资源简介

北师大版八年级上册数学第一单元勾股定理作业设计
一、单元信息
学 科 年 级 学 期 教材版本 单元名称
基本信息
数 学 八年级 第一学期 北师大版 勾股定理
单元组
自然单元 □重组单元
织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 1.1探索勾股定理（1） 第 1.1（P1-4）
课 时 2 1.1探索勾股定理（2） 第 1.1（P4-8）
信 息 3 1.2一定是直角三角形吗 第 1.2（P9-12）
4 1.3勾股定理的应用 第 1.3（P13-15）
5 1.4回顾与思考 P16
二、单元分析
（一）课标要求
1.在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展学生空间观念.
2.在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.
3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解
决问题方法的多样性.
4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
（二）教材分析
1.知识网络
3
2.内容分析
（1）本单元的核心内容是勾股定理及其逆定理
（2）教学价值：勾股定理是初中数学的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的
数量关系，充分体现了数形结合思想方法在数学的发展和现实世界中的广泛应用。本章是直角
三角形相关知识的延续，同时也是认识无理数，学习圆，解直角三角形等知识的基础，通过勾
股定理背景知识的了解，让学生感受勾股定理的丰富的文化内涵，特别的向学生介绍我国古代
的数学家对勾股定理的研究做出重大贡献，激发学生热爱祖国，不怕困难，敢于担当，为中华
民族的复兴而努力学习.
（3）单元教学的重点与难点
重点：①掌握勾股定理及其逆定理；
②勾股定理及逆定理，在现实生活中的应用
难点： 能够用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题
（三）学情分析
八年级学生此前已经学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形概念，掌握了直角
三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件，并且已具备一定的观察、归纳、猜想和推理
能力。在此基础上学习勾股定理，可以加深对勾股定理的理解，提高应用知识解决问题的能力。
但运用面积法、割补思想解决问题的意识还不够。在现阶段由于学生学习积极性高，具有强烈
的求知欲望，课堂主动参与，善于表现自我，为学好本单元奠定了基础.
三、单元学习与作业目标
（一）单元学习目标
1、了解勾股定理的历史，感受它的多种证法.
2、体会探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦.
3、会用勾股定理或其逆定理解决简单的问题.
（二）单元作业目标
1.了解勾股定理的历史，体会勾股定理的文化价值.
2.掌握勾股定理的内容，会用拼图法、割补法、等积法验证勾股定理.
3.能用勾股定理解决简单的实际问题.
4.能用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等数学思想解决问题.
5.知道勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理.
6.了解勾股数的概念，能探索出勾股数组的规律.
7.能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
四、单元作业设计思路
本单元作业设计，凸显育人导向，立足单元整体，聚焦核心素养，关注知识与技能目标的
同时，注重过程方法的体验，注重个性发展、人文情怀、学习兴趣、应用意识和创新意识的渗
透，书面作业的形式分为基础知识、能力提升、探究拓展、综合与实践等不同层次的作业，其
中综合与实践类作业设计了测旗杆的高度，课内课外结合，巩固所学知识，让学生在完成作业
的过程中实现核心素养的全面提升.
作业设计在关注学生已有的学习经验的基础上，为学生构建成功跨越最近发展区的支架，
引导学生自主发展、探究学习，培养学生不怕困难、敢于挑战、勇于反思质疑的精神，帮助学
生形成科学的学习方法，学会思考、独立思考，在潜移默化中实现核心素养的教学目标.
本单元作业设计以勾股定理及其逆定理作为核心，把培养学生直观想象和逻辑推理素养为
导向，发展空间观念和合情推理能力，让学生在完成作业，自主建构的过程中落实核心素养，
4
把应用意识、创新意识贯穿其中，题目的编排兼顾难度结构和内容结构，以期通过问题引导学
生学会学习，实现素养的全面提升，具体以课标教材、单元教学目标和单元作业目标为依据，
设计选择题、填空题、探究题、证明题、综合与实践，难度适宜，结构完整，有利于实现作业
的功能.
五、课时作业
单元内容 第一章《勾股定理》 课 题 1.1探索勾股定理（1） 节次 第_1课时
作业功能
□课前预习 □课中练习 课后复习 □课后实践
（可多选）
作业类型 分层作业 □弹性作业 □个性化作业 □探究性作业
（可多选）
□实践性作业 □跨学科综合性作业
1． 能用文字语言和符号语言正确表达勾股定理.
2． 知道勾股定理只适用直角三角形，揭示的是直角三角形三边之间的数量
作业目标 关系.
3． 会运用勾股定理进行简单的计算和实际应用.
题 型 必做题有填空题、解答题 选做题是解答题
题 量 填空题 2 题 解答题 2 题 共 4 题
作业时长 基础性作业 12 分钟，拓展性作业 6 分钟，合计 18分钟
基础性作业（必做）
作业内容 设计意图与题目来源
1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理（分 作业分析与设计意图：渗透数学的建
别用文字语言及符号语言叙述）； . 模思想，考查学生的解题能力.第 1
题考查勾股定理的的概念及用字母表
示；第 2题利用方位角计算出角度，
得出三角形是直角三角形，利用勾股
c 定理解答；第 3题让学生知道勾股定
a 理只适用于直角三角形，并熟练掌握
已知直角三角形的两边可求出第三
b 边.
5
学科素养： 数学抽象 逻辑推理
2.（创编） 如图，小颖从家 A出发向北偏东 30°
方向走了 200m到了小红家 B，小颖与小红一起向
□数学建模 数学运算 直观想象
南偏东 60°的方向走 150m到达书店 C，则小颖家
与书店 AC的距离是 m． 00□数据分析
B
能力维度：□了解 理解 掌握
C
应用
A
题目来源: 选编 □改编 □创编
3.在 Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，
AB＝c.
（1）若 a＝3，b＝4，求 c；
（2）若 a＝8，c＝17，求 b；
（3）若 b＝24，c＝25，求 a；
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
6
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1. 在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D， 作业分析与设计意图：考查学生利用
AC＝20，BC＝15， 勾股定理解决问题的能力.第 1题考查
（1）求 AB的长； 勾股定理的应用及直角三角形面积的
（2）求 CD的长． 不同表示方法.
