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考试频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
1．平行线 （1）平行线的定义和画法 （2）平行公理及推论 （3）平行线的判定 （4）平行线的性质 2．命题 3．平移
一、平行线
1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
（5）平行线的表示
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
二、命题
1．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
2．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
三、平移
1．平移的定义
（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移．
（2）要素：一是平移的方向，二是平移的距离．
2．平移的性质
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
考点目录
考点1 平行线及其判定 4
考点2 平行线的性质 8
考点3 命题与定理 11
考点4 平移 13
考点5 折叠 15
考点1 平行线及其判定
1．平行线 （1）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线． （2）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可． （3）平行线的画法 一落：把三角尺一边落在已知直线上； 二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四画：沿三角尺过已知点的边画直线． （4）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 注意：强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性． 2．平行线的判定 （1）方法 同位角相等，两直线平行． 内错角相等，两直线平行． 同旁内角互补，两直线平行． （2）思路 ①定：确定已知条件是位置关系还是数量关系； ②选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明． （3）步骤 ①分离“三线八角”． ②识别两角的位置关系． ③根据平行线判定方法进行判断． （4）实际应用 先明确要判定平行的直线及截线，再找到相关的“三线八角”，利用“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行．
【例1】　（2023秋 原阳县校级期末）如图，点在延长线上，下列条件能判断的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【解答】解：、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，故选项错误；
、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得，不能证，故选项错误；
、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，故选项错误；
、根据内错角相等，两直线平行即可证得，故选项正确．
故选：．
【例2】　（2023秋 射洪市期末）如图，下列条件中不能判定的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：、，
，
因为“同旁内角互补，两直线平行”，
所以本选项不能判断，符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意．
故选：．
【例3】　（2023秋 东明县期末）已知：如图，与相交于点，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据可得，则，再由可得，以此即可证明．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
考点2 平行线的性质
1．只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．解决问题时，需仔细观察图形，必要时能灵活适当地作出辅助线求解． 2．解决平行线性质求角度的问题，首先回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和等关系等来求解． 3．利用平行线的性质和判定来解决生活中的问题，还要掌握相关的知识和常识．如：汽车两次拐弯后行驶方向仍然平行→两次拐弯转角相等；平面镜反射光线问题→入射角等于反射角；木工用角尺画平行线→垂直于同一直线的两条直线平行，或同位角相等，两直线平行；光线入水→入水前的光线互相平行，入水后的光线也互相平行；涉及方位角的问题→不同地点指北方向线是平行的（指南、指西、指东的方向线也是平行的）．
【例1】　（2023秋 沙坪坝区期末）如图，，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，即可求出．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【例2】　（2023秋 都昌县期末）如图，于，于，点在边上，且，
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）由垂直的定义可得，再根据平行线的判定可证明；
（2）由条件可证明，结合（1）的结论，根据平行线的性质可证明．
【解答】证明：
（1）于，于，
，
；
（2），
，
，
，
．
【例3】　（2023秋 南召县期末）如图，直线，，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：（已知），
①　　②　　．
又，（已知），
（等式的性质）．
③　　．
④　　⑤　　⑥　　．
⑦　　⑧　　．
【分析】根据平行线的性质得出，求出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
又，（已知），
（等式的性质）．
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换；；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等．
考点3 命题与定理
1．根据命题的定义判断一句话是不是命题，关键是看它是否作出了肯定或否定的判断，而不看这句话正确与否． 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论． 2．由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论．证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、定理、基本事实（也叫公理）等．在同一个题中前面得到的结论，也可以作为后面推理的依据．
【例1】　（2023秋 夏县期末）下列命题中，是真命题的是　　
A．同位角相等
B．垂直于同一直线的两直线平行
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】
【分析】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．
【解答】解：、前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误，
、垂直于同一直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误，
、相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误，
、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题．
故选：．
【例2】　（2023秋 驿城区校级期末）下列命题是真命题的是　　
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可以判断选项；
根据对顶角的性质以及定义可以判断选项；
根据在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行可以判断选项
根据过直线外一点有且只有一直线与已知直线平行可以判断选项．
【解答】解：、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，符合题意；
、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，不符合题意；
、当被截的直线平行时形成的同旁内角才互补，故错误，不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不符合题意；
