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考试频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．二次根式的乘除运算 （1）二次根式的乘除运算法则 （2）乘法交换律、结合率以及乘法公式的应用 （3）最简二次根式 2．二次根式的加减运算 （1）可以合并的二次根式 （2）二次根式的加减运算法则 3．二次根式的混合运算
1．二次根式的乘法：
（1）．
（2）逆用：
（3）推广：①
②
2．二次根式的除法：
（1）
（2）逆用：
（3）推广：①
②，其中．
3．二次根式的加减
（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）步骤：
①将各个二次根式化成最简二次根式；
②找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
（3）注意：
①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
考点目录
考点1 二次根式的乘除运算 3
考点2 最简二次根式 5
考点3 可以合并的二次根式 6
考点4 二次根式的加减运算 8
考点5 二次根式的混合运算 9
考点6 二次根式的化简求值 11
考点1 二次根式的乘除运算
1．二次根式的乘法运算 （1）乘法法则： （2）推广：①． ②． （3）逆用：． ． （4）乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． 2．二次根式的除法运算 （1）除法法则：． （2）逆用： （3）推广：① ②，其中．
【例1】　（2023春 铁西区期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘除，并利用二次根式的性质进行化简求值即可．
【解答】解：．
【例2】　（2023春 高要区期末）计算：．
【分析】首先化简二次根式，进而利用二次根式的乘除运算法则求出即可．
【解答】解：原式．
【例3】　（2023春 丰台区期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：
．
考点2 最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【例1】　（2023秋 西峡县期末）下列二次根式是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，不含还能再开方的数，逐个选项分析即可．
【解答】解：选项，故错误；
选项和选项，一个有分母，一个有小数，都不是最简二次根式，故和错误；
选项：是最简二次根式．
故选：．
【例2】　（2023秋 新蔡县期末）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【解答】解：，，，中是最简二次根式的有，，共2个．
故选：．
【例3】　（2023秋 广平县期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：在二次根式，，，中，
，，，
最简二次根式的有：，
故选：．
考点3 可以合并的二次根式
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
【例1】　（2023秋 驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】，能与合并，则，进而可求出的值．
【解答】解：，
与最简二次根式能合并，
，
．
故选：．
【例2】　（2023秋 浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．
【解答】解：、，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
、，被开方数是2，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
、，被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
、和的被开方数分别是、，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
【例3】　（2022春 垦利区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：与是同类二次根式的是，
故选：．
考点4 二次根式的加减运算
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． 【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
【例1】　（2023秋 禅城区期末）计算：．
【答案】．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
【例2】　（2023秋 河源期末）计算：．
【答案】．
【分析】首先将和化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
【例3】　（2023秋 浦东新区校级期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质将，，进行化简后，再根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式
．
考点5 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． （4）在进行二次根式的计算时，能用公式的要尽量使用公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化．
【例1】　（2023秋 昌黎县期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【例2】　（2023秋 衢州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）先算乘除，再计算减法即可；
（2）先去括号，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【例3】　（2023秋 中牟县期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的除法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
考点6 二次根式的化简求值
1．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 2．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【例1】　（2023秋 姑苏区期末）若，，求代数式的值．
【答案】2．
【分析】先利用多项式乘法展开得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
．
【例2】　（2023秋 湖南期末）先化简，再求值：，其中，，．
【答案】．
【分析】设，将化简为，再分别计算出，，，，然后将其代入计算即可得出该代数式的值．
【解答】解：设，
，
，，，
，
，，，
原式．
【例3】　（2023秋 岳麓区校级期末）已知：，．
（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）4；
（2）16．
【分析】（1）先分母有理化得到，，然后计算它们的和即可；
（2）先计算出，再通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
原式．
1．（2024春 同安区期中）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对、选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
2．（2024春 西城区校级期中）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
3．（2024春 荔湾区校级期中）下列式子是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（2023秋 邹平市期末）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对、选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
5．（2024春 越秀区校级期中）已知化简的结果是一个整数，则正整数的最小值是　　
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案．
【解答】解：，
要使为整数，则为完全平方数，
所以的最小正整数为3．
故选：．
6．（2024春 阆中市校级期中）小明在作业本上做了四道题目：①；②；③；④，其中他做对了的题目有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，立方根的意义进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①，故①正确；
②，故②不正确；
③，故③正确；
④，故④正确；
所以，他做对了的题目有3个，
故选：．
7．（2024春 鹿城区校级期中）当时，二次根式的值是　　
A．4 B．2 C． D．
【答案】
