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小学三年级思维拓展举一反三精编讲义
专题01 数图形
专题简析：
小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
【典例分析01】数出下面图中有多少条线段？
思路导航：我们可以采用以线段左端点分数数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；
以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；
以C点为左端点的线段有：CD共1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1=6条。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：
由1条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共3条；
由2条基本线段构成的线段：AC、BD共2条；
由3条基本线段构成的线段：AD只1条。
所以，图中共有3＋2＋1=6条线段。
【典例分析02】数出下图中有几个角。
思路导航：数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；
以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD两个；
以CO为一边的角有：∠COD一个。
所以图中共有3＋2＋1=6个角。
小朋友，如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。
【典例分析03】数出下面图中共有多少个三角形。
思路导航：数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个；
以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个；
以AD为边的三角形有：△ADE一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3＋2＋1=6条。所以图中共有6个三角形。
【典例分析04】数出下图中有多少个长方形。
思路导航：数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
【典例分析05】有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张照片？
思路导航：这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：
从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片……以此类推，第9个小朋友只要再与1个小朋友合影，再照1张照片。所以，一共要照9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45张
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋 汇川区期末）如图中一共可以数出（　　）条线段。
A．4 B．5 C．7 D．10
2．（2分）（2022秋 枣阳市期末）如图所示的点子图上有3个点，请再选一个点，使得4个点依次连接成为平行四边形，有（　　）种选法。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2分）（2022春 新泰市期末）图中一共有（　　）个角。
A．3 B．5 C．6
4．（2分）（2022春 黄石期末）如图中有（　　）个长方形。
A．5 B．7 C．9
5．（2分）（2022春 邹城市期末）如图2个偏旁和4个字，一共可以组成（　　）个字。
A．7 B．8 C．9
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022春 市中区期末）如图中一共有 　 　个长方形。
7．（2分）（2022春 广饶县期末）这幅图中有 　 　条射线，组成了 　 　个角。
8．（2分）（2022春 东莞市期末）如图中一共有 　 　个长方形。
9．（2分）（2021春 井研县期末）数一数，如图中一共有 　 　三角形。
10．（2分）（2022春 龙口市校级期中）图中共有 　 　条直线，　 　条射线。
11．（2分）（2021春 平湖市期末）数一数，一共有几个长方形？
想：由1个长方形组成的长方形有 　 　个。
由2个长方形组成的长方形有 　 　个。
答：一共有 　 　个长方形。
12．（2分）（2022春 渑池县期末）一个圆上有6个点，以任意两个点相连接组成一条线段，一共可以连 　 　条线段。
13．（2分）（2021春 唐河县期末）如图中一共有 　 　个长方形。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋 应城市期末）如图中有2个平行四边形，有2个梯形。 　 　（判断对错）
