2023-2024学年苏科版九年级下册数学 7.1正切(知识精讲 典题精练)高频易错重难点培优讲义(含解析)

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2023-2024学年苏科版九年级下册数学 7.1正切(知识精讲 典题精练)高频易错重难点培优讲义(含解析)

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7.1正切
1.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
即sinA=∠A的对边除以斜边.
(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
即cosA=∠A的邻边除以斜边.
(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tanA.
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边.
(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
2.锐角三角函数的增减性
(1)锐角三角函数值都是正值.(2)当角度在0°~90°间变化时,
①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
(3)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinA≤1,1≥cosA≥0.
当角度在0°<∠A<90°间变化时,tanA>0.
一、单选题
1.如图,在中,.现分别以、、为边长在边同侧构造正方形,正方形,正方形,点D、E均落在上,交于M.已知阴影部分的面积为48,,则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图,折叠矩形的一边,使点落在边的点处,已知,.则的值是( )
A. B. C.2 D.5
3.在直角坐标平面内有一点,点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为,那么的值为( )
A. B. C. D.
4.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AC和BD的端点都在网格线的交点上.若AC与BD相交于点E,则tan∠AEB的值为( )
A. B. C. D.2
5.如图,在中,,,,将绕点逆时针旋转得到,使得点落在上,则的值为( )

A. B. C. D.
6.如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD边上的点,∠EAF=45°,则下列结论中正确的有(  )
①BE+DF=EF;
②tan∠AMD=;
③BM2+DN2=MN2;
④若EF=1.5,△AEF的面积是3,则正方形ABCD的面积是4.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知在中,,,,则等于(  )
A.6 B.16 C.12 D.4
8.已知,则的值是( )
A.1 B. C. D.2
9.如图,在的正方形网格中,的顶点都在这些小正方形的顶点上,则的值为( )
A. B. C. D.
10.在中,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.在直角三角形ABC中,∠A=,BC=13,AB=12,则 .
12.如图,在四边形中,,,,E是边上一点,连结,若,,,则的面积为 .
13.如图,在由相同的菱形组成的网格中,,小菱形的顶点称为格点,已知点A,B,C,D,E都在格点上,连接,,的值为 .
14.如图,在中,为边上的中线,,若,的面积为20,则线段的长为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴上,OA=5,tan∠COA=.若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C,则k的值等于 .
16.在正方形ABCD中,点E在边CD上,,点F是正方形边上一点,,则的值为 .
三、解答题
17.在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别相交于、两点,为的中点,点在线段上(),连接,将绕点逆时针旋转得到,旋转角为,连接,.
(1)求的值;
(2)如图,当点恰好落在轴上时,交轴于点,求证:;
(3)当点的坐标为,且时,求点的坐标.
18.如图,是正方形的对角线,平分交于,点在上,且,连接并延长,分别交,于点G,F.

(1)求证:;
(2)求的值;
(3)求的值.
19.在平面直角坐标系中,抛物线经过点,顶点为点B,对称轴为直线,且对称轴与x轴交于点C.直线,经过点A,与线段交于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)联结、.当的面积为3时,求直线的表达式;
(3)在(2)的条件下,设点D为y轴上的一点,联结、,当时,求的余切值.
20.如图,一次函数的图象与轴交于点,与反比例函数的图象交于点.
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式;
(2)点是线段上一点(不与,重合),过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点,连接,,,当时,求点的坐标;
(3)如图,在()的前提下,将沿射线方向平移一定的距离后,得到,若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上,求出点的坐标.
21.如图1,二次函数的图象交坐标轴于点,,点为轴上一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)过点作轴分别交线段,抛物线于点,,连接.当时,求的面积;
(3)如图2,将线段绕点逆时针旋转90得到线段.
①当点在抛物线上时,求点的坐标;
②点在抛物线上,连接,当平分时,直接写出点P的坐标.
22.已知二次函数图像经过,、三点.

