表示终边在x轴上的角的集合.
5．已知一个扇形的半径为10 cm，圆心角为1.2rad，求该扇形的弧长和面积．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.2；
(2)书面作业： P137习题4.2的1，2，3，4.
（八）教学反思

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