学科素养： □数学抽象 逻辑推理
□数学建模 数学运算 □直观想象
□数据分析
能力维度：□了解 □理解 □掌握
应用
题目来源: 选编 □改编 □创编
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
7
单元内容 第一章《勾股定理》 课 题 1.1探索勾股定理（2） 节次 第_2课时
作业功能
□课前预习 □课中练习 课后复习 □课后实践
（可多选）
作业类型 分层作业 □弹性作业 □个性化作业 □探究性作业
（可多选）
□实践性作业 □跨学科综合性作业
1.会用拼图法、等积法验证勾股定理.
作业目标
2.能运用勾股定理解决一些实际问题.
题 型 必做题有填空题 选做题有解答题
题 量 填空题 3 题 解答题 1 题 共 4 题
作业时长 基础性作业 11 分钟，拓展性作业 9 分钟，合计 20分钟
基础性作业（必做）
作业内容 设计意图与题目来源
1. 如图，把长、宽、对角线的长分别是 a、b、c的 作业分析与设计意图：渗透数学的建模
矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为 c 的等腰直 思想、分类讨论思想，考查学生的解题
角三角形，拼接成右边的图形，用面积割补法能够 能力。第 1题利用三角形的面积和、梯
得到的一个验证勾股定理的等式是 ． 形的面积来表示这个图形的面积，验证
勾股定理，从而揭示直角三角形三边之
间的关系，并用字母表示；第 2题通过
分类讨论，x分为两种情况，即 x是直
角边或斜边，根据勾股定理计算即可；
第 3题运用勾股定理解决实际问题.
2. 一个直角三角形三边分别为 5，12，x，那么 x2
学科素养： 数学抽象 逻辑推理
为 ．
数学建模 数学运算 直观想象
3. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面
示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心 □数据分析
A 和 B的距离为 .
能力维度：□了解 理解 掌握
应用
题目来源: 选编 □改编 □创编
8
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1.如图，隔湖有两点 A、B，从与 BA 方向成直角的 作业分析与设计意图：1.渗透数学建模
BC 方向的点 C测得 CA=50米，CB=40米. 思想，利用数学抽象，根据实际问题抽
求：（1）A、B两点的距离； 象出直角三角形，根据勾股定理计算，
（2） B点到直线 AC的距离. 感受数学在生活中的应用.2.考查学生
数形结合思想和勾股定理的应用， 并
通过利用几何画板画图加以验证，激发
学生的想象力，提高学生的信息技术素
2．探索与创新 如图，所有的四边形都是正方形， 养．
所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形
的边长为 9cm，请你完成下列学习任务． 学科素养： 数学抽象 逻辑推理
（1）求出正方形 A，B，C，D的面积之和;
（2）利用几何画板软件画出如下图所示的图 数学建模 数学运算 直观想象
形，并验证上述（1）中你得到的结论． □数据分析
能力维度：□了解 □理解 □掌握
应用
题目来源: 选编 □改编 □创编
9
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级 B等；其余情况综合评价为 C等.
单元内容 第一章《勾股定理》 课 题 1.2一定是直角三角形吗 节次 第_3课时
作业功能
□课前预习 □课中练习 课后复习 □课后实践
（可多选）
作业类型 分层作业 □弹性作业 □个性化作业 探究性作业
（可多选）
□实践性作业 □跨学科综合性作业
1.能用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.
作业目标 2.知道勾股数的概念，并能准确判断一组数是否是勾股数.
题 型 必做题有选择题 选做题有解答题
题 量 选择题 3 题 解答题 2 题 共 5 题
作业时长 基础性作业 10分钟， 拓展性作业 8 分钟， 合计 18分钟
10
基础性作业（必做）
作业内容 设计意图与题目来源
1.若△ABC的三边 a、b、c满足（a﹣b）2+
|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ） 作业分析与设计意图：第 1题是利用恒等
式变形及勾股定理逆定理判定三角形的形
A．等腰三角形 B．直角三角形 状；第 2题考查直角三角形的勾股数；第
C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3题考查勾股数的应用.
2.下列各组数为勾股数的是（ ） 学科素养： □数学抽象 逻辑推理
A．7，12，13 B．3，4，7 数学建模 数学运算 直观想象
C．6，8，10 D．1.5，2，2.5
□数据分析
3. 如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示
意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 能力维度：□了解 理解 掌握
AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12
的直角边分别向外延长一倍，得到如图 2所示的 应用
“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
题目来源: 选编 □改编 □创编
A．100 B．144 C．148 D．196
11
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1. 如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为 作业分析与设计意图：第 1 题渗透数
1,请你根据所学的知识 学转化思想，把不规则图形转化为规
(1)求△ABC 的面积 则图形，利用勾股定理及逆定理判定
(1)判断△ABC 是什么形 三角形的形状，第 2题探究勾股数的
状 并说明理由. 规律.
学科素养： □数学抽象 逻辑推理
□数学建模 数学运算 直观想象
2.观察下列表格
数据分析
列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13 能力维度：□了解 □理解 □掌握
7、24、25 72=24+25 应用
…… ……
13、b、c 132=b+c
题目来源: 选编 □改编 □创编
请你结合表格及相关知识，求 b、c的值.
12
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
单元内容 第一章《勾股定理》 课 题 1.3勾股定理的应用 节 次 第_4课时
作业功能
□课前预习 □课中练习 课后复习 □课后实践
（可多选）
分层作业 □弹性作业 □个性化作业 □探究性作业
作业类型
（可多选）
实践性作业 跨学科综合性作业
1.能正确应用勾股定理及其逆定理，解决简单的实际问题.
作业目标
2.能选择适当的数学模型解决问题.
题 型 必做题有选择题、填空题 选做题有解答题
题 量 选择题 1 题 填空题 2 题 解答题 3 题 共 6 题
作业时长 基础性作业 12分钟， 拓展性作业 8 分钟， 合计_20_分钟
13
基础性作业（必做）
作业内容 设计意图与题目来源
1. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠
在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米,顶
端距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动, 作业分析与设计意图：渗透建模思想，
将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,那么小 构造直角三角形用勾股定理及其逆定
巷的宽度为 ( ) 理，解决生活中的实际问题.
A.0.7 米 B.1.5米
C.2.2 米 D.2.4米 学科素养： 数学抽象 逻辑推理
数学建模 数学运算 直观想象
□数据分析
2. 一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别
为 8dm、3dm、2dm,A 和 B是这个台阶上两个相对
的端点,点 A处有一只蚂蚁,想到点 B处去吃可口 能力维度：□了解 理解 掌握
的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程
为 dm. 应用
题目来源: 选编 改编 □创编
3.如图,铁路上 A,B 两站(视为直线上两点)相距
25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB 于点
A,CB⊥AB 于点 B.已知 DA=15 km,CB=10 km,现在
要在铁路 AB上建设一个土特产收购站 E,使得 C,D
两村到 E站的距离相等,则 E站应建在距离 A站
km处.