15．（2分）（2022春 新泰市期末）同一平面内，3条直线最多有3个交点。 　 　（判断对错）
16．（2分）（2022秋 卢龙县期末）图中一共有6条射线。 　 　（判断对错）
17．（2分）（2022春 鹤城区期末）图中一共有9个长方形。 　 　（判断对错）
18．（2分）（2020 虹口区模拟）在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成38条线段．　 　（判断对错）
五．解答题（共12小题，满分64分）
19．（5分）（2021春 达孜区期末）如图1是由若干个相同的三角形组成的大三角形，图中一共有 　 　
个三角形；如图2是一个由若干个完全相同的小正方形组成的大正方形，图中一共有 　 　个正方形。
20．（5分）（2022秋 井研县期末）数一数，填一填。
一共有 　 　个角
一共有 　 　条线段
21．（5分）（2012春 祁东县校级月考）右图中有多少个三角形？
22．（5分）（2022春 德阳期末）数一数，填一填。
如图中一共有 　 　个长方形。
23．（5分）（2021春 栖霞市期末）右图这个网格正方形是用平行线画出的，共用了 　 　组平行线。在这个正方形中，共能找出 　 　组平行线。
24．（5分）（2021春 娄星区期末）直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
25．（5分）（2021春 武安市期末）数一数，一共有多少条线段？
26．（5分）数一数．
27．（6分）数一数，下图中共有　 　个三角形．
28．（6分）数一数，每个图形各有多少个长方形（或正方形、三角形）
29．（6分）如图的图形中，每个小正方形的面积都是1平方厘米．图形中有多少个面积是1平方厘米的小正方形？还有面积是其他数值的正方形吗？
30．（6分）数一数，下列图形中共有几个三角形？
答案解析
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋 汇川区期末）如图中一共可以数出（　　）条线段。
A．4 B．5 C．7 D．10
【思路点拨】两点组成一条线段，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n﹣1）÷2解答。
【规范解答】解：5×（5﹣1）÷2
＝20÷2
＝10（条）
答：一共可以数出10条线段。
故选：D。
【考点评析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式n（n﹣1）÷2解答。
2．（2分）（2022秋 枣阳市期末）如图所示的点子图上有3个点，请再选一个点，使得4个点依次连接成为平行四边形，有（　　）种选法。
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据平行四边形的特征画出图形即可解决问题。
【规范解答】解：
再选一个点，使得4个点依次连接成为平行四边形，有3种选法。
故选：C。
【考点评析】解答本题关键是明确平行四边形的特征。
3．（2分）（2022春 新泰市期末）图中一共有（　　）个角。
A．3 B．5 C．6
【思路点拨】根据角的概念，即由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，即可找出所有的角。
【规范解答】解：根据角的概念可知图中共有6个角。
故选：C。
【考点评析】
此题考查了角的概念。注意：此图中共有4条射线，则共有3+2+1＝6（个）角。
4．（2分）（2022春 黄石期末）如图中有（　　）个长方形。
A．5 B．7 C．9
【思路点拨】根据分类数图形的计数原理，再利用数线段的方法，分别计算出行、列所包含的长方形的个数，再用乘法求一共有多少个长方形即可。
【规范解答】解：（2+1）×（2+1）
＝3×3
＝9（个）
所以图中一共有9个长方形。
故选：C。
【考点评析】本题考查了组合图形中长方形的计数，一般情况下，如果有类似图中的任一个长方形一边上有（n﹣1）个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有（m﹣1）个分点（不包括这条边的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+……+m）×（1+2+3+……+n）。
5．（2分）（2022春 邹城市期末）如图2个偏旁和4个字，一共可以组成（　　）个字。
A．7 B．8 C．9
【思路点拨】从2个偏旁中选一个有2种选法，从4个字中选一个有4种选法，然后根据乘法原理解答即可。
【规范解答】解：2×4＝8（个）
答：一共可以组成8个字。
故选：B。
【考点评析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn
种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022春 市中区期末）如图中一共有 　12　个长方形。