(1)求该二次函数解析式;
(2)将该二次函数图像平移使其经过点,且对称轴为直线,求平移后的二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,若平移后的二次函数图像与x轴的另一个交点为E,求的正切值.
23.如图所示,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过,两点,与轴的另一交点为点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点为直线下方抛物线上一动点.
①如图2所示,直线交线段于点,求的最小值;
② 如图3所示,连接过点作于,是否存在点,使得中的某个角恰好等于的2倍?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图,在正方形ABCD中,以BC为直径作半圆O,以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连结DP并延长交AB于点E.
求证:(1)DP=AB;
(2)DE为半圆O的切线;
(3)连结OE,求tan∠BOE的值.
参考答案:
1.B
【分析】设AC=x,BC=y,得到相应线段,根据阴影部分面积得到,化简可得y-x=2,在△ABC中,利用勾股定理求出x值,根据正切的定义可得结果.
【详解】解:设AC=x,BC=y,∵AB=8,由题意可得:
BD=AB=BG=8,CE=AC=x,BC=BJ=CK=y,
∴BE=y-x,DE=8+x-y,
∵阴影部分面积为48,
∴,
∴,
∵∠A=90°,
∴,
∴,
解得:x=15,即AC=15,
∴tan∠ACB==,
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理,图形的面积,正切的定义,解题的关键是表示出阴影部分面积.
2.A
【分析】先根据矩形的性质得CD=AB=8,AD=BC=10,再根据折叠的性质得AF=AD=10,DE=EF,∠AFE=∠D=90°,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF=6,则FC=BC BF=4,设EF=x,则DE=x,CE=CD DE=8 x,在Rt△CEF中,根据勾股定理得到42+(8 x)2=x2,解得x=5,即EF=5,然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解.
【详解】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB=8,AD=BC=10,
∵折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,
∴AF=AD=10,DE=EF,∠AFE=∠D=90°,
在Rt△ABF中,BF==6,
∴FC=BC BF=4,
设EF=x,则DE=x,CE=CD DE=8 x,
在Rt△CEF中,
∵CF2+CE2=EF2,
∴42+(8 x)2=x2,
解得:x=5,
∴EF=5,
在Rt△AEF中,tan∠EAF=;
故选:A.
【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理.
3.D
【分析】本题考查了求锐角的正切值;画出图形,过A作轴于B,则由点A的坐标可得,由正切的定义即可求解.
【详解】解:如图,过A作轴于B,
∵,
∴,
∴;
故选:D.
4.B
【分析】由于BF是△AHC的中位线, ;利用可得,设FE=x,求得CE=l, FE=BF,可得∠BEF=∠FBE,在Rt△BGD中,可求tan∠AEB=tan∠GBD=.
【详解】设BG与AC交于点F,如图,
∵AB=BH=2,BFCH,
∴BF是△AHC的中位线.
∴BF=CH=1.5,AF=FC=AC=2.5.
∵BFCH,
∴ .
∴.
设FE=x,则CE=2.5﹣x.
∴.
解得:x=1.5.
∴BF=FE=1.5.
∴∠BEF=∠FBE.
∴tan∠AEB=tan∠GBD.
在Rt△BGD中,tan∠GBD==.
∴tan∠AEB=tan∠GBD=.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,三角形的中位线,三角形的相似的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定及性子是解题的关键.
5.B
【分析】先通过勾股定理求出AC的长,然后由旋转图形的边和角相等关系可求出ED、DC,即可求出.
【详解】解:∵在中,,,,
∴,
由旋转可知△ABC≌△ADE,
即,,,
∴,ED⊥AC,
在中,,
故选:B.
【点睛】本题考查了直角三角形旋转问题,三角函数,根据条件求出线段长是解题的关键.
6.C
【分析】根据四边形ABCD为正方形,得出AD=AB,∠ADF=90°,∠ABC=90°,将△ADF顺时针旋转90°得到△ABF′,证明△AF′E≌△AFE(SAS),可判断①正确;证明∠AMN=180°-∠MAN-∠ANM=180°-∠NDF-∠DNF=∠DFN,利用定义tan∠AMN=tan∠DFA=可判断②正确;将△AND顺时针旋转90°得到△ABN′,连结N′M,证明△AN′M≌△ANM(SAS),得出N′M=NM,根据勾股定理,即,可判断③正确;根据S△AEF=S△AF′E=3,F′E=FE=1.5,求出AB=4,可判断④不正确即可.
【详解】解: ∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB,∠ADF=90°,∠ABC=90°,
将△ADF顺时针旋转90°得到△ABF′,
∴AF=AF′,DF=BF′,∠DAF=∠BAF′,∠ADF=∠ADF′=90°,
∴∠F′BE=∠ABF′+∠ABE=90°+90°=180°,
∵∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=90°-45°=45°,
∴∠F′AE=∠FAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠FAE,
在△AF′E和△AFE中,

