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7.4由三角函数值求锐角
计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
一、单选题
1．在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），作AB⊥x轴于点B，连接AO，绕原点B将△AOB逆时针旋转60°得到△CBD，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
3．已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（　　）
A．38° B．62° C．52° D．72°
4．已知锐角满足sin＝1，则锐角的度数为（ ）
A．25° B．40° C．45° D．65°
5．若锐角A满足，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．已知是锐角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若，则的余角度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（　　）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 C．都没有变化 D．都不能确定
9．在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1,则AC的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．+1
二、填空题
11．如图，在纸片中，，，，点D，E分别在、边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．
（1）若点F在上，则菱形的边长等于 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
12．如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是 cm．
13．如图，已知内接于，为的直径，，弦平分，若，则 ．
14．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ．
15．如图所示，四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于点E，且，，若，，则CE的长为 ．
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EF⊥AB于点F，交AC于点E，且AF＝BF，若AB＝10，．求线段EF长．
17．如图，以点P( 1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
18．如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）
19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：
对于及外一点P，M，N是上两点，当最大，称为点P关于的“视角”．
直线l与相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于的“视角”．
(1)如图，的半径为1，
①已知点，直接写出点A关于的“视角”；
已知直线，直接写出直线关于的“视角”；
②若点B关于的“视角”为，直接写出一个符合条件的B点坐标；
(2)的半径为1，
①点C的坐标为，直线经过点，若直线关于的“视角”为，求k的值；
②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线关于的“视角"大于，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
20．如图1，矩形的边，，点从点出发，沿射线移动，以为直径作圆，点为圆与射线的交点，连结、，过点作，与圆相交于点，连结.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求的值；
（3）当圆与射线相切时，点停止移动，在点移动的过程中，求四边形面积的取值范围.
21．如图，四边形是的内接四边形，连接，，延长至点.
(1)若，求证：平分；
(2)若，的半径为，求．
22．已知：、是圆中的两条弦，连接交于点，点在上，连接，．
（1）如图1，若，求证：弧弧；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长交圆于点，点在上，连接，若，，，求线段的长．
23．如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．
（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．

参考答案：
1．D
【分析】本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，由非负数的性质可得，，从而得出，，进而得出，，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，，
，，
，，
，，
，
故选：D．
2．A
【分析】首先证明∠AOB＝60°，∠CBE＝30°，求出CE，EB即可解决问题．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵A（2，2），
∴OB＝2，AB＝2
∴Rt△ABO中，tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，
∴BC＝AB＝2，
∠CBE＝30°，
∴CE＝BC＝，BE＝EC＝3，
∴OE＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知正切的性质.
3．C
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可．
【详解】∵sinα=cos38°，
∴α=90°-38°=52°．
故选C.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
4．D
【分析】先求出sin的值，然后可得出锐角的度数．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．
5．B
【分析】根据同角三角函数的关系即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，掌握“一个角的正弦值等于它的余角的余弦值”是解题的关键．
6．A
【分析】利用特殊角的函数值即可求解．
【详解】解：，
，
又，
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查的是特殊角的函数值，解题的关键是熟记特殊角的函数值．
7．B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和，余角的计算；根据“几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零”先由余弦值和正切值求得，，再由三角形内角和求得，再计算余角即可；
【详解】解：∵一个数的绝对值和平方都是非负数，
∴，，
∴，，
∴，
∴的余角=，
故选： B．
8．C
【详解】试题分析：根据锐角的三角比的定义可知，锐角的大小确定后，锐角的四个三角比的值与边长无关，固定不变，故选C.
考点：锐角的三角比.
9．D
【分析】根据题意画出图形，利用cosB=，表示出三角形各边长，进而得出答案．
【详解】如图所示：∵cosB=，∴设BC=7x，则AB=25x，故AC=24x，则tanB==．
故选D．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，利用同一未知数表示出各边长是解题的关键．
10．B
【分析】过点D作DEAB于E，则DE=1，先计算出∠ABD=30°，在中，由直角三角形的性质求出BE，利用等腰三角形的性质求出AB，最后在中求出AC的长．
【详解】解：如图，

