资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
考试频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．平方根 （1）算术平方根 （2）算术平方根的双重非负性 （3）平方根（二次方根） （4）开平方 （5）估算 2．立方根（三次方根） （1）开立方 （2）根指数
1．算术平方根
（1）定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
（2）表示方法
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=0；
③负数没有算术平方根．
（4）拓展
算术平方根具有双重非负性．
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0．
2．估算
（1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比．
如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4．
（2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值
①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位再用四舍五入法确定百分位的值）
3．平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
4．平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
5．立方根的概念和性质
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
6．开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．
7．平方根和立方根的区别和联系
（1）被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
（2）运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
考点目录
考点1 求算术平方根、平方根 4
考点2 求立方根和开立方 6
考点3 平方根、立方根的性质 7
考点4 利用平方根、立方根的知识解方程 8
考点5 无理数的估算 10
考点6 平方根和立方根的综合应用 12
考点7 规律探究问题 14
考点1 求算术平方根、平方根
要避免以下两种常见的错误： （1）求平方根时遗漏负的平方根，直接得出算术平方根，如“9的平方根为3”； （2）审题不清，求错算术平方根或平方根，如“的算术平方根为2”．
【例1】　（2022春 阳新县期末）的平方根为　　
A． B．3 C． D．
【答案】
【分析】先将计算出来，再计算平方根即可求解．
【解答】解：，
，
，
的平方根为，
即的平方根为，
故选：．
【例2】　（2024春 滨海新区期中）的值等于　　
A．0.02 B．0.2 C． D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义即可求得．
【解答】解：．
故选：．
【例3】　（2023春 大石桥市期末）的算术平方根是　　
A．4 B．2 C． D．
【答案】
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：，4的算术平方根为2，
的算术平方根是2，
故选：．
考点2 求立方根和开立方
根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．
【例1】　（2024春 虹口区期中）计算的结果是　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】根据立方根的性质进行解题即可．
【解答】解：．
故选：．
【例2】　（2024春 天津期中）若一个数的立方根为，则这个数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据立方根的定义进行解题即可．
【解答】解：由题意知，，
故选：．
【例3】　（2024春 江夏区期中）求值：　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根，由此即可得到答案．
【解答】解：．
故选：．
考点3 平方根、立方根的性质
1．解题时常用到的平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； （2）被开方数是非负数，即负数没有平方根． 2．如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数；如果两个数的立方根相等，那么这两个数也相等．由此可以去掉根号求值．
【例1】　（2024春 鼓楼区校级月考）若，则　　
A． B． C． D．9
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，依次求出、的值，代入，即可求解．
【解答】解：，
，，
解得：，，
，
故选：．
【例2】　（2024春 青山区期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个数的立方根为　　
A．8 B．4 C． D．64
【答案】
【分析】根据平方根的性质及定义即可求得这个正数，然后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得：，
则，
这个正数为64，
那么这个数的立方根为4，
故选：．
【例3】　（2024春 大兴区期中）下列结论正确的是　　
A．8的立方根是
B．没有立方根
C．算术平方根等于它本身的数是0
D．
【答案】
【分析】根据立方根性质逐项判断即可．
【解答】解：、8的立方根是2，原计算错误，不符合题意；
、的立方根是，原计算错误，不符合题意；
、算术平方根等于它本身的数还有1，原说法错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
考点4 利用平方根、立方根的知识解方程
1．利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． 2．只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解．
【例1】　（2024春 江岸区期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）．
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）根据平方根的定义可得，
或，
解得或；
（2）由立方根的定义可得，
，
解得．
【例2】　（2024春 青山区期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或．
（2）．
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）先移项，再两边同时除以27，然后根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1），
，
或．
（2），
，
，
．
【例3】　（2024春 惠城区期中）解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
．
考点5 无理数的估算
估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 立方根的估算方法和平方根的估算方法类似．
【例1】　（2023春 文昌期末）估计的值在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】
【分析】根据平方数进行计算即可解答．
【解答】解：，，而，
，
估计的值在2和3之间．故选：．
【例2】　（2023秋 松阳县期末）已知整数满足，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】根据夹逼法求出相应的取值范围即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
，，
，，故选：．
【例3】　（2023秋 武义县期末）下列无理数中，大小在3和4之间的数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据无理数的估算方法，逐一进行判断即可．
【解答】解：、，即：；不符合题意；
、，即：；符合题意；
、，即：；不符合题意；
、，即：；不符合题意；
故选：．
考点6 平方根和立方根的综合应用