∴△AF′E≌△AFE(SAS),
∴F′E=FE,
∴BE+DF=BE+BF′=F′E=EF,
故①正确;
∵BD为正方形的对角线,
∴∠ABM=∠FDN=45°=∠MAN,
∵∠ANM=∠DNF,
∴∠AMN=180°-∠MAN-∠ANM=180°-∠NDF-∠DNF=∠DFN,
∴tan∠AMN=tan∠DFA=,
故②正确;
将△AND顺时针旋转90°得到△ABN′,连结N′M,
∴AN=AN′,∠AND=∠ABN′=45°,DN=BN′,
∵∠N′AM=∠NAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠NAM,
在△AN′M和△ANM中,

∴△AN′M≌△ANM(SAS),
∴N′M=NM,
∵∠N′BM=∠ABN′+∠ABM=45°+45°=90°,
∴根据勾股定理,即,
故③正确;
∵S△AEF=S△AF′E=3,F′E=FE=1.5,
∴,即,
∴AB=4,
∴S正方形ABCD=AB2=16,
故④不正确.
故选C.
【点睛】本题考查正方形性质,三角形旋转性质,三角形全等判定与性质,三角函数定义,勾股定理,三角形面积,正方形面积,掌握正方形性质,三角形旋转性质,三角形全等判定与性质,三角函数定义,勾股定理,三角形面积,正方形面积是解题关键.
7.D
【分析】根据题意作图,由正切值的定义可得,,结合已知条件,,,即可求得的值.
【详解】解:如图,
∵在中,,
∴,
∵,
∴,即,
∵,
∴,
∴,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了正切值的定义,根据题意作图并正确理解正切值的定义是解题的关键.
8.B
【分析】分子分母同时除以化简求值即可得到答案;
【详解】解:分子分母同时除以得,

