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8.2 排列
1．理解排列数的相关概念.
2．掌握排列数公式，会利用公式计算简单的排列数.
重点：排列问题，排列数公式.
难点：利用分类计数原理和分步计数原理解决排列问题，排列数公式的探究.
　　本节课是在学习了两个计数原理的的基础上进行的。与日常生活亲密相关（如体彩，足彩等抽奖活动）。处于一个承上启下的地位。排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要的应用，同时排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。这一部分内容是对口高考必考的内容．
教学课件
8.2.1排列
（一）创设情境，生成问题
北京、上海、广州 3 个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票
[分析] 这个问题就是从北京、上海、广州 3 个民航站中，每次取出 2 个站，按照起点在前，终点在后的顺序排好，求一共有多少种不同的排法.
根据分步计数原理，在 3 个民航站中，每次取 2 个，起点站在前，终点站在后的顺序的不同取法共有 3×2=6(种).
需要准备如下 6 种飞机票：
【设计意图】通过具体问题引入，引起学生的认知冲突，激发学生学习新知识的兴趣.
（二）探究新知
排列问题
我们把被选取的对象叫做元素.
一般地, 从 个不同元素中任取 ( ≤ )个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 个不同元素中任取 个元素的一个排列.
如果 < , 那么从 个不同元素中任取 个元素的排列, 叫做选排列.
如果 = , 那么从 个不同元素中任取 个元素的排列, 叫做全排列.
排列本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
【设计意图】通过师生活动，引导学生思考，培养学生逻辑推理的能力,提高学生探究新知的能力.
（三）典例辨析
例1. 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”).
解： (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．(　×)
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．(　√)
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．(× )
(4)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．(　√)
例2. 由数字 1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的三位数 并写出所有的排列.
解：根据分步计数原理，从 3 个不同数字中，每次全部取出排成没
有重复数字的三位数的共有
3×2×1=6(个).
它们是: 123，132，213，231，312，321.
例3.某中职学校安排3个班的学生到不同的企业进行为期一周的社会实践, 每个班只去一家企业.现学校联系了4家企业, 它们都有足够的岗位提供社会实践, 且每家企业最多接收一个班的学生实习, 共有多少种不同的安排方法
解:完成这件事可分三步进行：
第1步，安排第一个班级的社会实践，从4个不同的企业选一个，有4种不同的选择；
第2步，安排第二个班级的社会实践，从剩余3个不同的企业选一个，有3种不同的选择；
第3步，安排第三个班级的社会实践，从剩余2个不同的企业选一个，有2种不同的选择； 4×3×2=24（种）
所以，共有24种不同的安排方法.
【设计意图】例题1感受生活中的排列问题，建立模型解决实际问题, 例题2对有条件的排列问题排列顺序的一个思考，解决数学问题的同时，引导学生对实际问题的一个深度思考.
8.2.2 排列数公式
（一）创设情境，生成问题
从 10 名集训的乒乓球运动员中，任选 3 名运动员，并排好出场的先后次序参加比赛，有多少种参赛方法
从 10 名集训的乒乓球运动员中，任选 3 名运动员，并排好出场的先后次序参加比赛，有多少种参赛方法
（二）探究新知
很多情况下，人们并不需要把所有的排列都写出来，只需要知道所有排列的个数．
一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
如情境导入中，从10个不同的元素中取出3个元素的排列数可表示为,并且
先研究排列数的计算方法，假定有顺序排列的3个空位，从5个不同元素a1，a2，a3，a4，a5中任取3个元素去填空位，1个空位填1个元素，1种填法就得到1个排列；反之，任一个排列都确定1种填法. 因此，所有不同的填法总数就是排列数.那么，有多少种不同的排法呢？具体可以分三个步骤完成.
第1步:安排第1个位置的元素,可以从5个元素中任选1个元素填上,有5种方法.
第2步:安排第2个位置的元素,可以从剩下的4个元素中任选1个元素填上,有4种方法.
第3步:安排第3个位置的元素,可以从剩下的3个元素中任选1个元素填上,有3种方法.
根据分步计数原理,得到不同的填法总数
=5×4×3=60.
同理，求排列数，可以按依次填4个空位来考虑，得到
=5×4×3×2= 120.
下面研究从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的排列数的计算方法，假定有顺序排列的 m 个空位，从n个不同元素a1，a2，a3，…，an 中任取m 个元素去填空位，1个空位填1个元素，1种填法就得到 1个排列；反之，每1个排列确定1种填法.因此，所有不同的填法总数就是排列数.
由此可得，从n个不同元素中任取m个元素的排列数
公式称为排列数公式，其中m,n∈N* ，且m≤n.
利用排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中任取m个元素的所有排列的个数.
当m=n时，=n(n-1) ( n-2)… 3×2×1.
由1到n的正整数的连乘积称为n的阶乘，记作n!.即
=n!.
公式还可以表示为：
我们规定
（三）典例辨析
例4. 计算和
解:;
.
例5.用0, 1, 2, …, 9这10个数字, 可以组成多少个没有重复数字的四位数
解：千位不能为0，所以只能在1,2, …, 9这9个数中选一个，所以有种选法；
其它位上的数字没有限制，所以在剩余9个数中选3个进行排列，有种选法；
所以，可以组成4536个没有重复的四位数.
例6. 5个人站成一排照相，下列情况各有多少种不同的排法
(1)甲必须站中间; (2)甲不能站中间;
(3)甲、乙2人必须相邻; (4)甲、乙2人不能相邻.
解: (1)由于甲必须站在中间，则只剩下4个位置，由其余4人去站， 因此问题转化为求从4个元素中取4个元素的全排列数:
答:共有24种不同的排法.
(2)因为甲不能站在中间，所以，第一步先考虑中间位置，中间只能由其余4人去站，有4种站法；中间位置站定后，余下的4个位置，则由余下的4个人(包括甲)去站，有A44种站法.根据分步计数原理，得排列数为
答:共有96种不同的排法.
(3)由于甲、乙必须相邻，第一步可以把甲、乙看成1个元素，他们所站的位置也看成1个位置，这样，共有A44种排法.由于对于上面说的每一种排法，甲、乙两个人之间还可以进行排列，共有A22种排法.根据分步计数原理，得排列数为
答:共有48种不同的排法.
(4)若无限制条件，5个人站成一排照相，共有A55种排法，而甲、乙相邻与甲、乙不相邻是相互对立的.由于在第(3)小题中知道，甲、乙必须相邻有48种排法，所以所求排列数为
答:共有72种不同的排法.
【设计意图】例题4对排列数公式的直接应用，熟悉公式的运用, 例题4和例题5建立数学模型，利用排列数计算公式解决实际问题.
首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或一般位置，分步骤来研究问题，是本章中经常使用的方法，我们在日常分析解决问题的过程中也应该分步骤、多角度进行思考.
（四）巩固练习
1. 1.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成_______个以b为首的不同排列，它们分别是______________________________　_______________________________________.
[解析]　画出树状图如下：
可知共12个，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
2. (1)P＝_________.(用数字表示)
(2)1×2×3×4×5×6×7×8＝_______.(用排列数表示)
[解析]　(1)P＝5×4×3×2＝120.
(2)最大的数为8共8个因式，所以可表示为P.
3.将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？
[解析]　完成这件事可以分为两步．
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有P种方法．
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有P种方法．
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有P×P＝576种．
4.某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 　.
[解析]　先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有种．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固复数范围内实系数一元二次方程的解法.
（六）作业布置
随堂练习；课后习题8.2

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