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考试频度：★★★☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆
1．二次根式的概念 （1）二次根式 （2）最简二次根式 （3）分母有理化 （4）可合并的二次根式（同类二次根式） 2．二次根式的性质
1．二次根式
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
注意：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
（5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
2．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．分母有理化
二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．
4．可合并的二次根式（同类二次根式）
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．
【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0．
【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
5．二次根式的性质
（1）．
（2）．
（3）．
考点目录
考点1 二次根式的概念 3
考点2 二次根式有无意义的条件 5
考点3 二次根式的性质 6
考点4 二次根式中的规律问题 8
考点1 二次根式的概念
理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
【例1】　（2023秋 同安区期末）下列式子中，是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中被开方数小于0，不是二次根式；
是二次根式．
故选：．
【例2】　（2023秋 衡山县期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．
【解答】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
、是三次根式，故此选项不符合题意；
、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意；
、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【例3】　（2023秋 乐山期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．
【解答】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
、是二次根式，故此选项符合题意；
、是三次根式，故此选项不符合题意；
、三次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
考点2 二次根式有无意义的条件
二次根式有无意义的条件 类型条件字母表示二次根式有意义被开方数（式）为非负数有意义a≥0二次根式无意义被开方数（式）为负数无意义a<0
注意：若二次根式与其他式子同时出现，需每个式子均有意义
【例1】　（2023秋 北碚区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围是．
故选：．
【例2】　（2021春 潢川县期末）二次根式在实数范围内有意义，则应满足的条件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选：．
【例3】　（2023秋 纳溪区期末）使有意义的的取值范围是　　
A．且 B． C．且 D．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
【解答】解：要使有意义，必须且，
且，
即使有意义的的取值范围是且．
故选：．
考点3 二次根式的性质
（1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0．
【例1】　（2023秋 无棣县期末）若，则与1的关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：，
，
解得：．
故选：．
【例2】　（2023秋 曲阳县期末）若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意可知，直接解答即可．
【解答】解：，
即，
解得，
故选：．
【例3】　（2023秋 普陀区校级期末）下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据额小城故事的性质求解．．
【解答】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
不能化简，故不符合题意；
故选：．
考点4 二次根式中的规律问题
求解与二次根式有关的规律探究题时，常会用到从特殊到一般的推理方式得到数学结论．
【例1】　（2023春 威县校级期末）嘉淇想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整．
（1）具体运算，发现规律．
式子；
式子；
式子；
式子　　；
（2）观察、归纳，得出猜想．
若为正整数，则式子为：　　．
【答案】（1）（写也可）；
（2）．
【分析】（1）根据规律可以直接写结果；
（2）根据规律，归纳可得其运算规律．
【解答】解：（1）根据规律可得，
．
故答案为：（写也可）；
（2）运算规律为：．
故答案为：．
【例2】　（2023秋 隆回县期末）观察下列等式：
①；
②；
③．
回答下列问题：
（1）化简：　　；　　；为正整数）
（2）利用上面所揭示的规律计算：；
（3）拓展延伸：若，，求的值．
【答案】（1）；；
（2）44；
（3）．
【分析】（1）根据已知分母有理化即可得答案；
（2）先分母有理化，再合并同类二次根式；
（3）分母有理化后求出，的值，将所求式子变形后整体代入计算即可．
【解答】解：（1）；
，
故答案为：；；
（2）原式
；
（3），，
，，
．
【例3】　（2023秋 兴宾区期末）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 　　；
（2）化去式子分母中的根号：　　；（直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）（答案不唯一）；
（2）；
（3）2023．
【分析】（1）根据平方差公式找出有理化因式即可；
（2）先分母有理化，再求出答案即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算，再根据平方差公式求出答案即可．
【解答】解：（1）的有理化因式是．
故答案为：（答案不唯一）；
（2）
．
故答案为：；
（3）原式
．
1．（2023秋 桂林期末）如果二次根式有意义，那么的值可以是　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】根据二次根式有意义，则，观察选项即可得出答案．
【解答】解：如果二次根式有意义，那么，
所以的值可以是1，
故选：．
2．（2023秋 隆回县期末）若式子有意义，则的取值范围为　　
A． B． C．且 D．
【答案】
【分析】既要使二次根式有意义，即，又要使分式有意义，即即可．
【解答】解：由题意得，
且，
即且，
故选：．
3．（2023秋 陵水县期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数即可求出的取值范围，再观察数轴即可作出判断．
【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得，
则的取值范围在数轴上表示如下：
故选：．
4．（2023秋 儋州期末）当时，二次根式的值为　　
A． B．2 C． D．
【答案】
【分析】将代入二次根式中计算即可．
【解答】解：当时，
原式，
故选：．
5．（2023秋 岳阳楼区校级期末）若有意义，则实数的取值范围是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
6．（2023秋 娄底期末）已知，则的值为　　
A．5 B．3 C． D．
【答案】
【分析】首先根据二次根式有意义的条件，即可求得的值，进而得到的值，然后代入代数式即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则．
则．
故选：．
7．（2023秋 石狮市期末）下列实数中，使二次根式没有意义的是　　
A．0 B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：二次根式没有意义，
，
解得．
故选：．
8．（2024 桓台县一模）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　　
A． B． C． D．0
【答案】
【分析】利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：由数轴可得：，，
，
则，
故选：．
9．（2023春 乌鲁木齐期末）要使分式有意义，则应满足的条件是 　 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且，