故选：．
【例3】　（2023秋 淮阳区期末）如图，有如下三个论断：
①；②；③，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明．
【答案】若，，则．证明见解析部分．
【分析】可以有①②得到③（答案不唯一）．
【解答】解：可以选①②③．
即：若，，则．
理由：，
，
，
，
．
考点4 平移
1．定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移． 2．要素：一是平移的方向，二是平移的距离． 3．平移的特征： （1）平移不改变图形的形状和大小； （2）连接各组对应点的线段平行且相等． 4．作图-平移变换 确定平移方向和距离，即向哪个方向平移几格，据此找出原图形中各个关键点的对应点，然后按原图形顺序依次连接，再按要求标注字母． 5．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等． 6．在解决面积问题时，如果图形是不规则图形或者是由几个图形组成的，可设法将图形转化为规则的图形求面积，平移可作为其中的一种手段． 若不能直接求，可采用“大减小”的办法，比如找一个不大不小恰好能框住原图形（或平移后的图形）的长方形，用它的面积减去多余部分的面积．
【例1】　（2023秋 淄川区期末）如图，将沿方向平移到，若，之间的距离为2，，则等于　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得和的长，再结合图形可直接求解．
【解答】解：将沿方向平移到的位置，点，之间的距离为2，
，
，
，
故选：．
【例2】　（2021春 南关区期末）如图，将周长为12的沿边向右平移3个单位，得到，则四边形的周长为 　　．
【答案】18．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长的周长代入数据计算即可得解．
【解答】解：沿方向平移2个单位得到，
，
四边形的周长
的周长
．
故答案为：18．
【例3】　（2023秋 沂源县期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为　　．
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为，宽为，
阴影部分的面积，
故答案为：18．
考点5 折叠
1．折叠是一种重要的图形变换，平行线的判定和性质是本学期乃至整个初中数学的重点内容，两者相结合，难度大大增加，既考查学生的几何抽象能力，又能培养学生的应用意识． 2．运用折叠前后的角相等转化角度→结合邻补角的性质进行计算→运用平行线的性质解决问题．
【例1】　（2023秋 泗洪县期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，，两点落在，处，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数．
【解答】解：把一张长方形的纸按图那样折叠后，，两点落在，处，
，
，，
．
故选：．
【例2】　（2023秋 郯城县期末）将长方形沿折叠，得到如图的图形，已知，则的度数是 　　．
【答案】．
【分析】先根据折叠的性质得到，然后根据题意，由即可求解．
【解答】解：为平角，，
，
将长方形沿折叠后，就是的角平分线，
．
【例3】　（2023春 澧县期末）如图，将一个长方形纸片沿所在直线折叠，使得点，的对应点分别为点，，交于点，过点作，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：平分．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据折叠可得，再根据求出，再求出的度数即可；
（2）根据平行线的性质得出，，，再根据折叠得出即可．
【解答】解：由折叠可得，
，
，
，．
（2）证明：，，
，，，
由折叠可知，，
，
平分．
1．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由得，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知，
，
，
，
故选：．
2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
3．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角板得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，和交于点，
由三角板可知：，，
，
，
，
故选：．
4．如图，已知，，，点是线段延长线上一点，且．以下结论错误的是　　
A． B． C．平分 D．
【答案】
【分析】根据，结合，得到即可判断项，再结合，得到，即可判断项，根据，得到角的关系，即可判断项，根据前面的判断，即可解题．
【解答】解：，
，
，
，
，
故正确，不符合题意．
，
，
，
故正确，不符合题意．
，
，
，
，
，
故正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明平分，故错误，符合题意；
故选：．
5．如图，，，，则　　度．
【分析】先根据求出的度数，再由即可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：108．
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 　　．
【答案】．
【分析】由平角得，，由平行线性质得，，故．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，
．
7．如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则　　．
【分析】先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
【解答】解：四边形是矩形，
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
8．完成下面推理过程：
已知：如图，已知，，．
求证：．
证明：，，（已知）
　　　　．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
． 　　
又，（已知）
　　．（等量代换）
． 　　
【答案】；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理和平行线的性质及等量代换填空即可．
【解答】证明：，，（已知）
．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
．（两直线平行，同位角相等．
又，（已知）
．（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
9．已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
【答案】（1）．理由见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出，再根据条件，即可得到，进而判定．
（2）根据平行线的性质，得到，根据角平分线的定义，可得到，即再根据平行线的性质即可得出的度数．
【解答】解：（1）．
理由：，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，
，
，
．
10．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，．求证：．
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据同位角相等，直线平行，即可证明结论．
【解答】证明：，
，
，
，
，
，
．
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考试频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
1．平行线（1）平行线的定义和画法（2）平行公理及推论（3）平行线的判定（4）平行线的性质2．命题3．平移
一、平行线
1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
（5）平行线的表示
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
二、命题
1．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
2．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
三、平移
1．平移的定义
（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移．
（2）要素：一是平移的方向，二是平移的距离．
2．平移的性质