4.（改编）如图，在△ABC中，D是 AB上一点，
CD=12，BC＝20，AC＝15，BD＝16．求 AB 的长．
C
A B
D
14
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市 作业分析与设计意图：第 1 题让学生
道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高速度 从数学的角度观察与分析、思考与表
不得超过 70km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左 达生活中的现实问题，发展应用意识
在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直 和实践能力，即从实际情景出发抽象
道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点 A 出数学模型，利用勾股定理计算即可.
正前方 30m的 C处,过了 2.5 s后行驶到 B处,此时 第 2 题通过实际测量旗杆的高度综合
测得小汽车与车速观察点 A之间的距离为 50 m,这 应用勾股定理等有关数学知识解决问
辆小汽车超速了吗 题，积累数学活动经验，提高语言表
达能力，动手操作能力，数学抽象能
力、数学建模能力，形成和发展核心
素养.
2.（创编）为了对学生进行爱国主义教育，我校开 学科素养： 数学抽象 逻辑推理
展“生在红旗下，长在春风里”感党恩主题教育活
动，请你运用所学知识设计一个方案，测量我校旗 数学建模 数学运算 直观想象
杆的高度，画出示意图，并说明理由. □数据分析
能力维度：□了解 □理解 □掌握
应用
题目来源: 选编 □改编 创编
15
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
单元内容 第一章《勾股定理》 课 题 1.4回顾与思考 节 次 第_5课时
作业功能
课前预习 □课中练习 课后复习 □课后实践
（可多选）
作业类型 分层作业 □弹性作业 □个性化作业 □探究性作业
（可多选）
□实践性作业 □跨学科综合性作业
1.能自己建立本章的知识结构图.
2.理解直角三角形边、角之间分别存在的关系.
作业目标
3.加深对勾股定理及其逆定理的理解，体会两个定理应用的广泛性.
4.了解勾股定理的历史.
题 型 必做题有选择题、填空题 选做题有解答题
题 量 选择题 5题 填空题 1 题 解答题 2 题 共 7 题
作业时长 基础性作业 14分钟， 拓展性作业 6分钟， 合计 20分钟
16
基础性作业（必做）
作业分析与设计意图：引导学生回顾
课前预习
梳理本章知识、建立知识结构图. 本章学习的主要内容，构建知识系
（3-5分钟）
统，养成回顾反思的学习习惯.
作业内容 设计意图与题目来源
1.（创编）勾股定理在我国古代被称为（ ）
A．商高定理 B.赵爽定理
C.祖冲之定理 D.百牛定理 作业分析与设计意图：第 1 题了解勾
2.(创编)2002年第 24届国际数学家大会在中国北 股定理的历史，感受数学文化；第 2
京召开，下列哪个图案被选为本届会徽（ ） 题勾股定理在数学中重要地位，从不
同选项中了解中国文化，教育学生热
爱祖国；第 3 题考查学生灵活运用勾
股定理和整体思想解决问题的能力；
第 4 题旨在运动中发展学生空间观念,
利用建模思想构造直角三角形求解；
A. B. C. D.
第 5题综合考查了直角三角形边角之
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 AC+BC=14cm， 间的关系；第 6题考查等腰三角形的
性质及勾股定理.
AB=10cm，则 Rt△ABC 的面积是( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 2
学科素养： 数学抽象 逻辑推理
D.60cm
数学建模 数学运算 直观想象
4．张大爷出门散步，他先向正东走了 80m，接着
又向正南走了 150m，此时他离家的距离为（ ） □ 数 据 分 析
A.200m B.160m C.170m D.180m
5．（创编）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别 能力维度： 了解 理解 掌握
记为 a、b 、 c，由下列条件不能判定△ABC 为直角
应用
三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3 题目来源: 选编 改编 创编
C．a2 = c2 b2 D． a∶b ∶ c =3∶4∶6
6.（改编）如图,O 为数轴原点,A,B两点分别对应
-3,3,作腰长为 5的等腰三角形 ABC,连接 OC,以 O
为圆心、OC长为半径画弧交数轴于点 M,则点 M对
应的实数为 .
C
A 0 B M
17
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做其一）
作业分析与设计意图：第 1 题渗透建
1.“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有 模思想构造直角三角形，考查勾股定
池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与 理应用；第 2 题考查勾股定理逆定理
岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边 应用及直角三角形面积两种表示形式
长为 1O尺的正方形池塘，一棵芦苇 AB生长在它的 或根据勾股定理列出方程解答，让学
中央，高出水面 BC 为 l尺．如果把该芦苇沿与水池 生学会用数学的语言和数学的思维解
边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰 决问题.
到岸边的 ′（如图）．问水深和芦苇长各多少？
学科素养： 数学抽象 逻辑推理
数学建模 数学运算 直观想象
□数据分析
能力维度：□了解 □理解 □掌握
应用
题目来源: 选编 □改编 □创编
18
2. 如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支
架 AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离 AB＝30
cm，求点 C到 AB的距离．(结果保留整数)
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不够规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
19
六、单元检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题
1．在△ABC 中，若∠B+∠C＝90°，则（ ）
A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2
C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．8，10，12 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，25
3．下列判断中正确的有（ ）个
（1）直角三角形的两边为 3和 4，则第三边长为 5
（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形
（3）若三角形的三边满足 b2＝a2﹣c2，则△ABC 是直角三角形
（4）若△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝8：15：17，则△ABC 是直角三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
4.我县在创建安徽省文明县城，我校积极参与文明创建工作，如图，有一块边长为 24 米的正
方形绿地，在绿地旁边 B处可以进入操场，有些同学抄近路在 A处的践踏了绿地，小明想在 A
处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字
是( )
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
5．如图，在 4×4的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个格点 C，使得
△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据
图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数
与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
20
二、填空题
7．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数＝ ．
8．勾股定理 a2+b2＝c2 本身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，
c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以
构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可
以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第 5个勾股数
组为 ．
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对
角线 AC、BD交于点 O．若 AD＝2，BC＝4，则 AB2+CD2＝ ．
10．如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为 5cm、4cm、12cm，插吸管处的出
口到相邻两边的距离都是 1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管
长度要在 3cm 至 5cm 间（包括 3cm 与 5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总
长度 L的范围是 ．
21
三、解答题
11.夏天到了，小明的爸爸让安装师傅给小明的奶奶安装了一台空调，要使空调支架的横
梁与地面平行，如图，BC边竖直紧靠房子的外墙壁，AC边为横梁，已知：AC=40cm、BC=30cm,
当 AB为多长时横梁 AC是水平的，请说明理由.
