资源简介

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
课时目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,会用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算.
2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体现观察——发现——猜想——验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.
学习重点
掌握一元二次方程的根与系数的关系.
学习难点
利用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算.
课时活动设计
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些 一元二次方程的求根公式是什么呢
解:配方法、公式法、因式分解法.x=.
2.思考:一元二次方程的根与系数之间的关系还有其他表现方式吗
设计意图:通过循序渐进的方法,先复习一元二次方程的求根公式,引出根与系数之间的联系;结合思考,不仅可以引出本节所学知识,还抛出学生探究的新问题,为学习新知作铺垫.
探究新知
选用合适的方法求解下列一元二次方程,并将所得结果填入表格中,观察方程的系数与两根的和与积有什么联系
(1)(x-3)(x-4)=0;　　(2)x2-2x=0;　　(3)2x2+3x-2=0.
方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2
x1 x2
(x-3)(x-4)=0 　3　 　4　 　7　 　12　
x2-2x=0 　2　 　0　 　2　 　0　
2x2+3x-2=0 　-2　 　-　 　-1　
　　观察方程的系数与两根的和与积有什么联系 把猜想的结果在小组内交流.
教师引导学生得出根与系数之间关系,猜想:x1+x2=-,x1x2=.
教师引导学生检验猜想是否正确.
从因式分解可知,若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,或x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数).将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开,化为一般形式,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
这个方程的二次项系数为1,一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1x2.
于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:
x1+x2=-p,x1x2=q.
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,二次项系数a未必是1,当Δ≥0时,该方程的两个根与它的系数之间有什么关系呢 (公式法证明)
由求根公式可知,
x1=,x2=.
由此可得x1+x2=+=-=-.
x1x2=·===.
即方程的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系为x1+x2=-,x1x2=.
设计意图:教师引导学生通过观察、猜想、验证根与系数的关系,经历一元二次方程根与系数关系的推导过程,加深同学们对根与系数关系的理解.
归纳总结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
设计意图:形成一元二次方程的根与系数关系的符号语言和文字语言的表现方式.
典例精讲
例　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:
(1)x2-6x-15=0;　　　　　　　　　(2)3x2+7x-9=0.
解:(1)x1+x2=-=-=-(-6)=6,x1x2===-15.
(2)x1+x2=-=-,x1x2===-3.
设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
拓展应用
1.已知关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2+x1+x2的值为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.1 C.5 D.-5
2.下列各项中,方程的两个根互为相反数的是(　B　)
A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x=0 D.x2-x=0
3.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是　0,0　.
4.若m,n是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则m2+m+2n的值为　2 024　.
5.设x1,x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根,利用根与系数的关系求(x1-3)(x2-3)的值.
解:∵x1+x2=,x1x2=,∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=-3×+9=2.
6.已知一元二次方程x2+2x-6=0的两个根x1,x2.
(1)(x1+1)(x2+1)=　-7　;
(2)+=　16　;
(3)+= 　;
(4)|x1-x2|=　2　.
设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系都有哪些
设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容.
随堂小测
1.a,b是关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,则下列说法错误的是(　A　)
A.a+b=-2 B.ab=-5 C.a2-2a=5 D.b2-2b=5
2.已知m,n是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,则m2+mn+2m的值为　0　.
3.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为　1或-3　.
4.已知一元二次方程x2-2x+m=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的范围;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.
解:(1)∵方程x2-2x+m=0有两个实数根,
∴Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤1.
(2)由两根关系知,x1+x2=2,x1x2=m,
∴解得
∴m=x1x2=.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第16页练习,第17页习题21.2第7题.
2.相关练习.
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
　　　1.探究一元二次方程的根与系数的关系.
2.例题精讲.

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