【思路点拨】单个的长方形有5个，两部分组成的有4个，三部分组成的有1个，四部分组成的有1个，五部分组成的有1个，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：5+4+1+1+1＝12（个）
答：图中一共有12个长方形。
故答案为：12。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
7．（2分）（2022春 广饶县期末）这幅图中有 　4　条射线，组成了 　6　个角。
【思路点拨】观察图形可知，图中一共有4条射线；每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，依此可得组成（1+2+3）个角。
【规范解答】解：图中有4条射线，组成了1+2+3＝6（个）角。
故答案为：4，6。
【考点评析】本题考查了角的计数，此题可得结论：当一个顶点处引出n条射线时，组成的角的总个数是：1+2+3+……+（n﹣1）。
8．（2分）（2022春 东莞市期末）如图中一共有 　9　个长方形。
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合成1个长方形的，最后数4个长方形角合成1个长方形的，据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。
9．（2分）（2021春 井研县期末）数一数，如图中一共有 　10　三角形。
【思路点拨】图中小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有3个，由3个小三角形组成的三角形有2个，由4个小三角形组成的三角形有1个，把这几种三角形的个数相加，即是三角形的总个数。
【规范解答】解：1+2+3+4＝10（个）
答：图中一共有10个三角形。
故答案为：10。
【考点评析】解答此题的关键在于数组合图形中三角形的个数的方法，不重数、不漏数。
10．（2分）（2022春 龙口市校级期中）图中共有 　1　条直线，　8　条射线。
【思路点拨】根据射线和直线的含义：射线有一个端点，无限长；直线没有端点，可以无限延伸；据此求解即可。
【规范解答】解：图中共有1条直线，8条射线。
故答案为：1；8。
【考点评析】本题主要考查射线、直线的定义，在射线、直线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复。
11．（2分）（2021春 平湖市期末）数一数，一共有几个长方形？
想：由1个长方形组成的长方形有 　5　个。
由2个长方形组成的长方形有 　4　个。
答：一共有 　12　个长方形。
【思路点拨】数：由1个长方形组成的长方形有5个，由2个长方形组成的长方形有4个，由3个长方形组成的长方形有2个，由4个长方形组成的长方形有0个，由5个长方形组成的长方形有1个；
算：一共有（5+4+2+1）个长方形。
【规范解答】解：5+4+2+1＝12（个）；
答：图中一共有12个长方形。
故答案为：5，4，12。
【考点评析】按一定的顺序数组合图形的个数，是数组合图形个数的常用方法。
12．（2分）（2022春 渑池县期末）一个圆上有6个点，以任意两个点相连接组成一条线段，一共可以连 　15　条线段。
【思路点拨】圆上有每个点都要和另外的5个点能画5条线段，一共可以画5×6＝30（条），由于每两个点只能画1条线段，去掉重复计算的情况，实际可以画（30÷2）条，据此解答。
【规范解答】解：（6﹣1）×6÷2
＝30÷2
＝15（条）
答：一共可以连15条线段。
故答案为：15。
【考点评析】本题考查了排列组合问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果点比较少可以用枚举法解答，如果点比较多可以用公式：线段的条数＝n（n﹣1）÷2解答。
13．（2分）（2021春 唐河县期末）如图中一共有 　9　个长方形。
【思路点拨】单个的长方形有4个，两个长方形组成的长方形有4个，四个长方形组成的长方形有1个，相加求解即可。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋 应城市期末）如图中有2个平行四边形，有2个梯形。 　×　（判断对错）
【思路点拨】根据平行四边形的定义可知，中间和外围分别有1个平行四边形；根据梯形的定义可知，左、右各有1个梯形，由两个图形组成的梯形有2个，据此解答。
【规范解答】解：1+1＝2（个）
1+1+2＝4（个）
图中有2个平行四边形，有4个梯形，本题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】解决本题的关键是明确平行四边形的两组对边分别平行且相等，梯形只有一组对边平行。
15．（2分）（2022春 新泰市期末）同一平面内，3条直线最多有3个交点。 　√　（判断对错）
【思路点拨】根据同一平面内的两条直线相交，只有一个交点，解答即可。