12. 如图所示的一块草坪，已知 AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，求这块草
坪的面积．
C B
D
A
13.探索与思考 如图１，我们知道，以 Rt△ABC 的三边为边长的三个正方形的面积之间
有关系：两个小正方形面积之和等于大正方形．请你回答下面 的问题：
（１）如图 2，以 Rt△ABC 的三边为边长的三 个等腰直角三角形的面积之间有什么关系？
请给出证明．
（２）根据上面两个问题的启示，你还能发现哪些结论？请你写出发现的一个结论，并给
出证明．
22
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 2 √ 易 原创
2 选择题 5 √ 易 原创
3 选择题 3、5 √ 易 改编
4 选择题 3 √ 中 原创
5 选择题 7 √ 较难 选编
6 选择题 2、4 √ 易 选编
7 填空题 7 √ 中 改编 30分钟
8 填空题 6 √ 中 选编
9 填空题 3、4 √ 中 选编
10 填空题 7 √ 较难 选编
11 解答题 3、4 √ 易 原创
12 解答题 7 √ 中 改编
13 解答题 2、3 √ 较难 改编
23
七、参考答案部分
课时作业参考答案
1.1探索勾股定理（1）参考答案
基础性作业（必做）
1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理（分别用文字语言及符号语言叙
述）； .
c
a
b
【答案】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如图，两直角边长分别为 、 ,斜边长为 ，则 2 + 2 = 2
【分析】直接利用勾股定理叙述并写出即可.
【解答】解：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如图，两直角边长分别为 ， ,斜边长为 ，则 2 + 2 = 2.
【点评】本题主要要求同学们掌握勾股定理文字语言表述及符号语言表示.
2.（创编） 如图，小颖从家 A出发向北偏东 30°方向走了 200m到了小红家 B，小颖与小红一
起向南偏东 60°的方向走 150m到达书店 C，则小颖家到书店 AC的距离是 m．
B
C
A
【答案】250
【分析】根据题意：小颖从家 A点出发，向北偏东 30°方向走了200 ，到达小红家 B点，
即 = 200 ，然后两人一起向南偏东 60°的方向走 150m,到达书店 C点，即 = 15 ,画
出方位角即可. 北
【解答】解：如图所示，根据方位角可知∠ABC=90°，
∴△ABC 是直角三角形，
∴ 2 = 2 + 2 = 2002 + 1502 = 62500
∴ = 250.
故答案为：250.
【点评】本题主要考查了方位角及勾股定理的运用.
3.在 Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
（1）若 a＝3，b＝4，求 c；
（2）若 a＝8，c＝17，求 b；
（3）若 b＝24，c＝25，求 a；
24
【分析】在直角三角形中，知道两边求第三边，利用勾股定理直接计算即可，注意计算时把
勾股定理变形运用.
【解答】解：（1）∵在 △ 中，∠ = 90°，
a＝3，b＝4
∴ 2 = 32 + 42 = 25,
∴ = 5;
（2）∵在 △ 中，∠ = 90°，
a＝8，c＝17
∴ 2 = 172 82 = 225,
∴ = 15;
（3）∵在 △ 中，∠ = 90°，
b＝24，c＝25
∴ 2 = 252 242 = 49,
∴ = 7.
【点评】本题主要看出来勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜
边长为 ,那么 2 + 2 = 2.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
2. 在 Rt△ABC中，∠ ＝90°， ⊥ 于点 ， ＝20， ＝15，
（1）求 AB的长；
（2）求 CD的长．
【分析】（1）在△ 中利用勾股定理可直接求得 的长度；
（2）在同一个三角形中，选取不同的底 以及 ，分别对应的高 以及 ，通过
面积相等联立在一起 × = × 求得 .
【解答】解：（1）∵在△ 中，∠ = 90°， ＝20， ＝15，
∴ 2 = 2 + 2 = 202 + 152 = 625，
∴ = 25；
（2）∵在△ 中，∠ = 90°， ＝20， ＝15，
1 1
∴ △ = · = × 20 × 15 = 150， 2 2
∵ ⊥
∴ 是△ABC的边 上的高
25
1
∴ · = 150
2
1
∴ × 25 = 150
2
∴ = 12.
【点评】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积公式.
1.1探索勾股定理（2）参考答案
基础性作业（必做）
1. 如图，把长、宽、对角线的长分别是 a、b、c 的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为 c
的等腰直角三角形，拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个验证勾股定理的等式
是 ．
【答案】a2 + b2 = c2.
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与
边之间的关系．
【解答】解：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
梯形的面积为S＝ （a + b）（b + a）＝ab + （ 2 + b2），
利用分割法，梯形的面积为三个直角三角形的面积和：
＝ + 2 + ＝ + 2， (3)
∴ab + （ 2 + b2）＝ab + c2，
∴a2 + b2＝c2.
故答案为：a2 + b2＝c2.
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，
和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
2. 一个直角三角形三边分别为 5，12，x，那么 x2为 ．
【答案】169或 119.
【分析】根据题意应分情况讨论，分 x为斜边和直角边两种情况讨论，根据勾股定理求解即
可.
26
【解答】解：当 x为斜边时， 2 = 52 + 122 = 169，
当 x为直角边时，∵12大于 5，∴12为斜边
∴ 2 = 122 52 = 119，
∴x2 = 169 或 119.
故答案为：169或 119.
【点评】本题考查了勾股定理及分类讨论思想，已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三
边时，已知的两边可能都是直角边，也可能是一直角边与斜边，若题中没有明确说明，则应分
类讨论．
3. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆
孔中心 A和 B的距离为 .
【答案】150 .
【分析】观察图像可得△ 为直角三角形， , 的长度观察图像可以求得，直接利用勾
股定理求出 的长度即可.
【解答】解：由题意得： = 180 60 = 120( )
= 150 60 = 90( )
在△ 中，
∠ = 90°，
根据勾股定理得: 2 = 2 + 2 = 902 + 1202 = 1502，
∴ 的距离为150 .
故答案为：150 .
【点评】 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,已知两直角边，求斜边，直接利用勾股
定理就可以解决.关键是从题中抽象出确定直角三角形的两边长度.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1.如图，隔湖有两点 A、B，从与 BA方向成直角的 BC方向的点 C测得 CA=50米，CB=40 米.
