资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出“方程与方程组”要求能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程,解决实际问题.在教学中,应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程.用数学眼光发现问题并提出数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法,综合运用多个领域的知识,提出设计思路,制定解决方案.结合实际问题建立方程模型,进而分析和解决问题,是学习方程的核心.
本单元教学内容分析
人教版教材九年级上册第二十一章“一元二次方程”,本章包括三个小节:21.1一元二次方程;21.2解一元二次方程;21.3实际问题与一元二次方程.
本章系统的学习了一元二次方程及其根的概念、解方程的方法与步骤,以及应用方程的思想和方法来解决实际问题等.正确理解方程根的意义,并学会解方程的方法,是基本运算技能的重要组成部分.依据等式的基本性质,采用“降次”的方法来解方程,充分体现了转化与化归的数学思想.方程是刻画现实情景中数量关系的一个非常重要的数学模型,方程的学习应注意对实际应用问题的探索、研究和讨论.构建方程最重要的环节就是分析具体情境中的数量关系,找出两件等价的事情后,建立数量间的相等关系,即等量关系.方程的学习使学生从原有的算术思维向代数思维转变,是学生代数思维发展的开始.在教学中引导学生积极主动地收集现实的、有意义的数学问题作为学习和研究的素材,依据问题的相关信息,将问题数学化,进而对其中的数量关系进行梳理,设定未知数,并列出相应的方程.帮助学生积累相关数学活动经验,提升分析问题和解决问题的能力.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学九年级上册第二十一章一元二次方程,学生在前面已经学习了数与式的运算、一元一次方程和二元一次方程组,其内容都是学习一元二次方程的基础.一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中“数与代数”中占有重要的地位.在现实生活中,许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程.因此,从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二次方程,求出它的根进而解决实际问题,是本章学习的一条主线.通过对一元二次方程的学习,可以为以后的学习作铺垫,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义.
四、单元学习目标
1.了解一元二次方程的概念,会把任意的一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),并能熟练的确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.掌握一元二次方程的解法,并能根据方程的特点选择合适的方法来解方程,培养学生的数学运算和推理能力.
3.理解一元二次方程根的判别式,会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
4.掌握一元二次方程的根与系数的关系,学会应用它来求一元二次方程的各项系数.
5.通过分析问题,建立方程来解决生活中的实际问题,体现数学的实用价值,培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算的能力.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本单元的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.理解一元二次方程及其相关概念,能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.
2.会应用一元二次方程的根的概念解决有关问题.
3.经历把实际问题转化为数学模型的过程,让学生体会方程是刻画现实世界中数量关系的工具,增强对一元二次方程的感性认识.
4.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.
学习重点
通过建立方程,归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念.
学习难点
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
课时活动设计
知识回顾
1.含有　未知数　的等式叫做方程.
2.我们已经学过的方程有　一元一次方程　、　二元一次方程(组)　、　三元一次方程组　、　分式方程　,其中　一元一次方程　、　二元一次方程(组)　、　三元一次方程组　都是整式方程.
3.使方程左右两边相等的　未知数　的值叫做这个方程的解.
设计意图:通过复习旧的知识,让学生产生新旧知识上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,建立类比的学习方法,为下面探究新知识打下基础.
情境导入
现有三个实际生活中遇到的问题,根据题干信息列方程,化简方程,观察所得结果,你发现了什么 师生互动,教师通过随机抽查的方式,找同学回答问题.
问题1:正方形桌面的面积是4 m2,求它的边长
分析:根据正方形面积公式,如果设正方形桌面的边长为x m,可得到的方程是什么
解:设正方形桌面的边长为x m,由题意,得x2=4.
问题2:如图甲,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒(如图乙).如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
分析:如果设切去的正方形的边长为x cm,那么制成的无盖方盒的底面长为　(100-2x)　cm,宽为　(50-2x)　cm.由底面积为3 600 cm2,可得到的方程是怎样的
解:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x) cm,宽为(50-2x) cm.
根据方盒的底面积为3 600 cm2,得(100-2x)(50-2x)=3 600.
