资源简介

21.2.2　公式法
课时目标
1.理解求根公式的推导过程,掌握公式法的概念,能利用判别式判断一元二次方程根的情况,熟练运用求根公式求一元二次方程的根.
2.经历探索求根公式的推导过程,培养学生的逻辑思维能力和渗透分类讨论.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.
学习重点
求根公式的推导过程.
学习难点
熟练运用公式法解一元二次方程.
课时活动设计
知识回顾
上节学习了通过配方解一元二次方程的方法,用配方法解方程3x2-5x-8=0,并回顾配方法解方程的步骤.
解:移项,得3x2-5x=8.
系数化为1,得x2-x=.
配方,得x2-x+=+,
=.
得x-=±,
x1=,x2=-1.
步骤:
移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;
求方程的解:判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以直接开平方求解;若p<0,则原方程无实数根.
设计意图:通过循序渐进的方法,为求根公式的推导作铺垫,同时对配方这一关键过程加以复习,可以更有效的突出本节的教学重点.
探究新知
探究1　任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢
解:移项,得ax2+bx=-c.
二次项系数化为1,得x2+x=-.
配方,得x2+x+=-+,
即=.
问题:此时我们直接开平方去解方程,应注意什么
解:注意的非负性.
因为a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况:
①b2-4ac>0,>0,即x+=±,方程有两个不等的实数根x1=,x2=.
②b2-4ac=0,=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-.
③b2-4ac<0,<0,即<0,而x取任意实数都不能使<0,因此方程无实数根.
由此可得,当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
设计意图:本环节主要是让学生探究用配方法解一元二次方程的一般形式的过程,让学生理解求根公式的推导过程.
探究2　上述对式子b2-4ac的值及方程的根的情况的讨论,你有什么发现
解:方程的根的情况由b2-4ac决定.
师生总结归纳出根的判别式的概念.
一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.
归纳总结
当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;
当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
探究3　如何用求根公式来解一元二次方程
解一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
公式法解一元二次方程的基本步骤:
(1)将原方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a,b,c的值.
【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数,方便计算.
(2)求出b2-4ac的值,根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解;
(3)如果b2-4ac≥0,将a,b,c的值代入求根公式x=;
【易错点】a,b,c的值代入求根公式时,易遗漏前面的符号.
(4)最后求出原方程的解.
设计意图:引出判别式的概念,指导学生通过判别式判断一元二次方程根的情况.教师引导学生总结公式法解一元二次方程的基本步骤.
典例精讲
例1　一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为(　C　)
A.无实数根　　　　　　　　　　　　B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
例2　用公式法解方程:
(1)x2-4x-7=0;　　(2)5x2-3x=x+1.
解:(1)a=1,b=-4,c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.
方程有两个不等的实数根
x===2±,
即x1=2+,x2=2-.
(2)方程化为5x2-4x-1=0.
a=5,b=-4,c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
方程有两个不等的实数根
x===,
即x1=1,x2=-.
设计意图:通过例题讲解,加深学生对所学知识的理解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
利用公式法解方程:
(1)x2-2x-3=0;　(2)2x2-x-1=0;　(3)x2-x=x-1;　(4)x2+10=6x.
解:(1)x1=3,x2=-1;(2)x1=,x2=;(3)x1=x2=1;(4)方程无实数根.
设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对公式法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正,对于学生做题中出现的问题展开辨析,有利于学生思维的发展.
拓展应用
1.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
2.下列一元二次方程中,无实数根的是(　C　)
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
3.关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是(　B　)
A.36 B.9 C.6 D.-9
4.小颖在解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=,则□代表的数为(　B　)
A.6 B.-6 C.3 D.48
5.用公式法解方程:
(1)x2-7x-18=0;　　　　　　　(2)2x2-7x+7=0;
解:(1)x1=9,x2=-2;(2)方程无实数根.
设计意图:本环节中的第1,2,3题是对根的判别式进行训练,举一反三,第5题是让学生利用公式法来解方程,检查学生公式法的掌握情况,对出现的问题及时纠正.
课后小结
1.简述求根公式的推导过程.
2.如何用根的判别式判定一元二次方程根的情况
3.简述公式法解一元二次方程的步骤.
设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.
随堂小测
1.关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有实数根,则实数m取值范围是(　A　)
A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤1 D.m<1
2.关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等的实数根,则代数式3m2-12m+7的值为　7　.
3.解方程x2=3x+2时,有一位同学的解答如下:
解:∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,
∴x=.
∴x1=-1,x2=-2.
请你分析以上解答过程有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
解:有错误,没有先把方程化为一般形式.
正确解法:整理,得x2-3x-2=0,
∵a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0,
∴x==.
∴x1=,x2=.
4.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
解:(1)由题意,得Δ=b2-4ac=(-3)2-4k=9-4k≥0,
∴k≤.
(2)∵k是符合条件的最大整数,
∴k=2.
∴x2-3x+2=0,解方程,得x1=2,x2=1.
当x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1.
由题意知,m-1≠0,∴m=1不符合题意,舍去;
当x=1时,(m-1)×1+1+m-3=0,解得m=,且符合题意.
综上所述,m的值为.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,其中第3题是让学生通过辨析,明白用公式法解方程的易错点,进行当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.课本第12页练习第1,2题.
2.相关练习.
21.2.2　公式法
　　　1.用公式法解一元二次方程的一般形式.
2.用根的判别式判定一元二次方程根的情况.
3.用公式法解方程.

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