求：（1）A、B 两点的距离；
（3） B点到直线 AC的距离.
【分析】（1）本题考查的是勾股定理的应用，由 BA方向成直角的 BC方向的点 C 判定此三角
形为直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.
27
（2）本题考查的是点到直线的垂直距离最短，以及灵活运用面积法解题.
【解答】解：（1）根据勾股定理即可求得结果.
由题意得 2 = 2 2 = 502 402 = 302，
∴ = 30米，
答：A、B两点的距离为 30米
（2）设点 到直线 的距离为 ，作 ⊥ ,如图，
1 1
由面积法： △ = × = × , 2 2 D
∴30 × 40 = × 50
∴BD=24米
答：B点到直线 AC 的距离为 24米.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及点到直线的距离的概念：即任意直角三角形
两直角边的平方和等于斜边的平方.过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段的长叫这个点到
这条直线的距离，垂线段最短.
3．探索与创新 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边长为 9cm，请你完成下列学习任务．
（1）求出正方形 A，B，C，D的面积之和;
（2）利用几何画板软件画出如下图所示的图形，并验证上述（1）中你得到的结论．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可
【解答】解：（1）由勾股定理，可得
正方形 ， ， ， 的面积之和为81 2.
（2）利用几何画板基本作图工具分步作图或用迭代法作图均可，然后进行度量
验证.
【点评】本题考查了勾股定理，有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等
于斜边的平方。
28
1.2一定是直角三角形吗参考答案
基础性作业（必做）
1.若△ABC的三边 a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】 .
【分析】根据“几个非负数的和为 0，则这几个数都为 0”得出 a-b=0,a2+b2-c2=0,再由勾股定
理的逆定理即可判断△ABC的形状.
【解答】解：∵(a-b)2+|a2+b2-c2|=0 且（a-b)2≥0,|a2+b2-c2|≥0
∴(a-b)2=0且|a2+b2-c2|=0
∴a-b=0 且 a2+b2=c2
∴△ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
【点评】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理.
2.下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，7
C．6，8，10 D．1.5，2，2.5
【答案】C.
【分析】考查勾股数的概念.
【解答】解：三个数之间存在两个较小数的平方和等于最大数的平方，且这三个数都是正整
数，即为勾股数.
故选：C.
【点评】熟记常见的勾股数有利于快速解题.
3. 如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，
若 AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12的直角边分别向外延长一倍，得到如图 2所
示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．100 B．144 C．148 D．196
【答案】C.
【分析】感受数学文化，认真分析题意，运用勾股定理解决问题.
【解答】解：∵AC=12 ∴2AC=24 又∵BC=7
由勾股定理可得：“数学风车”的外围较长边为 25
又∵较短边为 12
∴每个扇叶的外围长为：25+12=37
29
∴“数学风车”的外围周长为：37×4=148
故选：C.
【点评】本题主要要理清题意，熟练运用勾股定理是解题的关键.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1. 如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为 1,请你根据所学的知识
(1)求△ABC 的面积
(1)判断△ABC 是什么形状 并说明理由.
【分析】（1）根据面积差求值.
（2）用勾股定理得出三边的平方，再根据三边的平方关系即可判定△ABC 的形状.
【解答】解：（1）∵△ABC 的面积=大矩形的面积-三个直角三角形的面积
1 1 1
∴S△ABC=4×8- ×1×8- ×2×3- ×6×4=13
2 2 2
（2）△ABC 是直角三角形。
理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+22=13
BC2=62+42=52
AC2=82+12=65
2 2 2
∴AB +BC =AC
∴△ABC 是直角三角形.
【点评】本题考查了图形面积的和差关系，以及勾股定理和逆定理的应用.
2.观察下列表格
列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
…… ……
13、b、c 132=b+c
请你结合表格及相关知识，求 b、c的值.
【分析】观察表格每一组数据的特点，得出在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方
等于两个连续的正整数之和.
【解答】解：∵132=b+c 即 169=b+c
又∵b、c为连续的正整数
∴b=84 c=85
【点评】探索常见的勾股数的规律，激发学生的学习兴趣，为熟记常见的勾股数做好铺垫.
30
1.3勾股定理的应用参考答案
基础性作业（必做）
1. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7
米,顶端距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2
米,那么小巷的宽度为 ( )
A.0.7米 B.1.5 米
C.2.2米 D.2.4 米
【答案】 .
【分析】如图，先根据勾股定理求出梯子 AB的长，同理可得出 BD的
长，进而可得出结论.
【解答】解：在 △ 中，
∵∠ = 90°， = 0.7米， = 2.4米，
∴ 2 = 0.72 + 2.42 = 6.25.
在 △ ′ 中,
∵∠ ’ = 90°， ’ = 2米， 2 + ′ 2 = ’ 2,
∴ 2 + 22 = 6.25，
∴ 2 = 2.25，
∵ > 0，
∴ = 1.5米，
∴ = + = 0.5 + 1.5 = 2.2米.
故选： .
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决问题时勾股定理与方程的结
合是解决实际问题常用的方法；从题目中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意
图，领会数形结合的思想的应用是关键.
2. 一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别为8 、3 、2 ,A和 B是这个台阶上两
个相对的端点,点 A处有一只蚂蚁,想到点 B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B
的最短路程为 dm.
【答案】17
【分析】先将台阶的平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短，进行解答即可.
【解答】解：∵三阶台阶平面展开图为长方形，长为8 ，宽为（2 + 3） × 3 = 15dm，
则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程是此长方形的对角线的长,
设则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 ,
由勾股定理得：
2 = 82 + 152 = 172,
31
解得 = 17.
故答案为：17
【点评】本题主要考查了平面展开，最短路径问题，勾股定理的应用，用到台阶的平面展开
图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.
3.如图,铁路上 A,B两站(视为直线上两点)相距 25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB 于
点 A,CB⊥AB 于点 B.已知 DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路 AB 上建设一个土特产收购站 E,
使得 C,D两村到 E站的距离相等,则 E站应建在距离 A站 km处.
【答案】10.
【分析】设 AE 为 x,则 BE=25-x,在直角三角形 DAE和直角三角形 CBE中，DE2 = AD2+ AE2 ,CE2
= BE2+BC2 ,则 AD2 + AE2 = BE2 + BC2，然后列方程求解即可.
【解答】解：∵C、D 两村到 E站距离相等，
∴CE = DE ,
在 △ 和 △ 中，
DE2 = AD2+ AE2 ,
CE2 = BE2+BC2 ,
∴AD2 + AE2 = BE2 + BC2 .