【分析】把的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：当时，二次根式，
故选：．
8．（2024春 横州市期中）计算的结果是　　
A． B．4 C． D．
【答案】
【分析】先根据积的乘方运算得到原式，然后运用平方差公式计算．
【解答】解：原式
．
故选：．
9．（2024 市南区校级二模）　　．
【答案】．
【分析】将化为最简得，进而可合并括号内的同类二次根次，将化为最简得，再将除法化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：由题可知，，
．
故答案为：．
10．（2024 松北区一模）计算的结果是 　　．
【答案】．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
11．（2024 德城区一模）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是 　　．
【答案】．
【分析】根据实数和在数轴上的位置可得，，进而得到，，再根据二次根式的性质以及绝对值的意义进行计算即可．
【解答】解：由实数和在数轴上的位置可知，，，
，，
原式
．
故答案为：．
12．（2024春 金水区期中）若式子有意义，则的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13．（2024春 江夏区期中）已知，求的值是 　　．
【答案】．
【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可．
【解答】解：原式
，
，
，
，，，
原式
，
故答案为：．
14．（2024春 宁乡市期中）设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；；
（2）．
【分析】（1）直接导入计算即可；
（2）结合（1）代入计算即可．
【解答】解：（1），，
；
；
（2）
．
15．（2024春 江夏区校级期中）已知，，求值：．
【答案】14．
【分析】由，得，，把变形为，再代入计算即可．
【解答】解：，，
，，
．
16．（2024春 西城区校级期中）已知，是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的的值为 　　；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对为 　　．
【分析】（1），根据以上算式即可得到的值；
（2）根据二次根式的性质和已知得出即可．
【解答】解：（1）是整数，是正整数，
，
故答案为：7；
（2）是整数，
，或，，
因为当，时，是整数；
当，时，是整数；
即满足条件的有序数对为或，
故答案为：或．
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考试频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
1．二次根式的乘除运算 （1）二次根式的乘除运算法则 （2）乘法交换律、结合率以及乘法公式的应用 （3）最简二次根式 2．二次根式的加减运算 （1）可以合并的二次根式 （2）二次根式的加减运算法则 3．二次根式的混合运算
1．二次根式的乘法：
（1）．
（2）逆用：
（3）推广：①
②
2．二次根式的除法：
（1）
（2）逆用：
（3）推广：①
②，其中．
3．二次根式的加减
（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）步骤：
①将各个二次根式化成最简二次根式；
②找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
（3）注意：
①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
考点目录
考点1 二次根式的乘除运算 3
考点2 最简二次根式 5
考点3 可以合并的二次根式 6
考点4 二次根式的加减运算 8
考点5 二次根式的混合运算 9
考点6 二次根式的化简求值 11
考点1 二次根式的乘除运算
1．二次根式的乘法运算 （1）乘法法则： （2）推广：①． ②． （3）逆用：． ． （4）乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． 2．二次根式的除法运算 （1）除法法则：． （2）逆用： （3）推广：① ②，其中．
【例1】　（2023春 铁西区期末）计算：．
【例2】　（2023春 高要区期末）计算：．
【例3】　（2023春 丰台区期末）计算：．
考点2 最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【例1】　（2023秋 西峡县期末）下列二次根式是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2023秋 新蔡县期末）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】　（2023秋 广平县期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3 可以合并的二次根式
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．
【例1】　（2023秋 驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】　（2023秋 浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　
A．和 B．和 C．和 D．和
【例3】　（2022春 垦利区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　
A． B． C． D．
考点4 二次根式的加减运算
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． 【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
【例1】　（2023秋 禅城区期末）计算：．
【例2】　（2023秋 河源期末）计算：．
【例3】　（2023秋 浦东新区校级期末）计算：．
考点5 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． （4）在进行二次根式的计算时，能用公式的要尽量使用公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化．
【例1】　（2023秋 昌黎县期末）计算：
（1）；
（2）．
【例2】　（2023秋 衢州期末）计算：
（1）；
（2）．
【例3】　（2023秋 中牟县期末）计算：
（1）；
（2）．
考点6 二次根式的化简求值
1．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 2．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【例1】　（2023秋 姑苏区期末）若，，求代数式的值．
【例2】　（2023秋 湖南期末）先化简，再求值：
，其中，，．
【例3】　（2023秋 岳麓区校级期末）已知：，．
（1）求的值．
（2）求的值．
1．（2024春 同安区期中）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（2024春 西城区校级期中）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（2024春 荔湾区校级期中）下列式子是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
4．（2023秋 邹平市期末）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（2024春 越秀区校级期中）已知化简的结果是一个整数，则正整数的最小值是　　
A．1 B．2 C．3 D．5
6．（2024春 阆中市校级期中）小明在作业本上做了四道题目：①；②；③；④，其中他做对了的题目有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024春 鹿城区校级期中）当时，二次根式的值是　　
A．4 B．2 C． D．
8．（2024春 横州市期中）计算的结果是　　
A． B．4 C． D．
9．（2024 市南区校级二模）　　．
10．（2024 松北区一模）计算的结果是 　　．
11．（2024 德城区一模）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是 　　．
12．（2024春 金水区期中）若式子有意义，则的取值范围是 　　．
13．（2024春 江夏区期中）已知，求的值是 　　．
14．（2024春 宁乡市期中）设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
15．（2024春 江夏区校级期中）已知，，求值：．
16．（2024春 西城区校级期中）已知，是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的的值为 　　；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对为 　　．
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