资源简介

*第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
课时目标
1.会用待定系数法求二次函数的解析式,能灵活的根据条件选择解析式形式.
2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
学习重点
用待定系数法求二次函数解析式.
学习难点
根据条件选择解析式形式,体会二次函数不同形式解析式之间的转化.
课时活动设计
知识回顾
多媒体展示.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=ax2(a≠0) a>0,开口向上; a<0,开口向下 直线 x=0(y轴) (0,0) a>0　最小值0
a<0　最大值0
y=ax2+k (a≠0) 直线 x=0(y轴) (0,k) a>0　最小值k
a<0　最大值k
y=a(x-h)2 (a≠0) 直线x=h (h,0) a>0　最小值0
a<0　最大值0
y=a(x-h)2+k (a≠0) 直线x=h (h,k) a>0　最小值k
a<0　最大值k
y=ax2+bx+c (a≠0) 直线x=- -, a>0　最小值
a<0　最大值
　　 设计意图:学生回顾之前所学知识,巩固旧知识,引出新知识.
导入新课
我们用待定系数法可以确定一次函数的解析式,那么对于二次函数,可以用待定系数法吗
设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.
探究新知
教师引导学生回顾求一次函数解析式的步骤.
(1)设解析式.
(2)将坐标代入解析式,解二元一次方程组,得出系数.
(3)将系数反代回所设的解析式中,写出解析式.
多媒体展示问题:已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式.
师生活动:学生演算,教师通过多媒体展示解题过程.
解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),
∴解得
∴一次函数的解析式为y=5x-2.
教师通过用待定系数法求一次函数解析式,引导学生发现用待定系数法求二次函数解析式的关键是确定系数a,b,c的值.
教师:我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数 下面我们尝试求一下二次函数的解析式.
多媒体展示问题
已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),求这个函数的解析式.
教师引导学生回答
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知,得
师生活动:尝试求一下二次函数的解析式,教师用多媒体展示.
已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),(2,7),求这个函数的解析式.
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知,得
该如何解这个方程组呢 教师引导学生独立解答,再用多媒体展示解题过程.
由已知,得
由②-①,可得2b=-6 b=-3.
由③-①,可得3a+3b=-3 a+b=-1 a=2.
将a=2,b=-3代入①,可得2+3+c=10 c=5.
∴解方程组得a=2,b=-3,c=5.
∴二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
总结:知道三个点的坐标可以将解析式设为一般式,然后将坐标代入一般式组成三元一次方程组从而求出系数,得到函数解析式.
设计意图:运用类比的思想方法,让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,理解本节学习的知识.
典例精讲
例1　已知二次函数的图象经过原点,且当x=1时,y有最小值-1,求这个二次函数的解析式.
解:∵由已知得二次函数顶点坐标为(1,-1),
∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-1.
∵二次函数的图象经过原点(0,0)
∴0=a-1,解得a=1,
∴二次函数解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x.
例2　已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式.
解:(方法1)设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.
∵图象经过点(-3,0),(1,0),(0,-3).
∴
解得a=1,b=2,c=-3.
∴这个二次函数解析式为y=x2+2x-3.
(方法2)∵图象与x轴交于点(1,0),(-3,0),
∴设函数解析式为y=a(x-1)(x+3).
∵图象过点(0,-3),
∴-3=a(0-1)(0+3),解得a=1.
∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
教师:两种方法的结果一样吗 两种方法哪一个更简便
师生活动,学生通过计算对比,发现方法1更简便,得出用交点式求函数表达式的一般方法.
设计意图:通过例题讲解,拓展顶点式和交点式,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.已知一个二次函数的图象过A(-1,0),B(4,5),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.
∵图象经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).
∴
解得a=1,b=-2,c=-3.
∴这个二次函数解析式为y=x2-2x-3.
2.已知抛物线顶点为(1,-4),且过点(2,-3),求其解析式.
解:∵抛物线顶点为(1,-4),
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4.
又∵抛物线过点(2,-3),
则-3=a(2-1)2-4,则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0),与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式.
解:∵图象与x轴交于A(1,0),B(3,0),
∴设函数解析式为y=a(x-1)(x-3).
∵图象过点C(0,3),
∴3=a(0-1)(0-3),解得a=1.
∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
设计意图:通过对应练习题,巩固新学知识,根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况.
课堂小结
设计意图:通过小结让学生进一步熟悉求二次函数解析式的方法,让学生通过回顾总结,巩固新知.
随堂小测
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(　D　)
A.y=x2+2　　B.y=(x-2)2+2　　C.y=(x-2)2-2　　D.y=(x+2)2-2
2.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为　y=-7x2+42x-59　.
3.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,C的坐标分别是(8,0),(0,4),求这个抛物线的解析式.
解:由抛物线过A(8,0)及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),
∴4=-16a,a=-.
∴这个抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-8).
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4.
4.已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0),(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16),
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第40页练习第1,2题.
2.相关练习.
※第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
　(1)一般式.
(2)顶点式.
(3)两根式.
教学反思

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