设 AE 为 x ,则 BE = 25-x ,则 x2 + 152 = (25 - x)2 + 102 ,
整理得,50x = 500 ,
解得 x = 10 ,
. ∴E站应建在距 A站 10km 处.
故答案为：10 .
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于 x的方程是解题的关键.
4.（创编）如图，在△ABC中，D是 AB上一点，CD=12，BC＝20，AC＝15，BD＝16．求 AB的
长．
C
A B
D
【分析】利用勾股定理的逆定理判定△ 是直角三角形，即∠ = 90°，所以△ACD也是
直角三角形，利用勾股定理可求出 的值，即可得出结论.
【解答】解：在△ 中，
= 20， = 12， = 16，
∵ 2 = 202 = 400，
32
2 + 2 = 122 + 162 = 400,
∴ 2 = 2 + 2，
∴△BCD 是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC 是直角三角形，
∴ 2 = 2 2 = 152 122 = 81,
∴ = 9， = 9（舍去），
∴ = + = 9 + 16 = 25.
【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关
键.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高
速度不得超过 70 km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市
道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点 A正前方 30 m 的 C处,过了 2.5 s 后
行驶到 B处,此时测得小汽车与车速观察点 A之间的距离为 50 m,这辆小汽车超速了吗
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求 BC的距离，直角三角形 ABC中，有斜边 AB的
长，有直角边 AC的长，那么 BC的长就容易求得，根据小汽车用 2.5s行驶的路程为 BC，那
么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了.
【解答】解：在 △ 中， = 30 , = 50 ；
据勾股定理可得：
2 = 2 2 = 502 302 = 1600，
∴ = 40（m）, = 40（舍去），
∴小汽车的速度为
40
= = 16( ) = 16 × 3.6（km/h）= 57.6（km/h）；
2.5
70 / > 57.6km/h
∴这辆小汽车没有超速行驶.
答：这辆小汽车没有超速.
【点评】本题考查勾股定理的应用，是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条
件和问题放到直角三角形中，进行解决，要注意题目中单位要统一.
33
2.（创编）为了对学生进行爱国主义教育，我校开展“生在红旗下，长在春风里”感党恩主题
教育活动，请你运用所学知识设计一个方案，测量我校旗杆的高度，画出示意图，并说明理由.
【分析】此题属于发散思维题，让学生感受勾股定理在数学中的作
用，提升学生探索问题的能力.
【解答】解:方案：利用勾股定理测旗杆的高度
学校操场的旗杆高 ，旗杆上升国旗的绳子到旗杆
底端 还剩余 米。把绳子拉直，绳子末端 到旗杆底端 的
距离是 米。问旗杆高度多少米？（可以量出 , 长度）
解：设AB = x米，AC = （x + m）米，根据勾股定理得
2 + 2 = 2 A
2
∴ 2 + 2 = （x + m）
2 2
∴ =
2
B C
通过计算可以求出旗杆 的高度.
说明:学生若利用其他方法给出答案,只要合理正确均可.
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键.
1.4回顾与思考参考答案
基础性作业（必做）
1.（创编）勾股定理在我国古代被称为（ ）
A．商高定理 B.赵爽定理
C.祖冲之定理 D.百牛定理
【答案】A.
【分析】这是数学史知识，很明显 A答案正确.
【解答】A.
【点评】勾股定理我们国家首先发现的，古代除了称为勾股定理外，还被称为商高定理.本题
知识的考察可培养学生的爱国主义精神，增强了民族自豪感.
2.(创编)2002 年第 24 届国际数学家大会在中国北京召开，下列哪个图案被选为本届会徽
（ ）
A. B. C. D.
34
【答案】C.
【分析】本题考察生活常识，很明显答案为 C.
【解答】C.
【点评】国际数学家大会在中国北京召开，说明国际社会对我们国家的认可，说明勾股定理
在人类生活中的重要地位，也说明我国古代劳动人民的智慧被世界认可。本题可培养学生的
的爱国主义精神，增强了他们的民族自豪感，激发他们努力学习、报效祖国的热情.
3.在 △ 中，∠ = 90°，若 + = 14 ， = 10 ，则 △ 的面积是
( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
【答案】 .
【分析】本题首先画出图形，设 、 中一个量为 ，另一个量用含 的代数式表示出
来，然后利用勾股定理，再列出方程，即可求得答案.如果学生利用代数变形和整体思想给出
如下解法，应给予鼓励表扬，激发创新精神.
1 1
【解答】解： △ = = × 2 2 4
1
= [(a + b)2 （ 2 + 2）]
4
1
= [(a + b)2 c2]
4
1
= (142 102)
4
= 24（ 2）
故选： .
【点评】本题考查的是勾股定理的应用. 体现了数形结合的思想、方程的思想，提升了学生
的数学运算的素养.
4．张大爷出门散步，他先向正东走了80 ，接着又向正南走了150 ，此时他离家的距离为
（ ）
A.200m B.160m C.170m D.180m
【答案】
【分析】本题画出图形，直接利用勾股定理即可求出答案.
【解答】
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用. 说明数学与生活的联系，提升了学生
的数学抽象、数学建模和直观想象的学科素养.
5．（创编）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为 a、b 、 c，由下列条件不能判定△
ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3
35
C．a2 = c2 b2 D． a∶b ∶ c =3∶4∶6
【答案】D
【分析】A答案正确，因为可以求出∠C=90°；B答案正确因为可以求出∠A=30°，
∠B=60°，∠C=90°；C答案正确因为这是勾股定理的逆定理，所以 D答案错误，因为
32+42<62不符合勾股定理的逆定理.
【解答】
【点评】本题考查直角三角形的判定方法，角的关系如何判定，边的关系如何判定，边的关
系就是利用勾股定理的逆定理判定.说明勾股定理的逆定理是判定一个角是直角的一种重要的
方法，体现了数形结合的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.
6.（改编）如图, 为数轴原点, , 两点分别对应-3,3,作腰长为 5的等腰三角形 ABC,连接
,以 为圆心、 长为半径画弧交数轴于点 ,则点 对应的实数为 .
C
A 0 B M
【答案】4.
【分析】本题利用勾股定理直接求出 = 4，然后得出 = = 4，即 对应的实数也是
4.
【解答】4.
【点评】本题是勾股定理的内容、圆的知识、数轴上的点对应的实数等知识的综合运用，体
现了数形结合的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.
