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8.5.2 二项式系数的性质
1．掌握二项式系数的四个性质．
2．能解决二项式系数性质的相关简单问题．
重点：二项式系数性质的发现与证明、理解和初步应用．
难点：灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题．
研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联算和变形都有重要的作用，对后续学习，进一步认识组合数、进行组合数的计也具有重要地位组合的相关知识,另一方面,借助它还可以推出组合数的诸多重要性质.
教学课件
（一）创设情境，生成问题
我们把展开式中各项的二项式系数按如下方式排列.
上面右边的二项式系数称为“杨辉三角”.
这个二项式系数列成的表，称为 “杨辉三角”或 “贾宪三角”．杨辉是我国宋朝时的数学家，他于1261年著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表．并且指出这个方法出于更早期贾宪的著作《皇帝九章算法细草》．在欧洲这一般认为这是帕斯卡于1654年发明的，所以称这个图形为“帕斯卡三角”． 可以看出，这个表的发明，我国比欧洲早了近400年的时间．
【设计意图】让学生体会从特殊到一般、从简单到复杂的推导过程.
（二）探究新知
观察 “杨辉三角”中的数字，能发现什么规律吗？
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
（2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等；
（3）如果二项式(a + b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等．
一般地, 的展开式中的二项式系数具有如下性质.
性质1 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即
.
性质2 增减性与最大值：二项式系数先由 1 逐渐增至最大, 再逐渐减小为1 , 居中的二项式系数最. 因此, 当n为偶数时, 中间一项的二项式系数最大, 为 ; 当n为奇数时, 中间两项的二项式系数最大, 为与.
性质3 所有的二项式系数之和为 , 即
证明 在
中, 取 a =1 , b =1 , 即可得.
性质4 所有奇数项的二项式系数之和等于所有偶数项的二项式系数之和, 即
证明 在
中, 取 a =1 , b =-1 , 可得, 移项即可得.
【设计意图】通过教师讲解，推导出二项式系数的性质.
（三）典例辨析
例1. 求（1+x）8的展开式中二次式系数最大的项．
解:已知二项式的幂指数是8，展开式共有9项，依二项式系数性质，中间项的二项式系数最大，所以要求的项为
例2. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（ ）
A．1 B． C． D．3
解：由题意知，，解得：，
所以的二项展开式的通项公式为，
令6－3r＝3，得r＝1，故含项的系数为.
故选：D.
例3. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
解:　令x＝1，则
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1 ①
令x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37 ②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2．
(2)由(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094．
(3)由(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝1 093
【设计意图】通过例题分析求解进一步领会如何用二项式系数的性质解题
（四）巩固练习
1.在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第7项 B．第3和第4项 C．第4项 D．第3项
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质直接求出结论.
【详解】二项式的展开式有7项，
所以二项式系数最大的项是第4项.
故选：C
2.若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.
【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即.
故选：B
3．记，则（ ）
A．64 B．63 C．32 D．31
解：【答案】D
【分析】利用赋值法即可得解.
【详解】，
令，代入可得，
令，代入可得，
所以，
故选：D.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固对二项式定理的掌握.
（六）作业布置
随堂练习8.5.2；习题8.5-1,2，3题.

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