解得且，
即应满足的条件为且．
故答案为：且．
10．（2024春 海淀区校级期中）下列说法正确的有 　　（填写序号）．
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
【答案】④．
【分析】当，时即可判断①；当，时即可判断②；当，时即可判断③；根据立方根的定义即可判断④．
【解答】解：①当，时，，但是，错误；
②当，时，满足，但是，错误；
③当，时，满足，但是有，错误；
④当时，，正确．
故答案为：④．
11．（2024春 路桥区期中）数在数轴上的位置如图所示，则　　．
【答案】．
【分析】先观察数轴，求出的取值范围，再判断的大小，最后根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：观察数轴可知：，
，
，
故答案为：．
12．（2024春 南昌期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为 　　．
【答案】．
【分析】由数轴得出且，据此知，根据绝对值性质和二次根式的性质：化简即可．
【解答】解：由数轴可得且，
，
故答案为：．
13．（2023秋 乐山期末）若，都是实数，且，求的平方根．
【答案】．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的值，进而求出，然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意知：且．
所以，
所以．
所以．
所以．
所以的平方根为：．
14．（2023秋 隆回县期末）（1）若实数，满足等式，求的立方根；
（2）已知，求的平方根．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）根据绝对值的和算术平方根的非负性，可得，，再代入，根据立方根的性质，即可求解；
（2）根据算术平方根的非负性，可得，且，从而得到，，再根据平方根的性质，即可求解．
【解答】解：（1），
，，
解得：，，
，
的立方根是3．
（2），
，且，
，
，
，
的平方根是．
15．（2023秋 宣化区期末）先阅读，后回答问题：为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需，由乘法法则得或．
解得或．
当或，有意义．
体会解题思想后，请你解答：为何值时，有意义？
【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到的取值范围．
【解答】解：要使该二次根式有意义，需，
由乘法法则得或，
解得或，
当或时，有意义．
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考试频度：★★★☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆
1．二次根式的概念 （1）二次根式 （2）最简二次根式 （3）分母有理化 （4）可合并的二次根式（同类二次根式） 2．二次根式的性质
1．二次根式
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
注意：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
（5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
2．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．分母有理化
二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．
4．可合并的二次根式（同类二次根式）
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．
【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0．
【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
5．二次根式的性质
（1）．
（2）．
（3）．
考点目录
考点1 二次根式的概念 3
考点2 二次根式有无意义的条件 5
考点3 二次根式的性质 6
考点4 二次根式中的规律问题 8
考点1 二次根式的概念
理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
【例1】　（2023秋 同安区期末）下列式子中，是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 衡山县期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023秋 乐山期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
考点2 二次根式有无意义的条件
二次根式有无意义的条件 类型条件字母表示二次根式有意义被开方数（式）为非负数有意义a≥0二次根式无意义被开方数（式）为负数无意义a<0
注意：若二次根式与其他式子同时出现，需每个式子均有意义
【例1】　（2023秋 北碚区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2021春 潢川县期末）二次根式在实数范围内有意义，则应满足的条件是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023秋 纳溪区期末）使有意义的的取值范围是　　
A．且 B． C．且 D．
考点3 二次根式的性质
（1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0．
【例1】　（2023秋 无棣县期末）若，则与1的关系是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 曲阳县期末）若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例3】　（2023秋 普陀区校级期末）下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
考点4 二次根式中的规律问题
求解与二次根式有关的规律探究题时，常会用到从特殊到一般的推理方式得到数学结论．
【例1】　（2023春 威县校级期末）嘉淇想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整．
（1）具体运算，发现规律．
式子；
式子；
式子；
式子　　；
（2）观察、归纳，得出猜想．
若为正整数，则式子为：　　．
【例2】　（2023秋 隆回县期末）观察下列等式：
①；
②；
③．
回答下列问题：
（1）化简：　　；　　；为正整数）
（2）利用上面所揭示的规律计算：
；
（3）拓展延伸：若，，求的值．
【例3】　先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 　　；
（2）化去式子分母中的根号：　　；（直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
．
1．（2023秋 桂林期末）如果二次根式有意义，那么的值可以是　　
A． B． C． D．1
2．（2023秋 隆回县期末）若式子有意义，则的取值范围为　　
A． B． C．且 D．
3．（2023秋 陵水县期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（2023秋 儋州期末）当时，二次根式的值为　　
A． B．2 C． D．
5．（2023秋 岳阳楼区校级期末）若有意义，则实数的取值范围是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
6．（2023秋 娄底期末）已知，则的值为　　
A．5 B．3 C． D．
7．（2023秋 石狮市期末）下列实数中，使二次根式没有意义的是　　
A．0 B． C． D．
8．（2024 桓台县一模）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　　
A． B． C． D．0
9．（2023春 乌鲁木齐期末）要使分式有意义，则应满足的条件是 　 　．
10．（2024春 海淀区校级期中）下列说法正确的有 　　（填写序号）．
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则．
11．（2024春 路桥区期中）数在数轴上的位置如图所示，则　　．
12．（2024春 南昌期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为 　　．
13．（2023秋 乐山期末）若，都是实数，且，求的平方根．
14．（2023秋 隆回县期末）（1）若实数，满足等式，求的立方根；
（2）已知，求的平方根．
15．（2023秋 宣化区期末）先阅读，后回答问题：为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需，由乘法法则得或．
解得或．
当或，有意义．
体会解题思想后，请你解答：为何值时，有意义？
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