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7.2正弦、余弦
1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边．
2．同角三角函数的关系
平方关系：sin2A+cos2A＝1；
3．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
一、单选题
1．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
3．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝
4．如图，与，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=8cm，则BC的长度为（　 ）．
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍
8．已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，延长至点，使，则 ．

12．△ABC中，，为边上的高，，，则的长为 ．
13．将半径为10cm，弧长为10π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 ．
14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为 ．
15．如图，已知中，斜边上的高，，则 ．
16．已知直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧交直线l于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），连结PM，作直线PA交MN于点O，若PO＝，MN＝2，则cos∠APM＝ ．
三、解答题
17．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝45°，CD是⊙O的直径，过点A作CD的平行线，交BC的延长线于点P．
(1)判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝2，sin∠BAC，求BC的长．
18．
(1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为 ；
(2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值；
(3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值．
19．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
20．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
21．如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J， 四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且，，且五个角的两边（如）都是长，．
（1）求BJ的长；
（2）求标志的高度，即点A到地面的距离．
（参考数据：，结果保留两位小数．）
22．如图，在中，，求的值．
23．如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AODE是平行四边形，并说明理由；
（3）在(2)的条件下，求sin∠CAE的值.
24．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合）． 以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）探索：点D在BC边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值；
（3）当△ABD为等腰三角形时，线段EF的长为__________．
参考答案：
1．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．
【详解】∵，都是锐角，且，，
∴，，
∴，
∴的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
2．D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
3．C
【详解】试题分析：由图可分别求得BD=AD=2，AB=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数定义在Rt△ABD和Rt△ACD中计算即可判断．
解：由图可得BD=AD=2，CD=1，
所以AB==2，AC==，
在Rt△ABD中，sinα==，cosα==
在Rt△ACD中，sinβ==，cosβ==
则sinα＝cosα，故A正确；故B正确；sinβ≠cosβ，故C错误；故选C．
4．D
【分析】由，得，进而求，证，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、三角形的相似、勾股定理，证是解本题的关键．
5．B
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，
∴sinB=．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，由勾股定理得到直角三角形是解题关键．
6．D
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵sinA=，
∴设BC=3x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴82+（3x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=-2（舍），
则BC=3x=6cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键．
7．B
【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
8．C
【分析】由题意可知圆锥母线长为，求出底面圆周长，再由圆锥侧面展开图是一个扇形，利用扇形面积公式求解即可得到答案．
【详解】解：的值为，圆锥的底面半径为，
母线长为，
底面圆周长为，
圆锥的侧面积，
故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面积，涉及三角函数求边长、圆周长及扇形面积公式，熟记圆锥侧面展开图是一个扇形是解决问题的关键．
9．A
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=90°
∵BC＝2，
∴S△ABC＝BC×4＝4，
∵AB＝＝4，S△ABC＝BA×CD
∴CD＝
∵AC＝＝2，
∴在RtABC中， ∠CDA=90°
sinA＝ =
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，正确作出辅助线构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】设OA交⊙O于C，连结BC，如图2，根据新定义计算出OA′＝2，OB＝4，则点A′为OC的中点，再证明△OBC为等边三角形，则BA′⊥OC，然后在Rt△OA′B中，利用正弦的定义可求A′B的长．
【详解】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，

∵OA′ OA＝42
而r＝4，OA＝8
∴OA′＝2，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴BA′⊥OC，
在Rt△OA′B中，sin∠A′OB＝，
∴A′B＝4sin60°＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
11．
【分析】过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，由AB=AC，sinB=，可得sin∠DCE=，设DE=3x，再分别用x表示CE、CD、AC，然后根据正切的定义解答即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵ AB=AC
∴∠B=∠ACB，
∵∠DCE=∠ACB
∴∠DCE=∠B，
∵sinB=，
∴sin∠DCE=，
设DE=3x，则CD=5x，
∴CE=，
∵，
∴AC=3CD=15x，
∴ AE=AC+CE=19x，
∴tan∠CAD=，
故答案为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解答本题的关键．
12．7或17
【分析】先画出△ADB图形，根据锐角三角函数设出设，可得，根据勾股定理可求，．分类考虑点C的位置，求出线段BC即可．
【详解】解：如图所示，
∵，为边上的高，，
设，则，
∴，
解得．
∴，．
∵，，
∴．
当点在BD上C1位置时，．
当点在BD延长线的位置时，．
∴BC=7或17．
故答案为：BC=7或17．
【点睛】本题考查画图形，锐角三角函数，勾股定理，分类思想，掌握画图形技巧，锐角三角函数的运用，利用勾股定理构造方程，分类计算线段BC是解题关键．
13．/2
【详解】如图：
B