∴,解得:,
故选:B;
【点睛】本题考查三角函数运算问题,解题的关键是熟练掌握:.
9.D
【分析】由题意直接根据三角函数进行分析运算即可.
【详解】解:.
故选:D.
【点睛】本题考查锐角三角函数,熟练掌握锐角三角函数的求值方法是解题的关键.
10.C
【分析】根据勾股定理求出,再根据三角函数的定义计算即可;
【详解】∵在中,,,,
∴,
∴,故A错误;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误;
故选:C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,结合勾股定理进行计算是解题的关键.
11.
【分析】根据题意画出图形直接根据定义tanB=解答求值.
【详解】如图:
∵在直角三角形ABC中,∠A=,BC=13,AB=12,
∴tanB==.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义,在直角三角形中,就是对边与邻边的比值,本题是道基础题,比较简单.
12.
【分析】根据勾股定理得到,过点A作于点F,得到四边形是矩形,得到,根据,得到点A在的外接圆上,得到,得到,根据,得到,推出,得到,根据,得到,得到,得到的面积为.
【详解】∵,,,
∴,
过点A作于点F,
则,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴点A在的外接圆上,斜边为直径,设圆心为O,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了勾股定理,矩形,圆周角,全等三角形,锐角三角函数(或相似三角形).熟练掌握勾股定理解直角三角形,矩形的判定和性质,圆周角定理及其推论,全等三角形的判定和性质,正切定义(或相似三角形的判定与性质),是解决本题的关键.
13./
【分析】连接,设菱形网格的边长为a,则,证明为等边三角形,为等边三角形,得出,求出,根据勾股定理求出,求出即可.
【详解】解:连接,如图所示:
设菱形网格的边长为a,则,
∵此图为相同的菱形组成的网格,
∴四边形为菱形,在上,
∴,,
∵,,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
根据勾股定理得:,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,求一个角的正切值,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握菱形的性质.
14.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,由,得AF=3x,DF=4x,AD=AC=5x,进而得CF=2x,再由勾股定理得CD=2x,由等腰三角形性质得DE=EC=CD=x,由为边上的中线,得BD=CD=2x,S△ADC=S△ABC,最后根据面积和勾股定理求解即可.
【详解】解:过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥AC于点F
∵,
∴AF=3x,DF=4x,AD=AC=5x
∴CF=2x
在Rt△DCF中
由勾股定理得CD==2x,
∵,AE⊥BC
∴DE=EC=CD=x
∵为边上的中线
∴BD=CD=2x,S△ADC=S△ABC
又S△ABC =20
∴S△ADC=10
∴×AC×DF=10
∴×5x×4x=10
解得x=1或x=-1(舍去)
∴AC=5,BD=CD=2,EC=DE=CD=
∴BE= DE+ BD=3
在Rt△AEC中
由勾股定理得AE==2
在Rt△AEB中
由勾股定理得AB==
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了中线的性质,锐角三角函数,等腰三角形的性质以及勾股定理求边长,熟练地掌握以上知识是解决问题的关键.
15.12
【分析】作CD⊥OA于D,如图,利用菱形的性质得OC=OA=5,在Rt△OCD中利用正弦的定义以及勾股定理计算出CD=3,OD=4,从而得到C(4,3),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值.
【详解】解:如图,作CD⊥OA于D,
∵OA=5,
∵四边形OABC为菱形,
∴OC=OA=5,
在Rt△OCD中,∵tan∠COA= = .
∴设CD=3x,OD=4x,
∵OC2=OD2+CD2,
∴52=(4x)2+(3x)2,解得x=1,
∴CD=3,OD=4,
∴C(4,3),
把C(4,3)代入y= 得k=3×4=12.
故答案为12.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即y=k也考查了菱形的性质.
16.或4
【分析】由正方形的性质得出BC=AB=AD=CD=DE+EC,∠BAD=∠C=∠D=90°;分两种情况:①当点F在AD边上时,求出tan∠ABF即可;②当点F在CD边上时,求出tan∠ABF.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CD=DE+EC,∠BAD=∠C=∠D=90°,,
∵,
∴设,则,BC=AB=AD=CD=4x;
分两种情况:
①当点F在AD边上时,如图所示:
在和中,




②当点F在CD边上时,如图所示:
在和中,






故答案为:或.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,正切的定义,熟练掌握正方形的性质,正切的定义是解题的关键.
17.(1);(2)证明见解析;(3)的坐标为或,.
【分析】(1)利用一次函数的解析式先求解的坐标,再求解的长度,再利用正切的定义可得答案;
(2)由旋转的性质可得,证明 ,可得,结合 ,从而可得结论;
(3)当在轴左边,过点作轴于点,过点作,交的延长线于点,先利用等角正切相等可得: 可得 再利用勾股定理可得,再解方程组即可,当在轴右边时,同理可得点坐标.
【详解】解:(1)直线与轴、轴分别相交于、两点,
令 则
令 则
,,
即,,

(2)由旋转的性质可得,
又,
△,


又,

(3)为的中点,
,,
设,
①当在轴左侧时,如图,此时,
过点作轴于点,过点作,交的延长线于点,




,①

,,
由勾股定理,得,
即,②
联立①②,解得或,


②当在轴右侧时,如图,此时,
过点作轴于点,过点作于点,
同理可得:,

,①
,,
,,
由勾股定理,得,
即,②
联立①②,解得或,

,;
综上,的坐标为或,.
【点睛】本题主要考查一次函数的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程的解法,锐角三角函数的应用等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识是解题的关键.
18.(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)由,平分,,得再结合正方形的性质可证,得,再证,得,进而即可证明结论;
(2)设正方形的边长为,则,,得,结合正方形的性质可证,得,再由等腰三角形的性质得,进而即可求解;
(3)由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得,设正方形的边长为,由(2)得,得,则,在中,可知,进而即可求解.
【详解】(1)解:,平分,