（1）由于开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，所以将平方根或算术平方根平方，可得原数（被开方数），将立方根立方可得原数（被开方数）． （2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此可列方程求出相关字母的值，再进一步解决其他问题． （3）在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．
【例1】　（2023秋 肥城市期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值；
（2）将、、的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
是的整数部分，
．
（2）将，，代入得：，
的平方根是．
【例2】　（2023秋 兴平市期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，；
（2）的平方根是．
【分析】（1）运用平方根和立方根知识进行估算、求解；
（2）将，，的值代入后，运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
，
的整数部分是3，
即，
，，；
（2）由（1）所得，，，
，
的平方根是，
的平方根是．
【例3】　（2023秋 乐平市期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），；；
（2）．
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出的值，再根据算术平方根的定义列式求出的值，根据可得的值；
（2）把、、的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）的平方根是．
，
，
的算术平方根是1，
，
；
是的整数部分，，
．
（2），
，
，
的立方根是．
考点7 规律探究问题
被开方数a的小数点移动与它的立方根a的小数点移动存在如下规律：被开方数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位．
【例1】　（2023春 沾化区期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 　　．
【答案】9995．
【分析】观察已知等式可知：被开方数的后两位都是25，开方数的最后一位都是5，被开方数除后两位外其它数位上的数都可以写成两个相邻正整数的积，由此可得规律，求出答案．
【解答】解：，，，，，，
，，，，，
开方数的个位数字都是5，被开方数的最后两位数是25，其它数位上的数字组成的数都可以写成两个相邻正整数的积，其中较小正整数乘10加5就是所求的开方数，
，
，
，
故答案为：9995．
【例2】　（2023秋 湖州期末）（1）观察发现：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 1 100
表格中　　，　　；
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　　移动 　　位；
（3）规律运用：
①已知，则 　　；
②已知，，则　　．
【答案】（1）0.1，10；
（2）右，1；
（3）22.4，50．
【分析】（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【解答】解：（1），，
故答案为：0.1，10；
（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，50．
【例3】　（2022春 阿荣旗期末）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，，，，，．
由此可见，被开方数的小数点每向右移动　两　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位．
（2）已知，，则　　；　　．
（3），，，，小数点的变化规律是　　．
（4）已知，，则　　．
【答案】（1）两；右；一；
（2）12.25；0.3873；
（3）被开方数的小数点向右（左移三位，其立方根的小数点向右（左移动一位；
（4）．
【分析】（1）由已知等式得出被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
（2）利用以上所得规律求解即可；
（3）从被开方数及其结果小数点移动的方向和位数求解即可；
（4）利用以上所得规律求解即可．
【解答】解：（1）由题意知被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：两，右，1；
（2），，
；，
故答案为：12.25，0.3873；
（3），，，，小数点的变化规律是被开方数的小数点向右（左移三位，其立方根的小数点向右（左移动一位；
故答案为：被开方数的小数点向右（左移三位，其立方根的小数点向右（左移动一位．
（4），，
，
故答案为：．
1．（2023秋 泰和县期末）实数16的算术平方根是　　
A．8 B． C．4 D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】解：，
的算术平方根为4，
故选：．
2．（2023秋 洛阳期末）平方根等于它本身的数是　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：．
3．（2023秋 民乐县校级期末）下列说法中正确的是　　
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
【答案】
【分析】分别根据实数和数轴的关系、有理数和无理数的定义解答即可．
【解答】解：、实数和数轴上的点一一对应，原说法错误，不符合题意；
、数轴上的点可以表示所有的实数，正确，符合题意；
、带根号的数且开方开不尽的数都是无理数，如是有理数，原说法错误，不符合题意；
、不带根号的分数、小数和无限循环小数都是有理数，原说法错误，不符合题意．
故选：．
4．（2024 东昌府区校级一模）如图，在数轴上，点表示的数是，点，表示的数是两个连续的整数，则这两个整数为　　
A．和 B．和 C．3和4 D．4和5
【答案】
【分析】先估算的大小，再求出的大小即可判断．
【解答】解：，
，
，
故选：．
5．（2023秋 越城区校级期末）实数的整数部分为，小数部分为，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
6．（2024 碑林区校级二模）比较大小： 　　4（填“”，“ ”或“” ．
【分析】先估算的值，然后判断即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
7．（2023秋 广陵区期末）若，为实数，且，则　　．
【分析】利用非负数的性质得到，，然后求出代数式的值．
【解答】解：，
，，
，，
；
故答案为：．
8．（2023秋 宿迁期末）求的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用平方根的意义解答即可；
（2）利用立方根的意义解答即可．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
．
9．（2023秋 清苑区期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　　．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值．
【答案】（1）不是；
（2）4，12；
（3）81．
【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可；
（2）根据“和谐组合”的定义求解即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．
【解答】（1）解：，，，
，不是整数，
，12，32不是“和谐组合”；
故答案为：不是；
（2）证明：，，，
，18，8这三个数是“和谐组合”，
最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（3）解：分三种情况：①当时，得：（舍去），
②当时，，得：（舍去），
③当时，．得：．
综上所述，的值为81．
10．（2023秋 东营期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可求出、的值；
（2）先求出的值，再求的平方根．
【解答】解：（1）的立方根是3，即，
，
解得，
又的算术平方根是4，即，
，而，
，
答：，；
（2）当，时，
，
的平方根为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