拓展性作业（或实践性作业等）（选做）
1.“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴
岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为 1O 尺的正方形池塘，一棵芦
苇 生长在它的中央，高出水面 为 l 尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，
那么芦苇的顶部 恰好碰到岸边的 ′（如图）．问水深和芦苇长各多少？
【分析】解答本题时首先要理解题意，不仅弄明白题目中的 、 、 ′、 ′ 之间的数量
36
关系，而且还要知道∠ ′ = 90°；然后设未知数，利用勾股定理找等量关系，列出方程，
即可求得答案.
【解答】解：设水深 的长为 尺，则芦苇长 = ( + 1)尺， = 5尺.
由题意，得∠ = 90°，
在 Rt△ACB 中，∵ 2 + 2＝ 2
2
∴ 2 + 52 = （x + 1）
解这个方程得，2 = 24
∴ = 12
∴ = 12 + 1 = 13（尺）
答：水深 的长为 12尺，则芦苇长 为尺.
【点评】本题说明了勾股定理在我国古代就有广泛的应用，解答本题的关键要熟练掌握
勾股定理.也体现了如何利用勾股定理解决生活中的问题，说明数学与生活息息相关.本题培
养了学生的爱国主义精神，增强了他们的民族自豪感.提升了数学抽象、数学建模和直观想象
等核心素养.
3. 如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 ＝24 ， ＝18 ，两轮中心
的距离 ＝30 ，求点 到 的距离．(结果保留整数)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理应用
E
【解答】解：过点 作 ⊥ 于点 E，则 CE的长即为点 C到 AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2＋CB2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
1 1
∵S△ABC＝ AC·BC＝ CE·AB，
2 2
∴AC·BC＝CE·AB，即 24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14（cm）.
答：点 C到 AB的距离约为 14 cm.
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式在实际生活中的应用. 解答本
题的关键是运用勾股定理的逆定理和等积法解决问题.说明了数学源于生活.
37
单元检测作业参考答案
1. 在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（ ）
A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2
C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2
【答案】D.
【分析】由∠ + ∠ = 90°可得∠ = 90°，于是可确定 BC是 Rt△ ABC的斜边，再根据勾股定
理即得答案.
【解答】解：∵ ∠ + ∠ = 90°
∴ ∠ = 90°
∴ BC是 Rt△ ABC的斜边
∴BC2＝AB2+AC2
故选：D.
【点评】本题考查了勾股定理,熟记勾股定理是解题的关键.
2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．8，10，12 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，25
【答案】A.
【分析】根据勾股定理的逆定理 2 + 2 = 2判定.
【解答】解：A.∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故 A选项符合题意；
B.∵62+82=102，∴三条线段能组成直角三角形，故 B选项不符合题意；
C. ∵52+122=132，∴三条线段能组成直角三角形，故 C选项不符合题意；
D. ∵72+242=252，∴三条线段能组成直角三角形，故 D选项不符合题意；
故选：A.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理逆定理是解题的关键.
3．下列判断中正确的有（ ）个
（1）直角三角形的两边为 3和 4，则第三边长为 5
（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形
（3）若三角形的三边满足 2＝ 2﹣ 2，则△ABC是直角三角形
（4）若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝8：15：17，则△ABC 是直角三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B.
【分析】由勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理，即可得到三角形是否为直角三角形.
【解答】解：A.直角三角形的两边为 3和 4，则第三边可能为直角边或斜边，故 A 错误；
B.有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形是正确的；
C．若三角形的三边满足 2 = 2 2,即 2 + 2 = 2,则△ 是直角
三角形是正确的；
17
D.若△ 中，∠ ∶ ∠ ∶ ∠ = 8 ∶ 15 ∶ 17，∠ = 180° × = 76.5°，
8+15+17
则△ABC 不是直角三角形，原来的说法错误.故正确的有 2个.
故选：B.
38
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的内角和定理，分类讨论思想等.
4.我县在创建安徽省文明县城，我校积极参与文明创建工作，如图，有一块边长为 24 米的正
方形绿地，在绿地旁边 B处可以进入操场，有些同学抄近路在 A处的践踏了绿地，小明想在 A
处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字
是( )
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】D.
【分析】根据捷径 恰好与 、 .构成直角三角形，由勾股定理即可求出 的长.
【解答】解：如图：因为是一块正方形的绿地，所以∠ = 90°，
有勾股定理得， = 25米，计算得由 点顺着 ， 到 点的路
程是24 + 7 = 31米，而 = 25米，则少走了31 25 = 6米.
C
故选：D.
【点评】本题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能
力，同时也增强了学生们要爱护花草、文明出行的意识.
5．如图，在 4×4的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个格点 C，使得
△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点 C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B.
【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰直角△ABC底边；②AB
为等腰直角△ABC 其中的一条腰.
【解答】解：如图：分情况讨论：
① AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点 C点有 0个；
② AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点 C点有 3个.
故共有 3个点，
故选：B.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、分类讨论思想、空间观念；解答本题关键是根据题意，
画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
39
6.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据
图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数
与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C.
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可.
【解答】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形
面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想.
故选：C.
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体
现的数学思想为数形结合思想.
二、填空题
7．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝ ．
【答案】45°.
【分析】设小正方形的边长为 （ ＞0），再利用勾股定理分别求出 AC、BC、AB的长，然后根
据勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质即可得.
【解答】解：如图，连接 AC，
设小正方形的边长为 （ ＞0）
2
∴ 2 = 2 + （2a） = 5 2,
2 2
2 = 2 + （2a） = 5 2, B2 = 2 + （3a） = 10 2,
∵ 2 + 2 = 5a2 + 5a2 = 10 2, 2 = 10a2,
∴ 2 = 2 + 2,
∴∠ = 90°，
∵ = ，
∴∠ = ∠ = 45°.
故答案为：45°.
【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型.
40
2 2 2
8．勾股定理 a +b＝c 本身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，
c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以
构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可
以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第 5个勾股数
组为 ．
【答案】11,60,61.
【分析】由勾股数组：（3,4,5），（5，12，13），（7,24,25）…中，4＝1×（3+1），12＝2
×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第 5组勾股数中间的数为 5×（11+1）=60，进而得出（11,60,61）.