正方形,






,,,

∴,

(2)设正方形的边长为,则,

,正方形,
,则,,


,平分,


(3),






设正方形的边长为,由(2)得,


在中,,

【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,求角的正切值等知识.利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.
19.(1);(2);(3)或
【分析】(1)利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解;
(2)先求出顶点B坐标,根据的面积为3求出BE,进而求出点E坐标,利用待定系数法即可求解;
(3)分和与不平行两种情况,分别求出D坐标,利用余切定义即可求解.
【详解】解:(1)∵抛物线经过点,对称轴为直线,
∴,

∴抛物线表达式为;
(2)把代入得y=4,
∴抛物线顶点B坐标为,
由的面积为3得,
∴BE=2,
∵点E在线段BC上,
∴点E坐标为,
把点和点代入得,
∴,
∴直线表达式为;
(3)如图,①若,如图,
则四边形为平行四边形:
则点坐标为,
联结,
∴;
②若与不平行,如图,
则四边形为等腰梯形:
作BF⊥y轴于F,则,
∴点坐标为,
联结,
∴,
综上所述,此时的余切值为或.
【点睛】本题为二次函数综合题,考查了二次函数性质,求一次函数解析式,余切定义等知识,熟练掌握各知识点是解题关键,解第(3)步时要注意分类讨论思想应用.
20.(1),;
(2)
(3).
【分析】()利用待定系数法解答即可求解;
()设,则有,过作于点,则,,根据可得,解方程即可求解;
()如图,连接,由平移可得,根据平移可得直线的解析式为,联立函数式,解方程组即可求解;
此题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式,一次函数与反比例函数的交点,平移的性质,三角函数等,掌握一次函数及反比例函数的性质是解题的关键.
【详解】(1)解:∵点在直线上,
∴,
解得,
∴一次函数解析式为,
∵在的图象上,
∴,
解得,
∴反比例函数解析式为;
(2)解:设,则有,
如图,过作于点,则,,
∵,
∴,即,
∴,
解得,,
∵,
∴,
∴;
(3)解:如图,连接,由平移可得,
∴直线的解析式为,
联立函数式得,,
解得或 (不合题意,舍去),
∴.
21.(1);(2);(3)①或;②或.
【分析】(1)根据点的坐标以及已知条件,将的坐标代入即可求得的值,进而求得抛物线的解析式;
(2)依题意根据(1)的解析式求得的坐标,进而求得,据此求得,根据进而求得的坐标,根据即可求得的面积;
(3)①过作轴,分点在轴上方和下方两种情况讨论,证明,设,将点的坐标代入(1)中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2,方法同情形1;
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论,当当不平行于轴时,过点作交于点,过点作于点,证明进而可得的坐标,当轴时,结合已知条件即可求得的坐标.
【详解】(1)二次函数的图象经过
解得
(2)由,令
解得
当时,
,则

(3)如图,当点在轴下方时,过点作于点,
由,令,
解得


将线段绕点逆时针旋转90得到线段,
,,
设,
点在抛物线上,
解得(舍)
当点在轴上方时,如图,
过点作于点,设
同理可得
点在抛物线上,
解得(舍去),
综上所述,或;
②当不平行于轴时,过点作交于点,过点作于点,如图,
平分,,

,

当不平行于轴时,重合,

当轴时,如图,
此时

综上所述,当平方时,点的坐标为或.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数与坐标轴交点,正切的定义,三角形全等的性质与判定,分类讨论是解题的关键.
22.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)待定系数法求解析式,即可求解;
(2)根据对称轴为直线,可得抛物线向右平移3个单位,设抛物线向下平移个单位,则平移后的抛物线为,将点代入,求得的值,进而即可求解;
(3)过点作轴于点,得出是直角三角形,,过点作,勾股定理求得,进而得出,根据正切的定义,即可求解.
【详解】(1)解:∵二次函数图像经过,、三点
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为;
(2)解:∵,
对称轴为直线
∵平移使其经过点,且对称轴为直线,
∴抛物线向右平移3个单位,
设抛物线向下平移个单位,则平移后的抛物线为,
∵经过点,
∴,
解得:,
∴平移后的解析式为,即,
(3)解:如图所示,过点作轴于点,