过点D作DEAB于E，则DE=1，
∠C=90°, ∠A=30°，
由尺规作图，知PB是的平分线，
，
，
，
，
在中，
，
在中， ,
故选：B
【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，锐角三角函数及等腰三角形的性质．灵活的应用锐角三角函数的定义求直角三角形的边和角是解本题的关键．
11．
【分析】（1）设，根据，列出方程求出必的值，进而可以解决问题；
（2）连接交于点O，设与交于点G，根据菱形的性质可得点F在的平分线上运动，从而得到当时，再证明，可得，再证明，，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）点F在上，
，
是菱形，
，，，
，，
设，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形的边长等于；
故答案为：
（2）如图2，连接交于点O，设与交于点G，
四边形是菱形，
平分，
点F在的平分线上运动，
当时，的长最小．
在菱形中
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折变换，萎形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，准确得及点F在角的平分线上运动是解题的关键．
12．4
【分析】由线段垂直平分线、勾股定理结合即可求解；
【详解】解：∵的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键．
13．．
【分析】连接BD，在中，求出AB，再在中求出AC即可解决问题．
【详解】连接BD，如图所示：
∵AB为的直径，
∴，
∴，弦AD平分，
∴，
，
∵， ，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和锐角三角函数的定义以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．设折痕为，连接交于点，由勾股定理求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后利用的正切列式求出的长，最后证≌，得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，设折痕为，连接交于点，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
折叠后点与点重合，
，
，
解得：，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题有等腰三角形，所以可作BH⊥CD，交EC于点G，利用三线合一性质及邻补角互补可得∠BGD=120°，根据四边形内角和360°，得到∠ABG+∠ADG=180°．此时再延长GB至K，使AK=AG，构造出等边△AGK．易证△ABK≌△ADG，从而说明△ABD是等边三角形，BD=AB=，根据DG、CG、GH线段之间的关系求出CG长度，在Rt△DBH中利用勾股定理及三角函数知识得到∠EBG的正切值，然后作EF⊥BG，求出EF，在Rt△EFG中解出EG长度，最后CE=CG+GE求解．
【详解】如图，作于H，交AC于点G，连接DG．
∵，
∴BH垂直平分CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长GB至K，连接AK使，则是等边三角形，
∴，
又，
∴≌（），
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
在中，，解得，，
当时，，所以，
∴，，，
作，设，，，，，
∴，，
∴，则，
故答案为
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及等边三角形、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．
16．EF=
【分析】由已知AF=BF，AB=10，可以求出AF的长，由sinA＝，用同一未知数表示出AE，EF，用勾股定理列方程即可求出．
【详解】解：∵AF＝BF，AB＝10，
∴
又EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AFE中sinA＝，
设EF＝3x，那么AE＝5x，
根据勾股定理有（5x）2﹣（3x）2＝52，
∴x＝，
∴；
【点睛】此题主要考查了解直角三角形和勾股定理应用，用同一未知数表示出AE，EF，是解决问题的关键．
17．（1）B(-3，0)，C(1，0)；（2）作图见解析，四边形ACMB是矩形，点M的坐标为(-2，)；（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°
【分析】（1）连接AP，结合题意，根据圆的对称性，得；再根据勾股定理，计算得AP；再根据圆的性质，得，从而得到B、C两点的坐标；
（2）结合题意，根据圆周角的性质，得；再根据旋转的性质，得，，，从而推导得四边形ACMB是矩形；再根据旋转的性质，可计算得点M的坐标；
（3）结合题意，得∠BMC=∠BGE=90°；再结合点Q是BE的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得QM=QE=QB=QG，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上，故得∠MQG=2∠MBG；再通过三角函数计算，得到∠OCA=60°；从而完成求解．
【详解】（1）如图，连接AP

∵以点P( 1，0)为圆心的圆，AD=
∴，
∴
∴
又∵P( 1，0)
∴B(-3，0)，C(1，0)；
（2）如图

∵以点P( 1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧）
∴BC是圆的直径
∴
∵将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB
∴，，
∴四边形ACMB是矩形
过点M作交BC于点N