【解答】解：∵第 1 组：3 = 2 × 1 + 1,4 = 1 × （3 + 1）, 5 = 4 + 1，
第 2 组：5 = 2 × 2 + 1,12 = 2 × （5 + 1）, 13 = 12 + 1，
第 3 组：7 = 2 × 3 + 1,24 = 3 × （7 + 1）, 25 = 24 + 1，
∴第 组：2n + 1, n（2n + 1 + 1），n（2n + 1 + 1） + 1，
∴第 5 组：2 × 5 + 1 = 11,5 × （11 + 1） = 60，60 + 1 = 61.
故答案为：11,60,61.
【点评】本题考查的是勾股数的概念、整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题的关键.
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对
角线 AC、BD交于点 O．若 AD＝2，BC＝4，则 AB2+CD2＝ ．
【答案】20
【分析】先根据 ⊥ 得到∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90°，从而得到△ 、 △
、 △ 、 △ 为 直 角 三 角 形 ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 边 2、 2、 2、
2、 2、 2、 2、 2间的关系，通过整理可得 2 + 2 = 2 + 2，最后代入数
据求出 2 + 2的值.
41
【解答】解：∵四边形 ABCD是垂美四边形
∴ ⊥
∴∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90°
∴ 2 = 2+ 2， 2 = 2 + 2， 2 = 2 + 2， 2 = 2 + 2
∴ 2 + 2 = 2+ 2 += 2 + 2 = 2 + 2 = 22 + 42 = 20.
故答案为：20.
【点评】本题主要考查了勾股定理的运用.
10．如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为 5cm、4cm、12cm，插吸管处的出
口到相邻两边的距离都是 1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管
长度要在 3cm 至 5cm 间（包括 3cm 与 5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总
长度 L的范围是 ．
【答案】16 ≤ ≤ 17cm.
【分析】如图，当吸管底端在 点时与底面垂直，露在牛奶盒外面的最长为
5 ,此时吸管长为12 + 5 = 17 .
当吸管底端位于点 的位置时，露在牛奶盒外面的最短为3 ，此时吸管长
为（BP + 3）cm，根据勾股定理求出 的长即可.
【解答】解：如图，当吸管底端在 点时与底面垂直，露在牛奶盒外面的最长为5 ,
此时 = 12 ,吸管最长为12 + 5 = 17 .
当吸管底端位于点 的位置时，露在牛奶盒外面的最短，
此时△ABC为直角三角形，其中AC = 5 1 = 4(cm)，
BC = 4 1 = 3（cm）, ∠ACB = 90°，
∴根据勾股定理得： 2 = 2 + 2
= 42 + 32 = 25( 2),
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得： 2 = 2 + 2 = 25 + 144 = 169
∴ = 13， = 13（舍去）
则吸管最短为 13+3=16（cm）,
∴16 ≤ ≤ 17cm.
故答案为：16 ≤ ≤ 17cm.
【点评】本题主要考查了勾股定理的运用和空间想象能力，善于观察题目的信息，正确理解题
意是解题的关键.
42
三、解答题
11.夏天到了，小明的爸爸让安装师傅给小明的奶奶安装了一台空调，要使空调支架的横
梁与地面平行，如图，BC边竖直紧靠房子的外墙壁，AC边为横梁，已知： = 40 、 =
30 ,当 AB为多长时横梁 AC是水平的，请说明理由.
【分析】根据题意可知,让横梁 AC 是水平，那么 AC 必须垂直 BC，据此可得△ABC 为直角三角
形，根据勾股定理可求出 AB的值.
【解答】解：当 = 50 时横梁 AC是水平的.
理由如下：由题意可知， BC边是竖直的，要使横梁 AC是水平的,则 AC⊥BC.
∴∠ACB=90°
∴△ABC 是直角三角形，
∴ 2 + 2 = 2，
∵ = 40 、 = 30 ，
∴ = 50 .
因此，当 = 50 时横梁 AC 是水平的.
【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
12. 如图所示的一块草坪，已知 AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，求这块草
坪的面积．
C B
D
A
【分析】连接 AC，运用勾股定理可得 AC 的长为 15m,再运用勾股定理的逆定理可证△ABC为直
角三角形，求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差.
【解答】解：如图，连接 AC，则在 Rt△ACD 中，
2 = 2 + 2 = 92 + 122 = 225，
∴AC=15，
在△ABC 中，
2 = 392 = 1521，
∵ 2 + 2 = 152 + 352 = 1521，
∴ 2 = 2 + 2，
∴∠ = 90°，
43
1 １ 1 1
∴ △ △ = · AD · CD = × 15 × 36 × 12 × 9 2 ２ 2 2
= 270 54 = 216(平方米)
答：这块地的面积是 216平方米.
【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理的运用，解答此题的关键是通过作辅助线使图形转
化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单.
13.探索与思考 如图１，我们知道，以 Rt△ABC 的三边为边长的三个正方形的面积之间
有关系：两个小正方形面积之和等于大正方形．请你回答下面 的问题：
（１）如图 2，以 Rt△ABC 的三边为边长的三个等腰直角三角形的面积之间有什么关系？
请给出证明．
（２）根据上面两个问题的启示，你还能发现哪些结论？请你写出发现的一个结论，并给
出证明．
【分析】从图①②中容易探索出规律，从而猜测出结论，规律的类推只是一种猜测，它的正确
与否必须经过实践来证明.
【解答】解：（1） 1 + 2 = 3.
理由如下：∵△ABC 是直角三角形，
∴图①中，利用勾股定理得： 2 = 2 + 2，即 3 = 1 + 2，
∵图②是以 Rt△ABC 的三边为边长的三个等腰直角三角形，
1 1 1
∴2 2 = 2，即 2 = 2,∴ 2 2
2 3
= = ,
2 4
1 1
同理可得 1 =
2，S 22 = , 4 4
∴ 1 + 2 = 3.
（2）通过这两个图形的探索，可以发现：分别以直角三角形 ABC三边为一边向
外作半圆、等边三角形、正五边形等，均可发现 S1 + S2 = S3，只要选出一个结论证明即可.
以作半圆为例进行证明如下：
1 2 1
由图可知： 1 = × × （ ） =
2,
2 2 8
1 2 1
S2 = × × （ ） =
2，
2 2 8
1 2 1
S3 = × × （ ） = πc
2，
2 2 8
44
1 1 1
∴S + S = 21 2 +
2 = ( 2 + 2)，
8 8 8
∵ 2 = 2 + 2，
∴S1 + S2 = S3.
【点评】本题主要考查了勾股定理运用及图形面积的计算，能够根据特殊的关系找到一般的规
律是解题的关键.本题可以将在直角三角形向外作的三个图形推广为等边三角形、半圆、正五
边形等相似图形.
45

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