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考试频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
相交线 （1）相交线：有且只有一个公共点 （2）邻补角：互补 （3）对顶角：相等 （4）垂直：垂线段最短 （5）三线八角：同位角，内错角，同旁内角
1．邻补角与对顶角
（1）相交线：有且只有一个公共点的两直线是相交线．相交是同一平面内两条直线的一种位置关系．
（2）邻补角
①定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
②注意：邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
（3）对顶角
①定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
②性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
（4）邻补角与对顶角的相同点：
①都是两个角之间的关系，要成对出现；
②对顶角与邻补角都有公共顶点．
2．垂线与垂线段
（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD．
（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度．
（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．
（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外．
（5）垂线的画法
一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（7）点到直线的距离的定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角
定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ．
（2）内错角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”．
（3）同旁内角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”．
考点目录
考点1 认识对顶角、邻补角 3
考点2 相交线中的角度计算 5
考点3 垂线和垂线段 8
考点4 识别“三线八角” 10
考点1 认识对顶角、邻补角
1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． 2．邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
【例1】　（2023秋 沙坪坝区期末）下列各图中，与互为对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【解答】解：、与不是对顶角，故选项不合题意；
、与的两边互为反向延长线，是对顶角，故选项符合题意；
、与互补，在同一条直线上，故选项不合题意；
、与不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：．
【例2】　（2023秋 罗山县期末）如图所示各图中，与是对顶角的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的定义判断即可．
【解答】解：、与没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；
、与符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意；
、与不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
、与不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：．
【例3】　（2023秋 上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的定义进行选择即可．
【解答】解：只有两直线相交时，才产生对顶角
与是对顶角的是，
故选：．
考点2 相交线中的角度计算
1．对顶角的性质：对顶角相等． 2．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 3．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个． 邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【例1】　（2023秋 万州区期末）如图，已知直线与相交于点，，若，则的补角的度数为 　　．
【答案】．
【分析】根据平角的定义求出，根据互余求出，即可求的补角答案．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
的补角为，
故答案为：．
【例2】　（2022秋 云梦县期末）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的补角的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，再根据补角的定义求出结果即可；
（2）得出，再根据，求出，最后求出结果即可．
【解答】解：（1）平分，，
，
的补角的度数为：．
（2），
，
又，
，
，
．
【例3】　（2023春 二七区校级月考）如图，射线，把分成三个角，且度数之比是，射线平分，射线平分，且，求的补角的度数．
【答案】．
【分析】（1）设，，，依据，即可得到的值，进而得出的度数；
（2）依据的度数，即可得到的补角的度数．
【解答】解：设，，，则，
平分，平分，
，，
，
又，
，
即，
解得，
，
的补角的度数为．
考点3 垂线和垂线段
1．抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解． 2．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 3．垂线的定义与垂线段的性质 （1）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角． （2）线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上． （3）垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． （4）垂线的应用：结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算．
【例1】　（2023秋 渝北区期末）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知可设，则，再根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义列出关于的方程，进行计算可得，再根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：，
设，则，
平分，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故选：．
【例2】　（2023秋 衡山县期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　　
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】
【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：．
【例3】　（2023秋 泉州期末）如图，下列线段中，长度最短的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：点是直线外一点，从点向直线引，，，四条线段，其中只有与垂直，这四条线段中长度最短的是．
故选：．
考点4 识别“三线八角”
1．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型． 2．在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线． 3．这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【例1】　（2023秋 衡山县期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是　　
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】
【分析】利用同位角定义进行解答即可．
【解答】解：图①②④中，和是同位角，
故选：．
【例2】　（2023春 丽水期末）如图，下列各角与是内错角的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、与是同旁内角，故不符合题意；
、与是内错角，故符合题意；
、与不是内错角，故不符合题意；
、与是同位角，故不符合题意；
故选：．
【例3】　（2023春 兴宾区期末）如图，直线，被直线所截，下列说法中不正确的是　　
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
【答案】
【分析】根据对顶角、同旁内角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【解答】解：、与是对顶角，故原题说法正确；
、与是同位角，故原题说法正确；
、与是同旁内角，故原题说法错误；
、与是内错角，故原题说法正确；
故选：．
1．（2024春 成都校级期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求出答案．
【解答】解：平分，
，
，
．
故选：．
2．（2023秋 邓州市期末）如图所示，和是　　
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】
【分析】根据同旁内角的定义和图形，可以判断和的关系，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
和是同旁内角，
故选：．
3．（2024 广东一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”．为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成　　
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成同位角．
故选：．
4．（2024 惠州模拟）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是　　