结合题意得：△MCB和△ABC关于点P旋转对称
∴，
又∵P( 1，0)
∴点M的坐标为(-2，)；
（3）如下图

结合（2）的结论，四边形ACMB是矩形，∠BMC=90°
∵EG⊥BO
∴∠BGE=90°
∴∠BMC=∠BGE=90°
∵点Q是BE的中点
∴QM=QE=QB=QG
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上
∴∠MQG=2∠MBG
∵∠COA=90°，OC=CP-OP=1，OA=
∴tan∠OCA==
∴∠OCA=60°
∴∠MBC=∠BCA=60°
∴∠MQG=120°
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
【点睛】本题考查了圆、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的性质，从而完成求解.
18．
【分析】如图：延长交于N，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长．
【详解】解：如图，延长EF交CH于点N，
则，．
∵，
∴．
设，
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴．
答：点D到地面的距离的长约为．
【点睛】本题考查了利用三角函数的应用，正确做辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)①，；②（答案不唯一）
(2)①②
【分析】（1）①过作的切线，切点分别为、，可证四边形是正方形，可得关于的“视角”是，直线与轴交于点，过点作的切线，切点为、，由，即可求解；②由①得，关于的“视角”为，可得，由对称性可得、、都可以，取其一为答案，即可求解．
（2）①可求，可得点在以为圆心，为半径的圆上，点是直线上与圆心的距离最短的点，直线以为圆心，为半径的圆的一条切线，作轴于点，可求，由，可求，从而可求
，即可求解；②如图，当与直线相切时，切点为，连接，可求，，从而可求，直线关于的“视角”是时，作于，、是的切线，、是切点，，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，过作的切线，切点分别为、，
，的半径为，
四边形是正方形，
关于的“视角”是，
直线与轴交于点，
过点作的切线，切点为、，
，，
在中：，
，
同理可求：，
，
直线关于的“视角”为；
故答案：，．
②由①得，关于的“视角”为，
，
由对称性可得、、都可以．
（2）解：①如图，
直线经过点，
，
，
，
点关于的“视角”为，
点在以为圆心，为半径的圆上，
直线关于的“视角”为，
点是直线上与圆心的距离最短的点，
，
直线以为圆心，为半径的圆的一条切线，
如图，作轴于点，
，
，
，
在中：
，
，
，
，
解得：，
，
解得：；
②如图，当与直线相切时，切点为，连接，
，
当时，
，
解得：，
当时，，
，，
在中：，
，
在中：，
，
解得：，
，
如图，直线关于的“视角”是时，作于，、是的切线，、是切点，
，
，
，
解得：，
在中，，
，
解得：，
；
．
【点睛】本题考查了新定义“视角”，切线的性质，特殊角的三角函数，理解新定义：（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即可判断.（2）只要证明∠CEG=∠ADB即可解决问题.（3）首先证明四边形面积，想办法求出CF的范围即可解决问题，只要求出CF的最大值以及最小值.
【详解】（1）∵为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴，
∴四边形是矩形.
（2）由（1）知四边形是矩形.
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴.
（3）∵，
∴，
∴.
又，
∴，
则，
∴.
连结、，如图2，
∵，，
∴.
∵，
∴.
∴.
（Ⅰ）当点在点处时，点在点处，点在点处，如图2所示.此时.
（Ⅱ）当点在点处时，直径，如图3所示，此时与射线相切，.
（Ⅲ）当时，最小.
如图4所示.，
∴，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、锐角三角函数勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会转化的思想，学会取特殊点特殊位置探究问题，属于中考压轴题.
21．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆的基本性质，锐角三角形函数的计算，即可．
（1）根据四边形是的内接四边形，则，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则；再根据，，最后根据等量代换；即可；
（2）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角为直角，则，根据勾股定理，求出；根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，即可求出．
【详解】（1）∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即平分．
（2）连接并延长交于点，连接，
∴是直径
∴，
∵，的半径为，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过角度之间的关系，求得，得证，即可证明 ；
（2）通过证明≌，求得，，可得为等边三角形，可得，，即可证明；
（3）延长交于点，延长到点，使，连接，，设，先证明≌，可得，设，解得，，过点作，在中，解得，故在中， ，解得，即可求出线段BG的长度．
【详解】（1）证明：
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）证明：
∵，
∵
∴
在和中
∵ ，，
∴≌
∴，
∴
∴为等边三角形
∵，
∴
（3）证明：延长交于点，延长到点，使，连接，
设，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中
∵， ，
∴≌
∴
∵
∴
∴
设，
∴，，
在中，，，，
解得，
过点作，在中，
∵ ，
∴，，
在中， ，
【点睛】本题考查了三角形和圆的综合问题，掌握圆心角定理、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、锐角三角函数是解题的关键．
23．（1）；（2），，，；（3）或；（4），
【分析】（1）由题意直接根据AB=8，构建方程进行求解即可；
（2）根据题意分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出CE即可；
（3）由题意求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围；
（4）根据题意分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．
【详解】解：（1）当点P与B重合时，5t=8，解得；
（2）在Rt△ABC中，
∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴，
∴，
如图①中，当点P在线段AB上时，此时，
在Rt△APE中，AE=AP cosA=4t，
∴CE=10-4t；
如图③中，当点P在线段BC上时，此时，
在Rt△PEC中，PC=14-5t，，

∴；
（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE=DE，
如图④中，当点P在线段AB上时，

在Rt△APE中，PE=PA sinA=3t，
∵DE=AC-AE-CD=10-4t-2t=10-6t，
∵PE=DE，
∴3t=10-6t，
∴；
如图⑤中，当点P在线段BC上时，

在Rt△PCE中，，
∵，
∴，
解得．
∵△PDQ是锐角三角形，
∴观察图形可知满足条件的t的值为或；
（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，
过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．

∵PB∥MN∥DH，PM=DM，
∴BN=NH，
在Rt△PQG中，PQ=2PE=6t，
∴，
在Rt△DCH中，，
∵，
解得；
如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，
过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．

∵QM∥BC，DM=PM，
∴DH=2PK，
在Rt△PQK中，，
∴，
在Rt△DCH中，，
∵DH=2PK，
∴，
解得，
综上所述，满足条件的t的值为和．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

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