母线AB=10cm，圆O周长为10，由2r=10得BO=r=5，则AO=
所以母线与底面夹角的正弦值为sin=
故答案为
14．
【分析】根据点的坐标和勾股定理求出OA的值，再根据角α的余弦值等于，代入计算即可．
【详解】∵A（-1，3），
∴OA=
∴角α的余弦值为.
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
15．3
【分析】根据题意可得，即可得出，则，求出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为直角三角形，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握等角的三角函数值相等．
16．
【分析】根据过程可知：AP垂直平分MN，则OM＝ON＝MN＝1，∠POM＝90°，根据勾股定理求出根据余弦的定义即可求解.
【详解】解：如图，
根据作图得AP垂直平分MN，则OM＝ON＝MN＝1，∠POM＝90°，
在Rt△POM中，
cos∠OPM＝
即cos∠APM
故答案为: ．
【点睛】考查基本作图—线段的垂直平分线，勾股定理，角的余弦等，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
17．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，根据平行线的性质得到AO⊥AP，于是得到结论；
（2）连接BD，求得∠D=∠BAC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）解：PA与⊙O相切，
理由：连接OA，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，即AO⊥CD，
∵APCD，
∴AO⊥AP，
∵OA是⊙的半径，
∴AP与⊙O相切；
（2）连接BD，
则∠D=∠BAC，
∵AC=2，∠AOC=90°，OC=OA
∴OCAC，
∴CD=2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴，
∴BC．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形不等式，勾股定理，垂径定理，特殊角直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，
（1）当点O，P，A三点共线，且点A，点P在圆心O的两侧时，最大，等于与半径的和；
（2）连接，交半圆于点，连接，根据，结合勾股定理计算即可．
（3）连接，，过点O作于点R．点H到的距离为，计算面积即可．
【详解】（1）解：如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．
∵点P是上一动点，的半径为2，，
∴，
∴点P到点A的最长距离为7．
（2）如图2，连接，交半圆于点，连接．
∵，为半圆的直径，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴当点P在上时，最短，最小值为．
（3）如图3，连接，，过点O作于点R．
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
如图3，作的外接，
要使最大，则点M到的距离最大，
延长交于点H,
∵，，
∴直线是线段得垂直平分线，
则点K一定在直线上，
连接，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴点H到的距离为，
∴，
∴面积的最大值为．
19．（1） (2)证明见解析（3）CQ＋BQ的最小值为
【分析】（1）根据点E是BD的中点，可得 ,在作边CE的高DF,根据等边三角形三线合一DF也是 的高，根据勾股定理计算出DF的长度，在直角三角形DFC中利用勾股定理计算出CF,得出CE的值，利用三角形的面积公式计算出面积．
（2）延长AF,是2AF=AG,证明,得出CM=AD，再根据 60°，得出 = ,从而证明 ,得出AB=AG，得出结论．
（3）根据 =90°，知道点P的运动轨迹是以AD为直径的圆，圆心记为N，点Q是BP的中点，得到点Q的运动轨迹是以BN的中点为圆心，半径为 的圆。由 ，构造直角三角形QGB，点G为直角顶点，可得,得 ，可知CQ＋BQ=CQ+QG,故根据两点之间线段最短得最小值为CG的长度，又点G的运动轨迹为以AB为中点的圆．圆心为L,当点C、点Q、点G在同一条直线上时，CG的值最小，从而得出结果．
【详解】解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4,△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2,∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5,DF=,根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
(2)证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
(3)如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ,在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ,故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N ．点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆．当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小．
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
【点睛】本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题．隐圆问题，了解直径所对的圆周角等于90°是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助．了解截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想．
20．（1）sinA=；（2）△ABC的周长为或16．
【详解】分析：（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=；
（2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．
详解：（1）根据题意得△=25sin2A-16=0，
∴sin2A=，
∴sinA=±，
∵∠A为锐角，
∴sinA=；
（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，
则△≥0，
∴100-4（k2-4k+29）≥0，
∴-（k-2）2≥0，
∴（k-2）2≤0，
又∵（k-2）2≥0，
∴k=2，
把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，
解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，
∵sinA=，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC=2．
∴△ABC的周长为10+2；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，AB=5，
∵sinA=，
∴AD=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2或16．
点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．
21．（1）0.62m；（2）2.49m．
【分析】（1）连接，过点A作于点K，则，只要求出即可；
（2）连接，，过点A作于点L，证，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出， 所以问题得解.
【详解】解：（1）连接，过点A作于点K，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，过点A作于点L，
∵A，B，D，E四点与A，J，H，G四点都分别在同一直线上，五个角和其各边都相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
答：点A到地面的距离为2.49米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，正确作出辅助线，找到全等三角形是解本题的关键．
22．，，
【分析】根据勾股定理可求出，再根据正弦，余弦和正切的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
．
【点睛】本题考查勾股定理，求角的正弦值、余弦值和正切值．掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．
23．（1）通过证明∠ODE=90°，OD⊥DE，得DE是⊙O的切线 （2） 当∠CAB=45°时，四边形AODE是平行四边形 （3）
【详解】试题分析：（1）证明：连接OD、BD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=90°，
∵E为BC边的中点，∴BE=DE=CE=BC
∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB,
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.
（2）解：当∠CAB=45°时，四边形AODE是平行四边形.
又∵∠ABC =90°，∴∠CAB=∠C =45°，∴AB=BC.
同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，
∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB.
又∵DE=BC,OA=AB, ∴DE=OA.
∴四边形AODE是平行四边形.
（3）过点E作EF⊥AC交AC于点F,设EF=x，则CE=BE=x,BC=AB=2x,
在Rt△ABE中，AE==x
在Rt△AFE中，sin∠CAE===
考点：直线与圆相切，平行四边形
点评：本题考查直线与圆相切，平行四边形，掌握直线与圆相切的概念和性质，并能判断直线与圆相切，掌握平行四边形的判定方法，会判定一个四边形是平行四边形
24．（1）见解析；（2）的值不发生变化，的值为；（3）或
【分析】（1）由等边对等角可得，由已知条件和三角形的外角性质可得，即可证明
（2）根据题意，，即可求得的值；
（3）①当时，②当时，③当，根据相似三角形的性质与判定求得的长，进而求得的长
【详解】（1）证明：
，∠ADE=∠B，
（2）点D在BC边上运动的过程中，的值不变化，理由如下，
如图，过点作
在中，
∠ADE=∠B，
AF⊥AD
在中
（3）①当时，如图，
此时重合，
则
由（2）可知
则（此时点C，D重合不符合题意，舍去）
②当时，如图，
则
即
又
即
解得
③当，如图，作于
则,
又
则
综上所述，的长为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦值，分类讨论是解题的关键．

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