21.2.1 配方法 教学设计(2课时) 2023-2024学年人教版九年级数学上册

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21.2.1 配方法 教学设计(2课时) 2023-2024学年人教版九年级数学上册

资源简介

21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
课时目标
1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法;能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
2.通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.
3.启发学生学会观察、分析,寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力.
学习重点
应用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.
学习难点
会把一个方程化成x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式.
课时活动设计
知识回顾
1.如果x2=a,那么x叫做a的 平方根 .
2.如果x2=a(a≥0),那么x= ± .
3.如果x2=64,那么x= ±8 .
4.如果2x2=18,那么x= ±3 .
思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢
设计意图:通过复习旧的知识,引出对新知识的探究,达到衔接新旧知识的目的,为下面探究新知识打下基础.
探究新知
一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗
思考1:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的外表面面积为 6x2 dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为 10×6x2 dm2,由此可得到方程为 10×6x2=1 500 .你能求出它的解吗
解:设盒子的棱长为x dm,则10×6x2=1 500.
整理,得x2=25.
根据平方根的意义,得x=±5,即x1=5,x2=-5.
可以验证,5和-5是原方程的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.
思考2:对照上面解方程的过程,你认为应该怎样解方程(x+3)2=5呢
学生通过比较它与方程x2=25的异同,从而获得解一元二次方程的思路.
在解方程时,由x2=25可得x=±5.类比此方法可解方程(x+3)2=5.
解:由方程(x+3)2=5,①
得x+3=±,即x+3=,或x+3=-.②
于是,方程(x+3)2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.
思考3:由方程①是如何得到方程②的
上面的解法中,由方程①得到②,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
思考4:方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程
一般地,对于方程x2=p,
(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=-,x2=;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.
设计意图:从已有的知识体系中自然地构建出新知识.通过利用一元二次方程解决实际问题,引导学生将求解一元二次方程的问题转化为两个一元一次方程的问题,降“二次”为“一次”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
解下列方程:
(1)2x2-8=0;         (2)3(x-1)2-6=0.
解:(1)移项,得2x2=8.
等式两边同除以2,得x2=4.
开平方,得x=±2,
即x1=2,x2=-2.
(2)移项,得3(x-1)2=6.
等式两边同除以3,得(x-1)2=2.
开平方,得x-1=±,
即x1=+1,x2=-+1.
设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
解下列一元二次方程:
(1)9x2+5=1; (2)(x+3)2-9=0; (3)9(x-1)2-4=0; (4)9x2+4=4.
解:(1)移项,得9x2=-4.
∵9x2≥0,
∴此方程无实数根.
(2)移项,得(x+3)2=9.
开平方,得x+3=±3,
即x1=0,x2=-6.
(3)移项,得9(x-1)2=4.
等式两边同除以9,得(x-1)2=.
开平方,得x-1=±,
即x1=,x2=.
(4)移项,得9x2=0.
等式两边同除以9,得x2=0.
开平方,得x1=x2=0.
设计意图:及时练习,巩固所学知识,培养学以致用、积极思考的习惯,提升学生计算能力.
拓展应用
1.一元二次方程x2=2的解为 x1=,x2=- .
2.当代数式(1-3x)2的值为0时,x的值为  .
3.解下列方程:
(1)2x2=5;         (2)(x-2)2-16=0;
解:(1)移项,得x2=.
开平方,得x=±,
即x1=,x2=-.
(2)移项,得(x-2)2=16.
开平方,得x-2=±4,
即x1=6,x2=-2.
4.如果关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是 m≥-4 .
5.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容.
解方程:(x-1)2=4.
解:x-1=2.①
x=3.②
上述过程中有没有错误 若有,错在步骤 ① (填序号),原因是 正数的平方根有两个,它们互为相反数 ,请写出正确的解答过程.
解:开平方,得x-1=±2,
即x1=3,x2=-1.
设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.   
课堂小结
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗 有哪些步骤
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法 与同伴交流.
设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.
随堂小测
1.用直接开平方法解方程:
(1)(2x-3)2+9=0;      (2)(x+6)2-9=0.
解:(1)移项,得(2x-3)2=-9.
∵(2x-3)2≥0,
∴此方程无实数根.
(2)移项,得(x+6)2=9.
开平方,得x+6=±3,
即x1=-3,x2=-9.
2.要使代数式3x2-6的值等于21,则x的值是 x1=3,x2=-3 .
3.一元二次方程(x+4)2=(2x-1)2的解为 x1=5,x2=-1 .
4.若(x2+y2-4)2=25,则x2+y2的值为 9 .
设计意图:当堂训练,复习巩固,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第6页练习(2)(3),第16页习题21.2第1题.
2.相关练习.
第1课时 直接开方法解方程
    1.一般地,对于方程x2=p,
(1)当p>0时,方程有两个不等的实数根x1=-,x2=;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.
2.把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
3.例题讲解.
教学反思