【规范解答】解：同一平面内，3条直线最多有3个交点；说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查了直线相交知识，结合题意分析解答即可。
16．（2分）（2022秋 卢龙县期末）图中一共有6条射线。 　√　（判断对错）
【思路点拨】每个点可以画出2条射线，所以可以画出3个2条射线；据此解答即可。
【规范解答】解：3×2＝6（条）
即图中一共有6条射线，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】解答本题关键明确每个点可以画出2条射线。
17．（2分）（2022春 鹤城区期末）图中一共有9个长方形。 　√　（判断对错）
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合成1个长方形的，最后数4个长方形合成1个长方形的。据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。
18．（2分）（2020 虹口区模拟）在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成38条线段．　×　（判断对错）
【思路点拨】从第一个点可以引出8条线段，第二个点可以引出7条不重复的线段，……，倒数第二个点可以引出1条不重复的线段，把这些线段条数相加就是构成线段的总条数．
【规范解答】解：8+7+6+5+4+3+2+1＝36（条）
即，在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成36条线段．
原题说法错误．
故答案为：×．
【考点评析】此题主要考查通过数线段找规律，线段上的端点为n，线段中共有线段的条数为：1+2+3+…+（n﹣1）或n×（n﹣1）÷2．
五．解答题（共12小题，满分64分）
19．（5分）（2021春 达孜区期末）如图1是由若干个相同的三角形组成的大三角形，图中一共有 　13　个三角形；如图2是一个由若干个完全相同的小正方形组成的大正方形，图中一共有 　30　个正方形。
【思路点拨】（1）把每个小三角形的边长看作1，分类别，分方向来数：①尖朝上的：基本三角形：1+2+3＝6（个），边长为2的三角形：1+2＝3（个），边长为3的三角形：1个；②尖朝下的：基本三角形：1+2＝3（个），相加即可求解。
（2）1×1的正方形有16个，2×2的正方形有9个，3×3的正方形有4个，4×4的正方形有1个，据此加起来即可解答。
【规范解答】解：（1）①尖朝上的：基本三角形：1+2+3＝6（个）
边长为2的三角形：1+2＝3（个）
边长为三的三角形：1个
②尖朝下的：基本三角形：1+2＝3（个）
所以总数为：6+3+1+3＝13（个）
（2）4×4＝16（个）
3×3＝9（个）
2×2＝4（个）
1×1＝1（个）
16+9+4+1＝30（个）
答：一共有30个正方形。
故答案为：13；30。
【考点评析】此题主要考查了计数问题，本质上是数数问题，应注意分类，以免重复，防止遗漏。
20．（5分）（2022秋 井研县期末）数一数，填一填。
一共有 　6　个角
一共有 　6　条线段
【思路点拨】根据角的意义可知，共顶点的四条射线，由于每条射线都要和另外的3条组成一个角，一共组成：3×4＝12（个）；又因为每两条线射线只组成一个角，去掉重复计算的情况，实际只有：12÷2＝6（个），据此解答。
由图可得：第一个端点可以画3条线段，第二个端点可以画2条线段，第三个端点可以画1条线段，第四个端点可以画0条线段，相加即可。
【规范解答】解：（4﹣1）×4÷2
＝12÷2
＝6（个）
答：一共有6个角。
0+1+2+3＝6（条）
答：一共有6条线段。
故答案为：6，6。
【考点评析】此题考查组合图形的计数。进一步考查学生识图解决问题的能力。在计数问题中常常利用握手问题的解答方法，来计数线段的条数、角的多少、正方形的个数等等。
21．（5分）（2012春 祁东县校级月考）右图中有多少个三角形？
【思路点拨】我们可以根据图形特征将它分成3类：第1类：有6个；第2类：有6个；第3类：有3个，相加即可求解．
【规范解答】解：6+6+3＝15（个）
图中有15个三角形．
【考点评析】考查了组合图形中三角形的计数，注意分类思想的运用，做到不重复不遗漏．
22．（5分）（2022春 德阳期末）数一数，填一填。
如图中一共有 　9　个长方形。
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合成1个长方形的，最后数4个长方形合成1个长方形的。据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。
23．（5分）（2021春 栖霞市期末）右图这个网格正方形是用平行线画出的，共用了 　6　组平行线。在这个正方形中，共能找出 　12　组平行线。
【思路点拨】根据平行线的意义和特征进行观察判断即可解决。
【规范解答】解：①横着的平行线用了3组，竖着的平行线用了3组，共用了6组平行线；
②在这个正方形中，4条横线，两两平行，共能组成6组平行线，同理，竖着的平行线也有6组，共能找出12组平行线。
故答案为：6，12。