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：，
要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是垂线段最短．
故选：．
5．（2024春 庐江县期中）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出．
【解答】解：设，，
，
，
射线平分，
，
，
，
解得，
，
，
故选：．
6．（2024春 长清区期中）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据垂直定义得，，再根据周角定义得，据此得，由此可求出的度数．
【解答】解：，，
，，
又，，
，
，
故选：．
7．（2024春 潍城区期中）如图，点在直线上，，，平分，则的度数为 　 ．
【答案】59．
【分析】先根据邻补角的定义求出，进而可根据角平分线定义求出，然后根据可得出的度数．
【解答】解：点在直线上，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：59．
8．（2024春 南昌县期中）如图，直线、相交于点，，为垂足，如果，则　　．
【分析】首先由垂直定义得，易求出，再根据与互余求出．
【解答】解：，
，
又，
，
与互补，
．
故答案为：．
9．（2023秋 南浔区期末）如图，已知直线、相交于点，平分，射线在内部．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据对顶角得到性质得到，根据邻补角的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，，根据余角的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）直线、相交于点，
，
，
平分，
；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
10．（2023秋 大丰区期末）如图，直线、相交于点，过点作，射线平分，求：
（1）写出与的大小关系：　　，判断的依据是 　　；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）与的大小关系：，判断的依据是对顶角相等，
故答案为：，对顶角相等；
（2）射线平分，，
，
，
，
，
的度数为．
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考试频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
相交线（1）相交线：有且只有一个公共点（2）邻补角：互补（3）对顶角：相等（4）垂直：垂线段最短（5）三线八角：同位角，内错角，同旁内角
1．邻补角与对顶角
（1）相交线：有且只有一个公共点的两直线是相交线．相交是同一平面内两条直线的一种位置关系．
（2）邻补角
①定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
②注意：邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
（3）对顶角
①定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
②性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
（4）邻补角与对顶角的相同点：
①都是两个角之间的关系，要成对出现；
②对顶角与邻补角都有公共顶点．
2．垂线与垂线段
（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD．
（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度．
（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．
（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外．
（5）垂线的画法
一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（7）点到直线的距离的定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角
定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ．
（2）内错角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”．
（3）同旁内角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”．
考点目录
TOC \o "1-3" \h \z \u 考点1 认识对顶角、邻补角 3
考点2 相交线中的角度计算 5
考点3 垂线和垂线段 8
考点4 识别“三线八角” 10
考点1 认识对顶角、邻补角
1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2．邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
【例1】　（2023秋 沙坪坝区期末）下列各图中，与互为对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【例2】　（2023秋 罗山县期末）如图所示各图中，与是对顶角的是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023秋 上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
考点2 相交线中的角度计算
1．对顶角的性质：对顶角相等．2．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．3．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【例1】　（2023秋 万州区期末）如图，已知直线与相交于点，，若，则的补角的度数为 　　．
【例2】　（2022秋 云梦县期末）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的补角的度数；
（2）若，求的度数．
【例3】　（2023春 二七区校级月考）如图，射线，把分成三个角，且度数之比是，射线平分，射线平分，且，求的补角的度数．
考点3 垂线和垂线段
1．抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解．2．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．3．垂线的定义与垂线段的性质（1）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角．（2）线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上．（3）垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量．（4）垂线的应用：结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算．
【例1】　（2023秋 渝北区期末）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 衡山县期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　　
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【例3】　（2023秋 泉州期末）如图，下列线段中，长度最短的是　　
A． B． C． D．
考点4 识别“三线八角”
1．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型．2．在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线．3．这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【例1】　（2023秋 衡山县期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是　　
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【例2】　（2023春 丽水期末）如图，下列各角与是内错角的是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023春 兴宾区期末）如图，直线，被直线所截，下列说法中不正确的是　　
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
1．（2024春 成都校级期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
2．（2023秋 邓州市期末）如图所示，和是　　
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
3．（2024 广东一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”．为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成　　
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
4．（2024 惠州模拟）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是　　
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（2024春 庐江县期中）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则　　
A． B． C． D．
6．（2024春 长清区期中）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
7．（2024春 潍城区期中）如图，点在直线上，，，平分，则的度数为 　 ．
8．（2024春 南昌县期中）如图，直线、相交于点，，为垂足，如果，则　　．
9．（2023秋 南浔区期末）如图，已知直线、相交于点，平分，射线在内部．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
10．（2023秋 大丰区期末）如图，直线、相交于点，过点作，射线平分，求：
（1）写出与的大小关系：　　，判断的依据是 　　；
（2）若，求的度数．

相交线与平行线（1）
专题 01
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