资源简介

8.5.1 二项式定理
1．理解和掌握二项式定理、二项展开式的通项公式和二项式系数的性质，并会简单应用．
2．能解决二项展开式相关的简单问题．
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用．
难点：灵活运用展开式、通项公式、二项式系数解题．
作为计数原理,尤其是组合数公式的应用,二项式定理有着广泛的应用价值.一方面,它可以继续巩固排列、
组合的相关知识,另一方面,借助它还可以推出组合数的诸多重要性质.
教学课件
（一）创设情境，生成问题
由 (a+b)1=a+b，
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
探究：（a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=
思考：1．展开共有多少项？
2．各项的次数是怎样的？
3．各项的系数有什么规律和特点？
(1)展开式共有n＋1项．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n．
(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n．
【设计意图】让学生体会从特殊到一般、从简单到复杂的推导过程.
（二）探究新知
一般地, 有
我们把上面的式子称为二项式定理, 等号右边的多项式叫 的二项展开式, 共有( n +1 )项, 其中叫作二项式系数. 式中的 叫作二项展开式的通项, 它是展开式中的第( m +1 )项, 记作
我们把上式称为二项展开式的通项公式.
【设计意图】通过教师讲解，推导出二项式定理及通项公式.
（三）典例辨析
例1. 求的二项展开式．
解： =
=+10++．
例2. 求的二项展开式的第3项．
【分析】二项式定理中的 a 在此题中为 2 x , b 在此题中为 , 要注意整体代入 .
解： T3=
例3. 求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数
解：　已知得二项展开式的通项为
Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC26－r·x3－r
∴T6＝－12·x－．
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)·2＝－12．
二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
例4.求展开式的常数项．
解：展开式的通项为
根据题意，有 3-m=0，m=3．
因此，常数项是
【设计意图】通过例题分析求解进一步领会如何用二项式定理解题
（四）巩固练习
1. 求的展开式．
解：在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到公式
依此公式，得
原式=1+
=1
2. 求的二项展开式中x3的系数．
解：展开式的通项为
．
根据题意，有 9-2m=3
解得 m=3．
因此，x3的系数是
3．4展开式中的常数项为 (　　)
A．6 B．8
C．12 D．24
解：　4的展开式中通项公式Tr＋1＝Cx4－r·r＝(－2)rCx4－2r，
当4－2r＝0时，展开式为常数，此时r＝2，展开式的常数项为：T3＝4C＝24．
4．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为 (　　)
A．－210 B．210
C．－120i D．－210i
解：由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固对二项式定理的掌握.
（六）作业布置
随堂练习8.5.1；习题8.5-4,5题.

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