第2课时 配方法
课时目标
1.理解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化思想.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识.
学习重点
用配方法解一元二次方程.
学习难点
理解并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤.
课时活动设计
知识回顾
1.完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2 ;(a-b)2= a2-2ab+b2 .
2.练一练:x2-6x+9= (x-3)2 ;x2+4x+4= (x+2)2 .
2.你会填空吗
(1)x2-8x+ 42 =(x- 4 )2;
(2)x2+12x+ 62 =(x+ 6 )2;
(3)x2-6x+ 32 =(x- 3 )2.
师生互动,教师通过随机抽查的方式,找同学回答问题.
通过填空,你发现式子左侧所填的数与方程的哪个系数有关 有什么关系
解:式子左侧所填的数与方程的一次项系数有关,是一次项系数一半的平方.
设计意图:通过循序渐进的方法,让学生配完全平方式,从而引出本节所学内容.
导入新课
怎样解方程x2+6x+4=0
设计意图:由提问引出本节所要学习的知识,使学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识埋下伏笔.
探究新知
想一想解方程x2+6x+4=0的流程是怎样的
教师引导学生通过移项和等式的性质,将原方程配成完全平方的形式,再根据直接开平方法求解方程.
问题:为什么在方程x2+6x-4的两边加9 加其他数行吗
解:不行.只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完全平方x2+2bx+b2的形式.
比较方程2x2-3x+1=0与其他方程有什么区别 你该如何去解这个方程
解:方程2x2-3x-1=0的二次项系数不是1,可以利用等式的基本性质把二次项系数化成1,再利用配方法解方程.
知识归纳
配方法:通过将方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
2.二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将原方程变成(x+n)2=p的形式;
4.判断右边代数式的符号,若p≥0,则可以利用直接开平方法求解;若p<0,则原方程无实数根.
设计意图:引导学生通过配方法解一元二次方程,明白每一步的意义,再通过问题,使学生理解方程两边同时加9的原因,并让学生通过观察比较,归纳出配方法的概念,培养学生抽象概括的能力.
典例精讲
例 用配方法解方程x2+4x+3=0.
解:移项,得x2+4x=-3.
配方,得x2+4x+4=-3+4,
(x+2)2=1.
由此可得x+2=±1.
x1=-1,x2=-3.
设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
拓展应用
1.用配方法解一元二次方程x2+8x=-7,下一步骤正确的是( A )                        
A.x2+8x+42=-7+42 B.x2+8x+42=-7
C.x2+8x+82=-7 D.x2+8x+82=-7+82
2.用配方法解下列方程,其中应在方程的左右两边同时加上4的是( B )
A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+2x=5 D.2x2-4x=5
3.用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,变形后的结果正确的是( C )
A.(x-6)2=-5 B.(x-6)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x-3)2=5
4.填空:
(1)x2+4x+ 4 =(x+ 2 )2;(2)x2-8x+ 16 =(x- 4 )2;(3)x2+x+  =.
5.用配方法解下列方程:
(1)x2-12x-15=0;      (2)3x2-5x=2.
解:(1)x1=6+,x2=6-.(2)x1=2,x2=-.
设计意图:让学生体会知识的不同考法,加深对本节内容的理解.既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.
课后小结
1.配方法的概念是什么
2.配方法解一元二次方程的关键是什么
3.配方法解一元二次方程的基本步骤是什么
设计意图:通过小结让学生回顾本节所学知识,使学生牢固掌握所学知识,把所学的知识内化为自已的知识.
随堂小测
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( B )
A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-3
2.已知x2-8x=-15,将左边配成x2+2bx+b2的形式,其中正确的是( A )
A.x2-8x+(-4)2=-15+(-4)2 B.x2-8x-42=-15+42
C.x2+8x+42=-15+42 D.x2-4x+4=-15+4
3.若9x2-(k+2)x+4可以写成一个完全平方式,则k的值为 10或-14 .
4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值.若设x+y=z,则原方程可变为 z2+2z-8=0 ,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为 2或-4 .
5.用配方法解方程:
(1)9y2-18y-4=0;     (2)x2+3=2x.
解:(1)y1=1+,y2=1-.(2)方程无实数根.
设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第9页练习第1,2题.
2.相关练习.
第2课时 配方法
    1.配方法的概念.
2.用配方法解方程的步骤.

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