【考点评析】解决本题的关键是正确理解平行线的意义和特征，根据图示找到平行线。
24．（5分）（2021春 娄星区期末）直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
【思路点拨】
如图，连接直线a，b上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数，再算出三角形总个数即可。
【规范解答】解：如图，连接直线a，b上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数；
其中A、B、C、D为顶点的三角形都是1个，以E为顶点的三角形和以F为顶点的三角形个数相同；
以E为顶点的三角形有6个，分别是△ABE、ACE、△ADE、△BCE、△BDE、△CDE；
再计算出以各点为顶点的三角形总个数即可。
1×4+6×2
＝4+12
＝16（个）
答：以这些点为顶点可以画出16个三角形。
【考点评析】在图形的计数时，应注重分类讨论的方法，做到不遗漏，不重复。
25．（5分）（2021春 武安市期末）数一数，一共有多少条线段？
【思路点拨】根据数线段的方法，如果线段上有n个端点，这条线段中存在的线段条数为：1+2+3+…+（n﹣1）条，由此解答．
【规范解答】解：1+2+3＝6（条）
答：一共有6条线段．
【考点评析】此题考查的目的是掌握数线段的方法，其规律是：如果线段上有n个端点，这条线段中存在的线段条数为：1+2+3+…+（n﹣1）条．
26．（5分）数一数．
【思路点拨】（1）边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，同理边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，AB的下边有三角形3个，据此解答即可．
（2）图中有15个小格即是15个小正方形，由4个小正方形组成的是8个，由9个小正方形组成的是3个，共有正方形26个，据此解答即可．
【规范解答】解：（1）边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，同理边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，AB的下边有三角形3个，
6+6+3＝15（个）
答：有15个三角形．
（2）图中有15个小格即是15个小正方形，由4个小正方形组成的是8个，由9个小正方形组成的是3个，
15+8+3＝26（个）
答：有26个正方形．
如图所示：
故答案为：15；26．
【考点评析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
27．（6分）数一数，下图中共有　8　个三角形．
【思路点拨】①单个三角形有：4个，②两个图形组成的有：4个，合起来即可求解．
【规范解答】解：①单个三角形有：4个，
②两个图形组成的有：4个，
一共有：4+4＝8（个）．
答：图中共有8个三角形．
故答案为：8．
【考点评析】考查了组合图形中三角形的计数，解答此题的关键是，在数三角形时，可以分情况数，要做到不重复，不遗漏．
28．（6分）数一数，每个图形各有多少个长方形（或正方形、三角形）
【思路点拨】（1）单个的长方形有3个，两个图形组成的有1个，外面最大的有1个，然后把个数相加即可．
（2）单个的正方形有9个，4个图形组成的有4个，外面最大的有1个，然后把个数相加即可．
（3）根据数线段的方法，大三角形底边有几条线段，就有几个三角形，5×4÷2＝10（个）；据此解答即可．
【规范解答】解：（1）3+1+1＝5（个）
（2）9+4+1＝14（个）
（3）5×4÷2＝10（个）
故答案为：5；14；10．
【考点评析】此题主要考查图形计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
29．（6分）如图的图形中，每个小正方形的面积都是1平方厘米．图形中有多少个面积是1平方厘米的小正方形？还有面积是其他数值的正方形吗？
【思路点拨】观察可知，图形中有4×4＝16个面积是1平方厘米的小正方形，面积是其他数值的正方形有2×2的9个，3×3的4个，4×4的1个，依此即可求解．
【规范解答】解：4×4＝16（个）
面积是其他数值的正方形有2×2的9个，3×3的4个，4×4的1个．
答：图形中有16个面积是1平方厘米的小正方形，还有面积是其他数值的正方形．
【考点评析】考查了正方形的面积，本题关键是按照一定的顺序计算，以免遗漏．
30．（6分）数一数，下列图形中共有几个三角形？
【思路点拨】（1）按照一定规律来找：先找单个的，再找与其它2个三角形组合的，相加即可．
（2）4个小三角形，再加上一个大三角形．
【规范解答】解：（1）3+2+1＝6（个）
答：一共有6个三角形．
（2）4+1＝5（个）
答：一共有5个三角形．
故答案为：6，5．
【考点评析】解决此题的关键按照一定的顺序和方法，数数做到不重不漏

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