整理,得4x2-300x+1 400=0.
化简,得x2-75x+350=0.
问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛
分析:(1)全部比赛的场数为　4×7=28　场.
(2)如果设应邀请x个队参赛,那么每个队要与其他　(x-1)　个队各赛一场,因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 x(x-1)　场.
(3)由此可列出的方程是什么
解:设应邀请x个队参赛,
由题意,得x(x-1)=28.
整理,得x2-x=28.
化简,得x2-x-56=0.
设计意图:教师提出问题,引导学生思考方程的建模过程,同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣,为下一环节引出方程的概念打基础.
探究新知
探究1　观察思考教学活动2中的三个方程,它们有什么共同点 以小组为单位讨论.
共同点:①等号两边都是整式;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
结合一元一次方程的概念,你能发现这类方程是属于什么类型的方程吗
答:方程中只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,等号两边都是整式,结合一元一次方程的概念可得这类方程应该叫一元二次方程.
概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
探究2　一元二次方程的一般形式.
(1)一元二次方程的一般形式是
.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
(2)辩一辩:为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0,b,c可以为0吗
答:当a=0时,为一元一次方程;当a≠0时,才为一元二次方程;b,c可以为0.
(3)例　将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
设计意图:1.让学生经历合作探究的过程,通过观察、发现、归纳,结合一元一次方程的概念概括出一元二次方程的概念,培养学生抽象概括的能力.
2.通过问题,引发学生思考一元二次方程中a≠0的原因,加深对一元二次方程概念的理解,通过引导学生自主实践,掌握化一元二次方程的一般形式的方法,并熟练判断其二次项系数、一次项系数和常数项.
巩固训练
1.下列方程中,是一元二次方程的是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.xy=2　　　 B.(x+1)(x-2)=x2
C.(t+1)2=2t(t-1)　　　 D.x2+y=2
2.若方程(k+2)x︱k︱-3kx-1=0是关于x的一元二次方程,则k的值为　2　.
3.将一元二次方程(x-1)2=6化成一般形式,正确的是(　B　)
A.x2-2x+5=0 B.x2-2x-5=0
B.x2+2x+5=0 D.x2+2x-5=0
4.已知m是一元二次方程x2-x-2=0的一个根,则m2-m=　2　.
5.小明同学用一张长11 cm,宽7 cm的长方形纸板制成一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒,他将四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可,设剪去的正方形边长为x cm,则可列出关于x的方程为　(11-2x)(7-2x)=21　.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.
课堂小结
1.一元二次方程的概念是什么 一元二次方程的根的概念是什么
2.一元一次方程与一元二次方程的联系与区别.
设计意图:通过小结让学生进一步熟悉本节所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.
随堂小测
1.下列方程:①4x2-3=0;②x3+x=x2-1;③ax2+bx+c=0;④3x2-xy+y2=0.其中一定是一元二次方程的有(　A　)
A.1个　　　　　　　B.2个　　　　　　　C.3个　　　　　　　D.4个
2.已知x=0是一元二次方程(m-2)x2+4-m2=0的一个根,则m的值为　-2　.
3.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为　-3　.
4.完成下表.
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=5x-1 　3x2-5x+1=0　 　3　 　-5　 　1　
(x+2)(x-1)=6 　x2+x-8=0　 　1　 　1　 　-8　
2y-4y2=0 　-4y2+2y=0　 　-4　 　2　 　0　
4x2-5=2x 　4x2-2x-5=0　 　4　 　-2　 　-5　
3x(x-3)=5(x+2) 　3x2-14x-10=0　 　3　 　-14　 　-10　
　　 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师讲评,让学生巩固所学知识,达到查漏补缺的目的.
相关练习.
1.教材第4页习题21.1第1,2,3,4,5,6,7题.
2.相关练习.
21.1　一元二次方程
　　　1.根据实际问题列方程.
2.一元二次方程及根的概念.
3.一元二次方程的一般形式.
4.一元一次方程与一元二次方程的联系与区别.
一元一次方程 一元二次方程
一般形式 ax=b(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0)
相同点 整式方程,只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
教学反思

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