资源简介

21.2.3　因式分解法
课时目标
1.学会用因式分解法(提公因式法、运用公式)来解方程.
2.学生经历观察、探究用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程,发展学生的思维能力,培养学生的创新能力.
3.学生通过自主探究、合作交流,激发学生的学习兴趣,提高学习效率,感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
学习重点
会利用因式分解法解一元二次方程.
学习难点
理解并掌握解一元二次方程中的转化思想和降次法.
课时活动设计
知识回顾
问题1:我们已学到的解一元二次方程的方法有哪些
①直接开平方法,将一元二次方程化为x2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;
②配方法,将一元二次方程化为(x+n)2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;
③公式法,将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),先通过根的判别式了解方程的根的情况,再将a,b,c的值带入求根公式x=求解.
问题2:多项式因式分解的方法有哪些
①提公因式法:pa+pb+pc=p(a+b+c);
②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
④“十”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾解一元二次方程基本方法和多项式因式分解的方法,为本节所学内容作铺垫.
情境导入
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留小数点后两位)
解:设物体经过x s落回地面,即这时它离地面的高度为0 m,所以10x-4.9x2=0.
思考:本方程除了用配方法和公式法来解之外,还有更简单的方法吗
设计意图:本环节采用了情景呈现的方式来导入新课,使数学与生活紧密地结合起来,体现出数学的实用价值,可以很好的激发学生的学习兴趣.同时,本环节设计的方程也为我们引出因式分解法打下基础.
探究新知
通过因式分解法求解一元二次方程.
之前学过如果a×b=0,则a=0或b=0.如何将10x-4.9x2=0变形为a·b=0的形式
解:因式分解,得x(10-4.9x)=0.
∴x=0,或10-4.9x=0,
解得x1=0,x2=≈2.04.
这两个根中,x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m;x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面.
通过观察发现,我们可以先对方程左边进行因式分解,然后让它们各自为0,就可以化成两个一元一次方程,进而达到降次.
展示因式分解法如何通过降次求解一元二次方程.
先因式分解,使一元二次方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤:
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解,把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式;
③赋值,分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解,分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.
归纳:左分解,右化零,两因式,各求解.
设计意图:通过师生互动重在引导学生归纳总结,加深理解.通过已知a·b=0,则a=0,或b=0,尝试将原方程变形为两个一次式的乘积等于0的形式,进而引出因式分解法解一元二次方程的概念及步骤.
典例精讲
例　用因式分解法解方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;　　　　(2)5x2-2x-=x2-2x+.
解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.
于是得x-2=0,或x+1=0.
x1=2,x2=-1.
(2)移项、合并同类项,得4x2-1=0.
因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0.
于是得2x+1=0,或2x-1=0.
x1=-,x2=.
设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
想一想,以上两个方程可以用配方法或公式法来解吗 如果可以,请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考回答后,教师归纳总结.
选择解一元二次方程的方法:
①直接开平方法、配方法适用于能化归完全平方形式的方程,先配方,再降次;
②因式分解法适用于能化成两个一次因式乘积为0的形式的方程;
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程.
总之,解一元二次方程的基本思路是,将二次方程化为一次方程,即降次.
巩固训练
利用因式分解法解方程:
(1)x2+x=0;　(2)x2-2x=0;　(3)3x2-6x=-3;　(4)4x2-121=0.
解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=2;(3)x1=x2=1;(4)x1=,x2=-.
设计意图:本环节设计了四个方程,主要是强化学生对因式分解法解方程的练习,起到巩固的作用,同时发现学生在做题中的错误,及时给予纠正和反思.
拓展应用
1.一元二次方程(x+3)(2x-1)=0的根是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1=3,x2= B.x1=-3,x2=
C.x1=3,x2=2 D.x1=-3,x2=-2
2.阳阳在解方程x2+3x=0时,只得到一个根x=-3,阳阳漏掉的那个根是(　C　)
A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=2
3.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是(　C　)
A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x
C.x2-5x+3=0 D.(2x+1)2=6x+3
4.一个简单的数值运算程序如图所示,当输出的值为0时,输入的x的值为　3或-5　.
输入x→计算(x-3)(x+5)→输出
5.用适当的方法解下列方程:
(1)(y-7)(y+5)=0;　(2)4x2=25;　(3)(2x-1)2-4=0;　(4)3x2=4x+1.
解:(1)y1=7,y2=-5;(2)x1=,x2=-;
(3)x1=,x2=-;(4)x1=,x2=.
设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.
课堂小结
1.因式分解的方法有哪些
2.简述用因式分解法解方程的一般步骤.
3.用因式分解法解方程时,我们要应注意什么
4.运用适当的方法解一元二次方程.
设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容.
随堂小测
1.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是(　A　)
A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2-2x=0,或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0,或x-1=1
C.(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2,或x-3=3
D.x (x+2)=0,∴x+2=0
2.方程x2=4x的根是(　B　)
A.x=4　　　　B.x1=0,x2=4　　　　C.x=0　　　　D.x1=2,x2=-2
3.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0时,要转化成两个一元一次方程求解,其中的一个方程是3x-4+5=0,则另一个方程是　3x-4-5=0　.
4.若实数k,b是一元二次方程(x-2)(x+1)=0的两个根,且k>b,则一次函数y=-kx+b的图象不经过第　一　象限.
5.若a,b是两个实数,定义一种运算“△”:a△b=a(a+b),则方程x△(x-1)=2x-1的实数根是　x1=1,x2=　.
6.解方程:
(1)x2+5x=0;　　　　　(2)2x(3x+1)-6(3x+1)=0.
解:(1)x1=0,x2=-5;(2)x1=3,x2=-.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第14页练习第1,2题.
2.相关练习.
21.2.3　因式分解法
　　　1.情景呈现.
2.因式分解法解方程的概念及步骤.
3.用适当的方法解方程.

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