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
考点目录
TOC \o "1-3" \h \z \u 考点1 平行线及其判定 4
考点2 平行线的性质 8
考点3 命题与定理 11
考点4 平移 13
考点5 折叠 15
考点1 平行线及其判定
1．平行线（1）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．（2）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．（3）平行线的画法一落：把三角尺一边落在已知直线上；二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四画：沿三角尺过已知点的边画直线．（4）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．注意：强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．2．平行线的判定（1）方法同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．（2）思路①定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；②选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明．（3）步骤①分离“三线八角”．②识别两角的位置关系．③根据平行线判定方法进行判断．（4）实际应用先明确要判定平行的直线及截线，再找到相关的“三线八角”，利用“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行．
【例1】　（2023秋 原阳县校级期末）如图，点在延长线上，下列条件能判断的是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 射洪市期末）如图，下列条件中不能判定的是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023秋 东明县期末）已知：如图，与相交于点，，．求证：．
考点2 平行线的性质
1．只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．解决问题时，需仔细观察图形，必要时能灵活适当地作出辅助线求解．2．解决平行线性质求角度的问题，首先回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和等关系等来求解．3．利用平行线的性质和判定来解决生活中的问题，还要掌握相关的知识和常识．如：汽车两次拐弯后行驶方向仍然平行→两次拐弯转角相等；平面镜反射光线问题→入射角等于反射角；木工用角尺画平行线→垂直于同一直线的两条直线平行，或同位角相等，两直线平行；光线入水→入水前的光线互相平行，入水后的光线也互相平行；涉及方位角的问题→不同地点指北方向线是平行的（指南、指西、指东的方向线也是平行的）．
【例1】　（2023秋 沙坪坝区期末）如图，，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 都昌县期末）如图，于，于，点在边上，且，
（1）求证：；
（2）求证：．
【例3】　（2023秋 南召县期末）如图，直线，，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：（已知），
①　　②　　．
又，（已知），
（等式的性质）．
③　　．
④　　⑤　　⑥　　．
⑦　　⑧　　．
考点3 命题与定理
1．根据命题的定义判断一句话是不是命题，关键是看它是否作出了肯定或否定的判断，而不看这句话正确与否．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论．2．由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论．证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、定理、基本事实（也叫公理）等．在同一个题中前面得到的结论，也可以作为后面推理的依据．
【例1】　（2023秋 夏县期末）下列命题中，是真命题的是　　
A．同位角相等
B．垂直于同一直线的两直线平行
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一直线的两直线平行
【例2】　（2023秋 驿城区校级期末）下列命题是真命题的是　　
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【例3】　（2023秋 淮阳区期末）如图，有如下三个论断：
①；②；③，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明．
考点4 平移
1．定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移．2．要素：一是平移的方向，二是平移的距离．3．平移的特征：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）连接各组对应点的线段平行且相等．4．作图-平移变换确定平移方向和距离，即向哪个方向平移几格，据此找出原图形中各个关键点的对应点，然后按原图形顺序依次连接，再按要求标注字母．5．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．6．在解决面积问题时，如果图形是不规则图形或者是由几个图形组成的，可设法将图形转化为规则的图形求面积，平移可作为其中的一种手段．若不能直接求，可采用“大减小”的办法，比如找一个不大不小恰好能框住原图形（或平移后的图形）的长方形，用它的面积减去多余部分的面积．
【例1】　（2023秋 淄川区期末）如图，将沿方向平移到，若，之间的距离为2，，则等于　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【例2】　（2021春 南关区期末）如图，将周长为12的沿边向右平移3个单位，得到，则四边形的周长为 　　．
【例3】　（2023秋 沂源县期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_______．
考点5 折叠
1．折叠是一种重要的图形变换，平行线的判定和性质是本学期乃至整个初中数学的重点内容，两者相结合，难度大大增加，既考查学生的几何抽象能力，又能培养学生的应用意识．2．运用折叠前后的角相等转化角度→结合邻补角的性质进行计算→运用平行线的性质解决问题．
【例1】　（2023秋 泗洪县期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，，两点落在，处，若，则　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 郯城县期末）将长方形沿折叠，得到如图的图形，已知，则的度数是 　　．
【例3】　（2023春 澧县期末）如图，将一个长方形纸片沿所在直线折叠，使得点，的对应点分别为点，，交于点，过点作，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：平分．
1．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为　　
A． B． C． D．
2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，点是线段延长线上一点，且．以下结论错误的是　　
A． B． C．平分 D．
5．如图，，，，则　　度．
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 　　．
7．如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则　　．
8．完成下面推理过程：
已知：如图，已知，，．
求证：．
证明：，，（已知）
　　　　．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
． 　　
又，（已知）
　　．（等量代换）
． 　　
9．已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
10．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，．求证：．

相交线与平行线（2）
专题 02
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考点
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考点
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易 错
典 例
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