资源简介

课时目标
1.了解正多边形和圆的有关概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
学习难点
会作圆和正多边形的辅助线,探索正多边形和圆的关系.
课时活动设计
知识回顾
什么样的图形是正多边形
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
设计意图:先回忆正多边形概念,为学习圆内接正多边形做准备.
新知探究
通过多媒体演示,探索正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗 都是中心对称图形吗
日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,利用正多边形,也可以得到许多美丽的图案.
正多边形和圆的关系非常密切,正多边形和圆之间有什么关系呢
只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
设计意图:由大量的常见图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辨证思想,初步感受圆内接正多边形.
新知讲解
以圆内接正五边形为例证明.
如图,把☉O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵====,∴AB=BC=CD=DE=EA,
=3=.
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在☉O上,
∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,☉O是正五边形ABCDE的外接圆.
[归纳总结]
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
完成下面的表格:
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
　　[归纳]正多边形的外角等于中心角.
设计意图:让学生在经历具体实例基础上感受圆内接正多边形的各种概念和圆的半径,圆心角的关系,从具体的例子计算内角、中心角、外角,类比正n边形的情况.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界的数量关系.
典例精讲
例1　如图,有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).
解:连接OB,OC.
因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长l=6×4=24(m).
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中,OC=4 m,PC===2(m),
利用勾股定理,可得边心距r==2(m).
亭子地基的面积S=lr=×24×2≈41.6(m2).
[归纳总结]圆内接正多边形的辅助线:
1.连半径,得中心角;
2.作边心距,构造直角三角形.
设计意图:学生通过例题进一步熟悉相关概念.
怎样画一个正多边形呢
问题1:已知☉O的半径为2 cm,求作圆的内接正三角形.
解:以2 cm为半径作一个☉O,用量角器画一个120°的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的3个等分点,顺次连接各等分点,即可得到正三角形,如图所示.
问题2:你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗
设计意图:通过动手画图进一步了解正多边形的性质.
巩固训练
1.如果一个正多边形的每个外角都等于36°,则这个正多边形的中心角等于(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.36° B.18° C.72° D.54°
2.如图所示,点O是正六边形的对称中心,如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处),把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是(　B　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图所示,要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为多少
解:如图所示,截取正六边形螺帽图形的一部分,
∠ABC=120°,AB=BC=a mm,AC=b mm.
过点B作BD⊥AC于点D,则AD=DC=b.
在Rt△ABD中,∠BAC=30°,∴BD=AB=3 mm.
∴AD===3(mm).
∴b=2AD=6(mm),
即扳手张开的开口b至少要6 mm.
4.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,点P为六边形内任一点,则点P到各边距离之和是多少
解:过P作AB的垂线,分别交AB,DE于点H,K,连接BD,
作CG⊥BD于点G.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB∥DE,AF∥CD,BC∥EF.
∴点P到AF与CD的距离之和,及点P到EF,BC的距离之和均为HK的长.
∵BC=CD,∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°,
∴∠CBD=∠BDC=30°,BD∥HK,且BD=HK.
∵CG⊥BD,∴BD=2BG.
∵CG⊥BD,∴∠CGB=90°.
∴CG=BC=.
在Rt△BCG中,由勾股定理,可得BG===3.
∴BD=2×3=6.
∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18.
设计意图:学生通过练习,进一步熟悉正多边形相关概念,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂小结
设计意图:将课程中的知识点进行整理和归纳,形成结构化的知识体系,便于学生理解和记忆.
相关练习.
1.教材第106页练习第3题,课本第109页习题24.3第6,7,8题.
2.相关练习.
24.3　正多边形和圆
正多边形和圆
教学反思

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