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费马点解题方法例题精讲
【知识储备】
1.费马点问题
(1)费马点定义
到一个三角形三个顶点的距离之和最小的点，通常被称为费马点.
(2)费马点的名称
费马点问题最早由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(也是著名的物理学家，伽利略的学生和助手)的信中提出的，托里拆利最早解决了这个问题，因此这个点也称为托里拆利点.
(3)费马点位置的确定
首先把问题转化为具体的数学问题.如图1，在△ABC中，每个内角都小于120度，在三角形内部有一个点 P, 请确定点 P的位置,使得PA+PB+PC 最小. 其次确定点P 的位置. 方法一: 如图2, 把△CAP绕点C 顺时针旋转60度至△CED,连接PD和AE,得等边△CPD,则 ,如图3,当B, P, D, E四点共线时, 方法二：如图4及图5，把△BAP绕点B逆时针旋转60度也可以得到点 P的位置；方法三，把△BPC绕点 B顺时针旋转60度亦可，图略.
(4)费马点的特征
如图3及图5, 可得∠APB=∠APC=∠BPC=120°.
2. 说明
(1)当三角形有一个角大于或等于120°时，费马点为该钝角顶点，有兴趣的可自行研究学习.
(2)费马点的证明方法有多种，包括但不限于上面的旋转方法.
(3)三条线段和最小，可能是费马点模型，也可能是其他模型，需要结合题目条件具体分析.
【例题精讲】
【例1】已知：到三角形三个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC 是锐角或直角三角形，则其费马点P 是三角形内一点.如图，在 中,若 点P为. 的费马点, 则PA+PB+PC= , 此时PA的长为 .
【分析】如图1，把△APC绕点A逆时针旋转60度至 ,连接PD, CE, DE, 可得等边. 此时PA+PB+PC=PB+PD+DE;如图2,当B,P,D,E共线时,其和的最小值为BE的长;由 AC=4, 得∠BAC=30°, 可证得∠BAE=90°, 故 作 AF⊥PD 于 F, 由AB·AE=BE·AF, 得 由等边△APD, 得 则
【总结】计算PA时利用了等面积公式；若求PB或PC的长，采用旋转其它三角形的方法较为简便.
【素养提升】
1. 如图，点E为正方形ABCD 对角线BD上一个动点， 在点E的运动过程中， 的最小值为 .
【分析】法一: 如图I, 连接AC交BD于O, 把△AEC 绕点C 顺时针旋转60度至△GFC , 易得等边 和△GAC, 且点G在直线BD上, 当点F落在BD上时,
法二: 如图2, 把△BAE绕点B逆时针旋转60度至△BGF, 同上求得 由勾股定理可求得 也可以利用图3, 由∠A=15°, 求得BC:,AC: 得 法三: 如图4, 在BC上方作射线l, 使其与BD 夹角为30度, 作EF⊥l于F, AG⊥l于G, 由AE=EC得 故
【总结】从辅助线来看，法一法二属于费马点模型；法三属于胡不归模型.
2. 如图, 点D为△ABC内一点, AB=BC=6, ∠ABC=30°, 则 B+DC的最小值为 .
【分析】法一: 如图1, 把 绕点B顺时针旋转60度，得
法二: 如图2, 把. 绕点C顺时针旋转60度得 如图3,得
【总结】法一为费马点模型(旋转△ABD亦可)，法二注意含15 度角Rt△三边之比为1：
3. 如图 1, 将△ABC绕点A逆时针旋转60°, 得到△ADE, DE与BC交于点 P, 容易得到结论:PA+PC=PE. 如图2, 在△MNG中, MN=6, ∠M=75°, MG=4 , 点O是△MNG内一点, 根据图1的原理和结论，可以得到点O到△MNG三个顶点的距离之和的最小值是 .
【分析】如答图1,把△MOG绕点M逆时针旋转60度至△MPQ,连接OP和GQ,得等边△MOP和等边△MGQ,故 由答图2, QG=MG=4, NG=10, 故
【总结】费马点模型有多种旋转方法，不过根据题干条件， 75+60=135度是特殊角.
4. 如图,在 Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC,点D是 BC边上一动点,连接 AD,然后把 AD绕点 A逆时针旋转90°, 得到 AE, 连接CE , DE . 点 F 是DE的中点, 连接 CF.
(1) 求证:
(2)在点 D运动的过程中,在线段 AD上存在一点P, 使 PA+PB+PC的值最小. 当 PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为2，请求出此时线段CE的长.
【分析】(1) 易证得△ABD≌△ACE, 则∠ACE=∠B=45°, ∠ECD=90°, 故
(2) 如图 1, 把△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60 度得△BHG, 则△BPH 和△BCG 均为等边三角形, 可得 ;如图2,易证得此时点D为BC的中点,故BD⊥AD,可设PD=x,则 故 求得. 则
【总结】费马点的三种旋转方法中，有些计算简单，有些计算复杂，不妨都尝试一下.

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