考试频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．平方根 （1）算术平方根 （2）算术平方根的双重非负性 （3）平方根（二次方根） （4）开平方 （5）估算 2．立方根（三次方根） （1）开立方 （2）根指数
1．算术平方根
（1）定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
（2）表示方法
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=0；
③负数没有算术平方根．
（4）拓展
算术平方根具有双重非负性．
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0．
2．估算
（1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比．
如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4．
（2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值
①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位再用四舍五入法确定百分位的值）
3．平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
4．平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
5．立方根的概念和性质
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
6．开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．
7．平方根和立方根的区别和联系
（1）被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
（2）运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
考点目录
考点1 求算术平方根、平方根 4
考点2 求立方根和开立方 6
考点3 平方根、立方根的性质 7
考点4 利用平方根、立方根的知识解方程 8
考点5 无理数的估算 10
考点6 平方根和立方根的综合应用 12
考点7 规律探究问题 14
考点1 求算术平方根、平方根
要避免以下两种常见的错误： （1）求平方根时遗漏负的平方根，直接得出算术平方根，如“9的平方根为3”； （2）审题不清，求错算术平方根或平方根，如“的算术平方根为2”．
【例1】　（2022春 阳新县期末）的平方根为　　
A． B．3 C． D．
【例2】　（2024春 滨海新区期中）的值等于　　
A．0.02 B．0.2 C． D．
【例3】　（2023春 大石桥市期末）的算术平方根是　　
A．4 B．2 C． D．
考点2 求立方根和开立方
根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．
【例1】　（2024春 虹口区期中）计算的结果是　　
A．3 B． C． D．
【例2】　（2024春 天津期中）若一个数的立方根为，则这个数为　　
A． B． C． D．
【例3】　（2024春 江夏区期中）求值：　　
A． B． C． D．
考点3 平方根、立方根的性质
1．解题时常用到的平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； （2）被开方数是非负数，即负数没有平方根． 2．如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数；如果两个数的立方根相等，那么这两个数也相等．由此可以去掉根号求值．
【例1】　（2024春 鼓楼区校级月考）若，则　　
A． B． C． D．9
【例2】　（2024春 青山区期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个数的立方根为　　
A．8 B．4 C． D．64
【例3】　（2024春 大兴区期中）下列结论正确的是　　
A．8的立方根是
B．没有立方根
C．算术平方根等于它本身的数是0
D．
考点4 利用平方根、立方根的知识解方程
1．利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． 2．只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解．
【例1】　（2024春 江岸区期中）解方程：
（1）；
（2）．
【例2】　（2024春 青山区期中）解方程：
（1）；
（2）．
【例3】　（2024春 惠城区期中）解方程
（1）；
（2）
考点5 无理数的估算
估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 立方根的估算方法和平方根的估算方法类似．
【例1】　（2023春 文昌期末）估计的值在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【例2】　（2023秋 松阳县期末）已知整数满足，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3】　（2023秋 武义县期末）下列无理数中，大小在3和4之间的数是　　
A． B． C． D．
考点6 平方根和立方根的综合应用
（1）由于开平方与平方、开立方与立方互为逆运算，所以将平方根或算术平方根平方，可得原数（被开方数），将立方根立方可得原数（被开方数）． （2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此可列方程求出相关字母的值，再进一步解决其他问题． （3）在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．
【例1】　（2023秋 肥城市期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【例2】　（2023秋 兴平市期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【例3】　（2023秋 乐平市期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的立方根．
考点7 规律探究问题
被开方数a的小数点移动与它的立方根a的小数点移动存在如下规律：被开方数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位．
【例1】　（2023春 沾化区期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 　　．
【例2】　（2023秋 湖州期末）（1）观察发现：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 1 100
表格中　　，　　；
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　　移动 　　位；
（3）规律运用：
①已知，则 　　；
②已知，，则　　．
【例3】　（2022春 阿荣旗期末）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，，，，，．
由此可见，被开方数的小数点每向右移动　两　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位．
（2）已知，，则　　；　　．
（3），，，，小数点的变化规律是　　．
（4）已知，，则　　．
1．（2023秋 泰和县期末）实数16的算术平方根是　　
A．8 B． C．4 D．
2．（2023秋 洛阳期末）平方根等于它本身的数是　　
A． B．0 C．1 D．
3．（2023秋 民乐县校级期末）下列说法中正确的是　　
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
4．（2024 东昌府区校级一模）如图，在数轴上，点表示的数是，点，表示的数是两个连续的整数，则这两个整数为　　
A．和 B．和 C．3和4 D．4和5
5．（2023秋 越城区校级期末）实数的整数部分为，小数部分为，则　　
A． B． C． D．
6．（2024 碑林区校级二模）比较大小： 　　4（填“”，“ ”或“” ．
7．（2023秋 广陵区期末）若，为实数，且，则　　．
8．（2023秋 宿迁期末）求的值：
（1）； （2）．
9．（2023秋 清苑区期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　　．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值．
10．（2023秋 东营期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