资源简介

《4.7 余弦函数的图像和性质》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
了解余弦函数的图像和性质． (1) 认识周期现象，以余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．
学习重难点
重点 难点
余弦函数的图像及性质 余弦函数的性质．
教材分析
学生上节课学习了正弦函数的图像性质，本节课是在此基础上来学习余弦函数的图象和性质.
学情分析
学生在学习本节内容之前已学习了正弦函数的图像和性质，具有一定的数学思想方法，但中职学生分析问题的能力不够深刻、严谨，所以本节内容的推导对学生有一定的难度.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sinx, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．
对于余弦函数y＝cosx, x∈R, 可否用同样的方法来研究？
【设计意图】 通过类比强调知识间的联系.
（二）调动思维，探究新知
用描点法作出余弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
(1)列表.
把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cosx在各分点及区间端点的正弦函数值.
x ┅ 0 　 　 　 　 　 　 π 　 2π
cosx ┅ 1 0 - -1 - - 0 1
(2)描点作图.
根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cosx在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.
由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知, 将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函 y＝cos x, x∈R的图像.
余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．
若将正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？
探究与发现
若将正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？
观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
(1)定义域.
余弦函数的定义域是实数集R.
(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].
当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, ymax=1;
当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, ymin=1.
(3) 周期性.
余弦函数是周期为2π的周期函数．
(4) 奇偶性.
由图像关于y轴对称和诱导公式cos( x)=cosx可知, 余弦函数是偶函数．
(5) 单调性.
余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．
【设计意图】学生通过观察思考参与知识形成过程，感受探索与发现的乐趣，强调函数周期性在函数作图中的作用.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】 利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像．
解 (1)列表.
x 0 π 　 2π
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
(2)根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cosx在[0,2π]上的图像.
【典例2】求函数y＝3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．
解 由余弦函数的性质知,-1≤cosx≤1 ,所以-3≤3 cosx≤3 ,
从而 -2≤3 cosx+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.
故函数的最大值为4，最小值为-2.
函数y＝3cosx＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};
函数y＝3cosx＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．
【典例3】 不求值比较下列各组数值的大小：
；
解 根据余弦函数的图像和性质可知：
(1) 因为, 余弦函数y=cosx在区间[0, π,]上是减函数, 所以
(2) 因为 , 余弦函数y=cosx在区间[-π,0]上是增函数, 所以
【设计意图】强调“五点法作图”在余弦函数作图中的作用，初步利用余弦函数图象解决问题.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】求使函数y=sin2x取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．
解 设，则使函数取得最大值1的集合是
，
由 ,
得 ．
故所求集合为 ，
函数的最大值是．
（五）巩固练习，提升素养
1. 用五点法作出函数y=cosx -1在[0, 2π]上的图像．
2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．
3. 不求值，比较下列各组数的大小.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.7；
(2)书面作业： P178习题4.7的2，3,4.
（八）教学反思

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