当时,,
即,
解得:,
∴,
∵,,
∴,,,
∴是直角三角形,
过点作,
∵,
∴,
∴,
在中,.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的平移,求正确,熟练掌握以上知识是解题的关键.
23.(1);(2)①当时,的最小值为;②存在,点M的坐标为或(4,-6).
【分析】(1)解:在直线,分别令,.可得A(8,0)、B(0,4),将A(8,0)、B(0,4)代入,解得b、c的值再代入即可解答.
(2)解:①如图1,过C作∥轴交直线AB于点E,过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF,求出直线AB的解析式,进而求出C,E的坐标,即可求出答案;
②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°,又于,即∠BDM=∠ABC=90°,∠BAC < 45°.因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中,取AC中点H,连接BH,可得∠BHO=2∠BAC,,过D作DT轴于T,过M作MGTD交其延长线于G.可证△TBD∽△GDM,再根据三角函数得出当∠BMD=2∠BAC时,,∠MBD=2∠BAC时,,设(),则,,当∠BMD=2∠BAC时,,又,即可得出,当∠MBD=2∠BAC时,,,即可求出M的坐标
【详解】(1)解:在直线,分别令,.可得A(8,0)、B(0,4),
将A(8,0)、B(0,4)代入有
解得:

(2)解:①如图1,过C作∥轴交直线AB于点E,过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF,

设,
∵MF∥轴交直线AB于点F,直线AB:
∴,则
可求得C(2,0),C作CE∥y轴交直线AB于点E,
∴E(2,5),CE=5.
∴,
∴当时,的最小值为.
②存在.
理由如下:∵C(2,0);B(0,4);A(8,0).
∴OC=2,OB=4,OA=8
可证△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°,又于
∴∠BDM=∠ABC=90°,∠BAC < 45°.因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中,取AC中点H,连接BH,可得∠BHO=2∠BAC,
OH=OAAH=3,tan∠BHO=.
过D作DT轴于T,过M作MGTD交其延长线于G.
可证△TBD∽△GDM,
又DMAB, tan∠DMB=,tan∠DBM=.
当∠BMD=2∠BAC时,∴,
∠MBD=2∠BAC时,,
设(),
则,

当∠BMD=2∠BAC时,,又,

解之得,,又0 < m < 8,
∴,点M的坐标为.
当∠MBD=2∠BAC时,
又,

解之得,,又0∴,点M的坐标为
综合得存在满足条件的点M的坐标为或(4,-6)
【点睛】本题主要考查二次函数综合题,解题关键是熟练掌握二次函数图像的性质及勾股定理的计算公式.
24.(1)见解析;(2)见解析;(3).
【分析】(1)由正方形和圆的性质可知DC=AB,又DC=DP,即AB=DP;
(2)通过SSS证明△ODP≌△OCD,得∠DPO=∠C=90°即可证明;
(3)通过HL证明Rt△OBE≌Rt△OPE,得∠BOE=∠POE,由(2)知∠DOP=∠DOC,可证∠DOE=90°,从而∠BOE=∠ODC,求出tan∠ODC即可得出答案.
【详解】证明(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=AB,
又∵DC=DP,
∴DP=AB,
(2)连接DO,PO,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,
在△ODP与△OCD中,

∴△ODP≌△ODC(SSS),
∴∠DPO=∠C=90°,
又∵OP是⊙O的半径,
∴DE为半圆O的切线.
(3)连接EO,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABO=90°,
∵∠DPO=90°,
∴∠EPO=90°=∠B,
在Rt△OBE与Rt△OPE中,

∴Rt△OBE≌Rt△OPE(HL),
∴∠BOE=∠POE,
由(2)得△ODP≌△OCD,
∴∠DOP=∠DOC,
∴∠BOE+∠DOC=90°,
又∵∠DOC+∠CDO=90°,
∴∠BOE=∠CDO,
∵点O是AB的中点,
∴,
在Rt△COD中,

【点睛】本题考查了正方形的性质,切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,掌握并灵活运用相关性质是解题的关键.

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