资源简介

8.1计数原理
1．通过实例，理解和掌握计数原理的概念．
2．掌握分步计数的加法、乘法原理．
重点：计数原理的概念．
难点：掌握分步计数的加法、乘法原理．
计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计数原理、分步乘法计数, 原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.．
教学课件
8.1.1 分类计数原理
（一）创设情境，生成问题
五一期间，某家庭自助旅游，欲从南京去上海，一天中有火车3班，有汽车2班，航班1次，轮船2次，那么一天中乘坐这些交通工具从南京到上海有多少种不同的走法？
若坐火车有8种不同的选择，若坐汽车有2种不同的选择，若坐航班有1种不同的选择，若坐轮船有2种不同的选择.
那么一天中乘坐这些交通工具从南京到上海有8+2+1+2=13种不同的走法.
【设计意图】从已知知识出发，引导学生的思考，引出本课概念.
（二）探究新知
分类计数原理
一般地，完成一件事有办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
【设计意图】结合学生已有知识，给出新概念，构建新的知识体系..
（三）典例辨析
例1. 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文书 18 本，下层有不同的物理书 7 本．现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？
解：有三类取法
第 1 类，从上层 15 本数学书中任取一本，有 15 种取法
第 2 类，从中层 18 本语文书中任取一本，有 18 种取法
第 3 类，从下层 7 本物理书中任取一本，有 7 种取法
N＝15＋18＋7＝40(种).
例2. 某中职学校有艺术类、人文类、技能类三类社团, 其中艺术类社团有绘画、萨克斯等7个不同的社团, 人文类社团有演讲、小说赏析等9个不同的社团, 技能类社团有茶艺、 网页制作等10个不同的社团.小陈要参加其中一个社团, 有多少种不同的选择
解：小陈要参加社团可分三类选择：
第1类，参加艺术类社团，可以从7个不同的社团中选1个，共有7种不同的选择；
第2类，参加人文类社团，可以从9个不同的社团中选1个，共有9种不同的选择；
第3类，参加技能类社团，可以从10个不同的社团中选1个，共有10种不同的选择；
7+9+10=26（种）
所以，小陈要参加其中一个社团共有26种不同的选择.
8.1.2 分步计数原理
如图所示，如果从甲地到乙地有4条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有多少种不同的走法
各类不同的走法如图所示.
从甲地到乙地有4种不同走法，按照这4种不同走法中的每一种走法到达乙地后，再从乙地到丙地又有2种不同走法。因此，从甲地经过乙地到丙地，共有 4X2=8(种)不同的走法.
分步计数原理
一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有有mn种不同的方法。必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有
N= m1× m2×……× mn 种不同的方法.
例3. 一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同
(1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
解:(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方式：第一类是从第一个口袋内任取1个小球，有k1=3种取法；第二类是从第二个口袋内任取 1个小球，有k2=4种取法,根据分类计数原理，不同的取法共有 3+4=7 (种) ；
(2)从两个口袋内各取1个小球，分为两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内取1个小球，有k1=3种取法；第二步是从第二个口袋内取1个小球，有么k2=4种取法,根据分步计数原理，不同的取法共有 3×4= 12 (种).
例4.某农场要在 4 种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这 4 种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？
解：第 1 步，先考虑 A 种小麦，可在 4 种不同类型的土地中任选 1 种，有4 种选法；
第 2 步，考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同类型的土地中任 选 1 种，有 3 种选法；
第 3 步，考虑 C 种小麦，可在剩下的 2 种不同类型的土地中任选 1 种，有 2 种选法；
第 4 步，最后考虑 D 种小麦，只剩下 1 种类型的土地，因此只有 1 种选法.
依据分步计数原理，可知共有4×3×2×1＝24 种不同的试验方案.
例5.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
[解析]　(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法.
(3)①高一和高二各选 1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法；
②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；
③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．
故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．
利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性.
【设计意图】通过例题讲解让学生进一步掌握新概念.
（四）巩固练习
1.为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有______种．
解:完成这件事需要分两类完成：
第一类：选1名男生，有38种选法；
第二类：选1名女生，有18种选法，
根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．
2. 由数字0,1,2,3这四个数字，可组成多少个有重复数字的三位数？
解：分三步完成．
第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的方法；
第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法；
第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法．
故可组成可以有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．
3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 (　　)
A．24种 B．4种
C．43种 D．34种
[解析]　第1封信投到信箱中有4种投法；
第2封信投到信箱中也有4种投法；
第3封信投到信箱中也有4种投法．
只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理可得共有43种投法．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固计数原理概念.
（六）作业布置
随堂练习；课后习题8.1

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